bac blanc du 21 février 2017

Corrigé de l'exercice 1

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.

• proposition 1 : La fonction f définie pour tout réel x strictement positif par $f\left(x\right)=x\ln \left(x\right)-x$ est croissante.

  La dérivée de la fonction f est la fonction $f\prime$ définie pour tout réel x strictement positif par $$f\prime \left(x\right)=1\times \ln \left(x\right)+x\times {\displaystyle \frac{1}{x}}-1=\ln \left(x\right)$$

  Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée :

  x	0				1		$+\infty$
  $f\prime \left(x\right)$				−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
  $f\left(x\right)$					$-1$

  La proposition 1 est fausse.

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• proposition 2 : La forme algébrique du nombre complexe $z=\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{3\pi }{4}}$ est $z=-1+\mathrm{i}$.

  $$\begin{array}{rcl}z=\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{3\pi }{4}}& =& \sqrt{2}\times \left(\cos \left({\displaystyle \frac{3\pi }{4}}\right)+\mathrm{i}\sin \left({\displaystyle \frac{3\pi }{4}}\right)\right)\\ & =& \sqrt{2}\times \left(-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}+\mathrm{i}{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\right)\\ & =& -1+\mathrm{i}\end{array}$$

  La proposition 2 est vraie.

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• proposition 3 : Le conjugué du nombre complexe $z=\sqrt{3}-\mathrm{i}$ est $\overline{z}=2{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{6}}$.

  Le conjugué du nombre complexe $z=\sqrt{3}-\mathrm{i}$ est $\overline{z}=\sqrt{3}+\mathrm{i}$.

  • Le module du nombre complexe $\overline{z}=\sqrt{3}+\mathrm{i}$ est : $$\left|\overline{z}\right|=\sqrt{{\left(\sqrt{3}\right)}^2+1^2}=2$$

  • Un argument θ du nombre complexe z est tel que :$$\{\begin{array}{l}\cos \mathrm{\theta }={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\\ \sin \mathrm{\theta }={\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$

    Soit $\arg \left(\overline{z}\right)={\displaystyle \frac{\pi }{6}}\left[2\pi \right]$.

  On en déduit que l'écriture exponentielle du nombre complexe $\overline{z}=\sqrt{3}+\mathrm{i}$ est $\overline{z}=2{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{6}}$.

  La proposition 3 est vraie.

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• proposition 4 : Le cube du nombre complexe $z=2{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{3}}$ est égal à 8.

  $$\begin{array}{rcl}{z}^3& =& {\left(2{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{3}}\right)}^3\\ & =& 8{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi }\\ & =& 8\times \left(\cos \pi +\mathrm{i}\sin \pi \right)\\ & =& -8\end{array}$$

  La proposition 4 est fausse.

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• proposition 5 : La solution de l'équation $\left(2-\mathrm{i}\right)z=4+3\mathrm{i}$ est $z=2-3\mathrm{i}$.

  $$\begin{array}{rcl}\left(2-\mathrm{i}\right)z=4+3\mathrm{i}& \iff & z={\displaystyle \frac{4+3\mathrm{i}}{2-\mathrm{i}}}\\ & \iff & z={\displaystyle \frac{\left(4+3\mathrm{i}\right)\left(2+\mathrm{i}\right)}{\left(2-\mathrm{i}\right)\left(2+\mathrm{i}\right)}}\\ & \iff & z={\displaystyle \frac{5+10\mathrm{i}}{5}}\\ & \iff & z=1+2\mathrm{i}\end{array}$$

  La proposition 5 est fausse.

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