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%
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  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\ 14 mars 2014}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{contrôle \no 7}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} STI2D\\Durée 2 heures}}}%droit
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}


\begin{document}

\exo 

 \medskip 


La courbe $\mathcal{C}_f$ tracée ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$. La tangente $T$  à la courbe  $\mathcal{C}_f$ au point $A$ passe par le point de coordonnées $(4 ; 3)$
	
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-5,-3.5)(7,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.85 .85 .9}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(x+1)^2*(5-x)/12}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{-1}{5}{\f} \gsave
\psline(4,0)(1,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=grisb] \grestore }
\psset{unit=.5cm}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-10,-7)(14,8)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-5,-3.5)(7,4)
\uput[dl](7,0){$x$} \uput[dl](0,4){$y$}
\uput[dl](0,0){0}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-3.391}{5.885}{\f}
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=prune](3.7,3.9)(6.1,-3.3)
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=prune](2,2.67)(4,2.67)
\uput[ur](5,0){\bleu{$A$}}
\psdot[linecolor=bleu,dotscale=.8](5,0)
\uput[dr](-4,4){\small{\bleu{$C_{f}$}}}
\uput[dr](3,4){\small{\prune{$T$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item On note $f'$ la dérivée de la fonction fonction $f$. Déterminer $f'(3)$ et $f'(5)$.
	\item Soit $F$ une primitive de la fonction fonction $f$. Donner le tableau de variations de la fonction $F$. 
	\item Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f'$ et une autre de la fonction $F$. Déterminer la courbe associée à la fonction $f'$ et celle qui est associée à  la fonction $F$. 

\begin{center}
\psset{unit=.45cm}
\begin{pspicture}(-6,-6)(12,4)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-6)(12,4)
\psset{unit=.9cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-3)(6,2)
\uput[dl](6,0){$x$} \uput[dl](0,4){$y$}
\uput[dl](0,0){0}
\def\g{.25*(3-x)*(x+1)}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1pt, linecolor=prune]{-3}{5}{\g}
\uput[ur](2.5,.5){\small{\prune{$C_1$}}}
\end{pspicture}\hfill
\psset{unit=.45cm}
\begin{pspicture}(-6,-4)(12,6)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-4)(12,6)
\psset{xunit=.9cm,yunit=.45cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=2]{->}(0,0)(-3,-4)(6,6)
\uput[dl](6,0){$x$} \uput[dl](0,6){$y$}
\uput[dl](0,0){0}
\def\g{(x-3)^2*(-1-x)/8}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1pt, linecolor=prune]{-2.55}{5.26}{\g}
\uput[ur](5,-3){\small{\prune{$C_2$}}}
\end{pspicture}

\medskip

\psset{unit=.45cm}
\begin{pspicture}(-8,-7)(16,6)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-8,-7)(16,6)
\psset{xunit=.9cm,yunit=.45cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=2]{->}(0,0)(-4,-7)(8,6)
\uput[dl](8,0){$x$} \uput[dl](0,6){$y$}
\uput[dl](0,0){0}
\def\g{(4*x^3+18*x^2+20*x-x^4-233)/48}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1pt, linecolor=prune]{-3.11}{7.17}{\g}
\uput[ur](7,-5){\small{\prune{$C_3$}}}
\end{pspicture}
\end{center}
\item Donner une valeur approchée (en unité d'aire) de l'aire du domaine colorié
\end{enumerate}	

\pagebreak

\exo

\medskip

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\C$ l'équation $(\sqrt{3}+ \mathrm{i})z = 2\mathrm{i}$. On notera $z_{1}$ la solution de cette équation que l'on écrira sous forme algébrique.
\item Déterminer la forme exponentielle de $z_{1}$.
\end{enumerate}
 
\item On considère les nombres complexes  $z_{2}$ et $z_{3}$ définis par $z_{2} = \e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$ et $z_{3} = \e^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{12}}$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'écriture algébrique de $z_{2}$. 
\item Démontrer que $z_{1} \times  z_{3} = z_{2}$. 
\item En déduire l'écriture algébrique de $z_{3}$. 
\item En déduire que $\cos \left(-\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$   et $\sin \left(-\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0 ; 6]$ par $f(t) = 10\times\left(\e^{-0,8t}-\e^{-t}\right)$.

La représentation graphique $\mathcal{C}_{f}$ de la fonction $f$ dans un repère orthogonal est fournie ci-dessous. 
 
