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\usepackage{mathtools} %pour l'alignement des termes d'une matrice
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% Mise en forme des algorithmes
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  \SetKwIF {Si}{SinonSi}{Sinon}{si}{alors}{sinon\_si}{alors}{fin~si}
 \SetKwFor{Tq}{tant\_que~}{~faire~}{fin~tant\_que}
 \SetKwFor{PourCh}{pour\_chaque }{ faire }{fin pour\_chaque}
 \SetKwInput{Sortie}{Sortie}
\newcommand{\Algocmd}[1]{\textsf{\textsc{\textbf{#1}}}}\SetKwSty{Algocmd}
  \newcommand{\AlgCommentaire}[1]{\textsl{\small  #1}}  
%
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\setdefaultenum {1.}{a)}{}{}
\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
\newcommand{\Oij}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j} \right)$}
\newcommand{\Oijk}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j ,\vec k} \right)$}
\newcommand{\euro}{\texteuro{}}
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\newcommand{\fvalid}{\raisebox{1ex}{\rotatebox{180}{$\Rsh$}}} % flèche entrée pour prg casio
\DecimalMathComma


\newcommand{\QCM}[3]{ $\bullet$ \quad #1 \hfill 
$\bullet$ \quad #2 \hfill 
$\bullet$ \quad #3 }

\newcommand{\QCMc}[4]{   #1 \\ 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #2 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #3 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #4 }} % QCM avec cases à cocher%

\newcounter{nexo}           % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0}        % initialisation du numero

\newcommand{\exo}{
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE \; \arabic{nexo}}}}}}}}
  
% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\Mars 2016}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{entraînement au baccalauréat}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} STI2D \\Durée 4 heures}}}%droit

%pied de page
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}} 
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}} 
\hypersetup{
pdftitle={Baccalauréat blanc 2016.}, 
pdfauthor={A.Yallouz},   
pdfsubject={Bac blanc Terminale STI2D.}, 
pdfkeywords= {Trigonométrie. Suite géométrique. Nombres complexes. Loi exponentielle, loi normale. Étude d'une fonction logarithme, dérivée, intégrale, exercices, sujets.},
pdfcontacturl={http//yallouz.arie.free.fr/},
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baseurl={http://yallouz.arie.free.fr/tsti2d_controles/index_controles_tsti2d.php}
}


\begin{document}


\exo \hfill  ( 3 \textit{points} ) 

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. 

Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

\medskip

\emph{Une bonne réponse rapporte  0,5 point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.}

\medskip

\begin{enumerate}

\item  Pour tous nombres réels $a$ et $b$, $\cos \left( a-b \right)=\cdots$

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{}X}} 
\item $\cos a \sin b + \sin a \cos b$ &\item $\cos a \sin b - \sin a \cos b$ \\ \item  $\cos a \cos b + \sin a \sin b$ & \item  $\cos a \cos b - \sin a \sin b$
\end{tabularx}
	\end{enumerate}

	
	\item  Pour tout nombre réel $a$, $\cos \left( 2a \right)=\cdots$

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}} 
\item $\cos^2 a - \sin^2 a $ &\item $1- \sin^2 a$ & \item  $\cos^2 a + \sin^2 a $ & \item  $\cos^2 a - 1$
\end{tabularx}
	\end{enumerate}	
	
	\item  Pour tout nombre réel $a$, $\sin^2 a=\cdots$

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}} 
\item $\dfrac{1- \cos 2a}{2}$ &\item $\dfrac{1+ \cos 2a}{2}$ & \item  $\dfrac{1- \sin 2a}{2}$ & \item  $\dfrac{1+ \sin 2a}{2}$
\end{tabularx}
	\end{enumerate}	

\item  La tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\sin\left( x -\dfrac{\pi}{2}\right)+\sin\left( 2x\right)$ au point d'abscisse 0 a pour équation :

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}} 
\item $y=2x+1$ &\item $y=2x-1$ & \item $y=-2x+1$ &\item $y=-2x-1$
\end{tabularx}
	\end{enumerate}
	
