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%
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% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\ 9 octobre 2015}}} %gauche
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\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}

\begin{document}

\exo

\medskip

Dans chacun des cas suivants, déterminer les fonctions primitives  $F$ de la fonction $f$.

\begin{enumerate}
	\item $f$ est définie sur $\R$ par  $f(x)=x^3 +3x^2- \dfrac{1}{2}$.
	\item $f$ est définie sur $\left]0; +\infty\right[$ par  $f(x)=\dfrac{3}{x^2}+ \dfrac{x}{3}$.
	\item $f$  est définie sur $]0;+\infty[$   par $f(x)=3x-\dfrac{2}{x^3}$.
	\item $f$  est définie sur $\R$   par $f(t)=-2\cos\left(4t-\dfrac{\pi}{3}\right)$.
	\item $f$  est définie sur $\R$   par  $f(t)=6\sin\left(3t+\dfrac{\pi}{6}\right)$.
\end{enumerate}

 \medskip 
 
 \exo
 
 \medskip 
 
\begin{enumerate}
	\item Calculer la primitive $F$ de la fonction $f$ définie sur $\R$   par $f(x)=\dfrac{1-2x}{\left( x^2-x+1 \right)^2 }$ telle que $F(0)=0$.	
	\item \begin{enumerate}
	\item Calculer la dérivée de la fonction $u$ définie pour tout réel $t$ par $u(t)= 1+\cos^2(t)$.
	\item Calculer la primitive $F$ de la fonction $f$ définie sur $\R$   par $f(t)=-2\sin(t)\cos(t)\left( 1+\cos^2(t) \right)$ qui vérifie \mbox{$F(0)=0$}.
	\end{enumerate}	
	\end{enumerate}
	

 \medskip 
 
 \exo
 
 \medskip 
 
La courbe $\mathcal{C}_{f}$  tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthogonal est la courbe représentative d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$.

La tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse 0 passe par le point de coordonnées $\left(\dfrac{3}{4};-\dfrac{4}{3} \right)$.


\medskip
 
\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-10,-4)(10,4)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.85 .85 .9}
\def\f{-16*x/(x^2+3)^2}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-10,-4)(10,4)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-5,-2)(5,2)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}} \uput[dl](5,0){$x$} \uput[dl](0,2){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=600,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-5}{5}{\f}
\uput[ur](-5,0.25){\bleu{$\mathcal{C}_{f}$}}
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=prune](-.9,1.6)(.9,-1.6)
\uput[dl](-.9,1.6){\prune{\footnotesize{$T$}}}
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la dérivée de la fonction fonction $f$. Déterminer $f'(0)$.
	\item Soit $F$ la primitive de la fonction fonction $f$  telle que $F(1)= 1$. 
	\begin{enumerate}
			\item Donner le tableau de variations de la fonction $F$. 
	\item On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $F$.
	
	Donner une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1.
\end{enumerate}  
	\end{enumerate}	

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip
Soit $F$ et $G$ les fonctions définies sur $\R$  par : $F(x)=\dfrac{5-x^2}{x^2+3}$ et $G(x)=\dfrac{8}{x^2+3}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $F$ et $G$ sont deux primitives sur $\R$ d'une même fonction $f$.
	\item Calculer $f(x)$.
\end{enumerate} 

\end{document}