 \medskip
 
\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(24,10)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{10*(EXP(-.8*x)-EXP(-x))}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(24,10)
\psset{xunit=2cm, yunit=5cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=0.2,comma]{->}(0,0)(-.1,-.05)(6,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}} \uput[dl](6,0){$t$} \uput[dl](0,1){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=600,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{6}{\f}
\uput[l](6,0.15){\bleu{$\mathcal{C}_{f}$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f'(t) = 10\e^{-t}\times \left( 1-0,8\e^{0,2t}\right)$.
\item Étudier le signe de $f'(t)$ et en déduire la valeur exacte du maximum de la fonction $f$.
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
 \item Montrer que l'équation $f(t)=0,3$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $[3 ; 4]$.
 	
 \item On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|lp{6cm}}
\textbf{Variables :} & $a$, $b$, $m$ et $r$ sont des nombres réels\\
\textbf{Initialisation :} & Affecter à $a$ la valeur 3 \par Affecter à $b$ la valeur 4 \\
\textbf{Entrée :} & Saisir $r$\\ 
\textbf{Traitement :}& \textsf{TANT QUE}  $b - a > r$ \par 
					\begin{itemize}
						\item[] Affecter à $m$ la valeur $\dfrac{a+b}{2}$
						\item[] \textsf{SI} $f(m) - 0,3 > 0$
						\begin{itemize}
						\item[] \textsf{ALORS} Affecter à $a$ la valeur $m$
						\item[] \textsf{SINON} Affecter à $b$ la valeur $m$
						\end{itemize}
						\item[] \textsf{FIN SI}						
						\end{itemize}\par
						\textsf{\textsc{FIN TANT QUE}}\\
\textbf{Sortie :} 	& Afficher $a$ \par Afficher $b$\\
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

 Faire fonctionner l'algorithme précédant avec $r = 0,01$ en recopiant et complétant le tableau ci-dessous. On arrondira au millième les valeurs de $f(m)-0,3$. 

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.2cm}|@{}>{\centering \arraybackslash}X@{}|c|*{2}{@{}>{\centering \arraybackslash}X@{}|}c|*{2}{@{}>{\centering \arraybackslash}X@{}|}}\cline{7-8}
\multicolumn{6}{r|}{Initialisation}& $a=3$ & $b=4$\\ \hhline{~-----==}
\multicolumn{1}{c|}{}& $b - a$& $b - a > r$ & $m$ & $f(m)-0,3$ & $f(m)-0,3 > 0$ & $a$ & $b$ \\ \hline
%\multicolumn{6}{r|}{Initialisation}& 3 &4\\ \hline 
étape 1& 1 & oui & 3,5 & 0,006 & oui & 3,5 & 4 \\ \hline
étape 2 & & & & & & &\\ \hline 
étape 3 & & & & & & &\\ \hline
\end{tabularx}

\end{center} 

\item À la fin de l'exécution de l'algorithme, les variables $a$ et $b$ contiennent les valeurs $\np{3,53125}$ et $3,539065$. Interpréter ces résultats dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate} 
 
\item Démontrer que la fonction $F$ définie sur $[0 ;6]$ par $F(t) = 10\e^{-t}\times \left( 1-1,25\e^{0,2t}\right)$  est une primitive de la fonction $f$ sur $[0 ;6]$. 
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip 

On s'intéresse à l'évolution du taux d'alcool dans le sang d'une personne, pendant les six heures suivant l'absorption d'une certaine quantité d'alcool. 

Le taux d'alcool dans le sang, exprimé en $\mathrm{g/l}$, de cette personne est donné en fonction du temps $t$, en heures, par la fonction $f$ définie  dans la partie A.

\begin{enumerate}
 \item Déterminer à quel instant le taux est maximum et donner ce maximum arrondi à $10^{-2}$ près. 
 \item Des études ont montré que dès $0,3~\mathrm{g/l}$ d'alcool dans le sang, un conducteur commet plus d'erreurs sur la route qu'en temps normal.

Combien de temps, après absorption d'alcool, est-il prudent d'attendre pour cette personne avant de prendre sa voiture  ?
\item $T_{m}$ est le taux d'alcool moyen pendant les quatre heures suivant l'absorption d'alcool.

Donner une valeur arrondie à $10^{-2}$ près du taux d'alcool moyen de cette personne. 
\end{enumerate}

\end{document}

