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% Mise en forme des algorithmes
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 \SetKwFor{Tq}{tant\_que~}{~faire~}{fin~tant\_que}
 \SetKwFor{PourCh}{pour\_chaque }{ faire }{fin pour\_chaque}
 \SetKwInput{Sortie}{Sortie}
\newcommand{\Algocmd}[1]{\textsf{\textsc{\textbf{#1}}}}\SetKwSty{Algocmd}
  \newcommand{\AlgCommentaire}[1]{\textsl{\small  #1}}  
%
\usepackage[np]{numprint}
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\setdefaultenum {1.}{a)}{}{}
\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
\newcommand{\Oij}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j} \right)$}
\newcommand{\Oijk}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j ,\vec k} \right)$}
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\newcommand{\fvalid}{\raisebox{1ex}{\rotatebox{180}{$\Rsh$}}} % flèche entrée pour prg casio
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\newcommand{\QCM}[3]{ $\bullet$ \quad #1 \hfill 
$\bullet$ \quad #2 \hfill 
$\bullet$ \quad #3 }

\newcommand{\QCMc}[4]{   #1 \\ 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #2 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #3 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #4 }} % QCM avec cases à cocher%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\ 23 septembre 2016}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{contrôle \no 1}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} STI2D\\Durée 2 heures}}}%droit
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}


\newcounter{nexo}           % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0}        % initialisation du numero

\newcommand{\exo}{
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE \; \arabic{nexo}}}}}}}}
  
  

\hypersetup{
pdftitle={Contrôle \no 1.}, 
pdfauthor={Arié Yallouz},   
pdfsubject={Limites, Dérivée}, 
pdfkeywords={fonction, dérivée, variation, tangente, exercices, contrôles.},
pdfcontacturl={http//yallouz.arie.free.fr/},
pdflang={fr},
baseurl={http://yallouz.arie.free.fr/tsti2d_controles/index_controles_tsti2d.php}
}
\begin{document}

\exo \hfill  ( 3 \emph{points} ) 

\medskip

Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
\begin{enumerate}
\item $f$ est définie sur l'intervalle $\left] 0  ; +\infty\right[$ par $f(x)=\sqrt{x}-\dfrac{2}{x}$.
\item $g$ est définie sur $\R$ par $g(x) = \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}-2}$
\end{enumerate}

\bigskip

\exo \hfill  ( 4 \emph{points} ) 

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\left] -\dfrac{1}{2}  ; +\infty\right[$ par $f(x) = \dfrac{4x^2}{2x+1}$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to -0,5} f(x)$, interpréter graphiquement ce résultat.
\item \begin{enumerate}
\item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
\item Justifier que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=2x-1$ est asymptote à la courbe représentative de la fonction $f$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'intervalle $\left] -\dfrac{1}{2}  ; +\infty\right[$ l'inéquation $\dfrac{1}{2x+1}<0,001$.
\item Quel calcul peut-on effectuer pour déterminer le plus simplement possible une valeur approchée au millième près de $f(750)$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\exo \hfill  ( 4 \emph{points} ) 

\medskip

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $\left] -3  ; +\infty\right[$.  On sait que  :
\begin{itemize}
\item la courbe $\mathcal{C}_f$ admet pour asymptotes les droites $d_1$ et $d_2$ ; 
\item la tangente au point  $A\left(-1;5\right)$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ est parallèle à l'axe des abscisses ;
\item la tangente au point  $B\left(2;1\right)$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées $(3;0)$.
\end{itemize}
\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-7,-4)(20,12)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{violet}{0.5 0.1 .8}
\def\f{1-20*(17*x^2+13*x-94)/((x^2+14)^2*(x+3))}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-7,-4)(20,12)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3.5,-2)(10,6)
\uput[dl](10,0){$x$} \uput[dl](0,6){$y$}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[u](-1,5){\bleu{\footnotesize{$A$}}}\uput[ur](2,1){\bleu{\footnotesize{$B$}}}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=violet](-3,-2)(-3,6)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=violet](-3.5,1)(10,1)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-2.876}{10}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(-1.75,5)(-.25,5)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(.5,2.5)(3.5,-.5)
\psdots[linewidth=1pt, linecolor=bleu,dotscale=.8](-1,5)(2,1)
\uput[dl](10,.8){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}\uput[ul](10,1){\violet{$d_2$}}\uput[dl](-3,6){\violet{$d_1$}}
\end{pspicture}
\end{center}

 On note $f'$  la dérivée de la fonction $f$. À partir du graphique et des renseignements fournis :
\begin{enumerate}
\item Déterminer  $\displaystyle\lim_{x \to -3} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
\item Déterminer  $f'(-1)$ et $f'(2)$. 
\item Pour chacune des affirmations ci-dessous, dire si elle est vraie ou si elle est fausse en justifiant votre choix.
	\begin{enumerate}
	\item $f'(0) \times f'(6) \leqslant 0$. 
	\item $f'(-2,999) \times f'(-2,5) \leqslant 0$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

 \exo  \hfill  ( 9 \emph{points} ) 
 
 \medskip
 


Sur le graphique ci-dessous, on a tracé la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$.

 On note $f'$  la dérivée de la fonction $f$. 

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-16,-6)(18,12)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{(18-9*x)/(x^2+5)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-16,-6)(18,12)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-8,-3)(9,6)
\uput[dl](9,0){$x$} \uput[dl](0,6){$y$}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[ur](2,0){\bleu{\footnotesize{$A$}}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-8}{9}{\f}
\uput[ur](-8,1.4){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textsf{\textsc{\textbf{partie a}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=2-x$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$ d'abscisse $2$
\begin{enumerate}
	\item Tracer la droite $\mathcal{D}$ sur le graphique précédent. 
	\item Déterminer les valeurs de $f(2)$ et de  $f'(2)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textsf{\textsc{\textbf{partie b}}}

\medskip

La fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ par $f(x)=\dfrac{18-9x}{x^2+5}$. 

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
	\item Déterminer les limites de la fonction $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$. 
	\item Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}_f$ ?
\end{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $x$, $f'(x)=\dfrac{9\left(x^2-4x-5\right)}{\left(x^2+5\right)^2}$.
\item \begin{enumerate}
\item \'Etudier le signe de $f'(x)$.
\item Donner le tableau de variations de la fonction $f$.
\end{enumerate}

\item Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $B$ d'abscisse $(-2)$.

\end{enumerate}
\end{document}

