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% Mise en forme des algorithmes
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 \SetKwFor{Tq}{tant\_que~}{~faire~}{fin~tant\_que}
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  \newcommand{\AlgCommentaire}[1]{\textsl{\small  #1}}  
%
\usepackage[np]{numprint}
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\setdefaultenum {1.}{a)}{}{}
\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
\newcommand{\Oij}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j} \right)$}
\newcommand{\Oijk}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j ,\vec k} \right)$}
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\DecimalMathComma


\newcommand{\QCM}[3]{ $\bullet$ \quad #1 \hfill 
$\bullet$ \quad #2 \hfill 
$\bullet$ \quad #3 }

\newcommand{\QCMc}[4]{   #1 \\ 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #2 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #3 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #4 }} % QCM avec cases à cocher%

\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\ 02 septembre 2016}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{limites}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} 11\\STI2D}}}%droit
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr/tsti2d_cours/index_tsti2d_cours.php}}
\setcounter{secnumdepth}{3}
\makeatletter
\renewcommand\section{\@startsection {section}{1}{\z@}%
                                   {-3.5ex \@plus -1ex \@minus -.2ex}%
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\setcounter{secnumdepth}{2}

\renewcommand\thesection{\Roman {section}}
\renewcommand\thesubsection{\arabic {subsection}}
%%%% debut macro %%%%
\makeatletter
\renewcommand\theequation{\thesection.\arabic{equation}}
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother
%%%% fin macro %%%%

\newcounter{nexo}           % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0}        % initialisation du numero

\newcommand{\exo}{
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE \; \arabic{nexo}}}}}}}}
  
  \newcounter{nactivite}           % déclaration du numéro d'exo
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\newcommand{\act}{
  \stepcounter{nactivite} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{\textsc{activité} \; \arabic{nactivite}}}}}}}}

%%%% debut macro %%%%
\makeatletter
\@addtoreset{nactivite}{section}
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%%%% fin macro %%%%

\newrgbcolor{Rfond}{.995 0.945 .985}  
\newrgbcolor{Rougef}{.8 0.1 .2}
\newrgbcolor{Rbord}{.6 0.1 .4}

\newcommand{\cadreR}[1]{%
\psframebox[framesep=.8em,linecolor=black,linewidth=0.25pt,framearc=0.2,fillstyle=solid,fillcolor=Rfond]{\begin{minipage}{\linewidth-1.6em}%
#1\end{minipage}}}
\newcommand{\cadreB}[1]{%
\psframebox[framesep=.8em,linecolor=black,linewidth=0.25pt,framearc=0.2]{\begin{minipage}{\linewidth-1.6em}%
#1\end{minipage}}}

\newcommand{\dem}{
 \medskip
  \par{\textsf{\textsc{{\small{\ding{106}\: démonstration}}}}}%
   \medskip}
  

   \newcommand{\preuve}{
 \medskip
  \par{\textsf{\textsc{{\small{\ding{106}\: preuve}}}}}%
   \medskip} 
    

\newcommand{\encadrer}[1]{
{\setlength{\fboxsep}{2mm}
\fbox{#1}}}

\hypersetup{
pdftitle={Limites.}, 
pdfauthor={Arié Yallouz},   
pdfsubject={Asymptotes et limites.}, 
pdfkeywords={Limites, opérations sur les limites, asymptotes, formes indéterminées, cours, exercices.},
pdfcontacturl={http//yallouz.arie.free.fr/},
pdflang={fr},
baseurl={http://yallouz.arie.free.fr/tsti2d_cours/index_tsti2d_cours.php}
}
\begin{document}

La notion intuitive de limite permet de mettre en évidence le comportement d'une fonction dans les cas suivants :
\begin{itemize}
	\item Que se passe-t-il lorsque la variable $x$ est proche d'une valeur $a$, sans pour cela l'atteindre ?
	\item Que se passe-t-il lorsque la variable $x$ s'éloigne infiniment de 0 (limites en $+\infty$ ou en $-\infty$) ?
\end{itemize}
	

\section{notion de limite} 

 \subsection{\textsc{limite finie d'une fonction en un réel}} 
 \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}m{12.5cm} >{\raggedleft \arraybackslash}X@{}}
Soit $f$ une fonction définie au \og voisinage \fg{} d'un réel $a$. 

Dire que la fonction $f$ a pour limite le réel $\ell$ en $a$ signifie que tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ suffisamment proche de $a$.

On note : $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=\ell$
&\psset{xunit=.6cm,yunit=.5cm}
\begin{pspicture}(-.5,-.6)(6,4)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(.5*x+1)*Euler^(1-x^2/16)-1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-.5,-.6)(6,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](5.6,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,3.5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=0.75pt, linecolor=bleu]{.5}{5.8}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=10,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{3.473}{4.492}{\f}
\psline[linewidth=.75pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=prune](0,2)(4,2)(4,0)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=red](0,2.5)(4.492,2.5)(4.492,0)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=red](0,1.5)(4.492,1.5)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=red](3.473,0)(3.473,2.5)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=red]{]-[}(3.473,0)(4.492,0)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=red]{]-[}(0,1.5)(0,2.5)
\psdots[linecolor=prune,dotscale=.8,dotstyle=Bo](4,2)
\uput[d](4,0){\red{\footnotesize{$a$}}}
\uput[l](0,2){\red{$\ell$}}
\end{pspicture}
 \end{tabularx} 

 \subsection{limite infinie d'une fonction en un réel} 
  \subsubsection{définitions} 
 \cadreR{ 
Soit $f$ une fonction définie au \og voisinage \fg{} d'un réel $a$ à droite de $a$ (resp. à gauche de $a$). 

