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% Mise en forme des algorithmes
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%
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\setdefaultenum {1.}{a)}{}{}
\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
\newcommand{\Oij}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j} \right)$}
\newcommand{\Oijk}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j ,\vec k} \right)$}
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\newcommand{\QCM}[3]{ $\bullet$ \quad #1 \hfill 
$\bullet$ \quad #2 \hfill 
$\bullet$ \quad #3 }

\newcommand{\QCMc}[4]{   #1 \\ 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #2 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #3 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #4 }} % QCM avec cases à cocher%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\ 17 décembre 2013}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{contrôle \no 4}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} STI2D\\Durée 2 heures}}}%droit
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}


\newcounter{nexo}           % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0}        % initialisation du numero

\newcommand{\exo}{
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE \; \arabic{nexo}}}}}}}}
  
  

\hypersetup{
pdftitle={Contrôle \no 4.}, 
pdfauthor={Arié Yallouz},   
pdfsubject={Contrôle \no 4 : Suite géométrique ; Primitive ; Fonction logarithme.}, 
pdfkeywords={Suite géométrique, algorithme,  Primitive, Fonction logarithme, dérivée, variation, tangente, exercices, contrôles.},
pdfcontacturl={http//yallouz.arie.free.fr/},
pdflang={fr},
baseurl={http://yallouz.arie.free.fr/tsti2d_controles/index_controles_tsti2d.php}
}
\begin{document}

\exo \hfill  ( 4,5 \emph{points} ) 

\medskip

Soit $f$  la fonction définie sur $I = ]0 ; + \infty[$ par $f(x)=1+\dfrac{\ln x}{x}$ , dont le tableau de variations, incomplet est le suivant : 
\begin{center}
\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(14,3.6)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(14,3.6) \psline(3.2,0)(3.2,3.6) \psline(0,2.8)(14,2.8)\psline(0,2)(3.4,2) \psline(3.6,2)(14,2)
\psline(3.4,0)(3.4,2.8) \psline(3.6,0)(3.6,2.8)
\rput(1.6,3.2){$x$}\rput(3.5,3.2){$0$} \rput(8.5,3.2){$\e$} \rput(13.5,3.2){$+\infty$}
\rput(1.6,2.4){signe de $f'(x)$} \rput(6,2.4){$+$} \pnode(8.5,2.8){m1}\pnode(8.5,2){m2}
\ncline [arrows=-,linewidth=.5pt]{m1}{m2}\ncput*{0}\rput(11,2.4){$-$} 
\rput(1.6,1){variations de $f$} \rput(4,.3){$\cdots$} \rput(8.5,1.7){\rnode{A}{$\cdots$}} \rput(13.5,.3){\rnode{B}{$1$}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} 
\end{pspicture}
\end{center}		 

On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ et on note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

\begin{enumerate}
\item 	\begin{enumerate}
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$
\item La courbe $\mathcal{C}_f$  a-t-elle des asymptotes ? Si oui lesquelles ?
\end{enumerate}

\item 	Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif, $f'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}$.
\item 	Étudier le signe de la fonction dérivée  $f'$  sur l'intervalle $I$. 
\item 	Recopier et compléter le tableau des variations de $f$ sur $I$.
\item 	Donner la valeur arrondie à $10^{-2}$ près des solutions éventuelles de l'équation $f(x)=0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo \hfill  ( 3 \emph{points} ) 

\medskip

Simplifier les écritures suivantes :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}m{5cm}m{6cm}X}
1.\quad $\dfrac{{\left(\e^{x+2}\right)}^2}{\e^{2x-1}}$  & 2.\quad ${\left(\e^x+\e^{-x}\right)}^2-{\left(\e^x-e^{-x}\right)}^2$ & 3.\quad $\dfrac{\e^{x+\ln8}}{\e^{x-\ln2}}$\\
\end{tabularx}

\bigskip

\exo \hfill  ( 3,5 \emph{points} ) 

\medskip

Résoudre dans $\R$  les équations suivantes :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}m{5cm}m{6cm}X}
1.\quad $\e^{x+\ln 2}=6$ & 2.\quad $\e^{x^2+x-6}=1$ &	3.\quad $\e^{x+1}=x-\ln\left(\e^{x+1}\right)$\\ 
\end{tabularx}

\bigskip

\exo \hfill  ( 3 \emph{points} ) 

\medskip

Déterminer les fonctions primitives sur $\R$  des fonctions suivantes :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}m{5cm}m{6cm}X}
1.\quad $f(x)=\e^{x}+3$ & 2.\quad $f(x)=x-\e^{-x}$ &	3.\quad $f(x)=1+2x\e^{x^2}$\\ 
\end{tabularx}


\newpage

\exo \hfill  ( 6 \emph{points} ) 

\medskip

\textsf {\small{\textbf{\textsc{partie a}}}}

\medskip

La courbe $(\mathcal{C})$ tracée ci-dessous dans un repère orthonormé est la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur  $\R$. On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $\R$. 

