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\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}

\begin{document}

\exo 

 \medskip 

\emph{Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.}

\emph{Indiquez sur la copie le numéro de la question et  justifiez votre choix.}

 \medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La forme exponentielle du nombre complexe $z = 4 -4\mathrm{i}$ est :  

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}~~ $z = 4\e^{\mathrm{i}\frac{3\pi}{4}}$ &\textbf{b.}~~ $z = 4\sqrt{2}\e^{\mathrm{i}\frac{3\pi}{4}}$&\textbf{c.}~~  $z = 4\e^{- \mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$  &\textbf{d.}~~ $z = 4\sqrt{2}\e^{- \mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$ 
\end{tabularx}

\medskip

\item Si $z_{1} = 3\sqrt{2}\e^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}}$ et $z_{2} = \sqrt{2}\e^{- \mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$, alors le produit $z_{1} \times z_{2}$ est un nombre complexe : 

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.}~~de module $2\sqrt{2}$ et dont un argument est $\dfrac{\pi}{7}$. &\textbf{b.}~~ de module $2\sqrt{2}$ et dont un argument est $\dfrac{5\pi}{12}$ \\ \textbf{c.}~~   de module 6 et dont un argument est $\dfrac{5\pi}{12}$   &\textbf{d.}~~ de module 6 et dont un argument est $\dfrac{13\pi}{12}$ 
\end{tabularx}

\medskip
		
\item Si $z_{1} = 2\sqrt{3}\e^{-\mathrm{i}\frac{5\pi}{6}}$ et $z_{2} = \sqrt{3}\e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}$, alors le quotient $\dfrac{z_{1}}{z_{2}}$ vaut :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}~~ $2\e^{\mathrm{i}\frac{5\pi}{6}}$ &\textbf{b.}~~ $\sqrt{3} \e^{- \frac{7\pi}{6}}$ &\textbf{c.}~~  $2\e^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}$  &\textbf{d.}~~ $-2 \e^{\frac{7\pi}{6}}$
\end{tabularx}

\medskip

\item On considère le nombre complexe $z=2 \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$. L'inverse de $z$ est égal à  : 

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}~~ $\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{- \mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$ &\textbf{b.}~~ $- 2\mathrm{e}^{- \mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$  &\textbf{c.}~~  $2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$  &\textbf{d.}~~ $\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip
	\begin{enumerate}
\item  On considère l'équation différentielle $y'' + 9y = 0$, où $y$ désigne une fonction deux fois dérivable sur l'ensemble des réels. Une solution $f$ de cette équation est la fonction de la variable $x$ vérifiant pour tout réel $x$ :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} $f(x) = 4 \e^{9x}$&
\textbf{b.~~} $f(x) =  0,2 \sin (9x)$ &
\textbf{c.~~} $f(x) = - 0,2 \e^{- 9x}$ & 
\textbf{d.~~} $f(x) = -2\cos (3x)$
\end{tabularx}

\medskip
	 	
\item On considère l'équation différentielle $2y' + 6y = 0$, où $y$ désigne une fonction dérivable sur l'ensemble des réels. La solution $f$ de cette équation telle que $f(0) = 1$ est la fonction de la variable $x$ vérifiant pour tout réel $x$ :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}~~ $f(x) = \e^{3x}+3$ &\textbf{b.}~~ $f(x) = \e^{- 3x}$  &\textbf{c.}~~  $f(x)= 2\e^{-6x}$  &\textbf{d.}~~ $f(x) = 6\e^{- 2x}$
\end{tabularx} 
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie c}}}

\medskip

Un fumeur est dit fumeur régulier s'il fume au moins une cigarette par jour. 