Dire que la fonction $f$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $a$ avec $x>a$ (resp. avec $x<a$) signifie que tout intervalle $]M; +\infty[$, où $M$ est un réel, contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ suffisamment proche de $a$ avec $x>a$ (resp. avec $x<a$).

On note : $\displaystyle \lim_{\underset{x>a}{x\to a}}f(x)=+\infty$ ou $\displaystyle \lim_{x\to a^+}f(x)=+\infty$ (resp. $\displaystyle \lim_{\underset{x<a}{x\to a}}f(x)=+\infty$ ou $\displaystyle \lim_{x\to a^-}f(x)=+\infty$)
}


\medskip

On a des définitions analogues lorsque la limite de $f$ en $a$ est $-\infty$

\medskip

 \cadreR{ 
Soit $f$ une fonction définie au \og voisinage \fg{} d'un réel $a$ à droite de $a$ (resp. à gauche de $a$). 

Dire que la fonction $f$ tend vers $-\infty$ quand $x$ tend vers $a$ avec $x>a$ (resp. avec $x<a$) signifie que tout intervalle $]-\infty ; M[$, où $M$ est un réel, contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ suffisamment proche de $a$ avec $x>a$ (resp. avec $x<a$).

On note : $\displaystyle \lim_{\underset{x>a}{x\to a}}f(x)=-\infty$ ou $\displaystyle \lim_{x\to a^+}f(x)=-\infty$ (resp. $\displaystyle \lim_{\underset{x<a}{x\to a}}f(x)=-\infty$ ou $\displaystyle \lim_{x\to a^-}f(x)=-\infty$)
}

\subsubsection{interprétation graphique : asymptote verticale}

\cadreR{%
Dans un repère orthogonal du plan, si $\displaystyle \lim_{x\to a^+}f(x)=+\infty$ ou $\displaystyle \lim_{x\to a^-}f(x)=+\infty$ ou $\displaystyle \lim_{x\to a^+}f(x)=-\infty$ ou \mbox{$\displaystyle \lim_{x\to a^-}f(x)=-\infty$}, on dit alors, que la droite d'équation $x=a$ est une asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction $f$. 
}


\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-.5,-1.5)(6.5,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{mauveClair}{.95 .9 .95}
\def\f{(x-1)/(x^2-4*x+5)+1/(x-1)-1}
\rput(3,5.5){Limite \og à droite de $a$ \fg}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-.5,-.5)(6.5,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[dl](6.5,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,5){\footnotesize{$y$}}
\psframe[linewidth=.25pt,fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair,linecolor=mauveClair](1,1.567)(1.45,5)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=0.75pt, linecolor=bleu]{1.1695}{6.5}{\f}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](1,0)(1,5)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=red](1.45,0)(1.45,5)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=red](0,1.567)(1.45,1.567)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=darkgray,ArrowInside=->,arrowscale=2,ArrowFill=true](0,2.5)(1.3,2.5)(1.3,0)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=red]{]-}(0,1.567)(0,4.85)
\psline[linewidth=.25pt,linecolor=red]{->}(1.4,-.25)(1.1,-.25)
\psline[linewidth=.25pt,linecolor=darkgray]{->}(-.35,2.7)(-.35,4.5)
\uput[l](0,2.5){\footnotesize{$f(x)$}}
\uput[dl](0,4.9){\scriptsize{$+\infty$}}
\uput[l](0,1.567){\red{\tiny{$M$}}}
\uput[d](1,0){\red{\footnotesize{$a$}}}
\uput[dr](1.45,0){\red{\footnotesize{$a+h$}}}
\rput(3,-1.5){$\displaystyle \lim_{\underset{x>a}{x\to a}}f(x)=+\infty$}
\end{pspicture}\hfill
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-1.5)(5,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{mauveClair}{.95 .9 .95}
\def\f{(4-x)/(x^2-6*x+10)-1/(x-4)-1}
\rput(1.5,5.5){Limite \og à gauche de $a$ \fg}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-2,-.5)(5,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[dl](5,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,5){\footnotesize{$y$}}
\psframe[linewidth=.25pt,fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair,linecolor=mauveClair](4,1.567)(3.55,5)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=0.75pt, linecolor=bleu]{-2}{3.8305}{\f}
\psline[linewidth=.75pt,linecolor=prune](4,0)(4,5)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=red](3.55,0)(3.55,5)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=red](0,1.567)(4,1.567)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=darkgray,ArrowInside=->,arrowscale=2,ArrowFill=true](0,2.5)(3.71,2.5)(3.71,0)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=red]{]-}(0,1.567)(0,4.85)
\psline[linewidth=.25pt,linecolor=red]{->}(3.55,-.25)(3.85,-.25)
\psline[linewidth=.25pt,linecolor=darkgray]{->}(-.35,2.7)(-.35,4.5)
\uput[l](0,2.5){\footnotesize{$f(x)$}}
\uput[dl](0,4.9){\scriptsize{$+\infty$}}
\uput[l](0,1.567){\red{\tiny{$M$}}}
\uput[d](4,0){\red{\footnotesize{$a$}}}
\uput[dl](3.55,0){\red{\footnotesize{$a-h$}}}
\rput(1.5,-1.5){$\displaystyle \lim_{\underset{x<a}{x\to a}}f(x)=+\infty$}
\end{pspicture}