	\item  La dérivée de la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)=\cos\left( 2x -\dfrac{\pi}{3}\right)$ est la fonction $f'$ définie par :

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{}X}} 
\item $f'(x)=2\cos\left( 2x +\dfrac{\pi}{3}\right)$ &\item $f'(x)=2\cos\left( 2x +\dfrac{\pi}{6}\right)$ \\ \item  $f'(x)=2\sin\left( 2x +\dfrac{\pi}{3}\right)$ & \item  $f'(x)=2\sin\left( 2x +\dfrac{\pi}{6}\right)$
\end{tabularx}
	\end{enumerate}
	
	\item  On pose $I=\displaystyle\int_{-\pi}^{2\pi}\sin\left(0,5x \right)\dd x$

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{}X}} 
 \item $I=-2$ &\item $I=\dfrac{1}{2}$ & \item  $I=\dfrac{3\pi}{2}$ & \item  $I=2$
\end{tabularx}
	\end{enumerate}

		\end{enumerate}
	

\pagebreak


\exo  \hfill  ( 4 \textit{points} )
 
\medskip

Un véhicule hybride est équipé d'une batterie Li-ion dont la capacité d'énergie massique est de 180 Wh/kg.

La vie de cette batterie a été reconstituée en laboratoire en simulant des cycles de charge et de décharge pour déterminer sa durée de vie en fonction de différents facteurs et partant du principe que la batterie est jugée \og inutilisable \fg{} dès lors qu'elle perd plus de 20 \% de sa capacité d'énergie massique.

Les résultats obtenus ont permis d'établir que la capacité d'énergie massique de la batterie diminue de 1,4 \% par an.

Pour tout entier naturel $n$, on note $C_n$ la capacité d'énergie massique en Wh/kg de la batterie au bout de $n$ années. 

On a donc $C_0=180$.

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Calculer $C_1$. Interpréter le résultat.
\item Exprimer $C_{n+1}$ en fonction de $C_n$.
\item Justifier que $C_n = 180 \times 0,986^n$.
\end{enumerate}
\item On cherche à déterminer à l'aide d'un algorithme au bout de combien d'années, cette batterie devient \og inutilisable \fg{}.

On propose l'algorithme suivant :
\begin{center}	
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline	
\textsf{\textsc{variables}}\\
\hspace{0.4cm}$N$ : nombre entier naturel\\
\hspace{0.4cm}$C$ : nombre réel\\
\textsf{\textsc{initialisation}}\\
\hspace{0.4cm} $N$ prend la valeur 0\\
\hspace{0.4cm} $C$ prend la valeur 180\\
\textsf{\textsc{traitement}}\\
\hspace{0.4cm}Tant que \ldots\\
\hspace{0.8cm}$N$ prend la valeur \ldots\\
\hspace{0.8cm}$C$ prend la valeur \ldots\\
\hspace{0.4cm}Fin Tant que\\
\textsf{\textsc{sortie}}\\
\hspace{0.4cm}Afficher $n$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Recopier et compléter la partie relative au traitement.
\item \begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation $180 \times 0,986^x \geqslant 144$.
\item En déduire au bout de combien d'années, cette batterie devient \og inutilisable \fg{}.
 \end{enumerate} 

\end{enumerate}

\pagebreak

\exo  \hfill  ( 4 \textit{points} ) 

\medskip



On donne le nombre complexe $\mathrm{j} = - \dfrac{1}{2} + \mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.


\begin{enumerate}
\item Déterminer le module et un argument du nombre complexe $\mathrm{j}$, puis donner sa forme exponentielle.
\item Démontrer les égalités suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item $\mathrm{j}^3 = 1$ ;
		\item $\mathrm{j}+\mathrm{j}^2 +\mathrm{j}^3=0$.
	\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
		\item Placer les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives  $\mathrm{j}$ , $\mathrm{j}^2$ et $\mathrm{j}^3$ dans le plan muni d'un repère orthonormal $\left( {{\mathrm{O}};\vec u,\vec v} \right)$.
	\item Quelle est la nature du triangle $ABC$ ? Justifier la réponse.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}	
	
