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%
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  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
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% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\ 12 mai 2017}}} %gauche
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\begin{document}

\begin{center}
\emph{Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à $10^{-3}$ près}
\end{center}

\exo

 \medskip 

On considère que la durée de vie $T$ d'un appareil, exprimée en années, est une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre \mbox{$\lambda = 0,125$}.

\begin{enumerate}
\item Calculer l'espérance $E(T)$ de la variable aléatoire $T$. Interpréter ce résultat.
\item Calculer la probabilité que cet appareil ait une durée de vie inférieure à 8 ans.
\item Calculer la probabilité que cet appareil ait une durée de vie supérieure à 10 ans.
\item Calculer la probabilité que cet appareil ait une durée de vie comprise entre 6 ans et 10 ans.
\end{enumerate}

\exo %\hfill (\emph{D'après sujet bac Antilles Guyane 2015})

 \medskip 

Une machine permet le conditionnement d'un jus de fruit dans des bouteilles. La quantité de jus injecté dans une bouteille par la machine, exprimée en ml (millilitre), est modélisée avec une variable aléatoire réelle $X$. On admet que celle-ci suit une loi normale de moyenne $\mu = 500$ et d'écart-type $\sigma = 2$.


On prélève une bouteille au hasard en fin de chaîne de remplissage.

\begin{enumerate}
\item Déterminer $P(X \leqslant 496)$. 
\item  Déterminer la probabilité que la bouteille ait un contenu compris entre 497 et 500 millilitres.
\item  Comment choisir la valeur de $\alpha$ afin que $P(500 - \alpha \leqslant X \leqslant  500 + \alpha)$ soit approximativement égale à 0,95 à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}
 
\bigskip


\exo

 \medskip 


Une entreprise fabrique, en grande quantité, des batteries Lithium-ion pour smartphone. 

\medskip

 \textsf{\textsc{\textbf{partie a}}}

\medskip

Le nombre de cycles de charge d'une batterie est appelé durée de vie de la batterie.

La durée de vie des batteries Lithium-ion mises en vente par cette entreprise est modélisée par la variable aléatoire $X$ suivant la loi normale de moyenne $\mu=600$ et d'écart-type $\sigma=74,6$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La fonction densité associée à $X$ est représentée sur un seul de trois graphiques ci-dessous.

Quel est ce graphique ? Expliquer le choix.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}}
\psset{unit=.45cm}
\begin{pspicture}(6,-.8)(17,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{b2}{.43 0 .88}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\psgrid[gridwidth=.75pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0,griddots=5](6,0)(17,6)
\psset{xunit=0.09mm,yunit=450cm}
\pscustom{
\psGauss[sigma=74.6, mue=600, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{525.4}{674.6} \gsave
\psline(674.6,0)(525.4,0)
\fill[fillstyle=hlines,hatchcolor=b2,hatchwidth=.25pt,hatchsep=6pt] \grestore }
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](674.6,.00324)(674.6,0)\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](525.4,.00324)(525.4,0)
\psaxes[linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Ox=300,Dx=100,yAxis=false]{->}(300,0)(850,0.006)
\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}
\def\m{600}% moyenne 
\def\s{74.6}% écart type
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{300}{850}{\f}
\rput(600,.0025){\psframebox*{\prune{\scriptsize{0,683}}}}
\end{pspicture}&
\psset{unit=.45cm}
\begin{pspicture}(6,-.8)(17,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{b2}{.43 0 .88}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\psgrid[gridwidth=.75pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0,griddots=5](6,0)(17,6)
\psset{xunit=0.09mm,yunit=450cm}
\pscustom{
\psGauss[sigma=110, mue=600, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{490}{710} \gsave
\psline(710,0)(490,0)
\fill[fillstyle=hlines,hatchcolor=b2,hatchwidth=.25pt,hatchsep=6pt] \grestore }
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](710,.00219)(710,0)\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](490,.00219)(490,0)
\psaxes[linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Ox=300,Dx=100,yAxis=false]{->}(300,0)(850,0.006)
\psGauss[sigma=111, mue=600, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{300}{850}
\rput(600,.0015){\psframebox*{\prune{\scriptsize{0,683}}}}
\end{pspicture}&
\psset{unit=.45cm}
\begin{pspicture}(6,-.8)(17,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{b2}{.43 0 .88}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\psgrid[gridwidth=.75pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0,griddots=5](6,0)(17,6)
\psset{xunit=0.09mm,yunit=450cm}
\pscustom{
\psGauss[sigma=70, mue=550, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{480}{620} \gsave
\psline(620,0)(480,0)
\fill[fillstyle=hlines,hatchcolor=b2,hatchwidth=.25pt,hatchsep=6pt] \grestore }
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](620,.00345)(620,0)\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](480,.00345)(480,0)
\psaxes[linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Ox=300,Dx=100,yAxis=false]{->}(300,0)(850,0.006)
\psGauss[sigma=70, mue=550, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{300}{850}
\rput(550,.0025){\psframebox*{\prune{\scriptsize{0,683}}}}
\end{pspicture}\\
\textsf{\footnotesize{Graphique 1}} & \textsf{\footnotesize{Graphique 2}} & \textsf{\footnotesize{Graphique 3}}\\
\end{tabularx}
\item 
\begin{enumerate}
\item Déterminer $P\left( 550 \leqslant X \leqslant 1000 \right)$.
\item Quelle est la probabilité que la durée de vie d'une batterie soit inférieure à 500 cycles de charge ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
	\medskip

 \textsf{\textsc{\textbf{partie b}}}

\medskip

Le service commercial affirme que 91\% des batteries proposées à la vente ont une durée de vie supérieure à 500 cycles de charge.

Pour vérifier cette affirmation, un laboratoire indépendant a reconstitué la vie de 100 batteries en simulant des cycles de charge et de décharge pour déterminer leur durée de vie en fonction de différents facteurs.

Sur ce lot, on a constaté que 13 batteries ont eu une durée de vie inférieure à 500 cycles de charge.  

\medskip

 Le résultat de ce test remet-il en question l'affirmation du service commercial ?

\end{document}

