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\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #3 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #4 }} % QCM avec cases à cocher%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\ 31 mars 2017}}} %gauche
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\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} STI2D\\Durée 2 heures}}}%droit
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\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
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  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE \; \arabic{nexo}}}}}}}}
  
\hypersetup{
pdftitle={Contrôle \no 7.}, 
pdfauthor={Arié Yallouz},   
pdfsubject={Intégrale et aire. Nombres complexes. Fonction exponentielle.}, 
pdfkeywords={Intégrale, primitive. Nombres complexes. Fonction exponentielle, équation, inéquation, dérivée, variation, tangente.},
pdfcontacturl={http//yallouz.arie.free.fr/},
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}

\begin{document}

\exo 

 \medskip 

La courbe $\mathcal{C}_f$ tracée ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$. 
	
\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-11,-4)(12,10)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(x+4)*(748*x^2-2413*x+2992)/12306}
%\def\f{(x+4)*(772*x^2-2293*x+3088)/12306}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-11,-4)(12,10)
\psset{unit=1cm}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{-3}{4}{\f} \gsave
\psline(4,0)(-3,0)
\fill[fillstyle=hlines,hatchcolor=prune,hatchwidth=.25pt] \grestore }
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-3,0)(-3,1.37843)\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](4,0)(4,3.45047)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-5.5,-2)(6,5)
\uput[dl](6,0){$x$} \uput[dl](0,5){$y$}
\uput[dl](0,0){0}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-5,-2)(-2.5,3) \psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-3,1.75687)(-1,1.75687)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-4.77874}{4.49193}{\f}
\psdots[linewidth=1pt, linecolor=bleu, dotscale=.8](-4,0)(-2,1.75687)
\uput[dr](4.5,5){\small{\bleu{$\mathcal{C}_f$}}}
\uput[ul](-4,0){\small{\bleu{$A$}}}\uput[u](-2,1.75){\small{\bleu{$B$}}}\uput[l](-2.5,3){\small{\prune{$\mathcal{D}$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

Les points $A$ et $B$ sont deux points de la courbe $\mathcal{C}_f$.

La tangente à la courbe  $\mathcal{C}_f$ au point $B$ d'abscisse $\left(-2\right)$ est horizontale.

\begin{enumerate}
\item Résoudre graphiquement sur l'intervalle $[- 5 ; 1]$ l'inéquation $f'(x) \leqslant 0$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'équation de la tangente $\mathcal{D}$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$ de coordonnées $(-4 ; 0)$ en sachant que cette tangente passe par le point de coordonnées $(-3 ; 2)$.
		\item En déduire le nombre dérivé $f'(-4)$.
	\end{enumerate}
	\item  Soit $F$ une primitive de la fonction fonction $f$.
 \begin{enumerate}
 \item Donner le tableau de variation de la fonction $F$.
 \item Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $F$.
 
 En justifiant votre réponse, déterminer la courbe associée à la fonction $F$. 
 
 En déduire une valeur approchée, à l'unité d'aire près, de l'aire du domaine hachuré.
		
\begin{center}	
\psset{unit=.45cm}
\begin{pspicture}(-6,-8)(5,8)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\def\f{(5*x^4+20*x^3-30*x^2+80*x-573)/609}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-6)(5,8)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-6,-6)(5,8)
\uput[dl](0,0){\tiny{0}}\uput[dl](5,0){\scriptsize{$x$}}\uput[dl](0,8){\scriptsize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-6}{5}{\f}
\rput(-.5,-7){Courbe $C_1$}
\end{pspicture}\hfill\psset{unit=.45cm}
\begin{pspicture}(-6,-8)(5,8)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\def\f{(x*(187*x^3+193*x^2-3330*x+11968)+6714)/12306}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-6)(5,8)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-6,-6)(5,8)
\uput[dl](0,0){\tiny{0}}\uput[dl](5,0){\scriptsize{$x$}}\uput[dl](0,8){\scriptsize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-6}{4.6681}{\f}
\rput(-.5,-7){Courbe $C_2$}
\end{pspicture}\hfill\psset{unit=.45cm}
\begin{pspicture}(-6,-8)(5,8)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\def\f{2-(x*(187*x^3+193*x^2-3330*x+11968)+6714)/12306}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-6)(5,8)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-6,-6)(5,8)
\uput[dl](0,0){\tiny{0}}\uput[dl](5,0){\scriptsize{$x$}}\uput[dl](0,8){\scriptsize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-6}{4.6681}{\f}
\rput(-.5,-7){Courbe $C_3$}
\end{pspicture}
\end{center}
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip

