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% Mise en forme des algorithmes
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%
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\setdefaultenum {1.}{a)}{}{}
\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
\newcommand{\Oij}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j} \right)$}
\newcommand{\Oijk}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j ,\vec k} \right)$}
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\newcommand{\fvalid}{\raisebox{1ex}{\rotatebox{180}{$\Rsh$}}} % flèche entrée pour prg casio
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\newcommand{\QCM}[3]{ $\bullet$ \quad #1 \hfill 
$\bullet$ \quad #2 \hfill 
$\bullet$ \quad #3 }

\newcommand{\QCMc}[4]{   #1 \\ 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #2 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #3 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #4 }} % QCM avec cases à cocher%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\ 29 septembre 2015}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{contrôle \no 1}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} STI2D\\Durée 1 heure}}}%droit
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}


\newcounter{nexo}           % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0}        % initialisation du numero

\newcommand{\exo}{
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE \; \arabic{nexo}}}}}}}}
  
  

\hypersetup{
pdftitle={Contrôle \no 1.}, 
pdfauthor={Arié Yallouz},   
pdfsubject={Suite géométrique Étude d'une fonction}, 
pdfkeywords={Suite géométrique, algorithme,fonction, dérivée, variation, tangente, exercices, contrôles.},
pdfcontacturl={http//yallouz.arie.free.fr/},
pdflang={fr},
baseurl={http://yallouz.arie.free.fr/tsti2d_controles/index_controles_tsti2d.php}
}
\begin{document}

\exo 

\medskip

Le glacier d'Aletsch, situé dans le sud de la Suisse, est le plus grand glacier des Alpes.
 
En 2010, sa longueur était de 22,7 kilomètres pour une superficie de $128\mathrm{km}^2$. 

\medskip

Depuis 1980, un réchauffement climatique significatif a conduit à un recul des glaciers de plus en plus rapide.

\medskip

On émet l'hypothèse que la longueur du glacier d'Aletsch diminue de 2 \% tous les 10 ans à partir de 2010.

On note $u_n$ la longueur en kilomètres du glacier d'Aletsch $n$ dizaines d'années après 2010. Ainsi, $u_0=22,7$.

\medskip


\begin{enumerate}
\item Donner une estimation de la longueur du glacier en 2020.
\item \begin{enumerate}
\item Justifier que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0,98u_{n}$.
\item Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ?
\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$. 

\end{enumerate}

\item Selon ce modèle, le glacier d'Aletsch aura-t-il perdu au moins quatre kilomètres en un siècle ?
\item On souhaite écrire un algorithme qui permette d'afficher dans combien d'années le glacier d'Aletsch aura  perdu au moins la moitié de sa longueur.
	
Parmi les trois algorithmes suivants, déterminer celui qui convient pour répondre au problème posé et expliquer pourquoi les deux autres ne conviennent pas.
	
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|c|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}
\multicolumn{1}{|c|}{\textsf{Algorithme 1}}&&\multicolumn{1}{c|}{\textsf{Algorithme 2}}\\[.5em]
Affecter à $n$ la valeur 0&&Affecter à $n$ la valeur 0\\
Affecter à $U$ la valeur 22,7&&Affecter à $U$ la valeur 22,7\\
Tant que $U \geqslant  11,35$
\begin{itemize}
\item[] Affecter à $U$ la valeur $22,7 \times  0,98^n$
\item[] Affecter à $n$ la valeur $n + 1$
\end{itemize}
Fin Tant que &&Tant que  $U \geqslant  11,35$
\begin{itemize}
\item [] Affecter à $U$ la valeur $0,98 \times U$
\item[] Affecter à $n$ la valeur $n + 1$
\end{itemize}Fin Tant que\\
Afficher  $10\times n$&&Afficher  $10\times n$\\ \cline{1-1}\cline{3-3}
\end{tabularx}

\begin{center}
\begin{tabularx}{.5\linewidth}{|X|}\hline
\multicolumn{1}{|c|}{\textsf{Algorithme 3}}\\[.5em]
Affecter à $n$ la valeur 0\\
Affecter à $U$ la valeur 22,7\\
Tant que $U \leqslant  11,35$
\begin{itemize}
\item[] Affecter à $U$ la valeur $0,98 \times U$
\item[] Affecter à $n$ la valeur $n +10$
\end{itemize}
Fin Tant que \\
Afficher $n$ \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\end{enumerate}
 

\pagebreak
 
 \exo  
 
 
 \medskip
 
 \textsf{\textsc{\textbf{partie a}}}

\medskip
  
 Sur le graphique ci-dessous, on a tracé la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $]0 ; + \infty[$.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-8)(22,6)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{(x^2+6*x-9)/(x^2)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-8)(22,6)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1,-4)(11,3)
\uput[dl](11,0){$x$} \uput[dl](0,3){$y$}
\uput[dl](0,0){0}
\uput[ul](1.5,1){\bleu{\footnotesize{$A$}}}\uput[u](3,2){\bleu{\footnotesize{$B$}}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{.869694}{11}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-1,1)(11,1)
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=prune]{<->}(.9,-.6)(2.1,2.6)
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=prune]{<->}(2,2)(4,2)
\psdots[linewidth=1pt, linecolor=bleu,dotscale=.8](1.5,1)(3,2)
\uput[l](11,1.8){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}\uput[ul](5.5,1){\prune{$\Delta$}}
\end{pspicture}
\end{center}

On précise que :
\begin{itemize}
\item La droite $\Delta$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}_f$.
\item La tangente à la courbe au point $B$ est parallèle à l'axe des abscisses. 
\end{itemize}
 On note $f'$  la dérivée de la fonction $f$. À partir du graphique et des renseignements fournis :
\begin{enumerate}
\item Déterminer  $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
\item Déterminer $f'(3)$.
\end{enumerate}
\medskip
 
 \textsf{\textsc{\textbf{partie b}}}

\medskip
 
 La fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ strictement positif, par $f(x) =\dfrac{x^2+6x-9}{x^2}$.

 \begin{enumerate}
 \item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)$. La courbe $\mathcal{C}_f$ admet-elle une deuxième asymptote ? 

 \item 
 \begin{enumerate}
 \item Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0 ; + \infty[$, $f'(x)=\dfrac{18-6x}{x^3}$.
\item \'Etudier le signe de $f'(x)$.
\item Donner le tableau complet des variations de la fonction $f$.
\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$ d'abscisse 1,5.
 \end{enumerate}
\end{document}

