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\setdefaultenum {1.}{a)}{}{}
\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
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\newcommand{\Oijk}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j ,\vec k} \right)$}
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% Mise en forme des algorithmes
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  \SetKwIF {Si}{SinonSi}{Sinon}{si}{alors}{sinon\_si}{alors}{fin~si}
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  \newcommand{\AlgCommentaire}[1]{\textsl{\small  #1}}  
%
\newcommand{\QCM}[3]{ $\bullet$ \quad #1 \hfill 
$\bullet$ \quad #2 \hfill 
$\bullet$ \quad #3 }

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\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #2 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #3 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #4 }} % QCM avec cases à cocher%

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#1\end{minipage}}}
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\psframebox[framesep=.8em,linecolor=black,linewidth=0.25pt,framearc=0.2]{\begin{minipage}{\linewidth-1.6em}%
#1\end{minipage}}}

\newcommand{\dem}{
 \medskip
  \par{\textsf{\textsc{{\small{\ding{106}\: démonstration}}}}}%
   \medskip}
  

   \newcommand{\preuve}{
 \medskip
  \par{\textsf{\textsc{{\small{\ding{106}\: preuve}}}}}%
   \medskip} 
    

\newcommand{\encadrer}[1]{
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\fbox{#1}}}


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% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\Année 2016-2017}}} %gauche
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\makeatletter
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  \refstepcounter{nexo} 
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  \stepcounter{nactivite} 
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%%%% fin macro %%%%
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\setcounter{tocdepth}{1}

\begin{document}

\begin{titlepage}
 \newrgbcolor{Fondpage}{0.525 0.645 .545} 
 
\pagecolor{Fondpage}

\begin{flushright}

{\Huge{\white{\textsf{\textbf{\scalefont{3}\selectfont T\up{le} STI2D}}}}}
\end{flushright}

\vspace{\stretch{2}}
\begin{center}

{\Huge{\white{\textsf{\textbf{\scalefont{2.5}\selectfont MATHÉMATIQUES}}}}}

\vspace{\stretch{3}}


\hrulefill

\vspace{1em}

Le polycopié  regroupe les documents distribués aux élèves de T\up{le} STI2D en cours d'année.

\bigskip

Janson de Sailly (année 2016-2017)
\end{center}

\hrulefill

\vspace{1em}

\begin{flushright}
\textsc{\textsf{A. YALLOUZ}}
\end{flushright}

\end{titlepage}

\pagecolor{white}

\dominitoc[n]

\textsf{\tableofcontents}


\chapter{Limites}

\minitoc

\newpage


La notion intuitive de limite permet de mettre en évidence le comportement d'une fonction dans les cas suivants :
\begin{itemize}
	\item Que se passe-t-il lorsque la variable $x$ est proche d'une valeur $a$, sans pour cela l'atteindre ?
	\item Que se passe-t-il lorsque la variable $x$ s'éloigne infiniment de 0 (limites en $+\infty$ ou en $-\infty$) ?
\end{itemize}
	

\section{Notion de limite} 

 \subsection{Limite finie d'une fonction en un réel} 
 \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}m{12.5cm} >{\raggedleft \arraybackslash}X@{}}
Soit $f$ une fonction définie au \og voisinage \fg{} d'un réel $a$. 

Dire que la fonction $f$ a pour limite le réel $\ell$ en $a$ signifie que tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ suffisamment proche de $a$.

On note : $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=\ell$
&\psset{xunit=.6cm,yunit=.5cm}
\begin{pspicture}(-.5,-.6)(6,4)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(.5*x+1)*Euler^(1-x^2/16)-1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-.5,-.6)(6,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](5.6,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,3.5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=0.75pt, linecolor=bleu]{.5}{5.8}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=10,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{3.473}{4.492}{\f}
\psline[linewidth=.75pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=prune](0,2)(4,2)(4,0)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=red](0,2.5)(4.492,2.5)(4.492,0)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=red](0,1.5)(4.492,1.5)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=red](3.473,0)(3.473,2.5)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=red]{]-[}(3.473,0)(4.492,0)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=red]{]-[}(0,1.5)(0,2.5)
\psdots[linecolor=prune,dotscale=.8,dotstyle=Bo](4,2)
\uput[d](4,0){\red{\footnotesize{$a$}}}
\uput[l](0,2){\red{$\ell$}}
\end{pspicture}
 \end{tabularx} 

 \subsection{Limite infinie d'une fonction en un réel} 
  \subsubsection{Définitions} 
 \cadreR{ 
Soit $f$ une fonction définie au \og voisinage \fg{} d'un réel $a$ à droite de $a$ (resp. à gauche de $a$). 

Dire que la fonction $f$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $a$ avec $x>a$ (resp. avec $x<a$) signifie que tout intervalle $]M; +\infty[$, où $M$ est un réel, contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ suffisamment proche de $a$ avec $x>a$ (resp. avec $x<a$).

On note : $\displaystyle \lim_{\underset{x>a}{x\to a}}f(x)=+\infty$ ou $\displaystyle \lim_{x\to a^+}f(x)=+\infty$ (resp. $\displaystyle \lim_{\underset{x<a}{x\to a}}f(x)=+\infty$ ou $\displaystyle \lim_{x\to a^-}f(x)=+\infty$)
}


\medskip

On a des définitions analogues lorsque la limite de $f$ en $a$ est $-\infty$

\medskip

 \cadreR{ 
Soit $f$ une fonction définie au \og voisinage \fg{} d'un réel $a$ à droite de $a$ (resp. à gauche de $a$). 

Dire que la fonction $f$ tend vers $-\infty$ quand $x$ tend vers $a$ avec $x>a$ (resp. avec $x<a$) signifie que tout intervalle $]-\infty ; M[$, où $M$ est un réel, contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ suffisamment proche de $a$ avec $x>a$ (resp. avec $x<a$).

On note : $\displaystyle \lim_{\underset{x>a}{x\to a}}f(x)=-\infty$ ou $\displaystyle \lim_{x\to a^+}f(x)=-\infty$ (resp. $\displaystyle \lim_{\underset{x<a}{x\to a}}f(x)=-\infty$ ou $\displaystyle \lim_{x\to a^-}f(x)=-\infty$)
}

\subsubsection{Interprétation graphique : asymptote verticale}

\cadreR{%
Dans un repère orthogonal du plan, si $\displaystyle \lim_{x\to a^+}f(x)=+\infty$ ou $\displaystyle \lim_{x\to a^-}f(x)=+\infty$ ou $\displaystyle \lim_{x\to a^+}f(x)=-\infty$ ou \mbox{$\displaystyle \lim_{x\to a^-}f(x)=-\infty$}, on dit alors, que la droite d'équation $x=a$ est une asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction $f$. 
}


\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-.5,-1.5)(6.5,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{mauveClair}{.95 .9 .95}
\def\f{(x-1)/(x^2-4*x+5)+1/(x-1)-1}
\rput(3,5.5){Limite \og à droite de $a$ \fg}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-.5,-.5)(6.5,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[dl](6.5,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,5){\footnotesize{$y$}}
\psframe[linewidth=.25pt,fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair,linecolor=mauveClair](1,1.567)(1.45,5)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=0.75pt, linecolor=bleu]{1.1695}{6.5}{\f}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](1,0)(1,5)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=red](1.45,0)(1.45,5)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=red](0,1.567)(1.45,1.567)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=darkgray,ArrowInside=->,arrowscale=2,ArrowFill=true](0,2.5)(1.3,2.5)(1.3,0)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=red]{]-}(0,1.567)(0,4.85)
\psline[linewidth=.25pt,linecolor=red]{->}(1.4,-.25)(1.1,-.25)
\psline[linewidth=.25pt,linecolor=darkgray]{->}(-.35,2.7)(-.35,4.5)
\uput[l](0,2.5){\footnotesize{$f(x)$}}
\uput[dl](0,4.9){\scriptsize{$+\infty$}}
\uput[l](0,1.567){\red{\tiny{$M$}}}
\uput[d](1,0){\red{\footnotesize{$a$}}}
\uput[dr](1.45,0){\red{\footnotesize{$a+h$}}}
\rput(3,-1.5){$\displaystyle \lim_{\underset{x>a}{x\to a}}f(x)=+\infty$}
\end{pspicture}\hfill
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-1.5)(5,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{mauveClair}{.95 .9 .95}
\def\f{(4-x)/(x^2-6*x+10)-1/(x-4)-1}
\rput(1.5,5.5){Limite \og à gauche de $a$ \fg}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-2,-.5)(5,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[dl](5,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,5){\footnotesize{$y$}}
\psframe[linewidth=.25pt,fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair,linecolor=mauveClair](4,1.567)(3.55,5)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=0.75pt, linecolor=bleu]{-2}{3.8305}{\f}
\psline[linewidth=.75pt,linecolor=prune](4,0)(4,5)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=red](3.55,0)(3.55,5)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=red](0,1.567)(4,1.567)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=darkgray,ArrowInside=->,arrowscale=2,ArrowFill=true](0,2.5)(3.71,2.5)(3.71,0)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=red]{]-}(0,1.567)(0,4.85)
\psline[linewidth=.25pt,linecolor=red]{->}(3.55,-.25)(3.85,-.25)
\psline[linewidth=.25pt,linecolor=darkgray]{->}(-.35,2.7)(-.35,4.5)
\uput[l](0,2.5){\footnotesize{$f(x)$}}
\uput[dl](0,4.9){\scriptsize{$+\infty$}}
\uput[l](0,1.567){\red{\tiny{$M$}}}
\uput[d](4,0){\red{\footnotesize{$a$}}}
\uput[dl](3.55,0){\red{\footnotesize{$a-h$}}}
\rput(1.5,-1.5){$\displaystyle \lim_{\underset{x<a}{x\to a}}f(x)=+\infty$}
\end{pspicture}

