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%
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$\bullet$ \quad #2 \hfill 
$\bullet$ \quad #3 }

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\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #2 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #3 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #4 }} % QCM avec cases à cocher%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\ 29 septembre 2016}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{compléments sur les suites géométriques}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} STI2D}}}%droit
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\makeatletter
\renewcommand\section{\@startsection {section}{1}{\z@}%
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\renewcommand\thesubsection{\arabic {subsection}}
%%%% debut macro %%%%
\makeatletter
\renewcommand\theequation{\thesection.\arabic{equation}}
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother
%%%% fin macro %%%%

\newcounter{nexo}           % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0}        % initialisation du numero

\newcommand{\exo}{
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE \; \arabic{nexo}}}}}}}}
  
  \newcounter{nactivite}           % déclaration du numéro d'exo
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\newcommand{\act}{
  \stepcounter{nactivite} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{\textsc{activité} \; \arabic{nactivite}}}}}}}}

%%%% debut macro %%%%
\makeatletter
\@addtoreset{nactivite}{section}
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%%%% fin macro %%%%

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\newcommand{\cadreR}[1]{%
\psframebox[framesep=.8em,linecolor=black,linewidth=0.25pt,framearc=0.2,fillstyle=solid,fillcolor=Rfond]{\begin{minipage}{\linewidth-1.6em}%
#1\end{minipage}}}
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#1\end{minipage}}}

\newcommand{\dem}{
 \medskip
  \par{\textsf{\textsc{{\small{\ding{106}\: démonstration}}}}}%
   \medskip}
  

   \newcommand{\preuve}{
 \medskip
  \par{\textsf{\textsc{{\small{\ding{106}\: preuve}}}}}%
   \medskip} 
    

\newcommand{\encadrer}[1]{
{\setlength{\fboxsep}{2mm}
\fbox{#1}}}

\hypersetup{
pdftitle={Compléments sur les suites.}, 
pdfauthor={Arié Yallouz},   
pdfsubject={Suites géométriques.}, 
pdfkeywords={Suites géométriques, limite, variation, algorithme, cours, exercices.},
pdfcontacturl={http//yallouz.arie.free.fr/},
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baseurl={http://yallouz.arie.free.fr/tsti2d_cours/index_tsti2d_cours.php}
}
\begin{document}


\section{suites géométriques}

\subsection{définition}

\cadreR{Dire qu'une suite $\left( u_n \right)$ est \emph{géométrique} signifie qu'il existe un nombre réel $q$ non nul tel que, pour tout entier $n$, \[u_{n+1} = q u_{n}\]

Le réel $q$ est appelé la raison de la suite géométrique.
}
\subsubsection{évolution en pourcentage}

\cadreB{
\begin{itemize}
\item Augmenter une grandeur de $t\%$ équivaut à multiplier sa valeur par $1 + \dfrac{t}{100}$.
\item Diminuer une grandeur de $t\%$ équivaut à multiplier sa valeur par $1 - \dfrac{t}{100}$.
\end{itemize}
}

\medskip

Chaque fois qu'on est confronté à une situation d'évolutions successives d'une grandeur de $t\%$, on peut définir une suite géométrique de raison $1 + \dfrac{t}{100}$ (augmentation) ou $1 - \dfrac{t}{100}$ (diminution)

\medskip

{\textsf{\textsc{\small{exemples}}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un capital de \np{5000} \euro{} est placé au taux d'intérêt composé de 1\% par an. 

On note $C_n$ le capital disponible au bout de $n$ années alors : \[C_{n+1}= \left( 1 +  \dfrac{1}{100}\right) \times C_n = 1,01 \times C_n\]

Ainsi, la suite $\left( C_n \right)$ est une suite géométrique de premier terme $C_0= 5000$ et de raison $q= 1,01$.

\item Pour lutter contre la pollution, un groupe industriel décide de réduire progressivement sa quantité de rejets de $4 \%$ par an. En 2012, la quantité de rejets était de \np{50000} tonnes.

On note $r_n$ la quantité de rejets l'année $2012+n$ d'où : \[r_{n+1}= \left( 1-  \dfrac{4}{100}\right) \times r_n = 0,96 \times r_n\]

Ainsi, la suite $\left( r_n \right)$ est une suite géométrique de premier terme $r_0=50000$ et de raison $0,96$.
\end{enumerate}

\subsection{propriété 1}

\cadreR{Soit  $\left( u_n \right)$ une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_0$ alors pour tout entier $n$, \[u_{n} = u_{0} \times q^n \]
}

\medskip

{\textsf{\textsc{\small{exemple}}}}

\medskip
L'objectif du groupe industriel est de réduire progressivement la quantité de rejets pour atteindre une quantité inférieure ou égale à \np{30000} tonnes (soit une réduction de 40\%). Cet objectif sera-t-il atteint au bout de 10 ans ?