En 2010, en France, la proportion notée $p$ de fumeurs réguliers, âgés de 15 à 19 ans, était de $p = 0,236$ 

\medskip

\begin{enumerate}
\item La probabilité que, sur un groupe de 10 jeunes âgés de 15 à 19 ans choisis au hasard et de manière indépendante, aucun ne soit fumeur régulier est, à $10^{-3}$ près : 

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}~~ 0,236&\textbf{b.}~~ 0&\textbf{c.}~~ 0,068&\textbf{d.}~~ 0,764
\end{tabularx}

\medskip

\item Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 0,95 de la fréquence de fumeurs réguliers dans un échantillon de 500 jeunes âgés de 15 à 19 ans est : 

(\emph{Les bornes de chaque intervalle sont données à $10^{-3}$ près}) 

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}~~  $[0,198 ; 0,274]$ &\textbf{b.}~~$[0,134 ; 0,238]$&\textbf{c.}~~ $[0,191 ; 0,281]$&\textbf{d.}~~$ [0,192; 0,280]$ 
\end{tabularx}

\medskip

\item La taille $n$ de l'échantillon choisi afin que l'amplitude de l'intervalle de fluctuation au seuil de 0,95 soit inférieure à 0,05, vaut : 

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}~~$n = 200$&\textbf{b.}~~  
 $n = 400$&\textbf{c.}~~ $n = \np{632}$&\textbf{d.}~~ $n = \np{1109}$
 \end{tabularx}
\end{enumerate}

\pagebreak

\exo 

 \medskip 
 
Un site est spécialisé dans la diffusion de vidéos sur internet. Le responsable du site a constaté que la durée de chargement des vidéos évoluait en fonction d'internautes connectés simultanément.

On cherche à estimer la durée de chargement en fonction du nombre de personnes connectées simultanément. Deux fonctions sont proposées pour modéliser cette situation.

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a : }} Modèle logarithmique}

\medskip  

On considère une première fonction $f$ pour modéliser la situation précédente.

On note $x$ le nombre, exprimé en millier, d'internautes connectés simultanément. 

La durée de chargement exprimée en seconde est $f(x)=x^2+\ln(x)+1$ pour $x$ appartenant à $[0,5 : +\infty[$.

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$.
\item Étudier les  variations de $f$ sur l'intervalle $[0,5 : +\infty[$.
\end{enumerate}
\item Justifier que la fonction $F$ définie sur $[0,5 : +\infty[$ par $F(x)=\dfrac{x^3}{3}+x\ln(x)$ est une primitive de $f$.
\item 
\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur exacte de $I=\displaystyle \int_{4}^{8} f(x) \:\dd x$.
\item En déduire la durée moyenne de chargement, arrondie à la seconde près, si le nombre d'internautes connectés simultanément est compris entre \np{4000} et \np{8000} ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b : }} Modèle exponentiel}

\medskip
 
On modélise la situation à l'aide d'une deuxième fonction $g$. 

On note $x$ le nombre, exprimé en millier, d'internautes connectés simultanément. 

La durée de chargement exprimée en seconde est  $g(x) = 8,4 \e^{0,3x}$ pour $x$ appartenant à $[0,5 : +\infty[$.

On a tracé ci-dessous, la courbe $\mathcal{C}_g$ représentative de la fonction $g$.

	\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=.4cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(10,22)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.85 .85 .9}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{8.4*EXP(.3*x)}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-1)(10,22)
\psset{xunit=1cm,yunit=.08cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=10]{->}(0,0)(-.99,-5)(10,110)
\uput[dl](10,0){$x$} \uput[dl](0,110){$y$}
\uput[dl](0,0){\footnotesize 0}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{.5}{8.57416}{\f}
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=prune](0,0)(6,41.1)
\psdot[linecolor=bleu,dotscale=.8](3.3333,22.8336)
\uput[dr](8.5,110){\small{\bleu{$\mathcal{C}_g$}}}
\uput[u](3.3,22.8){\small{\prune{$A$}}}
\uput[dr](6,41){\small{\prune{$T$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item La tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_g$ au point $A$ d'abscisse $\dfrac{10}{3}$ passe par l'origine du repère. 

Quelle est la valeur de $g'\left({}\frac{10}{3}\right)$ ?
\item Quelle est la durée moyenne de chargement exprimée en seconde si le nombre d'internautes connectés simultanément est compris entre \np{4000} et \np{8000} ?
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie c}}}

\medskip

On a constaté que quand le nombre d'internautes connectés simultanément est compris entre \np{4000} et \np{8000}, le temps moyen de chargement était de 52 secondes.

Quel est celui des deux modèles qui décrit le mieux la situation ?

\end{document}