\begin{center}
Pour tout entier naturel $k$,  $f(x) \geqslant 10^k$ à condition de choisir $x$ suffisamment proche de $a$.
\end{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4.5,-4.5)(2.5,1.7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{mauveClair}{.95 .9 .95}
\def\f{1.5-(x+4)/(x^2+6*x+10)-1/(x+4)}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-4.5,-3.5)(2.5,1.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](1.5,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,1.5){\footnotesize{$y$}}
\psframe[linewidth=.25pt,fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair,linecolor=mauveClair](-4,-1.067)(-3.55,-3.5)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=0.75pt, linecolor=bleu]{-3.795}{2.5}{\f}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](-4,0)(-4,-3.5)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=red](-3.55,0)(-3.55,-3.5)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=red](-4,-1.067)(0,-1.067)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=darkgray,ArrowInside=->,arrowscale=2,ArrowFill=true](0,-2.5)(-3.74,-2.5)(-3.74,0)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=red]{]-}(0,-1.067)(0,-3.5)
\psline[linewidth=.25pt,linecolor=red]{->}(-3.55,.25)(-3.85,.25)
\psline[linewidth=.25pt,linecolor=darkgray]{->}(.35,-2.7)(.35,-3.3)
\uput[r](0,-2.5){\footnotesize{$f(x)$}}
\uput[r](0,-3.5){\scriptsize{$-\infty$}}
\uput[r](0,-1.067){\red{\tiny{$M$}}}
\uput[u](-4,0){\red{\footnotesize{$a$}}}
\uput[ur](-3.55,0){\red{\footnotesize{$a+h$}}}
\rput(-1,-4.5){$\displaystyle \lim_{\underset{x>a}{x\to a}}f(x)=-\infty$}
\end{pspicture}\hfill
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-4.5)(5,1.7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{mauveClair}{.95 .9 .95}
\def\f{(x-4)/(x^2-6*x+10)+1/(x-4)+1.5}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-2,-3.5)(5,1.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](4.7,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,1.5){\footnotesize{$y$}}
\psframe[linewidth=.25pt,fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair,linecolor=mauveClair](4,-1.067)(3.55,-3.5)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=0.75pt, linecolor=bleu]{-2}{3.795}{\f}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](4,0)(4,-3.5)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=red](3.55,0)(3.55,-3.5)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=red](0,-1.067)(4,-1.067)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=darkgray,ArrowInside=->,arrowscale=2,ArrowFill=true](0,-2.5)(3.74,-2.5)(3.74,0)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=red]{]-}(0,-1.067)(0,-3.5)
\psline[linewidth=.25pt,linecolor=red]{->}(3.55,.25)(3.85,.25)
\psline[linewidth=.25pt,linecolor=darkgray]{->}(-.35,-2.7)(-.35,-3.3)
\uput[l](0,-2.5){\footnotesize{$f(x)$}}
\uput[l](0,-3.5){\scriptsize{$-\infty$}}
\uput[l](0,-1.067){\red{\tiny{$M$}}}
\uput[u](4,0){\red{\footnotesize{$a$}}}
\uput[ul](3.55,0){\red{\footnotesize{$a-h$}}}
\rput(1.5,-4.5){$\displaystyle \lim_{\underset{x<a}{x\to a}}f(x)=-\infty$}
\end{pspicture}

\begin{center}
Pour tout entier naturel $k$,  $f(x) \leqslant -10^k$ à condition de choisir $x$ suffisamment proche de $a$.
\end{center}


 \subsection{Limite finie d'une fonction en l'infini} 
 
 \subsubsection{Définition}
 
 \cadreR{%
 Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de la forme $[A; +\infty[$ ou $]-\infty : A]$, où $A$ est un réel.
\begin{enumerate}
	\item Dire que la fonction $f$ a pour limite le réel $\ell$ en $+\infty$ signifie que tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ suffisamment grand.

On note : $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=\ell$
\item Dire que la fonction $f$ a pour limite le réel $\ell$ en $-\infty$ signifie que tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x <0$ suffisamment éloigné de $0$.

On note : $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)=\ell$
\end{enumerate}
}

\subsubsection{Interprétation graphique : asymptote horizontale} 

\cadreR{%
Dans un repère orthogonal du plan, si $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=\ell$ (resp. $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)=\ell$), on dit alors, que la droite d'équation $y=\ell$ est une asymptote horizontale de la courbe représentative de la fonction $f$ en $+\infty$ (resp. en $-\infty$). 
}

\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-2,-4)(9.5,1.5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{mauveClair}{.95 .9 .95}
\def\f{(2*x+3)*EXP(-.64*x)-2}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-2,-4)(9.5,1.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](9.5,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,1.5){\footnotesize{$y$}}
\psframe[linewidth=.25pt,fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair,linecolor=mauveClair](4.42,-2.2)(9.5,-1.3)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=0.75pt, linecolor=bleu]{-1.8}{9.5}{\f}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](0,-2)(9.5,-2)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=red](0,-2.2)(9.5,-2.2)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=red](0,-1.3)(9.5,-1.3)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=red](4.42,0)(4.42,-2.2)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=darkgray,ArrowInside=->,arrowscale=2,ArrowFill=true](0,-1.6)(5.68,-1.6)(5.68,0)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=red]{]-[}(0,-1.3)(0,-2.2)
\psline[linewidth=.25pt,linecolor=darkgray]{->}(-.4,-1.5)(-.4,-1.85)
\psline[linewidth=.25pt,linecolor=darkgray]{->}(5.7,.25)(9,.25)
\uput[l](0,-1.3){\footnotesize{$f(x)$}}
\uput[u](9.5,0){\footnotesize{$+ \infty$}}
\uput[l](-.1,-2){\red{{$\ell$}}}
\uput[u](4.42,0){\red{\footnotesize{$m$}}}
\end{pspicture} 

$\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=\ell$ : $f(x)$ est aussi proche que l'on veut de $\ell$ à condition de choisir $x >m$
\end{center}


\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-9.5,-1.5)(2,4)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{mauveClair}{.95 .9 .95}
\def\f{2-(3-2*x)*EXP(.64*x)}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-9.5,-1.5)(2,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](2,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,4){\footnotesize{$y$}}
\psframe[linewidth=.25pt,fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair,linecolor=mauveClair](-4.42,2.2)(-9.5,1.3)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=0.75pt, linecolor=bleu]{-9.5}{1.8}{\f}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](-9.5,2)(0,2)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=red](-9.5,2.2)(0,2.2)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=red](-9.5,1.3)(0,1.3)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=red](-4.42,0)(-4.42,2.2)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=darkgray,ArrowInside=->,arrowscale=2,ArrowFill=true](0,1.6)(-5.68,1.6)(-5.68,0)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=red]{]-[}(0,1.3)(0,2.2)
\psline[linewidth=.25pt,linecolor=darkgray]{->}(.4,1.5)(.4,1.85)
\psline[linewidth=.25pt,linecolor=darkgray]{->}(-5.7,-.25)(-9,-.25)
\uput[r](0,1.3){\footnotesize{$f(x)$}}
\uput[d](-9.5,0){\footnotesize{$- \infty$}}
\uput[r](.1,2){\red{{$\ell$}}}
\uput[d](-4.42,0){\red{\footnotesize{$m$}}}
\end{pspicture} 

$\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)=\ell$ : $f(x)$ est aussi proche que l'on veut de $\ell$ à condition de choisir $x <m$
\end{center}

 \medskip

\textsf {\textbf{\textsc{\small{remarque}}}}

Pour déterminer la position relative de la courbe représentative de la fonction $f$ par rapport à une asymptote $\mathcal{D}$ d'équation $y=\ell$, il suffit d'étudier le signe de $f(x)-\ell$

 \subsection{Limite infinie d'une fonction en l'infini} 
 
 \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}m{12.5cm} >{\raggedleft \arraybackslash}X@{}}
 \multicolumn{2}{l}{Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de la forme $[A; +\infty[$, où $A$ est un réel.}\\ 
\begin{enumerate}
	\item Dire que la fonction $f$ a pour limite $+\infty$ en $+\infty$ signifie que tout intervalle ouvert de la forme $]M ; + \infty[$ contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ suffisamment grand.