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-8,-6)(16,6)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{vertf}{.1 .4 .2}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-8,-6)(16,6)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-4,-3)(8,3)
\uput[dl](8,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,3){\footnotesize{$y$}}
\uput[dl](0,0){\textsf 0}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-2.756}{8}{(x+2)*EXP(-0.5*x)}
\psline[linecolor=prune, linewidth=0.75pt](-1.25,2)(1.25,2)
\psdots[linecolor=prune,dotscale=.8] (0,2)
\uput[ur](0,2){\textcolor{bleu}{\footnotesize $A$}}
\uput[l](8,.5){\textcolor{bleu}{\footnotesize $(\mathcal{C})$}}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
	\item Au point $A(0;2)$, la courbe $(\mathcal{C})$ admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses. 
	
	En déduire $f(0)$  et $f'(0)$.
	\item Parmi les trois représentations graphiques ci-dessous, une représente la fonction $f'$ dérivée de la fonction $f$ et une autre une primitive $F$ de $f$ sur $\R$.
	
\medskip
	 
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}>{\centering \arraybackslash}X@{}}}
\psset{unit=0.5cm} 
\begin{pspicture}(-4,-1)(5,7)
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-4,-1)(5,7)
\psaxes[linewidth=.75pt,labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-4,-1)(5,7)
\psline[linewidth=0.4pt](1,-0.1)(1,0.1)\rput(1,-0.4){\footnotesize{\textsf 1}}
\psline[linewidth=0.4pt](-0.1,1)(0.1,1)\rput(-0.4,1){\footnotesize{\textsf 1}}
\rput(-0.4,-0.4){\footnotesize{\textsf 0}}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=1.5pt, linecolor=prune]{-3.05}{5}{-.5*x*EXP(-.5*x)}
\psline[linecolor=bleu, linewidth=0.75pt](-3,1.5)(2,-1)
\psdots[linecolor=bleu,dotscale=.8] (0,0)
\end{pspicture}  &
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-5)(6,3)
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-3,-5)(6,3)
\psaxes[linewidth=.75pt,labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-3,-5)(6,3)
\psline[linewidth=0.4pt](1,-0.1)(1,0.1)\rput(1,-0.4){\footnotesize{\textsf 1}}
\psline[linewidth=0.4pt](-0.1,1)(0.1,1)\rput(-0.4,1){\footnotesize{\textsf 1}}
\rput(-0.4,-0.4){\footnotesize{\textsf 0}}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=1.5pt, linecolor=prune]{-2.2}{3.66}{2*x-(x-2)*EXP(.5*x)-2}
\psline[linecolor=bleu, linewidth=0.75pt](-2,-4)(1.5,3)
\psdots[linecolor=bleu,dotscale=.8] (0,0)
\end{pspicture} &
\psset{unit=0.5cm} 
\begin{pspicture}(-4,-3)(5,5)
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-4,-3)(5,5)
\psaxes[linewidth=.75pt,labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-4,-3)(5,5)
\psline[linewidth=0.4pt](1,-0.1)(1,0.1)\rput(1,-0.4){\footnotesize{\textsf 1}}
\psline[linewidth=0.4pt](-0.1,1)(0.1,1)\rput(-0.4,1){\footnotesize{\textsf 1}}
\rput(-0.4,-0.4){\footnotesize{\textsf 0}}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=1.5pt, linecolor=prune]{-3.77}{3.11}{8-(2*x+8)*EXP(-.5*x)}
\psline[linecolor=bleu, linewidth=0.75pt](-1.5,-3)(2.5,5)
\psdots[linecolor=bleu,dotscale=.8] (0,0)
\end{pspicture} \\ 
\textsf{Courbe 1}& \textsf{Courbe 2} & \textsf{Courbe 3} \\
\end{tabularx}

\medskip

Déterminer la courbe associée à la fonction $f'$ et celle qui est associée à la fonction $F$. 

\emph{(Vous expliquerez avec soin les raisons de votre choix).}
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\small{\textbf{\textsc{partie b}}}}

\medskip


Pour la suite, on admet que la fonction $f$ est définie sur $\R$ par : $f(x)=(x+2)\e^{-0,5x}$.
\begin{enumerate}
	\item 
\begin{enumerate}
	\item Calculer $\displaystyle\lim_{x\to -\infty} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x)$. 
	\item La courbe $(\mathcal{C})$ a-t-elle des asymptotes ? Si oui lesquelles ?
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
	\item Calculer $f'(x)$.
	\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\R$  puis dresser le tableau de variation complet de $f$.
\end{enumerate}
\item Soit  $F$ la primitive de la fonction $f$ telle que $F(0)=0$. On note $(\Gamma)$ sa courbe représentative.

 Déterminer une équation de la tangente à la courbe $(\Gamma)$ au point d'abscisse 0.

\end{enumerate}


\end{document}