 \exo 

 \medskip 

Le plan est rapporté à un repère orthonormal $\left( {{\mathrm{O}};\vec u,\vec v} \right)$ d'unité graphique 2 cm.

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation : $\mathrm{i} z=-\sqrt{3}+\mathrm{i}$, exprimer la solution sous la forme algébrique.
\item Soient $A$, $B$ et $C$ les points dont les affixes respectives sont $z_{A} = 2\e^{ \mathrm{i}\frac{\pi}{3}}$,  $z_{B}=-z_{A}$ et  $z_{C}={z_{A}}^2$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer une écriture exponentielle  de $z_{B}$ et $z_{C}$.
\item Donner l'écriture algébrique de $z_{A}$, $z_{B}$ et $z_{C}$.
\item Placer les points $A$, $B$ et $C$ dans le plan complexe.
\item Montrer que le triangle $ABC$ est un triangle rectangle.
\end{enumerate}
\item Soit $D$ le point d'affixe $z_{D}=\dfrac{8}{z_{A}}$.

Montrer que $z_{D}=-z_{C}$. En déduire la nature du quadrilatère $ACBD$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
 \exo
 
 \medskip 

\textsf{\textbf{{\textsc{partie a :}}}  \'Etude d'une fonction}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par la relation $f(x) =  \e^{-0,5x} + x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $f$ en $+ \infty$ et  en $- \infty$.
\item \begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ et étudier son signe sur $\R$.
\item En déduire le tableau des variations de la fonction $f$ sur $\R$.
\end{enumerate}

\item  Déterminer à partir du tableau des variations le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 2$.

 Donner une valeur arrondie à $10^{-2}$ près de chaque solution.

\item Donner une équation de la tangente $T$ à la courbe $C_f$ représentative de la fonction $f$ au point $A$ d'abscisse 0.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf{\textbf{{\textsc{partie b :}}} Calcul d'aire}

\medskip

La courbe $C_f$ est représentée en annexe avec la droite $T$. On admet que la courbe $C_f$ se situe \og au-dessus \fg{} de la droite $T$.

L'objectif de cette partie est de déterminer par un calcul l'aire $\mathcal{A}$ comprise entre la courbe $C_f$, la droite $T$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 4$.

\begin{enumerate}
\item Hachurer sur le dessin, en annexe, l'aire $\mathcal{A}$ que l'on veut déterminer.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une primitive de la fonction $g$ définie pour tout réel $x$, par $g(x) = \e^{-0,5x} + \dfrac{x}{2} -1$.
		
		\item Justifier que l'aire $\mathcal{A}$ recherchée vaut, en unité d'aire : $\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^{4} g(x)\dd x$.
		
		\item En déduire la valeur exacte puis l'arrondi à $10^{- 2}$ de $\mathcal{A}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

 \begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-10,-2)(12,16)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{EXP(-.5*x)+x}
\def\g{x/2+1}
\rput(1,14){\textsf{\textbf{{\textsc{annexe}}}}}
\rput(1,13){\textsf{à rendre avec la copie}}
\psgrid[griddots=10,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-10,-2)(12,12)
\psset{unit=1cm,yunit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-5,-1)(6,6)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}\uput[dl](6,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,6){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-4.74977}{5.94893}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt, linecolor=prune]{-3}{6}{\g}
\uput[dl](6,5.5){\bleu{$C_f$}}\uput[dr](0,1){\bleu{$A$}} \uput[l](6,3.5){\prune{$T$}}
\end{pspicture}
\end{center}


\end{document}