On note : $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$
\end{enumerate}
&\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-.5)(6,4)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{mauveClair}{.95 .9 .95}
\def\f{.9*ln(0.25*x^2-.5*x+.5)+.2*x+.5}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-1,-.5)(6,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](5.7,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,3.5){\footnotesize{$y$}}
\psframe[linewidth=.25pt,fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair,linecolor=mauveClair](3.834,2)(6,4)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=0.75pt, linecolor=bleu]{-1}{6}{\f}
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=red](0,2)(6,2)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=red](3.834,0)(3.834,4)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=red]{]-}(0,2)(0,3.8)
\uput[l](0,2){\red{\footnotesize{$M$}}}
\uput[d](3.834,0){\red{\footnotesize{$m$}}}
\end{pspicture} \\
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
	\item Dire que la fonction $f$ a pour limite $-\infty$ en $+\infty$ signifie que tout intervalle ouvert de la forme $]- \infty; M[$ contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ suffisamment grand.

On note : $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty$
\end{enumerate}

&\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-3.5)(6,1)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{mauveClair}{.95 .9 .95}
\def\f{-.9*ln(0.25*x^2-.5*x+.5)-.2*x-.5}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-1,-3.5)(6,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](5.7,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,.7){\footnotesize{$y$}}
\psframe[linewidth=.25pt,fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair,linecolor=mauveClair](3.834,-2)(6,-3.5)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=0.75pt, linecolor=bleu]{-1}{6}{\f}
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=red](0,-2)(6,-2)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=red](3.834,0)(3.834,-3.5)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=red]{]-}(0,-2)(0,-3.5)
\uput[l](0,-2){\red{\footnotesize{$M$}}}
\uput[d](3.834,0){\red{\footnotesize{$m$}}}
\end{pspicture} \\
\multicolumn{2}{l}{Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de la forme $]-\infty; A]$, où $A$ est un réel.}\\ 
\begin{enumerate}
	\item Dire que la fonction $f$ a pour limite $+\infty$ en $-\infty$ signifie que tout intervalle ouvert de la forme $]M ; + \infty[$ contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x<0$ suffisamment  éloigné de $0$.

On note : $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)=+\infty$
\end{enumerate}
&\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-6,-.5)(1,4)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{mauveClair}{.95 .9 .95}
\def\f{.9*ln(0.25*x^2+.5*x+.5)-.2*x+.5}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-6,-.5)(1,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](.7,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,3.5){\footnotesize{$y$}}
\psframe[linewidth=.25pt,fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair,linecolor=mauveClair](-3.834,2)(-6,4)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=0.75pt, linecolor=bleu]{-6}{1}{\f}
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=red](0,2)(-6,2)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=red](-3.834,0)(-3.834,4)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=red]{]-}(0,2)(0,3.8)
\uput[r](0,2){\red{\footnotesize{$M$}}}
\uput[d](-3.834,0){\red{\footnotesize{$m$}}}
\end{pspicture} \\
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
	\item Dire que la fonction $f$ a pour limite $-\infty$ en $-\infty$ signifie que tout intervalle ouvert de la forme $]- \infty; M[$ contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x<0$ suffisamment  éloigné de $0$.

On note : $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty$
\end{enumerate}

&\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-6,-3.5)(1,1)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{mauveClair}{.95 .9 .95}
\def\f{-.9*ln(0.25*x^2+.5*x+.5)+.2*x-.5}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-6,-3.5)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](.7,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,.7){\footnotesize{$y$}}
\psframe[linewidth=.25pt,fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair,linecolor=mauveClair](-3.834,-2)(-6,-3.5)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=0.75pt, linecolor=bleu]{-6}{1}{\f}
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=red](0,-2)(-6,-2)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=red](-3.834,0)(-3.834,-3.5)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=red]{]-}(0,-2)(0,-3.5)
\uput[r](0,-2){\red{\footnotesize{$M$}}}
\uput[d](-3.834,0){\red{\footnotesize{$m$}}}
\end{pspicture} \\
 \end{tabularx} 

\subsubsection{Asymptote oblique}

\cadreR{%
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de borne $+\infty$ ou $-\infty$, et $\mathcal{D}$ une droite d'équation $y=ax+b$.

Si $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\left[f(x)-(ax+b)\right]=0$ (ou $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}\left[f(x)-(ax+b)\right]=0$), on dit alors que la droite d'équation $y=ax+b$ est une asymptote oblique à la courbe représentative de la fonction $f$ en $+\infty$ (ou en $-\infty$). 
}

 \bigskip
 
\psset{xunit=.5cm,yunit=.8cm}
\begin{pspicture}(-.5,-2)(6,4.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{mauveClair}{.95 .9 .95}
\rput(2.75,-1.5){$\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)= +\infty$}
\def\f{(3-2*x^2-x)*EXP(-x)+.8*x-1}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-.5,-.75)(6,4.25)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](5.8,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,4.25){\footnotesize{$y$}}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.25pt, linecolor=mauveClair]{4}{6}{\f} \gsave
\psline(6,3.8)(4,2.2)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair] \grestore }
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=0.75pt, linecolor=bleu]{-.5}{6}{\f}
\pcline[linewidth=.75pt,linecolor=prune](.5,-.6)(6,3.8)
\naput*[nrot=:U]{\red{\tiny{$y=ax+b$}}}
\end{pspicture}\hfill
\begin{pspicture}(-.5,-5)(6,1.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{mauveClair}{.95 .9 .95}
\rput(2.75,-4.5){$\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)= -\infty$}
\def\f{1.5-.8*x-(4-4*x^2+5*x)*EXP(-x)}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-.5,-3.75)(6,1.25)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](5.8,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,1.25){\footnotesize{$y$}}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.25pt, linecolor=mauveClair]{4}{6}{\f} \gsave
\psline(6,-3.3)(4,-1.7)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair] \grestore }
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=0.75pt, linecolor=bleu]{-.5}{6}{\f}
\pcline[linewidth=.75pt,linecolor=prune](.5,1.1)(6,-3.3)
\nbput*[nrot=:U]{\red{\tiny{$y=ax+b$}}}
\end{pspicture}\hfill
\begin{pspicture}(-6,-2)(1,4.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{mauveClair}{.95 .9 .95}
\rput(-2.5,-1.5){$\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)= +\infty$}
\def\f{.5-.5*x+(x^2-3*x+1)*EXP(x)}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-6,-0.75)(1,4.25)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](0.8,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,4.25){\footnotesize{$y$}}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.25pt, linecolor=mauveClair]{-4}{-6}{\f} \gsave
\psline(-6,3.5)(-4,2.5)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair] \grestore }
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=0.75pt, linecolor=bleu]{-6}{0.6}{\f}
\pcline[linewidth=.75pt,linecolor=prune](-6,3.5)(.6,.2)
\nbput*[nrot=:U]{\red{\tiny{$y=ax+b$}}}
\end{pspicture}\hfill
\begin{pspicture}(-6,-4.5)(1,2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{mauveClair}{.95 .9 .95}
\rput(-2.5,-4){$\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)= -\infty$}
\def\f{-0.5+.5*x+(x^2-3.25*x+1)*EXP(x)}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-6,-3.25)(1,1.75)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](0.8,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,1.3){\footnotesize{$y$}}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.25pt, linecolor=mauveClair]{-4}{-6}{\f} \gsave
\psline(-6,-3.5)(-4,-2.5)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair] \grestore }
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=0.75pt, linecolor=bleu]{-6}{1}{\f}
\pcline[linewidth=.75pt,linecolor=prune](-6,-3.5)(.5,-.25)
\nbput*[nrot=:U]{\red{\tiny{$y=ax+b$}}}
\end{pspicture}

