contrôles en terminale STI2D

bac blanc du 21 février 2017

Corrigé de l'exercice 2

L'évolution de la température du lubrifiant d'un moteur en fonction du temps est modélisée par la suite $(T_{n})$ définie par $T_{0} = 20$ et, pour tout entier naturel n, $T_{n + 1} = 0,9 \times T_{n} + 3$ .
Pour tout entier naturel n, le terme $T_{n}$ de la suite $(T_{n})$ est égal à la température en degrés Celsius du lubrifiant après n minutes de fonctionnement du moteur.

partie a

1. Quelle est la température du lubrifiant lorsque le moteur ne fonctionne pas ?
  $T_{0} = 20$ donc la température du lubrifiant lorsque le moteur ne fonctionne pas est 20°C.
2. Quelle est la température du lubrifiant après deux minutes de fonctionnement du moteur ?
  $\begin{array}{l} T_{1} = 0,9 \times 20 + 3 = 21 \\ T_{2} = 0,9 \times 21 + 3 = 21,9 \end{array}$
  Après deux minutes de fonctionnement du moteur, la température du lubrifiant est de 21,9°C.

Pour déterminer au bout de combien de minutes la température du du lubrifiant sera supérieure à à 28°C, on a commencé par élaborer l'algorithme suivant.
Recopier et compléter cet algorithme afin qu'il affiche la réponse.

variables :	N est un entier naturel T est un nombre réel
initialisation :	Affecter à N la valeur 0 Affecter à T la valeur 20
traitement :	Tant que $T ⩽ 28$ faire Affecter à T la valeur $0,9 \times T + 3$ Affecter à N la valeur $N + 1$ Fin Tant que
Sortie :	Afficher N

partie b

Pour tout nombre entier naturel n, on définit la suite $(V_{n})$ par : $V_{n} = 30 - T_{n}$ .

1. Calculer $V_{0}$ , $V_{1}$ et $V_{2}$ .
  $\begin{array}{l} V_{0} = 30 - 20 = 10 \\ V_{1} = 30 - 21 = 9 \\ V_{2} = 30 - 21,9 = 8,1 \end{array}$
2. Vérifier que $V_{0}$ , $V_{1}$ et $V_{2}$ semblent être les termes d'une suite géométrique.
  $\begin{matrix} \frac{V_{1}}{V_{0}} = \frac{9}{10} = 0,9 & et & \frac{V_{2}}{V_{1}} = \frac{8,1}{9} = 0,9 \end{matrix}$
  $V_{0}$ , $V_{1}$ et $V_{2}$ semblent être les trois premiers termes d'une suite géométrique de raison 0,9.
On admet que pour tout entier naturel n, on a $V_{n + 1} = 0,9 \times V_{n}$ .
1. Exprimer $V_{n}$ en fonction de n.
  $(V_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,9 et de premier terme $V_{0} = 10$ donc pour tout entier n, $V_{n} = 10 \times {0,9}^{n}$ .
2. En déduire que pour tout entier naturel n, on a $T_{n} = 30 - 10 \times {0,9}^{n}$ .
  Pour tout entier naturel n, $V_{n} = 30 - T_{n} \Leftrightarrow T_{n} = 30 - V_{n}$ donc :
  pour tout entier naturel n, on a $T_{n} = 30 - 10 \times {0,9}^{n}$ .
Déterminer la limite de la suite $(T_{n})$ . Interpréter le résultat trouvé.
$0 < 0,9 < 1$ donc $\lim_{n \to + \infty} {0,9}^{n} = 0$ d'où, $\lim_{n \to + \infty} 30 - 10 \times {0,9}^{n} = 30$ . Soit $\lim_{n \to + \infty} T_{n} = 30$ .
La suite $(T_{n})$ converge vers 30. À partir d'un certain temps de fonctionnement du moteur, température du lubrifiant sera proche de 30°C.
1. Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $30 - 10 \times {0,9}^{n} > 28$ .
  $\begin{array}{rcll} 30 - 10 \times {0,9}^{n} > 28 & \Leftrightarrow & - 10 \times {0,9}^{n} > - 2 \\ \Leftrightarrow & {0,9}^{n} < 0,2 \\ \Leftrightarrow & \ln ({0,9}^{n}) < \ln 0,2 & La fonction \ln est strictement croissante \\ \Leftrightarrow & n \times \ln (0,9) < \ln 0,2 \\ \Leftrightarrow & n > \frac{\ln 0,2}{\ln 0,9} & \ln 0,9 < 0 \end{array}$
  Comme $\frac{\ln 0,2}{\ln 0,9} \approx 15,3$ alors :
  L'ensemble des entiers naturels solutions de l'inéquation $30 - 10 \times {0,9}^{n} > 28$ sont les entiers $n ⩾ 16$ .
2. En déduire la valeur N affichée par l'algorithme de la partie A.
  La valeur affichée par l'algorithme de la partie A est le plus petit entier solution de l'inéquation $30 - 10 \times {0,9}^{n} > 28$ soit $N = 16$ .

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