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\begin{document}

\exo \hfill (\emph{D'après sujet BTS 2017})

 \medskip 

Une entreprise fabrique par moulage des paraboles pour réception satellitaire en matériau composite. Ce matériau est disposé dans un moule à une température de 140\degres~C (degrés Celsius), puis pressé.

On pose $t = 0$ à l'instant où la parabole est retirée du moule. Elle a alors une température de 140 \degres~C. 

On la dépose à l'air libre à la température ambiante de 20\degres~C afin qu'elle refroidisse.

On note $f(t)$ la température de la parabole, en degrés Celsius à l'instant $t$, exprimée en secondes.

\medskip

D'après la loi de refroidissement de Newton, la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ d'expression $f(t)$ est solution de l'équation différentielle 
\[(E):\quad  y' + 0,004 y = 0,08\]
où l'inconnue $y$ est une fonction de la variable $t$, définie et dérivable sur $[0~;~+ \infty[$.

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}} : Résolution d'une équation différentielle}

\medskip


\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$.
\item On rappelle que $f(0) = 140$. En déduire l'expression de $f(t)$ pour $t \in [0~;~+ \infty[$.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}} :  Étude d'une fonction}

\medskip

Dans cette partie, on admet que $f(t) = 120\e^{- 0,004t} + 20$ pour $t \in  [0~;~ + \infty[$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
		\item Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}		
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la dérivée $f'$ de la fonction $f$.
		\item En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}		
\item Au cours du refroidissement, il arrive que la parabole doive subir des rectifications et des contrôles. Ceux-ci ne peuvent être effectués que lorsque la température de la parabole est inférieure à 30 \degres~C.

Quel est le temps nécessaire pour atteindre une température inférieure à 30 \degres~C ?

\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle $(E)$ : $y'' + 4y = 0$, où $y$ désigne une fonction de la variable réelle $x$.
\item Déterminer la solution particulière  $f$ de $(E)$ telle que $f(0)=\sqrt{3}$ et $f'(0)=2$. 
\item Montrer que la fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ par $f(x)=2\cos\left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right)$.
\item Résoudre sur l'intervalle $\left[ 0 ; 2\pi\right]$ l'équation $f(x)=1$.
\end{enumerate}



\end{document}