 \medskip

\textsf {\textbf{\textsc{\small{remarque}}}}

Pour étudier la position relative de la courbe représentative de la fonction $f$ par rapport à une asymptote $\mathcal{D}$ d'équation $y=ax+b$, il suffit d'étudier le signe de la différence $f(x)-(ax+b)$

\section{Limites de fonctions usuelles}

\psset{unit=.7cm}
\begin{pspicture}(-3.5,-1.5)(3.5,8)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\rput(0,7.5){\textsf {\textbf{\textsc{\small{fonction carré}}}}}
\rput(0,-1){$\displaystyle \lim_{x\to -\infty}{x^2}= +\infty$ ;\hspace{.5cm} $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}{x^2}= +\infty$ }
\def\f{x^2}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-3.5,-.5)(3.5,7)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](3.5,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,7){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-2.5}{2.5}{\f}
\end{pspicture} \hfill
\psset{unit=.7cm}
\begin{pspicture}(-3.5,-4.5)(3.5,5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\rput(0,4.5){\textsf {\textbf{\textsc{\small{fonction cube}}}}}
\rput(0,-4){$\displaystyle \lim_{x\to -\infty}{x^3}= +\infty$ ;\hspace{.5cm} $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}{x^3}= +\infty$ }
\def\f{x^3}
\psaxes[ticks=none,linewidth=.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-3.5,-3.5)(3.5,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](3.5,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,4){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=300,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-1.5}{1.58}{\f}
\end{pspicture}

\medskip

\psset{unit=.7cm}
\begin{pspicture}(-3.5,-4.5)(3.5,4.5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\rput(0,4){\textsf {\textbf{\textsc{\small{fonction inverse}}}}}
\rput(0,-4){$\displaystyle \lim_{x\to -\infty}{\dfrac{1}{x}}= 0$ ;\hspace{.5cm} $\displaystyle \lim_{x\to {0^-}}{\dfrac{1}{x}}= +\infty$} 
\rput(0,-5){$\displaystyle \lim_{x\to {0^+}}{\dfrac{1}{x}}= +\infty$ ;\hspace{.5cm} $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}{\dfrac{1}{x}}= 0$}
\def\f{1/x}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-3.5,-3.5)(3.5,3.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](3.5,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,3.5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-3.5}{-.285}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{.285}{3.5}{\f}
\end{pspicture} \hfill
\psset{unit=.7cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-3)(6.5,6)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\rput(3,5.5){\textsf {\textbf{\textsc{\small{fonction racine carrée}}}}}
\rput(3,-2.5){$\displaystyle \lim_{x\to 0}{\sqrt{x}}= 0$ ;\hspace{.5cm} $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}{\sqrt{x}}=+\infty$} 
\def\f{x^.5}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-.5,-1)(6.5,4.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](6.5,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,4.5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=650,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{0}{6.5}{\f}
\end{pspicture}


\section{Règles opératoires sur les limites} 

Dans tout ce paragraphe, $u$ et $v$ désignent deux fonctions, $\ell$ et $\ell '$ désignent deux nombres réels, et $\alpha$ désigne $+\infty$ ou $-\infty$ ou un nombre réel. 

\subsection{Limite d'une somme de deux fonctions}
\renewcommand{\arraystretch}{1.1}
{\rowcolors{1}{Rfond}{Rfond}  
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Si 	$\displaystyle \lim_{x\to \alpha}u(x)=$ & $\ell$	& $\ell$	& $\ell$	& $+\infty$	& $-\infty$	& $+\infty$ \\ \hline
et $\displaystyle \lim_{x\to \alpha}v(x)=$ & $\ell '$	& $+\infty$	& $-\infty$	& $+\infty$	& $-\infty$	& $-\infty$ \\ \hline
alors par somme 

$\displaystyle \lim_{x\to \alpha}(u+v)(x)=$ & $\ell + \ell '$	& $+\infty$	& $-\infty$	& $+\infty$	& $-\infty$	& \Rougef{\textsf {\textbf{\textsc{\footnotesize{à étudier}}}}} \\ \hline
\end{tabularx}
}
\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}

Soit $f$ la fonction définie sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x)=x^2-1+\dfrac{1}{x}$.

Étudions les limites de la fonction $f$ aux bornes de son intervalle de définition.

\begin{itemize}
	\item  $\displaystyle \lim_{\underset{x>0}{x\to 0}}x^2-1=-1$ et $\displaystyle \lim_{\underset{x>0}{x\to 0}}\dfrac{1}{x}=+\infty$ donc, par somme, $\displaystyle \lim_{\underset{x>0}{x\to 0}}f(x)=+\infty$. La courbe représentative de la fonction $f$ admet pour asymtote l'axe des ordonnées.
	\item $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}x^2-1=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x}=0$ donc, par somme, $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$
\end{itemize}

\subsection{Limite d'un produit de deux fonctions}

  \renewcommand{\arraystretch}{1.2}
  {\rowcolors{1}{Rfond}{Rfond} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Si 	$\displaystyle \lim_{x\to \alpha}u(x)=$ & $\ell$	& $\ell \ne 0$	& $+\infty$ ou $-\infty$ & $0$	 \\ \hline
et $\displaystyle \lim_{x\to \alpha}v(x)=$ & $\ell '$	& $+\infty$ ou $-\infty$	& $+\infty$ ou $-\infty$ & $+\infty$ ou $-\infty$	 \\ \hline
alors par produit 

$\displaystyle \lim_{x\to \alpha}(u \times v)(x)=$ & $\ell \times \ell '$	& $\pm\infty$\textsuperscript{*} & $\pm\infty$\textsuperscript{*} 	& \Rougef{\textsf {\textbf{\textsc{\footnotesize{à étudier}}}}}	\\ \hline
\multicolumn{5}{l}{\cellcolor{white}\footnotesize(*)  Lorsque la limite du produit est infinie, c'est la règle des signes du produit qui permet de déterminer le résultat $+\infty$ ou $-\infty$.}
\end{tabularx}
}

\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}

Soit $f$ la fonction définie sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x)=x^2\times \left(\dfrac{1}{x}-1\right)$.

Étudions les limites de la fonction $f$ aux bornes de son intervalle de définition.

\begin{itemize}
	\item  $\displaystyle \lim_{\underset{x>0}{x\to 0}}x^2=0$ et $\displaystyle \lim_{\underset{x>0}{x\to 0}}\dfrac{1}{x}-1=+\infty$.  Nous sommes en présence de la forme indéterminée \og $0\times \infty$ \fg.
	
	Or pour tout réel $x$ non nul, $x^2\times \left(\dfrac{1}{x}-1\right)=x- x^2$	et $\displaystyle \lim_{\underset{x>0}{x\to 0}}x- x^2=0$. Donc, $\displaystyle \lim_{\underset{x>0}{x\to 0}}f(x)=0$
	\item $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}x^2=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x}-1=-1$ donc, par produit,  $\displaystyle \lim_{\underset{x>0}{x\to 0}}f(x)=-\infty$	
\end{itemize}

\subsection{Limite d'un quotient de deux fonctions}

  \renewcommand{\arraystretch}{1.2}
    {\rowcolors{1}{Rfond}{Rfond} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Si 	$\displaystyle \lim_{x\to \alpha}u(x)=$ & $\ell$	& $\ell \ne 0$	& $\ell$	& $+\infty$ ou $-\infty$ & 0 & $+\infty$ ou $-\infty$ \\ \hline
et $\displaystyle \lim_{x\to \alpha}v(x)=$ & $\ell ' \ne 0$	& 0	& $+\infty$ ou $-\infty$	& $\ell '$ & 0 & $+\infty$ ou $-\infty$ \\ \hline
alors par quotient 

$\displaystyle \lim_{x\to \alpha}\left(\dfrac{u}{v} \right)(x)=$\rule[-4mm]{0pt}{1cm} & $\dfrac{\ell}{ \ell '}$	& $\pm\infty$\textsuperscript{*} & $0$ & $\pm\infty$\textsuperscript{*} & \Rougef{\textsf {\textbf{\textsc{\footnotesize{à étudier}}}}}	& \Rougef{\textsf {\textbf{\textsc{\footnotesize{à étudier}}}}} \\ \hline
\multicolumn{7}{l}{\cellcolor{white}\footnotesize(*) Lorsque la limite du quotient est infinie, c'est la règle des signes du produit qui permet de déterminer le résultat $+\infty$ ou $-\infty$.}
\end{tabularx}
}

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}

Soit $f$ la fonction définie sur $]1 ; +\infty[$ par $f(x)=\dfrac{x^3-1}{x^2-1}$.

