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%
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  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\ 2 février 2016}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{contrôle \no 6}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} STI2D}}}%droit
%pied de page                                              
%\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}


\begin{document}



\exo

\medskip

Donner la forme exponentielle des nombres complexes suivants :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}} 
1.\quad  $z_1 = - 1 + \mathrm{i}\sqrt{3}$. & 2.\quad $z_2 = \sqrt{3} - \mathrm{i}$. & 3.\quad $z_3 = - \sqrt{2}\e^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$. & 4.\quad $z_4=\dfrac{\sqrt{6} - \mathrm{i}\sqrt{6}}{\sqrt{2} + \mathrm{i}\sqrt{2}}$.\\
\end{tabularx}

\bigskip

\exo 

\medskip

On considère les nombres complexes $z_{1} = 1 - \mathrm{i}$ et $z_{2} =\sqrt{2} \e^{- \text{i}\frac{2\pi}{3}}$.

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Déterminer la forme exponentielle de $z_{1}$. 
\item Déterminer l'écriture algébrique de $z_{2}$. 
\end{enumerate}
\item Soit $Z=\dfrac{z_{1}}{z_{2}}$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'écriture algébrique de $Z$.
\item Déterminer la forme exponentielle  de $Z$. 
\item En déduire la valeur exacte de  $\cos \left(\dfrac{5\pi}{12}\right)$  puis celle de $\cos \left(-\dfrac{\pi}{12}\right)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

\medskip

La courbe $\mathcal{C}_f$ tracée ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$. 


\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=2cm}
\begin{pspicture}(-5,-1.5)(5,1.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.85 .85 .9}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{2*x/(x^2+1)}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{1}{3}{\f} \gsave
\psline(3,0)(1,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=grisb,addfillstyle=vlines,hatchcolor=bleu,hatchwidth=0.5pt] \grestore }
\psset{unit=.5cm}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-10,-6)(10,6)
\psset{xunit=1cm,yunit=2cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-5,-1.5)(5,1.5)
\uput[dl](5,0){$x$} \uput[dl](0,1.5){$y$}
\uput[dl](0,0){0}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-5}{5}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](.6,1)(1.4,1)\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-1.4,-1)(-.6,-1)
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=prune](-.7,-1.4)(.7,1.4)
\psdots[linecolor=bleu,dotscale=.8](-1,-1)(0,0)(0.5,1)(1,1)
\uput[l](5,.6){\small{\bleu{$\mathcal{C}_f$}}}
\uput[dl](.6,1.5){\small{\prune{$T$}}}
\end{pspicture}
\end{center}
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a :}}}

\medskip

	\begin{enumerate}
	\item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$. Par lecture graphique, déterminer $f'(-1)$ et $f'(0)$.
		\item Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f'$ et une autre celle d'une primitive $F_1$ de la fonction $f$. 
		
		Déterminer la courbe associée à la fonction $f'$ et celle qui est associée à  la fonction $F_1$. Justifier la réponse. 

\begin{center}
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-6,-3)(6,5)
\newrgbcolor{violet}{.49 0.15 .85}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-2)(6,5)
\psset{unit=.8cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-1)(3,2.5)
\uput[dl](3,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,2.5){\footnotesize{$y$}}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\def\g{(2-2*x^2)/(x^2+1)^2}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1pt, linecolor=violet]{-3}{3}{\g}
\rput(0,-1.5){\footnotesize{Courbe $C_1$ }}
\end{pspicture}\hfill
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-6,-3)(6,5)
\newrgbcolor{violet}{.49 0.15 .85}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-2)(6,5)
\psset{unit=.8cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-1)(3,2.5)
\uput[dl](3,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,2.5){\footnotesize{$y$}}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\def\g{1-((2*sqrt(2)+5)*x^2-2)/(x^2+sqrt(2))^2}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1pt, linecolor=violet]{-3}{3}{\g}
\rput(0,-1.5){\footnotesize{Courbe $C_2$ }}
\end{pspicture}
\hfill
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-6,-3)(6,5)
\newrgbcolor{violet}{.49 0.15 .85}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-2)(6,5)
\psset{unit=.8cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-1)(3,2.5)
\uput[dl](3,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,2.5){\footnotesize{$y$}}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\def\g{ln((x^2+1)/2)}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1pt, linecolor=violet]{-3}{3}{\g}
\rput(0,-1.5){\footnotesize{Courbe $C_3$ }}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b :}}}

\medskip

La fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ par $f(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}$.

\begin{enumerate}
\item Soit $F$ la primitive de $f$ sur $\R$ qui vérifie $F(0) = 0$. Exprimer $F(x)$ en fonction de $x$.
\item Calculer l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=1$  et  $x = 3$. 
\end{enumerate}	


\end{document}