Au bout de 10 ans, la quantité de rejets est de : \[r_{10}= 50000\times 0,96^{10} \approx 33242\]

Avec un réduction de 4 \% par an, en 2022 l'objectif du groupe industriel ne sera pas atteint.

\medskip

 
\subsection{propriété 2}

\cadreB{Si  $\left( u_n \right)$ une suite géométrique de raison $q$ alors pour tout entier $n$ et pour tout entier $p$, \[u_{n} = u_{p}\times q^{n-p}\]
}

\subsection{monotonie}

Soit  $\left( u_n \right)$ une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_0$ donc :
	 \[ \begin{split} 
u_{n+1} - u_n & = u_0 \times q^{n+1} -u_0 \times q^{n}\\
& = u_0 \times q^n \times  (q-1)\\
 	\end{split}
 	\]
La monotonie de la suite dépend du signe de $u_0$, $q^n$ et $(q-1)$  
\begin{itemize}
	\item Si $ q < 0$ alors $q^n$ est positif pour $n$ pair, négatif pour $n$ impair donc la suite n'est pas monotone.
	\item Si $ q > 0$ alors la suite est monotone, croissante ou décroissante selon le signe du produit $u_0 \times (q-1)$ .
\end{itemize}	
 
 \medskip
 	
 	\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
 	 \multicolumn{2}{|c}{Si $q >1$}\rule[-4mm]{0pt}{1cm} & \multicolumn{2}{|c|}{Si $0<q <1$}\\ \hline
 	 Si $u_0 > 0$, alors la suite  $\left( u_n \right)$ est croissante 

\begin{center}
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(8,7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,-1)(8,7)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-2pt 2pt,yticksize=0 0,labels=x]{->}(0,0)(0,-1)(8,7)
\uput[dl](8,0){\footnotesize{\bleu{$n$}}} \uput[dl](0,7){\footnotesize{\bleu{$u_n$}}}
\def\f{.4 1.4  x exp mul }
\psplot[plotpoints=9,linewidth=1pt,linecolor=bleu,linestyle=none,showpoints=true]{0}{8}{\f}
\end{pspicture} 
\end{center}
 	 & Si $u_0 < 0$, alors la suite  $\left( u_n \right)$ est décroissante
 	 
 	 \begin{center}
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-1,-7)(8,1)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,-7)(8,1)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-2pt 2pt,yticksize=0 0,labels=x]{->}(0,0)(0,-7)(8,1)
\uput[dl](8,0){\footnotesize{\bleu{$n$}}} \uput[dl](0,1){\footnotesize{\bleu{$u_n$}}}
\def\f{.4 neg 1.4  x exp mul }
\psplot[plotpoints=9,linewidth=1pt,linecolor=bleu,linestyle=none,showpoints=true]{0}{8}{\f}
\end{pspicture} 
\end{center}
 & Si $u_0 > 0$, alors la suite  $\left( u_n \right)$ est décroissante  
 \begin{center}
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(8,7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,-1)(8,7)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-2pt 2pt,yticksize=0 0,labels=x]{->}(0,0)(0,-1)(8,7)
\uput[dl](8,0){\footnotesize{\bleu{$n$}}} \uput[dl](0,7){\footnotesize{\bleu{$u_n$}}}
\def\f{6.4 .7  x exp mul }
\psplot[plotpoints=9,linewidth=1pt,linecolor=bleu,linestyle=none,showpoints=true]{0}{8}{\f}
\end{pspicture} 
\end{center}
 
 & Si $u_0 < 0$, alors la suite  $\left( u_n \right)$ est croissante 
 	 \begin{center}
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-1,-7)(8,1)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,-7)(8,1)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-2pt 2pt,yticksize=0 0,labels=x]{->}(0,0)(0,-7)(8,1)
\uput[dl](8,0){\footnotesize{\bleu{$n$}}} \uput[dl](0,1){\footnotesize{\bleu{$u_n$}}}
\def\f{6.4 neg .7  x exp mul }
\psplot[plotpoints=9,linewidth=1pt,linecolor=bleu,linestyle=none,showpoints=true]{0}{8}{\f}
\end{pspicture} 
\end{center}
\\ \hline
 	\end{tabularx}
 	