Étudions les limites de la fonction $f$ aux bornes de son intervalle de définition.

\begin{itemize}
	\item  $\displaystyle \lim_{x\to 1}x^3-1=0$ et $\displaystyle \lim_{x\to 1}x^2-1=0$. Nous sommes en présence de la forme indéterminée \og $\dfrac{0}{0}$\fg.
	
	Or pour tout réel $x \ne 1$, \[ \dfrac{x^3-1}{x^2-1} = \dfrac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{x^2+x+1}{x+1}	\]
 	Comme $\displaystyle \lim_{x\to 1}\dfrac{x^2+x+1}{x+1}=\dfrac{3}{2}$, nous pouvons conclure que, $\displaystyle \lim_{x\to 1}f(x)=\dfrac{3}{2}$
	\item $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}x^3-1=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}x^2-1=+\infty$. Nous sommes en présence de la forme indéterminée \og $\dfrac{\infty}{\infty}$\fg.
	
Or pour pour tout réel $x \ne 0$, \[\dfrac{x^3-1}{x^2-1} =\dfrac{x^3\left(1-\dfrac{1}{x^3}\right)}{x^2\left(1-\dfrac{1}{x^2}\right)}=\dfrac{x\left(1-\dfrac{1}{x^3}\right)}{1-\dfrac{1}{x^2}}\] 

Comme $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}x\left(1-\dfrac{1}{x^3}\right)=+\infty$ et que $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}1-\dfrac{1}{x^2}=1$, il s'ensuit que 	$\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$. 

La courbe représentative de la fonction $f$ admet pour asymptote l'axe des abscisses en $+\infty$.
\end{itemize}

\subsection{Limite de la fonction composée $u^n$}

\cadreR{%
Soit $u$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\R$. $u^n$ est la fonction composée de $u$ suivie de la fonction $X \mapsto X^n$.

$\alpha$, $b$ et $c$ désignent des réels ou $+\infty$ ou $-\infty$.
 
\begin{center}
 Si $\displaystyle \lim_{x\to \alpha}u(x)=b$ et $\displaystyle \lim_{X^n\to b}=c$, alors $\displaystyle \lim_{x\to \alpha}u^n(x)=c$
\end{center}
}

\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}

 \medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur $]1 ; +\infty[$ par $f(x)=\left(\dfrac{2}{1-x}\right)^2$. Déterminons les limites aux bornes de l'intervalle de définition.

\begin{itemize}
\item $\displaystyle \lim_{\underset{x>1}{x\to 1}}\dfrac{2}{1-x}=-\infty$ et $\displaystyle \lim_{X\to -\infty}X^2=+\infty$, donc $\displaystyle \lim_{\underset{x>1}{x \to 1}}\left(\dfrac{2}{1-x}\right)^2=+\infty$
\item $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{2}{1-x}=0$ et $\displaystyle \lim_{X\to 0}X^2=0$, donc $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\left(\dfrac{2}{1-x}\right)^2=0$
\end{itemize}

\subsection{Fonctions polynômes ou rationnelles au voisinage de $+\infty$ ou de $-\infty$ }

\subsubsection{Règle 1} 

\cadreB{
Au voisinage de $+\infty$ ou de $-\infty$, une fonction polynôme à la même limite que son monôme de plus haut degré.
}

 \medskip
 
\textsf {\textsc{\small{exemple}}}

 \medskip
 
$\displaystyle \lim_{x\to +\infty}-3x^3-2x^2+x-5=\displaystyle \lim_{x\to +\infty}-3x^3=-\infty$

\subsubsection{Règle 2} 

\cadreB{
Au voisinage de $+\infty$ ou de $-\infty$, une fonction  rationnelle à la même limite que le quotient du monôme de plus haut degré du numérateur par le monôme de plus haut degré du dénominateur.
}

 \medskip
 
\textsf {\textsc{\small{exemple}}}

 \medskip
 
$\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{5x^2-2x^3}{3x^4+1}=\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{-2x^3}{3x^4}=\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \dfrac{-2}{3x}=0$


\newpage

\addcontentsline{toc}{section}{Exercices} 

\exo

\parbox{0.6\linewidth}{
La courbe ci-contre, représentative d'une fonction $f$, admet les quatre asymptotes suivantes :

\begin{itemize}
\item deux asymptotes horizontales d'équations respectives $y = -1$ et $y = 0$ ;
\item deux asymptotes verticales d'équations respectives $x = 0$ et \mbox{$x = 2$}.
\end{itemize}

\medskip
Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x)$ , $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$, $\displaystyle\lim_{x \to 0^{-}} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to 2^{+}} f(x)$
}
\parbox{0.4\linewidth}{
\psset{unit=0.45cm}
\begin{flushright}
\begin{pspicture}(-6,-6)(8,7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{1/x}
\def\g{2/(x*(2-x))-1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-6)(8,7)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-6,-6)(8,7)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-6}{-0.1667}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0.134}{1.866}{\g}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{2.183}{8}{\g}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1pt, linecolor=prune](2,-6)(2,7)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1pt, linecolor=prune](-6,-1)(8,-1)
\uput[dl](0,0){\scriptsize O}\uput[d](7.8,0){\scriptsize $x$}\uput[l](0,6.8){\scriptsize $y$}
\end{pspicture}
\end{flushright}
}



\bigskip

\exo

\medskip

 Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty\right[$  par $f(x)=\dfrac{2-x}{x^3}$ . On note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.	
\begin{enumerate}
\item \`A l'aide d'un tableau, étudier le signe de $f(x)$ suivant les valeurs du réel $x$.
	\item \begin{enumerate}
	
\item Déterminer, en justifiant avec soin, $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x)$   et  $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$.

\item La courbe $C_f$ admet-elle des asymptotes ?
\end{enumerate}
\item On note $f'$  la dérivée de la fonction $f$. \begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$.
\item Étudier les variations de $f$.
\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 1.

\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Soit $P(x) = x^2 + x - 6$ et $Q(x) = 2 x^2 - 3 x - 2$ deux polynômes.	
\begin{enumerate}
	\item Résoudre $P(x) = 0$ et $Q(x) = 0$. 
	\item En déduire une factorisation de $P(x)$ et $Q(x)$.
\end{enumerate}
	\item Soit $f$  la fonction définie sur $] 2 ; + \infty[$ par $f (x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$. 
\begin{enumerate}
	\item Déterminer $\displaystyle \lim_{\underset{x>2}{x\to 2}} f(x)$ et  $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x)$.
	\item La courbe représentative de la fonction $f$ admet-elle des asymptotes ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

 \bigskip 
 
 \exo

 \medskip

Soit $f$  la fonction définie sur $\left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[$  par : $f(x)=\dfrac{2x^2-13x+7}{4x-2}$.

On appelle $\mathcal{C}_f$  sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal.

\begin{enumerate}	
	\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to \frac{1}{2}^+} f(x)$, qu'en déduit-on pour la courbe $C_f$ ?	
	\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
\begin{enumerate}
	\item Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que $f(x)=ax+b+\dfrac{c}{4x-2}$.
	\item En déduire que la courbe $\mathcal{C}_f$  admet pour asymptote la droite $\Delta$ d'équation $y=\dfrac{x}{2}-3$.
	\item Étudier les positions relatives de la courbe $\mathcal{C}_f$ et de la droite $\Delta$
	\item Résoudre l'inéquation $\dfrac{1}{4x-2} \leqslant 0,001$. 
	\item Calculer le plus simplement possible, une valeur approchée au millième près de l'image par $f$ de 500. 
\end{enumerate}
\item Calculer la dérivée de la fonction $f$.
\item Étudier les variations de $f$.
\item Donner une équation de la tangente $T$ à la courbe $C_f$  au point d'abscisse 1. 
\end{enumerate}

 \bigskip
 
\exo

\medskip

 Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\left]-1;+\infty\right[$  par $f(x)=\dfrac{2x-1}{x+1}$ . On note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.	
\begin{enumerate}
\item \`A l'aide d'un tableau, étudier le signe de $f(x)$ suivant les valeurs du réel $x$.
	\item \begin{enumerate}
	
\item Déterminer, en justifiant avec soin, $\displaystyle\lim_{x \to -1^+} f(x)$   et  $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
\item La courbe $C_f$ admet-elle des asymptotes ?
\end{enumerate}
\item On note $f'$  la dérivée de la fonction $f$. \begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$.
\item Étudier les variations de $f$.
\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 0.

