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%
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\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
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$\bullet$ \quad #2 \hfill 
$\bullet$ \quad #3 }

\newcommand{\QCMc}[4]{   #1 \\ 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #2 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #3 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #4 }} % QCM avec cases à cocher%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\ 6 novembre 2015}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{contrôle \no 3}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} STI2D\\Durée 2 heures}}}%droit
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}


\newcounter{nexo}           % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0}        % initialisation du numero

\newcommand{\exo}{
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE \; \arabic{nexo}}}}}}}}
  
  

\hypersetup{
pdftitle={Contrôle \no 3.}, 
pdfauthor={Arié Yallouz},   
pdfsubject={Fonction logarithme}, 
pdfkeywords={Suite géométrique, équation, inéquation, primitive d'une fonction fonction, dérivée, variation, tangente, exercices, contrôles.},
pdfcontacturl={http//yallouz.arie.free.fr/},
pdflang={fr},
baseurl={http://yallouz.arie.free.fr/tsti2d_controles/index_controles_tsti2d.php}
}
\begin{document}

\exo \hfill  ( 4 \emph{points} ) 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite géométrique définie pour tout entier $n$ par $u_n=5 \times 0,96^n$.

Donner le premier terme $u_{0}$ et la raison de la suite $\left(u_{n}\right)$.
\item $\left(v_{n}\right)$ est la suite géométrique de premier terme $v_{0} = 0,15$ et de raison 1,2. 

Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.
\item Déterminer le plus petit entier $n$ vérifiant $u_{n} \leqslant v_{n}$.

\end{enumerate}

\bigskip
 
\exo \hfill  ( 3 \emph{points} ) 

\medskip

La courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $[0 ; + \infty[$ est tracée ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-3)(9,7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(x-6)*x^2/18}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-3)(9,7)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1,-3)(9,7)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](9,0){$x$}\uput[dl](0,7){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{0}{7.97908}{\f}
%\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](4.5,-3)(7.5,3)
\uput[dl](9,7){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}
%\uput[dl](8,3){\prune{$T$}}
\end{pspicture}

\medskip

\textsf{\textbf{\small{graphique 1}}}

\end{center}

On note $f'$  la dérivée de la fonction $f$ et $F$ la primitive de la fonction $f$ telle que $F(0)=0$.

\begin{enumerate}
\item  Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f'$ et l'autre celle de $F$.

Déterminer la courbe qui représente la dérivée $f'$ et celle qui représente la fonction $F$.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering\arraybackslash}X}}
\psset{unit=.5cm} 
\begin{pspicture}(-.5,-7)(9,3)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{(x-8)*x^3/72}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(0,-7)(9,3)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-7)(9,3)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}\uput[dl](9,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,3){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.5pt, linecolor=prune]{0}{8.36856}{\f}
\end{pspicture}
&\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-.5,-3)(9,7)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{x*(x-6)*(3*x^2+2*x+48)/416}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(0,-3)(9,7)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-3)(9,7)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}\uput[dl](9,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,7){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.5pt, linecolor=prune]{0}{7.61317}{\f}
\end{pspicture}
&\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-.5,-2)(9,8)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{(x-4)*x/6}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(0,-2)(9,8)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-2)(9,8)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}\uput[dl](9,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,8){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.5pt, linecolor=prune]{0}{9}{\f}
\end{pspicture}\\
Courbe $C_1$ & Courbe $C_2$ & Courbe $C_3$\\ 
\end{tabularx}

\medskip

\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe  $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 6.

Tracer la droite $T$ sur le graphique 1.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo \hfill  ( 4 \emph{points} ) 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'intervalle $]0 ; +\infty[$ l'équation : $2\ln(x)=\ln(4x+5)$
\item Résoudre dans l'intervalle $]1 ; +\infty[$ l'inéquation : $\ln(2x+1)+\ln(x-1)-\ln(2)\geqslant 0$
\end{enumerate}

\bigskip


\exo \hfill  ( 3 \emph{points} ) 

\medskip

Dans chacun des cas suivants, calculer la primitive $F$ de la fonction $f$ qui vérifie la condition donnée.

\begin{enumerate}
	\item $f$  est définie sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x)=x-\dfrac{1}{x^2}+1$\:  et\: $F\left(1\right)=2$.
	\item $f$  est définie sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x)=x^2+\dfrac{1}{x}-2$\:  et\: $F\left(1\right)=-1$.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo \hfill  ( 6 \emph{points} ) 

\medskip

\textsf {\small{\textbf{\textsc{partie a}}}}

\medskip
Soit $f$  la fonction définie et dérivable sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ dont le tableau de variations, incomplet est le suivant : 
\begin{center}
\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(14,2.8)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(14,2.8) 
\psline(3.2,0)(3.2,2.8) 
\psline(0,2)(14,2)
\psline(3.4,0)(3.4,2) \psline(3.6,0)(3.6,2)
\rput(1.6,2.4){$x$}\rput(3.5,2.4){$0$} \rput(8.5,2.4){$\cdots$} \rput(13.5,2.4){$+\infty$}
\rput(1.6,1){variations de $f$} \rput(4,1.7){\rnode{A}{$+\infty$}} \rput(8.5,.3){\rnode{B}{$\cdots$}} \rput(13.5,1.7){\rnode{C}{$+\infty$}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C} 
\end{pspicture}
\end{center}		

Quelle est la limite de la fonction $f$ en $0$ ? Interpréter graphiquement ce résultat.

\medskip

\textsf {\small{\textbf{\textsc{partie b}}}}

\medskip
La fonction $f$ est définie sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ par $f(x)=x^2-3x-2\ln x$
\begin{enumerate}
	\item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

	Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0;+ \infty[$ on a $f'(x) = \dfrac{2x^2-3x-2}{x}$.
	\item \begin{enumerate}
	\item \'Etudier le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs du réel $x$.
	\item Donner le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$.
	\end{enumerate}
	\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d'abscisse 1.
\end{enumerate}

\end{document}