 \medskip
 
 	Nous pouvons en déduire les deux théorèmes suivants
 	
 	\medskip
 	
\textsf {\textsc{\small {théorème 1}}}

\medskip

\cadreR{Soit  $q$ un réel non nul. 
\begin{itemize}
	\item  Si  $ q < 0$ alors la suite $\left( q^n \right)$ n'est pas monotone.
	\item  Si  $ q > 1$ alors la suite $\left( q^n \right)$ est strictement croissante.
	\item  Si  $ 0< q < 1$ alors la suite $\left( q^n \right)$ est strictement décroissante.
 \item  Si  $ q = 1$ alors la suite $\left( q^n \right)$ est constante.
\end{itemize}
}

\medskip

\textsf {\textsc{\small {théorème 2}}}

\medskip

\cadreR{Soit  $\left( u_n \right)$ une suite géométrique de raison $q$ non nulle et de premier terme $u_0$ non nul
\begin{itemize}
	\item Si  $ q < 0$ alors la suite $\left( u_n \right)$ n'est pas monotone.
	\item Si  $ q > 0$ et  $ u_0 > 0$ alors la suite $\left( u_n \right)$ a le même sens de variation que la suite $\left( q^n \right)$.
	\item Si  $ q > 0$ et  $ u_0 < 0$ alors la suite $\left( u_n \right)$ a  le sens de variation contraire de celui de la suite $\left( q^n \right)$.
\end{itemize}
}
\subsection{somme de termes consécutifs}

\cadreR{Soit  $\left( u_n \right)$ une suite géométrique de raison $q \ne 1$ et de premier terme $u_0$ alors pour tout entier $n$, \[ u_0  +  u_{1}  + \cdots + u_n =\sum_{i=0}^{n} u_{i} = u_0 \left(\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\right)\]
}
\medskip

Cette formule peut se retenir de la façon suivante :

\medskip

\cadreB{
La somme $S$ de termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $q \ne 1$  est :\[S= \text{premier terme } \times \frac{1- q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}\]
}

\medskip

\section{limite d'une suite}

On étudie le comportement d'une suite $\left( u_n \right)$ quand $n$ prend de grandes valeurs. 

\subsection{limite infinie}

\subsubsection{définition}

\cadreR{
On dit qu'une suite $\left( u_n \right)$ admet une limite égale à  $+\infty$ quand $n$ tend vers  $+\infty$ si pour tout nombre réel $A$ strictement positif, tous les termes de la suite sont supérieurs à $A$ à partir d'un certain rang $p$. On écrit :\[ \displaystyle \lim_{n\to +\infty}u_n=+\infty \]
}

\medskip

Concrètement, une suite $\left( u_n \right)$ tend vers $+\infty$  si $u_n $  est aussi grand que l'on veut dès que $n$ est suffisamment grand.


\subsubsection{interprétation graphique}

On a représenté ci-dessous une suite $\left(u_n\right)$ ayant une limite égale à $+\infty$

\begin{center}
\psset{xunit=.4cm, yunit=.95cm}
\begin{pspicture}(0,0)(31,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{.9 neg x exp 1 add .005 x 2 exp mul add }
\psset{dotscale=1.2}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=Rfond, linewidth=0,linecolor=Rfond](20,3)(31,6)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(31,6)
\uput[dl](31,0){\bleu{$n$}} \uput[dl](0,6){\bleu{$u_n$}}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](0,3)(31,3)
\psplot[plotpoints=31,linewidth=.5pt,linecolor=bleu,linestyle=none,showpoints=true]{0}{30}{\f}
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune,linestyle=dashed](20,0)(20,6)
\uput[d](20,0){\prune{$p$}} 
\uput[l](0,3){\prune{$A$}} 
\end{pspicture}
\end{center}
Pour tout entier $n \geqslant p$, $u_n > A$. $p$ est le seuil à partir duquel $u_n > A$

\subsubsection{définition}

\cadreR{
On dit qu'une suite $\left( u_n \right)$ admet une limite égale à $-\infty$ quand $n$ tend vers  $+\infty$ si pour tout nombre réel $A$ strictement négatif, tous les termes de la suite sont inférieurs à $A$ à partir d'un certain rang $p$. On écrit :\[ \displaystyle \lim_{n\to +\infty}u_n=-\infty \]}

\subsection{limite finie}

\subsubsection{définition}

\cadreR{
Soit $\left( u_n \right)$ une suite définie sur $\N$ et $\ell$ un réel. 
\begin{enumerate}
	\item Dire que la suite $\left( u_n \right)$ admet pour limite le réel $\ell$ signifie que tout intervalle ouvert de la forme $\left] \ell - r ; \ell +r \right[$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang $p$. On écrit :\[ \displaystyle \lim_{n\to +\infty}u_n=\ell \]
	
	\item Une suite qui admet pour limite un réel $\ell$ est dite \emph{convergente}. 
\end{enumerate}
}

\medskip

Autrement dit, une suite $\left( u_n \right)$ est convergente vers un réel $\ell$ si tous les termes de la suite à partir d'un certain rang $p$ peuvent être aussi proches que voulu de $\ell$.