\end{enumerate}

\bigskip

 \exo


 \medskip 


La courbe $C_u$  ci-dessous  représente une fonction $u$ définie et dérivable sur $\R$. On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. On sait que : 
\begin{itemize}
	\item la courbe coupe l'axe des ordonnées au point $A$ et la tangente à la courbe au point $A$ passe par le point de coordonnées $(-2 ; 0)$ ;
	\item la courbe admet au point $B$ d'abscisse 1 une tangente parallèle à l'axe des abscisses ;
	\item l'axe des abscisses est asymptote à la courbe $C_u$.
\end{itemize}

\begin{center}
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-6,-8)(21,7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-8)(21,7)
\psset{unit=.8cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-4)(10.5,3.5)
\uput[d](10.4,0){$x$} \uput[dl](0,3.5){$y$}
\uput[dl](0,0){0}
\def\f{2*(x+1)*EXP(-.5*x)}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-1.82}{10.5}{\f}
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=prune](-3,-1)(1.5,3.5)
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=prune](0.2,2.42612)(1.8,2.42612)
\uput[d](0.2,2){\bleu{$A$}} \uput[d](1,3){\bleu{$B$}}
\uput[r](9.75,0.5){\bleu{$C_u$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item \`A partir du graphique et des renseignements fournis :
\begin{enumerate}
\item Déterminer   $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} u(x)$   et  $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} u(x)$.
\item Déterminer  $u'(0)$ et $u'(1)$.
\end{enumerate}

\item On considère la fonction $f$ définie sur  $]-1; +\infty[$ par $f(x)=\displaystyle\frac{1}{u(x)}$.
\begin{enumerate}
\item Étudier les limites de la fonction $f$ aux bornes de son intervalle de définition. La courbe représentative de la fonction $f$ admet-elle des asymptotes ?
\item Déterminer  $f'(0)$ et $f'(1)$.
\end{enumerate}	
\end{enumerate}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\chapter{Dérivation, étude de fonctions}

\minitoc

\newpage

\section{Tangente à une courbe} 
 

\begin{tabularx}{\linewidth} {@{}X@{\extracolsep{\fill}}m{6.5cm}@{}}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$, dérivable en $a$ où $a$ est un réel de $I$, et $C_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

La droite passant par le point $A\left( a ; f(a) \right)$ de la courbe $C_f$ et de coefficient directeur $f'(a)$ est appelée la tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse $a$.&
\begin{flushright}
\psset{unit=.6cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(8,5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(.5*x+1)*Euler^(1-x^2/16)}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-1,-1)(8,5)
\psaxes[ticks=none,linewidth=1pt,linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\rput(-0.2,-0.35){\footnotesize{0}}
\uput[d](7.8,0){$x$}
\uput[l](0,4.8){$y$}
\uput[d](.5,0){\red{$\vec i$}}
\uput[l](0,.5){\red{$\vec j$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-.75}{8}{\f}
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=prune](2,5)(7.5,-.5)
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=red](0,3)(4,3)(4,0)
\psdots[linecolor=prune,dotscale=.8](4,3)
\uput[d](4,0){\red{$a$}}
\uput[l](0,3){\red{$f(a)$}}
\uput[ur](4,3){\red{$A$}}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{tabularx}

\cadreR{%
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$, dérivable en $a$ où $a$ est un réel de $I$, et $C_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

L'équation réduite de la tangente à la courbe $C_f$ au point $A$ d'abscisse $a$ est : 
 \[y=f'(a)\times(x-a)+f(a)\]
}

\section{Dérivées des fonctions de référence}

  \renewcommand{\arraystretch}{1.2}
  {\rowcolors{1}{Rfond}{Rfond}  
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering\arraybackslash}X|}c|}	\hline
$f$ définie sur \ldots & $f(x)$ &	$f'(x)$ &	$f$ dérivable sur \ldots \\ \hline
$\R$  & $k$ & 0 &	$\R$ \\ \hline
$\R$  & $ax+b$ & $a$ &	$\R$ \\ \hline
$\R$  \rule[-2mm]{0pt}{6mm} & $x^n$ & $n x^{n-1}$ &	$\R$ pour $n$ entier $n \geqslant 2$  \\ \hline
$\R^*$ \rule[-4mm]{0pt}{1cm} & $\dfrac{1}{x}$ & $-\dfrac{1}{x^2}$ &	$\R^*$ \\ \hline
$\R^*$ \rule[-4mm]{0pt}{1cm} & $\dfrac{1}{x^n}$ & $-\dfrac{n}{x^{n+1}}$ &	$\R^*$  pour $n$ entier $n \geqslant 1$  \\ \hline
$[0;+\infty[$ \rule[-4mm]{0pt}{1cm} & $\sqrt{x}$ & $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ &	$]0;+\infty[$ \\ \hline
$\R$ \rule[-4mm]{0pt}{1cm} & $\cos x$ & $-\sin x$ &	$\R$ \\ \hline
$\R$ \rule[-4mm]{0pt}{1cm} & $\sin x$ & $\cos x$ &	$\R$ \\ \hline
\end{tabularx}
}
\section{Dérivées et opérations}

$u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ :

\medskip

{\rowcolors{1}{Rfond}{Rfond}  
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}|>{{\footnotesize{\textbullet}}~}X@{\extracolsep{\fill}} >{{\footnotesize{\textbullet}}~}X@{\extracolsep{\fill}} >{{\footnotesize{\textbullet}}~}X@{}|}\hline
\rule[-4mm]{0pt}{1cm}  $\left( u +v \right)' = u' + v'$ & $\left( ku \right)' = k \times u' $ & $\left( u v \right)' = u'v + uv'$ \\ \hline
\end{tabularx}
}

\medskip

{\rowcolors{1}{Rfond}{Rfond}  
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}|>{{\footnotesize{\textbullet}}~}X@{\extracolsep{\fill}}  >{{\footnotesize{\textbullet}}~}X@{}|}\hline
\rule[-4mm]{0pt}{1cm}  $\left( u ^2 \right)' = 2 u u'$ & Si $n$ est un entier non nul,  $\left( u ^n \right)' = n u^{n-1} u'$\\ \hline
\end{tabularx}
}

\medskip

Si la fonction $v$ ne s'annule pas sur l'intervalle $I$ (si $v(x) \ne 0$ sur $I$)

\medskip

{\rowcolors{1}{Rfond}{Rfond}  
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}|>{{\footnotesize{\textbullet}}~}X@{\extracolsep{\fill}}  >{{\footnotesize{\textbullet}}~}X@{}|}\hline
\rule[-4mm]{0pt}{1cm}  $\left( \dfrac{1}{v} \right)' =-\dfrac{v'}{v^2}$ & $\left( \dfrac{u}{v} \right)' = \dfrac{u' v - u v'}{v^2}$\\ \hline
\end{tabularx}
}


\section{Dérivée et variations d'une fonction}

\subsection{Théorème 1}

\cadreR{%
Soit $f$ une fonction dérivable et monotone sur un intervalle $I$ de $\R$.

\begin{itemize}
	\item Si $f$ est constante sur $I$, alors pour tout réel $x$ appartenant à $I$, $f'(x)=0$.
	\item Si $f$ est croissante sur $I$, alors pour tout réel $x$ appartenant à $I$, $f'(x)\geqslant 0$.
		\item Si $f$ est décroissante sur $I$, alors pour tout réel $x$ appartenant à $I$, $f'(x)\leqslant 0$.
\end{itemize}
}

\medskip

Le théorème suivant, permet de déterminer les variations d'une fonction sur un intervalle suivant le signe de sa dérivée.