\begin{center}
Pour tout entier naturel $k$,  $f(x) \geqslant 10^k$ à condition de choisir $x$ suffisamment proche de $a$.
\end{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4.5,-4.5)(2.5,1.7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{mauveClair}{.95 .9 .95}
\def\f{1.5-(x+4)/(x^2+6*x+10)-1/(x+4)}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-4.5,-3.5)(2.5,1.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](1.5,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,1.5){\footnotesize{$y$}}
\psframe[linewidth=.25pt,fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair,linecolor=mauveClair](-4,-1.067)(-3.55,-3.5)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=0.75pt, linecolor=bleu]{-3.795}{2.5}{\f}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](-4,0)(-4,-3.5)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=red](-3.55,0)(-3.55,-3.5)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=red](-4,-1.067)(0,-1.067)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=darkgray,ArrowInside=->,arrowscale=2,ArrowFill=true](0,-2.5)(-3.74,-2.5)(-3.74,0)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=red]{]-}(0,-1.067)(0,-3.5)
\psline[linewidth=.25pt,linecolor=red]{->}(-3.55,.25)(-3.85,.25)
\psline[linewidth=.25pt,linecolor=darkgray]{->}(.35,-2.7)(.35,-3.3)
\uput[r](0,-2.5){\footnotesize{$f(x)$}}
\uput[r](0,-3.5){\scriptsize{$-\infty$}}
\uput[r](0,-1.067){\red{\tiny{$M$}}}
\uput[u](-4,0){\red{\footnotesize{$a$}}}
\uput[ur](-3.55,0){\red{\footnotesize{$a+h$}}}
\rput(-1,-4.5){$\displaystyle \lim_{\underset{x>a}{x\to a}}f(x)=-\infty$}
\end{pspicture}\hfill
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-4.5)(5,1.7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{mauveClair}{.95 .9 .95}
\def\f{(x-4)/(x^2-6*x+10)+1/(x-4)+1.5}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-2,-3.5)(5,1.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](4.7,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,1.5){\footnotesize{$y$}}
\psframe[linewidth=.25pt,fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair,linecolor=mauveClair](4,-1.067)(3.55,-3.5)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=0.75pt, linecolor=bleu]{-2}{3.795}{\f}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](4,0)(4,-3.5)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=red](3.55,0)(3.55,-3.5)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=red](0,-1.067)(4,-1.067)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=darkgray,ArrowInside=->,arrowscale=2,ArrowFill=true](0,-2.5)(3.74,-2.5)(3.74,0)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=red]{]-}(0,-1.067)(0,-3.5)
\psline[linewidth=.25pt,linecolor=red]{->}(3.55,.25)(3.85,.25)
\psline[linewidth=.25pt,linecolor=darkgray]{->}(-.35,-2.7)(-.35,-3.3)
\uput[l](0,-2.5){\footnotesize{$f(x)$}}
\uput[l](0,-3.5){\scriptsize{$-\infty$}}
\uput[l](0,-1.067){\red{\tiny{$M$}}}
\uput[u](4,0){\red{\footnotesize{$a$}}}
\uput[ul](3.55,0){\red{\footnotesize{$a-h$}}}
\rput(1.5,-4.5){$\displaystyle \lim_{\underset{x<a}{x\to a}}f(x)=-\infty$}
\end{pspicture}

\begin{center}
Pour tout entier naturel $k$,  $f(x) \leqslant -10^k$ à condition de choisir $x$ suffisamment proche de $a$.
\end{center}


 \subsection{limite finie d'une fonction en l'infini} 
 
 \subsubsection{définition}
 
 \cadreR{%
 Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de la forme $[A; +\infty[$ ou $]-\infty : A]$, où $A$ est un réel.
\begin{enumerate}
	\item Dire que la fonction $f$ a pour limite le réel $\ell$ en $+\infty$ signifie que tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ suffisamment grand.

On note : $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=\ell$
\item Dire que la fonction $f$ a pour limite le réel $\ell$ en $-\infty$ signifie que tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x <0$ suffisamment éloigné de $0$.

On note : $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)=\ell$
\end{enumerate}
}

\subsubsection{interprétation graphique : asymptote horizontale} 

\cadreR{%
Dans un repère orthogonal du plan, si $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=\ell$ (resp. $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)=\ell$), on dit alors, que la droite d'équation $y=\ell$ est une asymptote horizontale de la courbe représentative de la fonction $f$ en $+\infty$ (resp. en $-\infty$). 
}

\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-2,-4)(9.5,1.5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{mauveClair}{.95 .9 .95}
\def\f{(2*x+3)*EXP(-.64*x)-2}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-2,-4)(9.5,1.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](9.5,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,1.5){\footnotesize{$y$}}
\psframe[linewidth=.25pt,fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair,linecolor=mauveClair](4.42,-2.2)(9.5,-1.3)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=0.75pt, linecolor=bleu]{-1.8}{9.5}{\f}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](0,-2)(9.5,-2)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=red](0,-2.2)(9.5,-2.2)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=red](0,-1.3)(9.5,-1.3)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=red](4.42,0)(4.42,-2.2)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=darkgray,ArrowInside=->,arrowscale=2,ArrowFill=true](0,-1.6)(5.68,-1.6)(5.68,0)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=red]{]-[}(0,-1.3)(0,-2.2)
\psline[linewidth=.25pt,linecolor=darkgray]{->}(-.4,-1.5)(-.4,-1.85)
\psline[linewidth=.25pt,linecolor=darkgray]{->}(5.7,.25)(9,.25)
\uput[l](0,-1.3){\footnotesize{$f(x)$}}
\uput[u](9.5,0){\footnotesize{$+ \infty$}}
\uput[l](-.1,-2){\red{{$\ell$}}}
\uput[u](4.42,0){\red{\footnotesize{$m$}}}
\end{pspicture} 

$\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=\ell$ : $f(x)$ est aussi proche que l'on veut de $\ell$ à condition de choisir $x >m$
\end{center}