\subsubsection{interprétation graphique}

Si on représente la suite convergente par un nuage de points dans un repère, à partir d'un certain rang $p$, tous les points sont dans la bande délimitée par les droites d'équation $y= \ell -r$ et $y=\ell + r$.

\begin{center}
\psset{xunit=.6cm, yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.5,0)(20.5,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{3 2 .8 neg x exp mul add }
\psset{dotscale=1.2}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=Rfond, linewidth=0,linecolor=Rfond](0,2.5)(20.5,3.5)
\psline[linewidth=.25pt,linecolor=prune](0,2.5)(20.5,2.5)
\psline[linewidth=.25pt,linecolor=prune](0,3.5)(20.5,3.5)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(20.5,6)
\uput[dl](20.5,0){\bleu{$n$}} \uput[dl](0,6){\bleu{$u_n$}}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](0,3)(20.5,3)
\psplot[plotpoints=21,linewidth=.5pt,linecolor=bleu,linestyle=none,showpoints=true]{0}{20}{\f}
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune,linestyle=dashed](8,0)(8,4)
\uput[d](8,0){\prune{$p$}} 
\uput[l](0,2.5){\prune{$\ell -r$}} 
\uput[l](0,3){\prune{$\ell$}} 
\uput[l](0,3.5){\prune{$\ell +r$}} 
\end{pspicture}
\end{center}

Le rang $p$ est le seuil à partir duquel \og $u_n$ est à une distance de $\ell$ inférieure à $r$ \fg

\subsubsection{propriété}

\cadreR{
La suite  $\left( u_n \right)$  converge vers un réel $\ell$ si, et seulement si,  la suite $\left( u_n \right) - \ell $ est convergente vers un 0.
}


\medskip

\textsf {\textsc{\textbf{remarque}}}

\medskip

Une suite peut ne pas admettre de limite. Par exemple la suite de terme général $(-1)^n$ prend alternativement les valeurs 1 et $-1$. Elle n'admet pas de limite.


\subsection{limites d'une suite géométrique}

\subsubsection{Théorème \hspace{1cm} \normalfont{(\emph{admis})}} 

\cadreR{%
Soit $q$ un réel strictement positif :
\begin{itemize}
	\item Si $0<q<1$ alors la suite géométrique de terme général $q^n$ converge vers 0 : $\displaystyle \lim_{n\to +\infty}q^n=0$.
	\item Si $q=1$ alors la suite géométrique de terme général $q^n$ est constante et sa limite est 1.
	\item Si $q>1$ alors la suite géométrique de terme général $q^n$ a pour limite $+\infty$ : $\displaystyle \lim_{n\to +\infty}q^n=+\infty$.	
\end{itemize}
}

\subsubsection{corollaire}

\cadreR{Soit  $\left( u_n \right)$ une suite géométrique de premier terme $u_0$ non nul et de raison $q$ strictement positive. 
\begin{itemize}
	\item Si $0 < q < 1$ alors la suite $\left( u_n \right)$  converge et $\displaystyle \lim_{n\to +\infty}u_n= 0$.
	\item Si $q = 1$ alors la suite $\left( u_n \right)$ est constante  et égale à $u_0$.
	\item Si $q > 1$ alors la suite $\left( u_n \right)$ admet une limite infinie avec :
	\[\displaystyle \lim_{n\to +\infty}u_n=-\infty \: \text{ si } \: u_0 < 0 \qquad \text{ et } \qquad \displaystyle \lim_{n\to +\infty}u_n=+\infty \: \text{ si } \: u_0 > 0\]
\end{itemize}
}

\subsubsection{recherche d'un seuil à l'aide d'un algorithme}

{\textsf{\textsc{\small{exemple}}}}

\medskip

Soit $\left(u_n\right)$ la suite géométrique de raison 1,01 et de premier terme $u_0=5000$

L'algorithme suivant permet d'obtenir le seuil à partir duquel le terme général de la suite est supérieur à \np{7500}.