\subsection{Théorème 2}

\cadreR{%
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\R$ et $f'$ la dérivée de $f$ sur $I$.

\begin{itemize}
	\item Si $f'$ est nulle sur $I$, alors $f$ est constante sur $I$.
	\item Si $f'$ est strictement positive sur $I$, sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s'annule, alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
	\item Si $f'$ est strictement négative sur $I$, sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s'annule, alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.
\end{itemize}
}

\subsection{Théorème 3}

\cadreR{%
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle ouvert $I$ de $\R$ et $x_0$ un réel appartenant à $I$.

\begin{enumerate}
	\item Si $f$ admet un extremum local en $x_0$, alors $f'(x_0)=0$.
	\item Si la dérivée $f'$ s'annule en $x_0$ \textbf{en changeant de signe}, alors $f$ admet un extremum local en $x_0$.
\end{enumerate}
}

\bigskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0)(8,3)
\psframe(8,3) \psline(0,1.4)(8,1.4) \psline(0,2.2)(8,2.2)\psline(1.5,0)(1.5,3) 
\rput(0.75,2.6){$x$} \rput(1.8,2.6){$a$} \rput(4.7,2.6){$x_0$} \rput(7.6,2.6){$b$}
\rput (0.75,1.8){$f'(x)$} \rput(3.25,1.8){$-$} \rput(4.7,1.8){\footnotesize{$\underset{|}{\overset{|}{0}}$}}\rput(6.2,1.8){$+$}
\rput(0.75,0.7){$f(x)$} \rput(4.7,0.2){\footnotesize{\emph {minimum}}}
\psline{->}(1.8,1.2)(4,0.2)  \psline{->}(5.4,0.2)(7.6,1.2)
\end{pspicture}
\hfill
\begin{pspicture}(0,0)(8,3)
\psframe(8,3) \psline(0,1.4)(8,1.4) \psline(0,2.2)(8,2.2)\psline(1.5,0)(1.5,3) 
\rput(0.75,2.6){$x$} \rput(1.8,2.6){$a$} \rput(4.7,2.6){$x_0$} \rput(7.6,2.6){$b$}
\rput (0.75,1.8){$f'(x)$} \rput(3.25,1.8){$+$} \rput(4.7,1.8){\footnotesize{$\underset{|}{\overset{|}{0}}$}}\rput(6.2,1.8){$-$}
\rput(0.75,0.7){$f(x)$} \rput(4.7,1.2){\footnotesize{\emph {maximum}}}
\psline{->}(1.8,0.2)(4,1.2)  \psline{->}(5.4,1.2)(7.6,0.2)
\end{pspicture}

\medskip

\textsf{\textsc{remarques}}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Dans la proposition 2. du théorème 3 l'hypothèse \textbf{en changeant de signe} est importante.


\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}m{13.5cm} >{\raggedleft \arraybackslash}X@{}}
Considérons la fonction cube définie sur $\R$ par $f(x) = x^3$ qui a pour dérivée la fonction $f'$ définie sur $\R$ par $f'(x)= 3 x^2$.

$f'(0) =0$ et pour tout réel $x$ non nul, $f'(x)>0$.

La fonction cube est strictement croissante sur $\R$ et n'admet pas d'extremum en 0.
&
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(1.5,1.5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x^3}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-1,-1)(1.5,1.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](1.5,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,1.5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1}{1.14}{\f}
\end{pspicture}
\end{tabularx} 

\item  Une fonction peut admettre un extremum local en $x_0$ sans être nécessairement dérivable.

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}m{13.5cm} >{\raggedleft \arraybackslash}X@{}}
Considérons la fonction valeur absolue $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = |x|$.

$f$ est définie sur $\R$ par : $f(x) = \left \{
\begin{array}{r l}
   x & \text{ si }  x\geqslant 0  \\
  -x &  \text{ si }  x < 0
\end{array}
\right.$. 

$f$ admet un minimum  $f (0) = 0$  or $f$ n'est pas dérivable en 0.
&
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-2.5,-.5)(2.5,3.5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{abs(x)}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-2.5,-1)(2.5,3)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](2.5,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,3){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=3,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-2.5}{2.5}{\f}
\psdots[linecolor=prune,dotscale=.8] (0,0)
\end{pspicture}
\end{tabularx} 
\end{enumerate}


\textsf {\textsc{\small{exemple : étude d'une fonction}}}

Soit $f$ la fonction définie sur  $\R$ par $f(x)=1-\displaystyle\frac{4x-3}{x^2+1}$.

\begin{enumerate}
 \item Étude des limites.
 
 \[\displaystyle \lim_{x\to -\infty}\displaystyle\frac{4x-3}{x^2+1}=\displaystyle \lim_{x\to -\infty}\displaystyle\frac{4x}{x^2}=\displaystyle \lim_{x\to -\infty}\displaystyle\frac{4}{x}=0 \text{ d'où }\displaystyle \lim_{x\to -\infty}1-\displaystyle\frac{4x-3}{x^2+1}=1\] 
 
 Par conséquent, $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)=1$. De même, $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=1.$
 
 \medskip
 
 \item Calcul de la dérivée $f' (x)$.
	
	Sur $\R$ la fonction $f$ est dérivable comme somme et quotient de deux fonctions dérivables. 
	
	$f = 1 - \dfrac{u}{v}$ d'où $f'= -\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$. Avec  pour tout réel $x$,  \[ \begin{array}{lcl} 
	u(x) = 4x-3 & \text{ d'où } & u'(x) = 4 \\
	v(x) = x^2+1 & \text{ d'où } & v'(x) = 2x \\
	\end{array}
\]
Soit pour tout réel $x$, \[ \begin{split} 
f'(x) &= -\dfrac{4(x^2+1)-2x(4x-3)}{(x^2+1)^2} \\
 &= -\dfrac{4x^2+4-8x^2+6x}{(x^2+1)^2} \\
 &= \dfrac{4x^2-6x-4}{(x^2+1)^2} \\
 	\end{split}
 	\]
 	
 \textcolor{red} {Ainsi, $f'$ est la fonction définie sur $\R$ par $f'(x)=\dfrac{4x^2-6x-4}{(x^2+1)^2}$} 
 
 \item Étude des variations de la fonction $f$
 
 Les variations de la fonction $f$ se déduisent du signe de sa dérivée.
 
 Étudions le signe de $f'(x)=\dfrac{4x^2-6x-4}{(x^2+1)^2}$ :
 
 Pour tout réel $x$, $(x^2+1)^2 >0$. Par conséquent, $f'(x)$ est du même signe que le polynôme du second degré $4x^2-6x-4$ avec $a=4$, $b=-6$ et $c=-4$.
 
 Le discriminant du trinôme est $\Delta= b^2 -4ac$ Soit \[ \Delta = \left( -6 \right)^2 - 4 \times 4 \times \left( -4 \right) = 100 \]
 Comme $\Delta >0$, le trinôme admet deux racines :
 \[ \begin{array}{lcl} 
	\phantom{\text{et }}x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} & \text{ Soit } & x_1 = \dfrac{6-10}{8} = -\dfrac{1}{2} \\[3mm]
	\text{et }x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} & \text{ Soit } & x_2 = \dfrac{6+10}{8} = 2 \\
	\end{array}
\]
Un polynôme du second degré est du signe de $a$ sauf  pour les valeurs comprises entre les racines. 

Nous pouvons déduire le tableau du  signe de $f'(x)$ suivant les valeurs du réel $x$ ainsi que les variations de la fonction $f$ :
		  
		  \begin{center}
\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(16.5,4)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(16.5,4) \psline(2,0)(2,4) \psline(0,3)(16.5,3)\psline(0,2)(16.5,2) 
\rput(1,3.5){$x$}\rput(2.5,3.5){$- \infty$} \rput(7,3.5){$-\dfrac{1}{2}$} \rput(11.5,3.5){$2$}\rput(16,3.5){$+ \infty$}
\rput(1,2.5){$f'(x)$} \rput(4.75,2.5){$+$} \pnode(7,3){m1}\pnode(7,2){m2}
\ncline [arrows=-,linewidth=.5pt]{m1}{m2}\ncput*{0}\rput(9.25,2.5){$-$} \pnode(11.5,3){n1}\pnode(11.5,2){n2}\ncline [arrows=-,linewidth=.5pt]{n1}{n2}\ncput*{0}\rput(13.75,2.5){$+$}
\rput(1,1){$f(x)$} \rput(2.5,.3){\rnode{A}{$1$}} \rput(7,1.7){\rnode{B}{$5$}} \rput(11.5,.3){\rnode{C}{{$0$}}} \rput(16,1.7){\rnode{D}{$1$}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B}  \ncline{B}{C}\ncline{C}{D}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\newpage

\addcontentsline{toc}{section}{Exercices} 

\exo

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\left]-\dfrac{3}{2};+\infty \right[$ par $f(x)= 8x^2-2x -\dfrac{9}{2x+3}$. On note $C_f$ sa courbe  représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal.

