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%
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\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
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$\bullet$ \quad #2 \hfill 
$\bullet$ \quad #3 }

\newcommand{\QCMc}[4]{   #1 \\ 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #2 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #3 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #4 }} % QCM avec cases à cocher%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\ 19 février 2016}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{contrôle \no 7}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} STI2D\\Durée 2 heures}}}%droit
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}


\newcounter{nexo}           % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0}        % initialisation du numero

\newcommand{\exo}{
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE \; \arabic{nexo}}}}}}}}
  
  

\hypersetup{
pdftitle={Contrôle \no 7.}, 
pdfauthor={Arié Yallouz},   
pdfsubject={Nombres complexes ; Fonction exponentielle.}, 
pdfkeywords={Nombres complexes ; Fonction exponentielle, dérivée, variation, tangente, calcul intégral.},
pdfcontacturl={http//yallouz.arie.free.fr/},
pdflang={fr},
baseurl={http://yallouz.arie.free.fr/tsti2d_controles/index_controles_tsti2d.php}
}
\begin{document}

\exo 

 \medskip 

Le plan est rapporté à un repère orthonormal $\left( {{\mathrm{O}};\vec u,\vec v} \right)$.

On considère les nombre complexes $z_{0}=\sqrt{3}+\mathrm{i}$, $z_{1}=\overline{z_0}$ et $z_{2}=-\sqrt{3}+\mathrm{i}$. 


\begin{enumerate}
\item Écrire le nombres $z_{0}$, $z_{1}$ et $z_{2}$ sous forme trigonométrique et exponentielle.
\item Soit $z$ le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{3}$. Donner l'écriture algébrique de $z$.
\item Calculer  $z_{3}=z\times z_{2}+z_{1}$.
\item Placer les points $A$, $B$, $C$ et $D$ d'affixes respectives $z_{0}$, $z_{1}$ , $z_{2}$ et $z_{3}$ dans le repère donné ci-dessous. 
\item Quelle est la nature du triangle $ABD$ ?
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1.6cm}
\begin{pspicture}(-3.5,-3.25)(3.5,3.25)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3.5,-3.5)(3.5,3.5)
\psset{linewidth=.5pt,linecolor=bleu,linestyle=dashed}
\multido{\r=.5+.5}{6}{%
\pscircle(0,0){\r} 
}
\multido{\n=30+15}{3}{%
\rput{\n}(0,0){\psline(-3.5,0)(3.5,0)}
}
\multido{\n=120+15}{3}{%
\rput{\n}(0,0){\psline(-3.5,0)(3.5,0)}
}
\end{pspicture}
\end{center}


 \bigskip 

\exo   

\medskip

Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. 

\emph{Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  L'équation $(2- x)\e ^{1-x^2} = 0$ admet sur $\R$ :

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{}X}} 
\item aucune solution &\item une seule solution \\ \item deux solutions & \item trois solutions
\end{tabularx}
	\end{enumerate}

\medskip

\item Sur $\R$, l'équation $\ln (x) +1 = 0$ :

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{}X}} 
\item n'a pas de solution &\item a pour solution $x=-1$ \\ \item a pour solution $x=-\e$ & \item  a pour solution $x =\dfrac{1}{\e}$
\end{tabularx}
	\end{enumerate}

\medskip
	
\item La courbe $(\Gamma)$ ci-dessous, est la courbe représentative de la dérivée $f'$ d'une fonction $f$ définie sur $\R$.

\begin{center}
\psset{unit=.4cm} 
\begin{pspicture}(-13,-6)(10,8)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{5*(x+5)*(x-3)*(x^2+2*x+9)/288}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-13,-6)(10,8)
\psset{unit=.8cm} 
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-6.5,-3)(5,4)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}\uput[dl](5,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,4){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-5.83212}{3.83212}{\f}
\psline [linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(-1.8,-2.222)(-.2,-2.2222)
\psline [linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(-3.8,-2.5)(-2.2,-2.5)
\psline [linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(0.2,-2.5)(1.8,-2.5)
\uput[d](4.5,4){\bleu{$(\Gamma)$}}
\end{pspicture}
\end{center}

 La fonction $f$  est :

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{}X}} 
\item décroissante sur $[- 5 ; 3]$ & \item croissante sur $[- 5 ; 3]$ \\ \item décroissante sur $]-\infty ; -3]$ & \item croissante sur $[1 ; +\infty[$
\end{tabularx}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

\medskip

Soit $f$  la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)=(10-x)\e^{0,4x-2}$. 

Sa courbe représentative, notée $\mathcal{C}_f$, est tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthonormé.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm} 
\begin{pspicture}(-10,-4)(22,16)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{(10-x)*EXP(.4*x-2)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-10,-4)(22,16)
\psset{unit=1cm} 
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-5,-2)(11,8)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}\uput[dl](11,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,8){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-5}{10.2454}{\f}
\uput[ur](10.4,-2){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $x$, on a $f'(x)=\left(3-0,4x\right)\e^{0,4x-2}$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.
\item Donner le tableau de variation de la fonction $f$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 5.
\item Tracer la tangente $T$ dans le repère précédent. 

En déduire par lecture  graphique, l'ensemble des solutions de l'inéquation $f(x) \geqslant x$.
\end{enumerate}
\item On admet que la fonction $F$ définie pour tout réel $x$ par $F(x)=\left(31,25-2,5x\right)\e^{0,4x-2}$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\R$.
\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur exacte de $A=\displaystyle\int_{0}^{5}\left(f(x)-x\right)\dd x$.
\item Donner une interprétation graphique du nombre $A$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}