C'est à dire déterminer le plus petit entier $p$ tel que pour tout entier $n \geqslant p$ , $5000\times 1,01^n \geqslant 7500$

\medskip

\begin{minipage}{.35\linewidth}   
\begin{algorithm}[H]
\SetCommentSty{AlgCommentaire}
\textsc{\textsf{Initialisation :}}\\
  {$U=5000$  \; $N=0$\;}
  \textsc{\textsf{Traitement :}}\\
  \Tq{$U < 7500$}{
  $N$ prend la valeur $N+1$ \;
  $U$ prend la valeur $1,01 \times U$ \;  
    }
\textsc{\textsf{Sortie :}}\\
    Afficher $N$
    
\end{algorithm}
 \end{minipage} \hfill  \begin{tabularx}{.6\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
 \multicolumn{2}{|c|}{PROGRAMME}\\ \hline 
TEXAS & CASIO \\ \hline
\texttt{\begin{tabular}{@{ : }l}
\multicolumn{1}{l}{PROGRAM : SEUIL} \\ 
5000 $\rightarrow$  U\\
0 $\rightarrow$  N\\
While U < 7500\\
N + 1 $\rightarrow$  N\\
1.01*U $\rightarrow$  U\\
End\\
Disp U\\
\end{tabular}}
 & \texttt{\begin{tabular}{l}
\multicolumn{1}{c}{===== SEUIL =====} \\ 
5000 $\rightarrow$  U  \fvalid\\
0 $\rightarrow$  N \fvalid\\
While U < 7500 \fvalid\\
N + 1 $\rightarrow$  N \fvalid\\
1.01*U $\rightarrow$  U \fvalid\\
WhileEnd \fvalid\\
N\\
\end{tabular}} \\ \hline
 \end{tabularx} 

\medskip

La calculatrice affiche 41. Donc pour tout entier $n \geqslant 41$, on a  $5000\times 1,01^n \geqslant 7500$.



\pagebreak

\addcontentsline{toc}{section}{Exercices} 

\exo

 \medskip 
 
Soit $(u_n)$ la suite définie par : $u_0 = 16$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}= 0,75\times u_n$.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
	\item Quelle est la nature de la suite $(u_n)$ ?
	\item Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ en fonction de $n$. 
	\item \'Etudier la monotonie de la suite $\left( u_n \right)$.
	\item On note $S_n$ la somme des $n+1$ premiers termes de la suite $u_n$. Calculer $S_4$.
\end{enumerate}
	\item  On a tracé ci-dessous dans un repère orthonormé, la courbe représentative de la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)=0,75x$ et la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=x$.
	
	\medskip
	
	\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(33,26)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(33,26)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{->}(0,0)(16.5,13)
\uput[d](16.5,0){$x$} \uput[l](0,13){$y$}
\uput[dl](0,0){\footnotesize 0} \uput[d](1,0){\footnotesize 1} \uput[l](0,1){\footnotesize 1}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=bleu](0,0)(13,13)
\uput[r](13,13){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{D}$}}} 
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=prune](0,0)(16.5,12.375)
\def\fct{.75 xUn mul}% 
\pstVerb{/xUn 16 def}% u0 
\psline[linecolor=prune,linewidth=1pt]{->}(16,0)(!16 \fct) 
\multido{\n=0+1,\i=1+1}{1}{% 
\uput[d](! xUn 0 ){\prune{\footnotesize{$u_{\n}$}}}
\psline[linecolor=prune,linewidth=1pt]{->}(! xUn \fct )(! \fct\space dup)
\uput[u](! xUn \fct ){\bleu{\footnotesize{$M_{\i}$}}} 
\uput[ul](! \fct\space dup){\red{\footnotesize{$A_{\i}$}}}
\pstVerb{ /xUn \fct\space def}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=blue,linewidth=.5pt]{->}(! xUn xUn)(! xUn 0 )
\psline[linecolor=prune,linewidth=1pt]{->}(! xUn xUn )(! xUn \fct )
} 
\uput[d](! xUn 0 ){\prune{\footnotesize{$u_{1}$}}}

\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
	\item Construire sur le graphique les termes de la suite $u_2$, $u_3, \cdots , u_{11}$.
	\item Que peut-on conjecturer à propos de la limite de la suite $(u_n)$ ?
\end{enumerate}	
	\item \`A l'aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier $n$ tel que $u_n \leqslant 0,1$.
	\item Montrer que pour tout entier $n$, $S_n = 64 \left(1-0,75^{n+1} \right)$. Vers quel réel tend $S_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

 \medskip 
 
Soit $(u_n)$ la suite géométrique définie par : $u_0 = \dfrac{1}{2}$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}= \dfrac{8}{5}\times u_n$.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
	\item Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ en fonction de $n$. 
	\item \'Etudier le sens de variation de la suite $\left( u_n \right)$.