\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-9.5,-1.5)(2,4)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{mauveClair}{.95 .9 .95}
\def\f{2-(3-2*x)*EXP(.64*x)}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-9.5,-1.5)(2,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](2,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,4){\footnotesize{$y$}}
\psframe[linewidth=.25pt,fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair,linecolor=mauveClair](-4.42,2.2)(-9.5,1.3)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=0.75pt, linecolor=bleu]{-9.5}{1.8}{\f}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](-9.5,2)(0,2)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=red](-9.5,2.2)(0,2.2)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=red](-9.5,1.3)(0,1.3)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=red](-4.42,0)(-4.42,2.2)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=darkgray,ArrowInside=->,arrowscale=2,ArrowFill=true](0,1.6)(-5.68,1.6)(-5.68,0)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=red]{]-[}(0,1.3)(0,2.2)
\psline[linewidth=.25pt,linecolor=darkgray]{->}(.4,1.5)(.4,1.85)
\psline[linewidth=.25pt,linecolor=darkgray]{->}(-5.7,-.25)(-9,-.25)
\uput[r](0,1.3){\footnotesize{$f(x)$}}
\uput[d](-9.5,0){\footnotesize{$- \infty$}}
\uput[r](.1,2){\red{{$\ell$}}}
\uput[d](-4.42,0){\red{\footnotesize{$m$}}}
\end{pspicture} 

$\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)=\ell$ : $f(x)$ est aussi proche que l'on veut de $\ell$ à condition de choisir $x <m$
\end{center}

 \medskip

\textsf {\textbf{\textsc{\small{remarque}}}}

Pour déterminer la position relative de la courbe représentative de la fonction $f$ par rapport à une asymptote $\mathcal{D}$ d'équation $y=\ell$, il suffit d'étudier le signe de $f(x)-\ell$

 \subsection{limite infinie d'une fonction en l'infini} 
 
 \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}m{12.5cm} >{\raggedleft \arraybackslash}X@{}}
 \multicolumn{2}{l}{Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de la forme $[A; +\infty[$, où $A$ est un réel.}\\ 
\begin{enumerate}
	\item Dire que la fonction $f$ a pour limite $+\infty$ en $+\infty$ signifie que tout intervalle ouvert de la forme $]M ; + \infty[$ contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ suffisamment grand.

On note : $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$
\end{enumerate}
&\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-.5)(6,4)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{mauveClair}{.95 .9 .95}
\def\f{.9*ln(0.25*x^2-.5*x+.5)+.2*x+.5}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-1,-.5)(6,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](5.7,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,3.5){\footnotesize{$y$}}
\psframe[linewidth=.25pt,fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair,linecolor=mauveClair](3.834,2)(6,4)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=0.75pt, linecolor=bleu]{-1}{6}{\f}
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=red](0,2)(6,2)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=red](3.834,0)(3.834,4)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=red]{]-}(0,2)(0,3.8)
\uput[l](0,2){\red{\footnotesize{$M$}}}
\uput[d](3.834,0){\red{\footnotesize{$m$}}}
\end{pspicture} \\
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
	\item Dire que la fonction $f$ a pour limite $-\infty$ en $+\infty$ signifie que tout intervalle ouvert de la forme $]- \infty; M[$ contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ suffisamment grand.

On note : $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty$
\end{enumerate}

&\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-3.5)(6,1)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{mauveClair}{.95 .9 .95}
\def\f{-.9*ln(0.25*x^2-.5*x+.5)-.2*x-.5}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-1,-3.5)(6,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](5.7,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,.7){\footnotesize{$y$}}
\psframe[linewidth=.25pt,fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair,linecolor=mauveClair](3.834,-2)(6,-3.5)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=0.75pt, linecolor=bleu]{-1}{6}{\f}
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=red](0,-2)(6,-2)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=red](3.834,0)(3.834,-3.5)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=red]{]-}(0,-2)(0,-3.5)
\uput[l](0,-2){\red{\footnotesize{$M$}}}
\uput[d](3.834,0){\red{\footnotesize{$m$}}}
\end{pspicture} \\
\multicolumn{2}{l}{Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de la forme $]-\infty; A]$, où $A$ est un réel.}\\ 
\begin{enumerate}
	\item Dire que la fonction $f$ a pour limite $+\infty$ en $-\infty$ signifie que tout intervalle ouvert de la forme $]M ; + \infty[$ contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x<0$ suffisamment  éloigné de $0$.

On note : $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)=+\infty$
\end{enumerate}
&\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-6,-.5)(1,4)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{mauveClair}{.95 .9 .95}
\def\f{.9*ln(0.25*x^2+.5*x+.5)-.2*x+.5}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-6,-.5)(1,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](.7,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,3.5){\footnotesize{$y$}}
\psframe[linewidth=.25pt,fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair,linecolor=mauveClair](-3.834,2)(-6,4)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=0.75pt, linecolor=bleu]{-6}{1}{\f}
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=red](0,2)(-6,2)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=red](-3.834,0)(-3.834,4)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=red]{]-}(0,2)(0,3.8)
\uput[r](0,2){\red{\footnotesize{$M$}}}
\uput[d](-3.834,0){\red{\footnotesize{$m$}}}
\end{pspicture} \\
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
	\item Dire que la fonction $f$ a pour limite $-\infty$ en $-\infty$ signifie que tout intervalle ouvert de la forme $]- \infty; M[$ contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x<0$ suffisamment  éloigné de $0$.

On note : $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty$
\end{enumerate}

&\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-6,-3.5)(1,1)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{mauveClair}{.95 .9 .95}
\def\f{-.9*ln(0.25*x^2+.5*x+.5)+.2*x-.5}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-6,-3.5)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](.7,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,.7){\footnotesize{$y$}}
\psframe[linewidth=.25pt,fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair,linecolor=mauveClair](-3.834,-2)(-6,-3.5)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=0.75pt, linecolor=bleu]{-6}{1}{\f}
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=red](0,-2)(-6,-2)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=red](-3.834,0)(-3.834,-3.5)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=red]{]-}(0,-2)(0,-3.5)
\uput[r](0,-2){\red{\footnotesize{$M$}}}
\uput[d](-3.834,0){\red{\footnotesize{$m$}}}
\end{pspicture} \\
 \end{tabularx} 

\subsubsection{asymptote oblique}

\cadreR{%
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de borne $+\infty$ ou $-\infty$, et $\mathcal{D}$ une droite d'équation $y=ax+b$.

