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% Mise en forme des algorithmes
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 \SetKwFor{PourCh}{pour\_chaque }{ faire }{fin pour\_chaque}
 \SetKwInput{Sortie}{Sortie}
\newcommand{\Algocmd}[1]{\textsf{\textsc{\textbf{#1}}}}\SetKwSty{Algocmd}
  \newcommand{\AlgCommentaire}[1]{\textsl{\small  #1}}  
%
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\setdefaultenum {1.}{a)}{}{}
\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
\newcommand{\Oij}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j} \right)$}
\newcommand{\Oijk}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j ,\vec k} \right)$}
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\newcommand{\fvalid}{\raisebox{1ex}{\rotatebox{180}{$\Rsh$}}} % flèche entrée pour prg casio
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\newcommand{\QCM}[3]{ $\bullet$ \quad #1 \hfill 
$\bullet$ \quad #2 \hfill 
$\bullet$ \quad #3 }

\newcommand{\QCMc}[4]{   #1 \\ 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #2 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #3 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #4 }} % QCM avec cases à cocher%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\ 21 février 2017}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{entraînement au baccalauréat}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} STI2D\\Durée 4 heures}}}%droit
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~/~\pageref{LastPage}}}}
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\newcounter{nexo}           % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0}        % initialisation du numero

\newcommand{\exo}{
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE \; \arabic{nexo}}}}}}}}
  
  

\hypersetup{
pdftitle={Bac blanc.}, 
pdfauthor={Arié Yallouz},   
pdfsubject={Entraînement au baccalauréat}, 
pdfkeywords={Nombres complexes ; Suite géométrique ; Fonction exponentielle ; Fonction logarithme népérien.},
pdfcontacturl={http//yallouz.arie.free.fr/},
pdflang={fr},
baseurl={http://yallouz.arie.free.fr/tsti2d_controles/index_controles_tsti2d.php}
}
\begin{document}

\exo  \hfill  ( 5 \emph{points} )

\medskip

\emph{Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.}

\emph{Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.}

\medskip

\begin{enumerate}[{\textsf{\textsc{proposition }}} 1 :]
\item  La fonction $f$ définie pour tout réel $x$ strictement positif par $f(x)=x\ln(x)-x$ est croissante.
\item  La forme algébrique du nombre complexe $z=\sqrt{2}\e^{\mathrm{i}\frac{3\pi}{4}}$ est $z=-1+\mathrm{i}$.
\item  Le conjugué du nombre complexe $z=\sqrt{3}-\mathrm{i}$ est $\overline{z}=2\e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}$.
\item  Le cube du nombre complexe $z=2\e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}$ est égal à 8.
\item  La solution de l'équation $\left( 2- \mathrm{i}\right)z = 4+3\mathrm{i}$ est $z=2-3\mathrm{i}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo \hfill  ( 5 \emph{points} )

\medskip

L'évolution de la température du lubrifiant d'un moteur en fonction du temps est modélisée par la suite $\left( T_n \right)$ définie par $T_0=20$ et, pour tout entier naturel $n$, $T_{n+1} = 0,9\times T_n+3$. 

Pour tout entier naturel $n$, le terme $T_n$ de la suite $\left( T_n \right)$ est égal à la température en degrés Celsius du lubrifiant après $n$ minutes de fonctionnement du moteur.

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la température du lubrifiant lorsque le moteur ne fonctionne pas ? 
		\item Quelle est la température du lubrifiant après deux minutes de fonctionnement du moteur ? 
	\end{enumerate}
	
	\item Pour déterminer au bout de combien de minutes la température du lubrifiant sera supérieure à 28\textdegree C, on a commencé par élaborer l'algorithme suivant :
		
		\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|lX|}\hline
\textsc{\textsf{Variables:}}			&$N$ est un entier naturel\\
							&$T$ est un nombre réel\\
\textsc{\textsf{Initialisation :}}	&Affecter à $N$ la valeur 0\\
							&Affecter à $T$ la valeur 20\\
\textsc{\textsf{Traitement :}}		&Tant que \ldots\\
							&\begin{itemize}
							\item[] Affecter à $T$ la valeur \ldots
							\item[] Affecter à $N$ la valeur \ldots
							\end{itemize}\\
							&Fin Tant que\\
\textsc{\textsf{Sortie :}}			&Afficher $N$\\ \hline
\end{tabularx}								
\end{center} 
		Recopier et compléter cet algorithme afin qu'il affiche la réponse.
		

	\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Pour tout nombre entier naturel $n$, on définit la suite $\left(V_n\right)$ par : $V_n = 30 - T_n$.	
	\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
\item Calculer $V_0$, $V_1$ et $V_2$.
\item Vérifier que $V_0$, $V_1$ et $V_2$ semblent être les termes d'une suite géométrique.
\end{enumerate}  
\item On admet que pour tout entier naturel $n$, on a $V_{n+1} = 0, 9V_n$.
\begin{enumerate}
\item Exprimer  $V_n$ en fonction de $n$.
\item En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a $T_n = 30 - 10 \times {0,9}^n$.
\end{enumerate}
\item Déterminer la limite de la suite $\left( T_n \right)$. Interpréter le résultat trouvé.
\item \begin{enumerate}
	\item Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $ 30 - 10 \times {0,9}^n > 28$.
	\item En déduire la valeur $N$ affichée par l'algorithme de la partie A.
	\end{enumerate}
		\end{enumerate}
		
\pagebreak

\exo \hfill  ( 4 \emph{points} )