\end{enumerate}
	\item 
\begin{enumerate}
	\item Utiliser les droites d'équations $y = x$ et $y = 1,6x$  pour construire les huit premiers termes de la suite  $(u_n)$.
		\medskip
	
	\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(30,28)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(30,28)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{->}(0,0)(15,14)
\uput[d](15,0){$x$} \uput[l](0,14){$y$}
\uput[dl](0,0){\footnotesize 0} \uput[d](1,0){\footnotesize 1} \uput[l](0,1){\footnotesize 1}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=bleu](0,0)(14,14)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=prune](0,0)(8.75,14)
\end{pspicture}
\end{center}
\item Que peut-on conjecturer à propos de la limite de la suite $(u_n)$ ?
\end{enumerate}
\item \`A l'aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier $n$ tel que $u_n \geqslant 5000$.
\item On note $S$ la somme des $n$ premiers termes de la suite $u_n$.
\begin{enumerate}
	\item Montrer que pour tout entier $n$, $S = \dfrac{5\left(1,6^n -1 \right)}{6}$.
	\item Vers quel réel tend $S$ quand $n$ tend vers $+\infty$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}



\bigskip

\exo

 \medskip 


Le glacier d'Aletsch, situé dans le sud de la Suisse, est le plus grand glacier des Alpes.
 
En 2010, sa longueur était de 22,7 kilomètres pour une superficie de $128\mathrm{km}^2$. 

Depuis 1980, un réchauffement climatique significatif a conduit à un recul des glaciers de plus en plus rapide.

On émet l'hypothèse que la longueur du glacier d'Aletsch diminue de 2 \% tous les 10 ans à partir de 2010.

On note $u_n$ la longueur en kilomètres du glacier d'Aletsch $n$ dizaines d'années après 2010. Ainsi, $u_0=22,7$.

\medskip


\begin{enumerate}
\item Donner une estimation de la longueur du glacier en 2020.
\item \begin{enumerate}
\item Justifier que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0,98u_{n}$.
\item Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ?
\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$. 

\end{enumerate}

\item Selon ce modèle, le glacier d'Aletsch aura-t-il perdu au moins quatre kilomètres en un siècle ?
\item On souhaite écrire un algorithme qui permette d'afficher dans combien d'années le glacier d'Aletsch aura  perdu au moins la moitié de sa longueur.
	
Parmi les trois algorithmes suivants, déterminer celui qui convient pour répondre au problème posé et expliquer pourquoi les deux autres ne conviennent pas.
	
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|c|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}
\multicolumn{1}{|c|}{\textsf{Algorithme 1}}&&\multicolumn{1}{c|}{\textsf{Algorithme 2}}\\[.5em]
Affecter à $n$ la valeur 0&&Affecter à $n$ la valeur 0\\
Affecter à $U$ la valeur 22,7&&Affecter à $U$ la valeur 22,7\\
Tant que $U \geqslant  11,35$
\begin{itemize}
\item[] Affecter à $U$ la valeur $22,7 \times  0,98^n$
\item[] Affecter à $n$ la valeur $n + 1$
\end{itemize}
Fin Tant que &&Tant que  $U \geqslant  11,35$
\begin{itemize}
\item [] Affecter à $U$ la valeur $0,98 \times U$
\item[] Affecter à $n$ la valeur $n + 1$
\end{itemize}Fin Tant que\\
Afficher  $10\times n$&&Afficher  $10\times n$\\ \cline{1-1}\cline{3-3}
\end{tabularx}

\begin{center}
\begin{tabularx}{.5\linewidth}{|X|}\hline
\multicolumn{1}{|c|}{\textsf{Algorithme 3}}\\[.5em]
Affecter à $n$ la valeur 0\\
Affecter à $U$ la valeur 22,7\\
Tant que $U \leqslant  11,35$
\begin{itemize}
\item[] Affecter à $U$ la valeur $0,98 \times U$
\item[] Affecter à $n$ la valeur $n +10$
\end{itemize}
Fin Tant que \\
Afficher $n$ \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\end{enumerate}

 \bigskip 

\exo \hfill (\emph{D'après sujet bac Nouvelle Calédonie 2013})

 \medskip 


La suite $\left(u_{n}\right)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1} = 0,4u_{n} + 3$ et $u_{0} = - 1$.
 
