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%
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\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
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$\bullet$ \quad #2 \hfill 
$\bullet$ \quad #3 }

\newcommand{\QCMc}[4]{   #1 \\ 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #2 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #3 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #4 }} % QCM avec cases à cocher%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\ 8 janvier 2015}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{contrôle \no 5}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} STI2D\\Durée 2 heures}}}%droit
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}


\newcounter{nexo}           % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0}        % initialisation du numero

\newcommand{\exo}{
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE \; \arabic{nexo}}}}}}}}
  
  

\hypersetup{
pdftitle={Contrôle \no 5.}, 
pdfauthor={Arié Yallouz},   
pdfsubject={Contrôle \no 5 : Intégrale et aire ; Primitive ; Fonction exponentielle.}, 
pdfkeywords={Primitive, Fonction exponentielle, dérivée, variation, tangente, exercices, contrôles.},
pdfcontacturl={http//yallouz.arie.free.fr/},
pdflang={fr},
baseurl={http://yallouz.arie.free.fr/tsti2d_controles/index_controles_tsti2d.php}
}
\begin{document}

\exo 

 \medskip 


La courbe $\mathcal{C}_f$ tracée ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$. 

La tangente $T$  à la courbe  $\mathcal{C}_f$ au point $C(6 ; 0)$ passe par le point de coordonnées $(5 ; 2)$
	
	\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,-3.5)(8,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{2*(6-x)*(x^2+3*x+9)/63}
\def\g{12-2*x}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{0}{6}{\f} \gsave
\psline(0,0)
\fill[fillstyle=hlines,hatchcolor=bleu,hatchwidth=.25pt] \grestore }
\psset{unit=.5cm}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-8,-7)(16,8)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-4,-3.5)(8,4)
\uput[dl](8,0){$x$} \uput[dl](0,4){$y$}
\uput[dl](0,0){0}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3.93552}{7.30749}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt, linecolor=prune]{4.5}{7.5}{\g}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-1.8,1.55556)(-0.2,1.55556)\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](2.2,2.57143)(3.8,2.57143)
\uput[d](-1,1.5){\bleu{$A$}}\uput[u](3,2.5){\bleu{$B$}}\uput[ur](6,0){\bleu{$C$}}
\psdots[linecolor=bleu,dotscale=.8](-1,1.55556)(3,2.57143)(6,0)
\uput[dr](-3.5,4){\small{\bleu{$C_{f}$}}}
\uput[ur](7.5,-3){\small{\prune{$T$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

On note $f'$ la dérivée de la fonction fonction $f$ et $F$ une primitive de la fonction fonction $f$.

À partir du graphique et des renseignements fournis, répondre aux questions suivantes :
	\begin{enumerate}
	\item Déterminer $f'(-1)$ et $f'(6)$.
		\item Donner le tableau de variations de la fonction $F$. 
		\item Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la dérivée $f'$ et une autre de la primitive $F$. 
		
		Déterminer la courbe associée à la fonction $f'$ et celle qui est associée à  la fonction $F$. 
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}>{\centering\arraybackslash}X>{\centering}m{5cm}>{\centering\arraybackslash}X}
\psset{xunit=.45cm,yunit=.36cm}
\begin{pspicture}(-2,-6)(10,10)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-6)(10,10)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-2,-6)(10,10)
\uput[dl](10,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,10){\footnotesize{$y$}}
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\def\f{5*x^2/8-23*x/4+8}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-.335585}{9.53559}{\f}
\end{pspicture}&
\psset{xunit=.45cm,yunit=.48cm}
\begin{pspicture}(-4,-8)(6,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-4,-8)(6,4)
\psset{xunit=.45cm,yunit=1.92cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2]{->}(0,0)(-4,-2)(6,1)
\uput[dl](6,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,1){\footnotesize{$y$}}
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\def\f{2*(3-x)*(x+1)/21}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-4}{6}{\f}
\end{pspicture}&
\psset{xunit=.45cm,yunit=.36cm}
\begin{pspicture}(-2,-6)(10,10)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-6)(10,10)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-2,-6)(10,10)
\uput[dl](10,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,10){\footnotesize{$y$}}
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\def\f{(4*x^3+18*x^2+216*x-x^4-504)/126}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-1.24935}{9.0064}{\f}
\end{pspicture}\\
Courbe $C_1$ & Courbe $C_2$ & Courbe $C_3$\\ 
\end{tabularx}

\medskip

\item Donner une valeur approchée (en unité d'aire) de l'aire du domaine hachuré.
\end{enumerate}	

\pagebreak

\exo

\medskip

Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$  par $f(x) = \left( 2x+3 \right) \e^{-x}$.

La représentation graphique $\mathcal{C}_{f}$ de la fonction $f$ dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous. 

(\emph{Unités graphiques : $2\mathrm{cm}$ sur l'axe des abscisses et $1\mathrm{cm}$ sur l'axe des ordonnées.})
 
 \medskip
 
\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-8,-8)(20,10)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{(2*x+3)*EXP(-x)}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-8,-8)(20,10)
\psset{xunit=2cm,yunit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-2,-4)(5,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}} \uput[dl](5,0){$x$} \uput[dl](0,5){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=600,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1.82306}{5}{\f}
\uput[ul](5,0){\bleu{$\mathcal{C}_{f}$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)$.
\item En écrivant que pour tout réel $x$, $f(x) = \dfrac{2x}{\e^{x}}+\dfrac{3}{\e^{x}}$, déterminer  $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$.

Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}_{f}$ ?
\end{enumerate}
\item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $x$, $f'(x) =  \left(-2x-1 \right) \e^{-x}$.
\item Étudier les variations de la fonction $f$.
\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse 0.

Tracer la droite $T$ sur le graphique précédent.
 \item On cherche une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $\R$ de la forme $F(x) = (ax+b)\e^{-x}$ avec $a$ et $b$ deux nombres réels.
 \begin{enumerate}
 \item Montrer que $a$ et $b$ sont solutions du système d'équations suivant : $\left\{\begin{array}{r c l}
- a&=&2\\
a -b&=&3\\
\end{array}\right.$ 	
 \item Calculer $a$ et $b$ et donner l'expression de $F(x)$.
 
 \end{enumerate}
 \item Calculer la valeur exacte de l'aire, en unités d'aire, de la partie du plan comprise entre la courbe $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=-1$ et $x=2$.
 
 En déduire la valeur arrondie à $0,01 \mathrm{cm}^2$ près, de cette aire. 
\end{enumerate}

\end{document}