Si $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\left[f(x)-(ax+b)\right]=0$ (ou $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}\left[f(x)-(ax+b)\right]=0$), on dit alors que la droite d'équation $y=ax+b$ est une asymptote oblique à la courbe représentative de la fonction $f$ en $+\infty$ (ou en $-\infty$). 
}

 \bigskip
 
\psset{xunit=.5cm,yunit=.8cm}
\begin{pspicture}(-.5,-2)(6,4.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{mauveClair}{.95 .9 .95}
\rput(2.75,-1.5){$\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)= +\infty$}
\def\f{(3-2*x^2-x)*EXP(-x)+.8*x-1}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-.5,-.75)(6,4.25)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](5.8,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,4.25){\footnotesize{$y$}}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.25pt, linecolor=mauveClair]{4}{6}{\f} \gsave
\psline(6,3.8)(4,2.2)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair] \grestore }
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=0.75pt, linecolor=bleu]{-.5}{6}{\f}
\pcline[linewidth=.75pt,linecolor=prune](.5,-.6)(6,3.8)
\naput*[nrot=:U]{\red{\tiny{$y=ax+b$}}}
\end{pspicture}\hfill
\begin{pspicture}(-.5,-5)(6,1.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{mauveClair}{.95 .9 .95}
\rput(2.75,-4.5){$\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)= -\infty$}
\def\f{1.5-.8*x-(4-4*x^2+5*x)*EXP(-x)}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-.5,-3.75)(6,1.25)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](5.8,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,1.25){\footnotesize{$y$}}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.25pt, linecolor=mauveClair]{4}{6}{\f} \gsave
\psline(6,-3.3)(4,-1.7)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair] \grestore }
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=0.75pt, linecolor=bleu]{-.5}{6}{\f}
\pcline[linewidth=.75pt,linecolor=prune](.5,1.1)(6,-3.3)
\nbput*[nrot=:U]{\red{\tiny{$y=ax+b$}}}
\end{pspicture}\hfill
\begin{pspicture}(-6,-2)(1,4.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{mauveClair}{.95 .9 .95}
\rput(-2.5,-1.5){$\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)= +\infty$}
\def\f{.5-.5*x+(x^2-3*x+1)*EXP(x)}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-6,-0.75)(1,4.25)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](0.8,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,4.25){\footnotesize{$y$}}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.25pt, linecolor=mauveClair]{-4}{-6}{\f} \gsave
\psline(-6,3.5)(-4,2.5)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair] \grestore }
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=0.75pt, linecolor=bleu]{-6}{0.6}{\f}
\pcline[linewidth=.75pt,linecolor=prune](-6,3.5)(.6,.2)
\nbput*[nrot=:U]{\red{\tiny{$y=ax+b$}}}
\end{pspicture}\hfill
\begin{pspicture}(-6,-4.5)(1,2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{mauveClair}{.95 .9 .95}
\rput(-2.5,-4){$\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)= -\infty$}
\def\f{-0.5+.5*x+(x^2-3.25*x+1)*EXP(x)}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-6,-3.25)(1,1.75)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](0.8,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,1.3){\footnotesize{$y$}}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.25pt, linecolor=mauveClair]{-4}{-6}{\f} \gsave
\psline(-6,-3.5)(-4,-2.5)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair] \grestore }
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=0.75pt, linecolor=bleu]{-6}{1}{\f}
\pcline[linewidth=.75pt,linecolor=prune](-6,-3.5)(.5,-.25)
\nbput*[nrot=:U]{\red{\tiny{$y=ax+b$}}}
\end{pspicture}

 \medskip

\textsf {\textbf{\textsc{\small{remarque}}}}

Pour étudier la position relative de la courbe représentative de la fonction $f$ par rapport à une asymptote $\mathcal{D}$ d'équation $y=ax+b$, il suffit d'étudier le signe de la différence $f(x)-(ax+b)$

\section{limites de fonctions usuelles}

\psset{unit=.7cm}
\begin{pspicture}(-3.5,-1.5)(3.5,8)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\rput(0,7.5){\textsf {\textbf{\textsc{\small{fonction carré}}}}}
\rput(0,-1){$\displaystyle \lim_{x\to -\infty}{x^2}= +\infty$ ;\hspace{.5cm} $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}{x^2}= +\infty$ }
\def\f{x^2}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-3.5,-.5)(3.5,7)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](3.5,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,7){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-2.5}{2.5}{\f}
\end{pspicture} \hfill
\psset{unit=.7cm}
\begin{pspicture}(-3.5,-4.5)(3.5,5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\rput(0,4.5){\textsf {\textbf{\textsc{\small{fonction cube}}}}}
\rput(0,-4){$\displaystyle \lim_{x\to -\infty}{x^3}= +\infty$ ;\hspace{.5cm} $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}{x^3}= +\infty$ }
\def\f{x^3}
\psaxes[ticks=none,linewidth=.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-3.5,-3.5)(3.5,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](3.5,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,4){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=300,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-1.5}{1.58}{\f}
\end{pspicture}

