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%
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% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\ 22 mai 2016}}} %gauche
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\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}


\begin{document}

\exo

\medskip 

On s'intéresse à la durée d'attente auprès du standard téléphonique d'un service après vente. 

On note $T$ la variable aléatoire qui à un appel pris au hasard associe la durée de l'attente, exprimé en secondes. On admet que $T$, suit la loi uniforme sur l'intervalle $[20;120]$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer la fonction de densité de probabilité  $f$  de la la loi de $T$.
\item Quelle est la probabilité que la durée d'attente auprès du standard téléphonique soit comprise entre vingt  et trente secondes ?
\item Quelle est la probabilité que la durée d'attente auprès du standard téléphonique soit supérieure à plus d'une  minute ? 
\item Préciser la durée moyenne d'attente auprès du standard téléphonique du service après vente.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip

L'iode 131 est un produit radioactif qui se désintègre spontanément.

Le nombre de noyaux d'iode 131 présents dans tout échantillon à la date $t$, exprimée en heures, est modélisé par une fonction $N$ solution de l'équation différentielle : \[(E) \quad N'+3564\times 10^{-6}\times N=0\] 

On dispose d'un échantillon contenant $4\times 10^{12}$ noyaux d'iode 131.

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle $(E)$ et donner sa solution particulière $N(t)$ définie par la condition initiale $N(0) = 4\times 10^{12}$.
\item Calculer, à 0,1 jour près, le nombre de jours $n$ au bout duquel le nombre de noyaux d'iode 131 encore présents dans l'échantillon aura diminué de moitié.
\end{enumerate}
\item La variable aléatoire $X$ égale à la durée de vie en jours d'un atome d'iode 131 avant désintégration suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,0855$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $P\left( X > 14 \right)$.
\item La demi-vie d'une substance radioactive est la durée $t$ nécessaire pour que, statistiquement, la moitié des noyaux radioactifs présents se désintègrent (c'est à dire la durée $t$ telle que $P\left( X < t \right)=0,5$).

Calculer à 0,1 jour près la demi-vie de l'iode 131.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle (E) : $4y'' + y = 0$, où $y$ désigne une fonction de la variable réelle $x$.
\item Le but de cette question est de trouver la solution particulière $f$ de l'équation différentielle (E) dont la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ est donnée ci-dessous.
\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-6.5,-2.5)(10,2.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
%\def\f{cos(x/2)+sin(x/2)}
\def\f{2*sin(x/2+Pi/6)}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,dx=1.0472,trigLabelBase=3,trigLabels]{->}(0,0)(-6.5,-2.5)(10,2.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-6.5}{10}{\f}
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed, linecolor=darkgray](2.0944,0)(2.0944,2)(0,2)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](1.0472,2)(3.14159,2)
\psdots[linecolor=bleu,dotscale=.8](0,1)(2.0944,2)
\uput[ul](10,-2.5){\small{\bleu{$\mathcal{C}_f$}}}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique, donner les valeurs de $f\left(0\right)$ et de $f'\left( \dfrac{2\pi}{3}\right)$.
\item Montrer que la fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ par $f(x)=2\sin\left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{6}\right)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak

\exo 

\medskip

Une entreprise fabrique, en grande quantité, des batteries Lithium-ion pour smartphone. 

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

 Le contrôle de qualité mis en place a permis d'établir que sur l'ensemble de la production 3\% des batteries sont défectueuses. 

On prélève au hasard un échantillon de 20 batteries dans la production d'une journée. La production est suffisamment importante pour assimiler ce prélèvement à des tirages successifs avec remise.

Soit $Y$ la variable aléatoire qui à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de  batteries défectueuses.
\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $Y$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
\item Quelle est la probabilité, arrondie à $10^{-3}$ près, que dans un échantillon de 20 batteries, il y a au moins une batterie défectueuse ?
\item Quelle est la probabilité, arrondie à $10^{-3}$ près, que dans un échantillon de 20 batteries, il y a au plus une batterie défectueuse ?
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

 Le nombre de cycles de charge d'une batterie est appelé durée de vie de la batterie.

La durée de vie des batteries Lithium-ion mises en vente par cette entreprise est modélisée par la variable aléatoire $X$ suivant la loi normale de moyenne $\mu=800$ et d'écart-type $\sigma=75$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer $P\left( 750 \leqslant X \leqslant 850 \right)$ en donnant le résultat arrondi au millième.
\item Laquelle de ces trois courbes représente la fonction de densité de la loi normale d'espérance $\mu = 800$ et d'écart-type $\sigma = 75$ ? Justifier le choix.


\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(8,-.8)(22,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{b2}{.43 0 .88}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\psgrid[gridwidth=.75pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0,griddots=10](8,0)(22,6)
\psset{xunit=0.1mm,yunit=500cm,comma=true}
%\pscustom{
%\psGauss[sigma=75, mue=800, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{750}{850} \gsave
%\psline(850,0)(750,0)
%\fill[fillstyle=hlines,hatchcolor=b2,hatchwidth=.25pt,hatchsep=6pt] \grestore }
%\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](750,.0042)(750,0)\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](850,.0042)(850,0)
\psaxes[linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Ox=400,Dx=100,Oy=0,Dy=.001,dy=.5cm]{->}(400,0)(1100,.006)
%\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}
%\def\m{800}% moyenne 
%\def\s{75}% écart type
%\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{500}{1100}{\f}
\psGauss[sigma=75, mue=700, linewidth=1pt,plotpoints=500, linecolor=bleu]{400}{1000}
\psGauss[sigma=75, mue=800, linewidth=1pt,plotpoints=500, linecolor=bleu]{500}{1100}
\psGauss[sigma=100, mue=800, linewidth=1pt,plotpoints=500, linecolor=bleu]{500}{1100}

 \uput[ul](600,.002){\textsf {\tiny{\bleu{Courbe 1}}}}
\uput[ur](850,.004){\textsf {\tiny{\bleu{Courbe 2}}}}
\uput[ur](950,.001){\textsf {\tiny{\bleu{Courbe 3}}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\item Quelle est la probabilité, arrondie au millième près, que la durée de vie d'une batterie soit supérieure à 900 cycles de charge ?
\item Sachant que $p(X \leqslant a) = 0,15$, donner la valeur de $a$ arrondie à l'unité.

Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie c}}}

\medskip 

Le service commercial affirme que 90\,\% des batteries proposées à la vente ont une durée de vie supérieure à 700 cycles de charge.

Pour vérifier cette affirmation, un laboratoire indépendant a reconstitué la vie de 60 batteries en simulant des cycles de charge et de décharge pour déterminer leur durée de vie en fonction de différents facteurs.

Sur ce lot, on a constaté que seulement 51 batteries ont eu une durée de vie supérieure à 700 cycles de charge.  

\medskip

 Le résultat de ce test remet-il en question l'affirmation du service commercial ?





\end{document}