\medskip

\textsf {\textsc{\textbf{partie a}}}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item À l'aide d'un tableur, on a calculé les 11 premières valeurs de $u_{n}$. On obtient les résultats suivants :
 
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\small}c|>{\small}l|*{12}{>{\centering \arraybackslash \small} X|}}\hline
&\multicolumn{1}{c|}{\sf{A}}&\sf{B} &\sf{C} &\sf{D} &\sf{E} &\sf{F} &\sf{G} &\sf{H} &\sf{I} &\sf{J} &\sf{K} &\sf{L}\\ \hline
\sf{1}&Valeur de $n$&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ \hline
\sf{2}&Valeur de $u_{n}$&
$- 1$& 2,6 &  4,04 & 4,616 & 4,8464 & 4,9386 & 4,9754 & 4,9902 & 4,9961 & 4,9984 & 4,9994 \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Parmi les quatre formules ci-dessous, laquelle a-t-on entré dans la cellule C2 pour obtenir par copie vers la droite les valeurs affichées dans les cellules D2 à L2 (on indiquera la réponse sur la copie sans justification) ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\raggedright}X*{2}{>{\centering}X}>{\raggedleft}X } 
\textbf{a.~} $= 0,4^n +3$&\textbf{b.~} $= \$\text{B}\$2*0,4+3$ 	&\textbf{c.~} $=\text{B}2*0,4+3$ &\textbf{d.~} $= 0,4 \mathsf{\Huge{\hat{\phantom{,}}}} \text{C}1+3$
\end{tabularx}

\item Quelle conjecture peut-on faire sur la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? 
\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{.75\linewidth}{|l X|}\hline 
\textsf{\textsc{variables :}}		& 	$p$ et $n$ sont des entiers naturels, $u$ est un nombre réel\\ 
\textsf{\textsc{entrée :}}		& 	saisir la valeur de $p$\\ 
\textsf{\textsc{initialisation :}}& 	$n$ prend la valeur $0$, $u$ prend la valeur $- 1$\\ 
\textsf{\textsc{traitement :}}	& 	Tant que $|u - 5| > 10^{-p}$\\ 
&	\begin{tabular}{@{\hspace{1em}}|l}
$n$ prend la valeur $n + 1$\\
$u$ prend la valeur $0,4u + 3$
\end{tabular}\\ 
& Fin Tant que\\
\textsf{\textsc{sortie :}}& 	Afficher la valeur de $n$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
À l'aide du tableau de la question 1, donner la valeur affichée par cet algorithme lorsque $p = 2$.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textsc{\textbf{partie b}}}

\medskip
 
On étudie maintenant la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n} = 6 \times  (0,4)^n$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$ et ses éléments caractéristiques. 
\item Déterminer la limite de $\left(v_{n}\right)$ quand $n$ tend vers $+ \infty$. 
\item On admet que pour tout entier naturel $n$ : $u_{n} = 5 - v_{n}$. Déterminer la limite de $\left(u_{n}\right)$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer en fonction de $n$ la somme $v_{0} + v_{1} + \cdots + v_{n}$. 
		\item En déduire en fonction de $n$ la somme $u_{0} + u_{1} + \cdots + u_{n}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip


\exo 

 \medskip 

La température d'un gâteau à la sortie du four est de 160\textdegree C.

L'évolution de la température du gâteau en fonction du temps est modélisée par la suite $\left( T_n \right)$ définie par $T_0=160$ et, pour tout entier naturel $n$, $T_{n+1} = 0,94\times T_n+1,5$. 

Pour tout entier naturel $n$, le terme $T_n$ de la suite $\left( T_n \right)$ est égal à la température en degrés Celsius du gâteau $n$ minutes après la sortie du four. 

\medskip

 \textsf{\textsc{\textbf{partie a}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la température, arrondie au degré près, du gâteau 5 minutes après la sortie du four ?
		
		\item Pour déterminer au bout de combien de minutes la température du gâteau sera inférieure ou égale à 30\textdegree C, on a commencé par élaborer l'algorithme ci-dessous.
		
		Recopier et compléter cet algorithme afin qu'il affiche la réponse.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|lX|}\hline
\textsc{\textsf{Variables:}}			&$N$ est un entier naturel\\
							&$T$ est un nombre réel\\
\textsc{\textsf{Initialisation :}}	&Affecter à $N$ la valeur 0\\
							&Affecter à $T$ la valeur 160\\
\textsc{\textsf{Traitement :}}		&Tant que \ldots\\
							&\begin{tabular}{m{0.4cm} l}
								&Affecter à $T$ la valeur \ldots\\
								&Affecter à $N$ la valeur \ldots.
								\end{tabular}\\
							&Fin Tant que\\
\textsc{\textsf{Sortie :}}			&Afficher $N$\\ \hline
\end{tabularx}								
\end{center}
\end{enumerate}

 \textsf{\textsc{\textbf{partie b}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour tout nombre entier naturel $n$, on définit la suite $\left(V_n\right)$ par : $V_n = T_n - 25$.