\medskip

\psset{unit=.7cm}
\begin{pspicture}(-3.5,-4.5)(3.5,4.5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\rput(0,4){\textsf {\textbf{\textsc{\small{fonction inverse}}}}}
\rput(0,-4){$\displaystyle \lim_{x\to -\infty}{\dfrac{1}{x}}= 0$ ;\hspace{.5cm} $\displaystyle \lim_{x\to {0^-}}{\dfrac{1}{x}}= +\infty$} 
\rput(0,-5){$\displaystyle \lim_{x\to {0^+}}{\dfrac{1}{x}}= +\infty$ ;\hspace{.5cm} $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}{\dfrac{1}{x}}= 0$}
\def\f{1/x}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-3.5,-3.5)(3.5,3.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](3.5,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,3.5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-3.5}{-.285}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{.285}{3.5}{\f}
\end{pspicture} \hfill
\psset{unit=.7cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-3)(6.5,6)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\rput(3,5.5){\textsf {\textbf{\textsc{\small{fonction racine carrée}}}}}
\rput(3,-2.5){$\displaystyle \lim_{x\to 0}{\sqrt{x}}= 0$ ;\hspace{.5cm} $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}{\sqrt{x}}=+\infty$} 
\def\f{x^.5}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-.5,-1)(6.5,4.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](6.5,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,4.5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=650,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{0}{6.5}{\f}
\end{pspicture}


\section{règles opératoires sur les limites} 

Dans tout ce paragraphe, $u$ et $v$ désignent deux fonctions, $\ell$ et $\ell '$ désignent deux nombres réels, et $\alpha$ désigne $+\infty$ ou $-\infty$ ou un nombre réel. 

\subsection{\textsc{limite d'une somme de deux fonctions}}
\renewcommand{\arraystretch}{1.1}
{\rowcolors{1}{Rfond}{Rfond}  
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Si 	$\displaystyle \lim_{x\to \alpha}u(x)=$ & $\ell$	& $\ell$	& $\ell$	& $+\infty$	& $-\infty$	& $+\infty$ \\ \hline
et $\displaystyle \lim_{x\to \alpha}v(x)=$ & $\ell '$	& $+\infty$	& $-\infty$	& $+\infty$	& $-\infty$	& $-\infty$ \\ \hline
alors par somme 

$\displaystyle \lim_{x\to \alpha}(u+v)(x)=$ & $\ell + \ell '$	& $+\infty$	& $-\infty$	& $+\infty$	& $-\infty$	& \Rougef{\textsf {\textbf{\textsc{\footnotesize{à étudier}}}}} \\ \hline
\end{tabularx}
}
\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}

Soit $f$ la fonction définie sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x)=x^2-1+\dfrac{1}{x}$.

\'Etudions les limites de la fonction $f$ aux bornes de son intervalle de définition.

\begin{itemize}
	\item  $\displaystyle \lim_{\underset{x>0}{x\to 0}}x^2-1=-1$ et $\displaystyle \lim_{\underset{x>0}{x\to 0}}\dfrac{1}{x}=+\infty$ donc, par somme, $\displaystyle \lim_{\underset{x>0}{x\to 0}}f(x)=+\infty$. La courbe représentative de la fonction $f$ admet pour asymtote l'axe des ordonnées.
	\item $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}x^2-1=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x}=0$ donc, par somme, $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$
\end{itemize}

\subsection{limite d'un produit de deux fonctions}

  \renewcommand{\arraystretch}{1.2}
  {\rowcolors{1}{Rfond}{Rfond} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Si 	$\displaystyle \lim_{x\to \alpha}u(x)=$ & $\ell$	& $\ell \ne 0$	& $+\infty$ ou $-\infty$ & $0$	 \\ \hline
et $\displaystyle \lim_{x\to \alpha}v(x)=$ & $\ell '$	& $+\infty$ ou $-\infty$	& $+\infty$ ou $-\infty$ & $+\infty$ ou $-\infty$	 \\ \hline
alors par produit 

$\displaystyle \lim_{x\to \alpha}(u \times v)(x)=$ & $\ell \times \ell '$	& $\pm\infty$\textsuperscript{*} & $\pm\infty$\textsuperscript{*} 	& \Rougef{\textsf {\textbf{\textsc{\footnotesize{à étudier}}}}}	\\ \hline
\multicolumn{5}{l}{\cellcolor{white}\footnotesize(*)  Lorsque la limite du produit est infinie, c'est la règle des signes du produit qui permet de déterminer le résultat $+\infty$ ou $-\infty$.}
\end{tabularx}
}

\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}

Soit $f$ la fonction définie sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x)=x^2\times \left(\dfrac{1}{x}-1\right)$.

\'Etudions les limites de la fonction $f$ aux bornes de son intervalle de définition.

\begin{itemize}
	\item  $\displaystyle \lim_{\underset{x>0}{x\to 0}}x^2=0$ et $\displaystyle \lim_{\underset{x>0}{x\to 0}}\dfrac{1}{x}-1=+\infty$.  Nous sommes en présence de la forme indéterminée \og $0\times \infty$ \fg.
	
	Or pour tout réel $x$ non nul, $x^2\times \left(\dfrac{1}{x}-1\right)=x- x^2$	et $\displaystyle \lim_{\underset{x>0}{x\to 0}}x- x^2=0$. Donc, $\displaystyle \lim_{\underset{x>0}{x\to 0}}f(x)=0$
	\item $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}x^2=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x}-1=-1$ donc, par produit,  $\displaystyle \lim_{\underset{x>0}{x\to 0}}f(x)=-\infty$	
\end{itemize}

\subsection{limite d'un quotient de deux fonctions}

  \renewcommand{\arraystretch}{1.2}
    {\rowcolors{1}{Rfond}{Rfond} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Si 	$\displaystyle \lim_{x\to \alpha}u(x)=$ & $\ell$	& $\ell \ne 0$	& $\ell$	& $+\infty$ ou $-\infty$ & 0 & $+\infty$ ou $-\infty$ \\ \hline
et $\displaystyle \lim_{x\to \alpha}v(x)=$ & $\ell ' \ne 0$	& 0	& $+\infty$ ou $-\infty$	& $\ell '$ & 0 & $+\infty$ ou $-\infty$ \\ \hline
alors par quotient 