	\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-6,-6)(6,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-6)(6,6)
\psset{unit=2cm}
\psaxes[labels=none,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1.5,-1.5)(1.5,1.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,linecolor=prune]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}\uput[d](.5,0){\prune{$\vec{u}$}}\uput[l](0,.5){\prune{$\vec{v}$}}
\pscircle[linewidth=.5pt,linecolor=bleu,linestyle=dashed](0,0){1} 
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\exo  \hfill  ( 4 \textit{points} )

\medskip


\begin{center}
\emph{Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à $10^{-3}$ près}
\end{center}

Un produit est conditionné en paquets dont la masse théorique est de 250 grammes.

\medskip

 \textsf{\textsc{\textbf{partie a}}}

\medskip 


La machine en charge du remplissage automatique des paquets est régulièrement calibrée. 

On considère que la durée $T$ de fonctionnement, exprimée en heures, entre deux calibrages, est une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre \mbox{$\lambda = 0,005$}.

\begin{enumerate}
\item Calculer l'espérance $E(T)$ de la variable aléatoire $T$. Interpréter ce résultat.
\item Déterminer $P( T \geqslant 200)$.
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textsc{\textbf{partie b}}}

\medskip

On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à chaque paquet pris au hasard, associe sa masse exprimée en grammes. On considère que $X$ suit la loi normale de moyenne $\mu = 250$ et d'écart type $\sigma = 2,7$.

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité $P(245 \leqslant X \leqslant 260)$. 
\item Le contrôle de conformité mis en place rejette tout paquet dont la masse est inférieure à 245 grammes.
 
Quelle est la probabilité qu'un paquet pris au hasard ne soit pas conforme ?
\end{enumerate}

\pagebreak
	
 \exo  \qquad  ( 5 \textit{points} )

\medskip



Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0 ; +\infty [$ par $f(x)=\dfrac{\ln{x}}{x}+ \dfrac{2}{x}$.

Sa courbe représentative notée $\mathcal{C}_f$ est tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthonormé. ( \emph{Unités graphiques} : 2cm) 

\begin{center}
\psset{unit=.5cm} 
\begin{pspicture}(-1,-6)(30,14)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.35 .35 .55}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{(ln(x)+2)/x}
\def\g{3-x}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-6)(30,14)
\psset{unit=2cm} 
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{1}{2.71828}{\f} \gsave
\psline(2.71828,0)(1,0)(1,2)
\fill[fillstyle=hlines,hatchcolor=grisb,hatchwidth=0.5pt] \grestore }
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.25,-1.5)(7.5,3.5)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}\uput[dl](7.5,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,3.5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{.114}{7.5}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt, linecolor=prune]{0}{2}{\g}
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=grisb](1,0)(1,2)\psline[linewidth=.75pt, linecolor=grisb](2.71828,0)(2.71828,1.103)
\psdot[linecolor=bleu,dotscale=.8](1,2)
\uput[u](1,2){\bleu{$A$}}\uput[ul](7.5,.5){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}\uput[d](2.71828,0){\prune{$\e$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item Calculer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+ \infty$. 
	\item La courbe  $\mathcal{C}_f$ admet-elle des asymptotes ?
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$. 

Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif, on a $f'(x)=\dfrac{-1-\ln{x}}{x^2}$.
\item Donner le tableau de variation de la fonction $f$.
\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$ d'abscisse 1.
\item  Soient $g$ et $G$ les fonctions définies sur $]0 ; +\infty [$ par $g(x) = \dfrac{\ln{x}}{x}$ et $G(x) = \dfrac{{\left(\ln x\right)}^2}{2}$.

Montrer que $G$ est une primitive de la fonction $g$ sur $]0 ; +\infty [$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine plan limité par la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses, et les droites d'équations $x = 1$ et $x = \e$.
		\item  En déduire l'aire en $\mathrm{cm}^2$ du domaine hachuré sur le graphique.
	\end{enumerate}

\end{enumerate}


\end{document}