 \medskip 


\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\raggedright}X m{5.5cm}|} \hline
On étudie la charge d'un condensateur et l'on dispose pour cela du circuit électrique ci-contre composé de :

\begin{itemize}
\item une source de tension continue $E$ de 10 V ;
\item une résistance $R$ de $4000 \: \Omega$ ;
\item un condensateur de capacité $C$ de $500 \times 10^{-6} \: \mathrm{F}$.
\end{itemize}
&
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0)(5,4.2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psset{linewidth=1.25pt,linecolor=bleu}
\psline(2.4,3)(0,3)\psline[ArrowInside=->,arrowscale=1.5](0,3)(0,1)\psline(0,1)(3.8,1)\psline(4,1)(5,1)(5,3)(0,3)
\psline(3.8,1.4)(3.8,.6)\psline(4,1.4)(4,.6)
\pscircle(2.5,3){.5}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](1,.8)(2,1.2)
\psline[linewidth=1pt]{<-}(1.9,3.7)(3.1,3.7)\psline[linewidth=1pt]{<-}(3.3,.4)(4.5,.4)
\uput[u](2.5,3.7){\footnotesize{\bleu $E$}} \uput[l](0,2){\footnotesize{\bleu $i$}} \uput[d](3.9,.4){\footnotesize{\bleu $u$}}\uput[u](3.9,1.4){\footnotesize{\bleu $C$}} \uput[u](1.5,1.2){\footnotesize{\bleu $R$}}
\end{pspicture}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

La tension $u(t)$ exprimée en volt aux bornes du condensateur est une fonction du temps $t$ exprimé en seconde.
 
La fonction $u$ est définie  sur $[0 ; +\infty[$ par : \[u(t)= 10\times \left(1-\e^{-0,5t}\right)\]

 On donne ci-dessous, la représentation graphique de la fonction $u$.

\begin{center}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(20,13)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{10*(1-EXP(-.5*x))}
\rput(9.5,12){\footnotesize{\sf{Charge du condensateur en fonction du temps}}}
\psgrid[gridwidth=0.75pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0,griddots=5](0,0)(20,11)
\psset{xunit=1cm,yunit=.5cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.3,-.6)(10,11)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](10,0){$t$}\uput[l](0,11){$u(t)$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{10}{\f}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour caractériser le temps de charge d'un condensateur, on utilise grandeur appelée constante de temps, notée $\tau$, exprimée en seconde . On a \[\tau = R \times C\] Vérifier que  $u\left( \tau \right)\approx 0,63 \times E$.
\item Déterminer la limite en $+ \infty$ de la fonction $u$. En donner une interprétation graphique.
\item  On note $u'$ la dérivée de la fonction $u$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $u'(t)=5\e^{-0,5t}$.
		\item Étudier le signe de $u'(t)$. En déduire le sens de variation de la fonction $u$.  
	\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente $D$ à la courbe représentative de la fonction $u$ au point d'abscisse 0.
\item Pratiquement, un condensateur est considéré comme totalement chargé au bout d'une durée $T$ telle que  $u(T)=0,99 \times E$. 

Déterminer le temps de charge $T$ arrondi au dixième de seconde près.
		
\end{enumerate}

 \pagebreak

\exo \hfill  ( 6 \emph{points} )

 \medskip 
 
Dans le plan muni d'un repère orthogonal, on a tracé en annexe ci-dessous, la courbe $\mathcal{C}_F$ représentative d'une primitive $F$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $\left] 0; +\infty \right]$.

La tangente à la courbe $\mathcal{C}_F$ au point $A$ d'abscisse 1 coupe l'axe des ordonnées au point $B$ de coordonnées $( 0 ; 2)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique, déterminer $F(1)$ et $f(1)$.
\item La fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ strictement positif par $f(x)=x-\ln(x)$.
\begin{enumerate}
	\item Calculer la limite de la fonction $f$ en $0$. En donner une interprétation graphique.
	\item Calculer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. (\emph{Rappel :} $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$)
\end{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$, où $f'$ est la dérivée de la fonction $f$.
\item \begin{enumerate}
	\item \'Etudier le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs du réel $x$.
	\item Donner le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$.
	\end{enumerate}
\item En déduire que la fonction $F$ est strictement croissante.
	\item \begin{enumerate}
	\item Montrer que la fonction $G$ définie pour tout réel $x$ strictement positif par $G(x)=x\left(\ln(x) -1\right)$ est une primitive de la fonction logarithme népérien.
	\item En déduire l'expression de $F(x)$.
	\end{enumerate}
	
	\item Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{D}$ à la courbe $\mathcal{C}_F$ au point d'abscisse $3$.
	
	Tracer la droite $\mathcal{D}$ sur le graphique donné en annexe.
\end{enumerate}

\vspace{2cm}

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(24,26)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{.5*x^2-x*ln(x)+x+3/2}
\uput[u](11,26){\textsf{\small{\textsc{\textbf{annexe}}}}}
\uput[u](11,25){\textsf{\small{\emph{À rendre avec votre copie}}}}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-2,-1)(24,24)
\psset{xunit=2cm,yunit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-.5)(6,12)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}} \uput[dl](6,0){$x$} \uput[dl](0,12){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=800,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0.0001}{5.29831}{\f}
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune](0,2)(2.5,4.5)
\uput[d](5.5,12){\bleu{$\mathcal{C}_F$}}
\uput[u](1,3){\footnotesize{\bleu{$A$}}}\uput[ul](0,2){\footnotesize{\bleu{$B$}}}
\psdots[linecolor=bleu,dotscale=.8] (1,3)
\end{pspicture}
\end{center}

\end{document}