$\displaystyle \lim_{x\to \alpha}\left(\dfrac{u}{v} \right)(x)=$\rule[-4mm]{0pt}{1cm} & $\dfrac{\ell}{ \ell '}$	& $\pm\infty$\textsuperscript{*} & $0$ & $\pm\infty$\textsuperscript{*} & \Rougef{\textsf {\textbf{\textsc{\footnotesize{à étudier}}}}}	& \Rougef{\textsf {\textbf{\textsc{\footnotesize{à étudier}}}}} \\ \hline
\multicolumn{7}{l}{\cellcolor{white}\footnotesize(*) Lorsque la limite du quotient est infinie, c'est la règle des signes du produit qui permet de déterminer le résultat $+\infty$ ou $-\infty$.}
\end{tabularx}
}

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}

Soit $f$ la fonction définie sur $]1 ; +\infty[$ par $f(x)=\dfrac{x^3-1}{x^2-1}$.

\'Etudions les limites de la fonction $f$ aux bornes de son intervalle de définition.

\begin{itemize}
	\item  $\displaystyle \lim_{x\to 1}x^3-1=0$ et $\displaystyle \lim_{x\to 1}x^2-1=0$. Nous sommes en présence de la forme indéterminée \og $\dfrac{0}{0}$\fg.
	
	Or pour tout réel $x \ne 1$, \[ \dfrac{x^3-1}{x^2-1} = \dfrac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{x^2+x+1}{x+1}	\]
 	Comme $\displaystyle \lim_{x\to 1}\dfrac{x^2+x+1}{x+1}=\dfrac{3}{2}$, nous pouvons conclure que, $\displaystyle \lim_{x\to 1}f(x)=\dfrac{3}{2}$
	\item $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}x^3-1=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}x^2-1=+\infty$. Nous sommes en présence de la forme indéterminée \og $\dfrac{\infty}{\infty}$\fg.
	
Or pour pour tout réel $x \ne 0$, \[\dfrac{x^3-1}{x^2-1} =\dfrac{x^3\left(1-\dfrac{1}{x^3}\right)}{x^2\left(1-\dfrac{1}{x^2}\right)}=\dfrac{x\left(1-\dfrac{1}{x^3}\right)}{1-\dfrac{1}{x^2}}\] 

Comme $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}x\left(1-\dfrac{1}{x^3}\right)=+\infty$ et que $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}1-\dfrac{1}{x^2}=1$, il s'ensuit que 	$\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$. 

La courbe représentative de la fonction $f$ admet pour asymptote l'axe des abscisses en $+\infty$.
\end{itemize}

\subsection{limite de la fonction composée $u^n$}

\cadreR{%
Soit $u$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\R$. $u^n$ est la fonction composée de $u$ suivie de la fonction $X \mapsto X^n$.

$\alpha$, $b$ et $c$ désignent des réels ou $+\infty$ ou $-\infty$.
 
\begin{center}
 Si $\displaystyle \lim_{x\to \alpha}u(x)=b$ et $\displaystyle \lim_{X^n\to b}=c$, alors $\displaystyle \lim_{x\to \alpha}u^n(x)=c$
\end{center}
}

\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}

 \medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur $]1 ; +\infty[$ par $f(x)=\left(\dfrac{2}{1-x}\right)^2$. Déterminons les limites aux bornes de l'intervalle de définition.

\begin{itemize}
\item $\displaystyle \lim_{\underset{x>1}{x\to 1}}\dfrac{2}{1-x}=-\infty$ et $\displaystyle \lim_{X\to -\infty}X^2=+\infty$, donc $\displaystyle \lim_{\underset{x>1}{x \to 1}}\left(\dfrac{2}{1-x}\right)^2=+\infty$
\item $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{2}{1-x}=0$ et $\displaystyle \lim_{X\to 0}X^2=0$, donc $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\left(\dfrac{2}{1-x}\right)^2=0$
\end{itemize}

\subsection{fonctions polynômes ou rationnelles au voisinage de $+\infty$ ou de $-\infty$ }

\subsubsection{règle 1} 

\cadreB{
Au voisinage de $+\infty$ ou de $-\infty$, une fonction polynôme à la même limite que son monôme de plus haut degré.
}

 \medskip
 
\textsf {\textsc{\small{exemple}}}

 \medskip
 
$\displaystyle \lim_{x\to +\infty}-3x^3-2x^2+x-5=\displaystyle \lim_{x\to +\infty}-3x^3=-\infty$

\subsubsection{règle 2} 

\cadreB{
Au voisinage de $+\infty$ ou de $-\infty$, une fonction  rationnelle à la même limite que le quotient du monôme de plus haut degré du numérateur par le monôme de plus haut degré du dénominateur.
}

 \medskip
 
\textsf {\textsc{\small{exemple}}}

 \medskip
 
$\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{5x^2-2x^3}{3x^4+1}=\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{-2x^3}{3x^4}=\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \dfrac{-2}{3x}=0$


\newpage

\addcontentsline{toc}{section}{Exercices} 

\exo

\parbox{0.6\linewidth}{
La courbe ci-contre, représentative d'une fonction $f$, admet les quatre asymptotes suivantes :

\begin{itemize}
\item deux asymptotes horizontales d'équations respectives $y = -1$ et $y = 0$ ;
\item deux asymptotes verticales d'équations respectives $x = 0$ et \mbox{$x = 2$}.
\end{itemize}