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(V_n\right)$ est une suite géométrique  dont on précisera le premier terme et la raison.
		\item Montrer que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a : $T_n = 135 \times  0,94^{n}+25$.		
	\end{enumerate}
	\item Calculer la limite de la suite $\left( T_n \right)$ et interpréter ce résultat.
	
\end{enumerate}

\bigskip 
\exo

 \medskip 
 
En raison de l'évaporation, une piscine perd chaque semaine 3~\% de son volume d'eau. 

On remplit un bassin avec $95~\mathrm{m}^3$ d'eau. 

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

On note $C_{n}$ le nombre de $\mathrm{m}^3$ d'eau contenu dans ce bassin au bout de $n$ semaines.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la nature de la suite $\left(C_{n}\right)$ puis, exprimer $C_{n}$ en fonction de $n$.
\item Au bout de six semaines, le bassin aura-t-il perdu 18~\% de son volume d'eau ?
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Pour être praticable, le bassin doit contenir au moins $88~\mathrm{m}^3$ d'eau. 

Pour compenser la perte due à l'évaporation, on décide de rajouter chaque semaine $2,4~\mathrm{m}^3$ d'eau dans le bassin.

On note $u_{n}$ le nombre de $\mathrm{m}^3$ d'eau contenu dans ce bassin au bout de $n$ semaines. 

On a donc $u_{0} =  95$ et, pour tout entier $n$, $u_{n+1}= 0,97 \times u_n + 2,4$.

\begin{enumerate}
\item Pour déterminer au bout de combien de semaines le volume d'eau du bassin sera inférieure ou égale à $88~\mathrm{m}^3$ d'eau, on a commencé par élaborer l'algorithme ci-dessous:		
		
\begin{center}
\textsf{\begin{tabular}{|l l|}\hline 
Initialisation :& Affecter à $N$ la valeur 0\\
& Affecter à $U$ la valeur $95$\\
Traitement :& Tant{\_}que $U \cdots $ :\\
&\begin{tabular}{l|l}
~~& Affecter à $N$ la valeur $N + 1$\\
~~& Affecter à $U$ la valeur \dots\\
\end{tabular}\\
& Fin Tant{\_}que\\ 
Sortie :& Afficher \dots\\ \hline
\end{tabular}}
\end{center} 
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter cet algorithme afin qu'il affiche la réponse.
 \item Quel nombre obtient-on en sortie de l'algorithme ? Interpréter ce résultat.
\end{enumerate}

\item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n} = u_{n} - 80$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. 
		\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$. En déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_{n} = 80 + 15 \times  0,97^n$.		
	\end{enumerate} 
	\item \'Etudier la monotonie de la suite  $u_{n}$.
\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. Interpréter ce résultat.

\end{enumerate}

  \bigskip 
 
\exo 

 \medskip 

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1} = 1,05u_{n} -30$ et de premier terme $u_{0}$.

Pour tout nombre entier naturel $n$, on définit la suite $\left(v_n\right)$ par : $v_n = u_n - 600$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique  dont on précisera la raison.
		\item On suppose dans cette question, que $u_{0}=500$
		\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a : $u_n = 600- 100 \times  1,05^{n}$.
		\item \'Etudier la monotonie de la suite  $u_{n}$.
\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
\item À l'aide d'un algorithme, déterminer le plus petit entier $p$ tel que pour tout entier $n\geqslant p$ on a  $u_n \leqslant 250$.
	\end{enumerate}	
	\item On suppose dans cette question, que $u_{0}=800$
		\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a : $u_n = 600+200 \times  1,05^{n}$.
		\item \'Etudier la monotonie de la suite  $u_{n}$.
\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
\item À l'aide d'un algorithme, déterminer le plus petit entier $p$ tel que pour tout entier $n\geqslant p$ on a  $u_n \geqslant 1000$.
	\end{enumerate}	
	\end{enumerate}
	
\bigskip

\exo

\medskip

Au 31 décembre 2014, Pierre  n'a  réussi à économiser que 40 euros. Ses parents lui versent 50 euros tous les premiers du mois.

Pierre décide que pour s'offrir un smartphone qui coûte 180 euros, il ne dépensera chaque mois que 20\,\% de son capital accumulé.

Le premier versement lui a été fait au 1\up{er} janvier 2015.

Soit $u_n$ le montant des économies de Pierre à la fin du mois après le $n$-ième versement. Ainsi $u_0= 40$ et $u_1$ correspond au montant des économies de  Pierre au soir du 31 janvier 2015.
\begin{enumerate}
\item  Montrer que $u_2 = 97,60$. 
\item Au terme de quel mois, Pierre aura-t-il économisé la somme nécessaire à l'achat du smartphone ?
\end{enumerate}
 
\end{document}

