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%
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  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\ 20 janvier 2014}}} %gauche
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\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}
  
\begin{document}



\exo

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner la forme exponentielle du nombre complexe $z = - 5 + 5\mathrm{i}$. 
\item Donner la forme exponentielle du nombre complexe $z = \sqrt{6} - \mathrm{i}\sqrt{2}$. 
\item Déterminer le module et un argument du nombre complexe $z = - \sqrt{2}\e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$.
\item Soit $z_{1} = 2\sqrt{2}\e^{\mathrm{i}\frac{3\pi}{4}}$ et $z_{2} = \sqrt{2}\e^{- \mathrm{i}\frac{\pi}{3}}$, déterminer le module et un argument du produit $z_{1} \times z_{2}$.
\item Donner la forme algébrique du nombre complexe $Z=\dfrac{\sqrt{2} - \mathrm{i}\sqrt{2}}{\sqrt{2} + \mathrm{i}\sqrt{2}}$.
\item  Donner la forme algébrique du nombre complexe $z$ de module $2\sqrt{3}$ et dont un argument est $\dfrac{2\pi}{3}$.	
\item Soit $z_{1} = 3\sqrt{2}\e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$ et $z_{2} = \sqrt{2}\e^{-\mathrm{i}\frac{5\pi}{6}}$, calculer le quotient $\dfrac{z_{1}}{z_{2}}$.
\item On considère le nombre complexe $z=2 \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$. 
\begin{enumerate}
\item Calculer le carré de $z$.
\item Calculer l'inverse de $z$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{}.
 
On note $\C$ l'ensemble des nombres complexes, et $\mathrm{i}$ le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. 
 
\begin{enumerate}
\item On considère l'équation (E) d'inconnue $z$ : $(\sqrt{3} - \mathrm{i})z =  - 6\mathrm{i}$.
 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans $\C$ l'équation (E). On notera $z_{1}$ la solution de (E) que l'on écrira sous forme algébrique. 
		\item Déterminer la forme exponentielle de $z_{1}$. 
		\item Soit $z_{2}$ le nombre complexe défini par : $z_{2} = \dfrac{2}{3}\e^{- \mathrm{i}{\pi}} \times  z_{1}$. 

Déterminer les formes exponentielle et algébrique de $z_{2}$. 
	\end{enumerate}
\item Soit $A$, $B$ et $C$ les points du plan d'affixes respectives : $z_{A} = 3\e^{- \mathrm{i}\frac{\pi}{3}}$, $z_{B} =2\e^{ \mathrm{i}\frac{2\pi}{3}}$ et $z_{C} = 4\e^{ \mathrm{i}\frac{\pi}{3}}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points $A$, $B$ et $C$ dans le plan complexe. 
		\item Calculer le produit scalaire $\vv{BA} \cdot \vv{BC}$.
		\item Déterminer la nature du triangle $ABC$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\begin{center}

\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-9,-9)(9,9.5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-9,-9)(9,9)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-4.5,-4.5)(4.5,4.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,ticks=none,linecolor=prune]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](.5,0){\prune $\vec u$} \uput[l](0,.5){\prune $\vec v$}
\uput[dl](0,0){0}
{\psset{linewidth=.5pt,linecolor=bleu,linestyle=dashed}
\multido{\r=1+1}{4}{%
\pscircle(0,0){\r} 
}
\SpecialCoor
\multido{\n=30+15}{3}{%
\psline(-4.5;\n)(4.5;\n)
}
\multido{\n=120+15}{3}{%
\psline(-4.5;\n)(4.5;\n)
}
}
\end{pspicture}

\end{center}

\bigskip

\exo

\medskip

Calculer la valeur exacte de chacune des intégrales suivantes :

\medskip

\begin{enumerate}[$A =$]
\item $\displaystyle \int_{1}^{4} \left( x^2 -2x +\dfrac{2}{x}-1 \right) \:\dd x$.

\medskip

\item $\displaystyle \int_{2}^{6} \left( \dfrac{x^2}{2}-\dfrac{2}{x^2}-1 \right) \:\dd x$.

\medskip
 
\item $\displaystyle \int_{-\ln 2}^{2} \left(  \e^x - \e^{-x} \right) \:\dd x$.

\medskip
 
\item $\displaystyle \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{2\pi}{3}}  \left( \cos t -\sin t \right) \:\dd t$.

\end{enumerate}


\end{document}