\medskip
Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x)$ , $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$, $\displaystyle\lim_{x \to 0^{-}} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to 2^{+}} f(x)$
}
\parbox{0.4\linewidth}{
\psset{unit=0.45cm}
\begin{flushright}
\begin{pspicture}(-6,-6)(8,7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{1/x}
\def\g{2/(x*(2-x))-1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-6)(8,7)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-6,-6)(8,7)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-6}{-0.1667}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0.134}{1.866}{\g}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{2.183}{8}{\g}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1pt, linecolor=prune](2,-6)(2,7)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1pt, linecolor=prune](-6,-1)(8,-1)
\uput[dl](0,0){\scriptsize O}\uput[d](7.8,0){\scriptsize $x$}\uput[l](0,6.8){\scriptsize $y$}
\end{pspicture}
\end{flushright}
}



\bigskip

\exo

\medskip

 Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty\right[$  par $f(x)=\dfrac{2-x}{x^3}$ . On note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.	
\begin{enumerate}
\item \`A l'aide d'un tableau, étudier le signe de $f(x)$ suivant les valeurs du réel $x$.
	\item \begin{enumerate}
	
\item Déterminer, en justifiant avec soin, $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x)$   et  $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$.

\item La courbe $C_f$ admet-elle des asymptotes ?
\end{enumerate}
\item On note $f'$  la dérivée de la fonction $f$. \begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$.
\item \'Etudier les variations de $f$.
\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 1.

\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Soit $P(x) = x^2 + x - 6$ et $Q(x) = 2 x^2 - 3 x - 2$ deux polynômes.	
\begin{enumerate}
	\item Résoudre $P(x) = 0$ et $Q(x) = 0$. 
	\item En déduire une factorisation de $P(x)$ et $Q(x)$.
\end{enumerate}
	\item Soit $f$  la fonction définie sur $] 2 ; + \infty[$ par $f (x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$. 
\begin{enumerate}
	\item Déterminer $\displaystyle \lim_{\underset{x>2}{x\to 2}} f(x)$ et  $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x)$.
	\item La courbe représentative de la fonction $f$ admet-elle des asymptotes ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

 \bigskip 
 
 \exo

 \medskip

Soit $f$  la fonction définie sur $\left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[$  par : $f(x)=\dfrac{2x^2-13x+7}{4x-2}$.

On appelle $\mathcal{C}_f$  sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal.

\begin{enumerate}	
	\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to \frac{1}{2}^+} f(x)$, qu'en déduit-on pour la courbe $C_f$ ?	
	\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
\begin{enumerate}
	\item Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que $f(x)=ax+b+\dfrac{c}{4x-2}$.
	\item En déduire que la courbe $\mathcal{C}_f$  admet pour asymptote la droite $\Delta$ d'équation $y=\dfrac{x}{2}-3$.
	\item \'Etudier les positions relatives de la courbe $\mathcal{C}_f$ et de la droite $\Delta$
	\item Résoudre l'inéquation $\dfrac{1}{4x-2} \leqslant 0,001$. 
	\item Calculer le plus simplement possible, une valeur approchée au millième près de l'image par $f$ de 500. 
\end{enumerate}
\item Calculer la dérivée de la fonction $f$.
\item \'Etudier les variations de $f$.
\item Donner une équation de la tangente $T$ à la courbe $C_f$  au point d'abscisse 1. 
\end{enumerate}

 \bigskip
 
\exo

\medskip

 Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\left]-1;+\infty\right[$  par $f(x)=\dfrac{2x-1}{x+1}$ . On note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.	
\begin{enumerate}
\item \`A l'aide d'un tableau, étudier le signe de $f(x)$ suivant les valeurs du réel $x$.
	\item \begin{enumerate}
	
\item Déterminer, en justifiant avec soin, $\displaystyle\lim_{x \to -1^+} f(x)$   et  $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
\item La courbe $C_f$ admet-elle des asymptotes ?
\end{enumerate}
\item On note $f'$  la dérivée de la fonction $f$. \begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$.
\item \'Etudier les variations de $f$.
\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 0.

\end{enumerate}

\bigskip

 \exo


 \medskip 


La courbe $C_u$  ci-dessous  représente une fonction $u$ définie et dérivable sur $\R$. On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. On sait que : 
\begin{itemize}
	\item la courbe coupe l'axe des ordonnées au point $A$ et la tangente à la courbe au point $A$ passe par le point de coordonnées $(-2 ; 0)$ ;
	\item la courbe admet au point $B$ d'abscisse 1 une tangente parallèle à l'axe des abscisses ;
	\item l'axe des abscisses est asymptote à la courbe $C_u$.
\end{itemize}

\begin{center}
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-6,-8)(21,7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-8)(21,7)
\psset{unit=.8cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-4)(10.5,3.5)
\uput[d](10.4,0){$x$} \uput[dl](0,3.5){$y$}
\uput[dl](0,0){0}
\def\f{2*(x+1)*EXP(-.5*x)}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-1.82}{10.5}{\f}
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=prune](-3,-1)(1.5,3.5)
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=prune](0.2,2.42612)(1.8,2.42612)
\uput[d](0.2,2){\bleu{$A$}} \uput[d](1,3){\bleu{$B$}}
\uput[r](9.75,0.5){\bleu{$C_u$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item \`A partir du graphique et des renseignements fournis :
\begin{enumerate}
\item Déterminer   $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} u(x)$   et  $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} u(x)$.
\item Déterminer  $u'(0)$ et $u'(1)$.
\end{enumerate}

\item  On considère la fonction $f$ définie sur  $]-1; +\infty[$ par $f(x)=\displaystyle\frac{1}{u(x)}$.
\begin{enumerate}
\item \'Etudier les limites de la fonction $f$ aux bornes de son intervalle de définition. La courbe représentative de la fonction $f$ admet-elle des asymptotes ?
\item Déterminer  $f'(0)$ et $f'(1)$.
\end{enumerate}	
\end{enumerate}

\end{document}