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}	
	\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to -\frac{3}{2}^+} f(x)$, qu'en déduit-on pour la courbe $C_f$ ?	
	\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
\end{enumerate}
\item On note $f'$ la  dérivée de la fonction $f$. Montrer que $f'(x) = \dfrac{8x\left( 8x^2 +23x +15 \right) }{\left(2x+3\right)^2}$.
\item Étudier les variations de la fonction $f$.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

 \medskip 

La courbe $C_f$  ci-dessous  représente une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$. On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. On sait que : 
\begin{itemize}
	\item la courbe coupe l'axe des abscisses au point $A$ et la tangente à la courbe au point $A$ passe par le point de coordonnées $(0 ; -2)$ ;
	\item la courbe admet au point $B$ d'abscisse 1 une tangente parallèle à l'axe des abscisses ;
	\item la courbe admet pour asymptote l'axe des abscisses.
\end{itemize}

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-6,-5)(20,8)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{-2*(x+1)*EXP(-.5*x-.5)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-5)(20,8)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-2.5)(10,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](10,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,4){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-2.13429}{10}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-2.25,2.5)(0.25,-2.5)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](0.2,-1.47152)(1.8,-1.47152)
\psdots[linecolor=bleu](-1,0)(1,-1.47152)
\uput[ur](-1,0){\bleu{$A$}} \uput[d](1,-1.47152){\bleu{$B$}}
\uput[dl](-2,4){\bleu{$C_f$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item À partir du graphique et des renseignements fournis : 
		\begin{enumerate}	
	\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$.	
	\item Déterminer  $f'(-1)$ et $f'(1)$.
\end{enumerate}

\item  Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f'$ . Déterminer laquelle.

\begin{tabular*}{\linewidth}{@{\extracolsep{\fill}} c c c}
\psset{unit=.3cm} 
\begin{pspicture}(-6,-10)(10,2)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\def\f{-(x-1)^2*EXP(-.5*x-.5)/2}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{rouge}{.8 0 0}
\newrgbcolor{vert}{.06 .37 .22}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-10)(10,2)
\psset{unit=.6cm} 
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-5)(5,1)
\uput[dl](0,0){\tiny{0}}\uput[dl](5,0){\tiny{$x$}}
\uput[dl](0,1){\tiny{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=vert]{-1.67275}{5}{\f}
\end{pspicture}
&
\psset{unit=.3cm} 
\begin{pspicture}(-6,-10)(10,2)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\def\f{(x-1)*EXP(-.5*x-.5)}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{rouge}{.8 0 0}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-10)(10,2)
\psset{unit=.6cm} 
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-5)(5,1)
\uput[dl](0,0){\tiny{0}}\uput[dl](5,0){\tiny{$x$}}
\uput[dl](0,1){\tiny{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=prune]{-2.013}{5}{\f}
\end{pspicture}
&
\psset{unit=.3cm} 
\begin{pspicture}(-8,-4)(8,8)
\def\f{(x-1)*2^x}
\newrgbcolor{rouge}{.8 0 0}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-8,-4)(8,8)
\psset{unit=.6cm} 
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-4,-2)(4,4)
\uput[dl](0,0){\tiny{0}}\uput[dl](4,0){\tiny{$x$}}
\uput[dl](0,4){\tiny{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=rouge]{-4}{2}{\f}
\end{pspicture}\\
\footnotesize{courbe $C_1$} & \footnotesize{courbe $C_2$}&\footnotesize{courbe $C_3$} \\
\end{tabular*} 
\end{enumerate}

\bigskip 

\exo

\medskip

Soit $f$  la fonction définie sur $\R$ par : $f(x)=\dfrac{x^2-x+4}{x^2+3}$. On note $C_f$  sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}	
	\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$.	
	\item La courbe représentative de la fonction $f$ admet-elle des asymptotes ?
\end{enumerate}
		\item Calculer la dérivée de la fonction $f$.
	\item Étudier les variations de $f$.
	\item Donner une équation de la tangente $T$ à la courbe $C_f$  au point d'abscisse $1$.
\end{enumerate}

\bigskip 

\exo

 \medskip 

La courbe $\mathcal{C}_f$ ci-dessous représente une fonction $f$ strictement positive et dérivable sur $\R$. 

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-14,-1)(16,10)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{16/(x^2-2*x+5)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-14,-1)(16,10)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-7,-0.5)(8,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}
\uput[dl](8,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-7}{8}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](.1,4)(1.9,4)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt, linecolor=prune]{1.5}{4.5}{5-x}
\psdots[dotscale=.8,linecolor=bleu](1,4)(3,2)
\uput[r](-7,0.5){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}
\uput[ul](2,4){\footnotesize{\prune{$d_1$}}}
\uput[l](4.5,.5){\footnotesize{\prune{$d_2$}}}
\uput[u](1,4){\footnotesize{\bleu{$A$}}} \uput[ur](3,2){\footnotesize{\bleu{$B$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

On sait que :
\begin{itemize}
\item la courbe admet pour asymptote l'axe des abscisses en $-\infty$ et en $+\infty$.
	\item Les droites $d_1$ et $d_2$ sont tangentes à la courbe aux points $A$ et $B$ d'abscisses respectives 1 et 3 ;
	\item La tangente $T$ à la courbe au point d'abscisse $-1$ a pour équation $y=x+3$.
\end{itemize}

On note $f'$  la dérivée de la fonction $f$. 


\begin{enumerate}
\item Tracer la droite $T$ puis, déterminer $f(-1)$ et $f'(-1)$.
	\item À partir du graphique et des renseignements fournis, déterminer  $f'(1)$ et $f'(3)$.
\item  Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=\displaystyle\frac{1}{f(x)}$. 
\begin{enumerate}
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} g(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x)$.
\item Donner le tableau des variations de la fonction $g$.
\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction $g$ au point d'abscisse $-1$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\bigskip 

 
 \exo
 
 \medskip
 
 Soit $f$ la fonction définie $\left]-\dfrac{1}{2} ; + \infty\right[$ par $f(x) =\dfrac{2x^3-3x^2-2x-1}{ 2x+1}$. On note $f'$ sa dérivée.
 \begin{enumerate}
 \item Étudier les limites de la fonction $f$ aux bornes de son intervalle de définition. Que peut-on en déduire pour la courbe $C_f$ ?	
	  \item Calculer $f'(x)$.
 \item Donner le tableau des variations de la fonction $f$.
 \item Déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$.
 
 \`A l'aide de la calculatrice, donner la valeur arrondie à $10^{-3}$ près,  des solutions de l'équation $f(x)=0$.
 \end{enumerate}
 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\chapter{Compléments sur les suites géométriques}

\minitoc

\newpage


\section{Suites géométriques}

\subsection{Définition}

\cadreR{Dire qu'une suite $\left( u_n \right)$ est \emph{géométrique} signifie qu'il existe un nombre réel $q$ non nul tel que, pour tout entier $n$, \[u_{n+1} = q u_{n}\]

Le réel $q$ est appelé la raison de la suite géométrique.
}
\subsubsection{Évolution en pourcentage}

\cadreB{
\begin{itemize}
\item Augmenter une grandeur de $t\%$ équivaut à multiplier sa valeur par $1 + \dfrac{t}{100}$.
\item Diminuer une grandeur de $t\%$ équivaut à multiplier sa valeur par $1 - \dfrac{t}{100}$.
\end{itemize}
}

\medskip

Chaque fois qu'on est confronté à une situation d'évolutions successives d'une grandeur de $t\%$, on peut définir une suite géométrique de raison $1 + \dfrac{t}{100}$ (augmentation) ou $1 - \dfrac{t}{100}$ (diminution)

\medskip

{\textsf{\textsc{\small{exemples}}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un capital de \np{5000} \euro{} est placé au taux d'intérêt composé de 1\% par an. 

On note $C_n$ le capital disponible au bout de $n$ années alors : \[C_{n+1}= \left( 1 +  \dfrac{1}{100}\right) \times C_n = 1,01 \times C_n\]

Ainsi, la suite $\left( C_n \right)$ est une suite géométrique de premier terme $C_0= 5000$ et de raison $q= 1,01$.

\item Pour lutter contre la pollution, un groupe industriel décide de réduire progressivement sa quantité de rejets de $4 \%$ par an. En 2012, la quantité de rejets était de \np{50000} tonnes.

On note $r_n$ la quantité de rejets l'année $2012+n$ d'où : \[r_{n+1}= \left( 1-  \dfrac{4}{100}\right) \times r_n = 0,96 \times r_n\]

Ainsi, la suite $\left( r_n \right)$ est une suite géométrique de premier terme $r_0=50000$ et de raison $0,96$.
\end{enumerate}

\subsection{Propriété 1}

\cadreR{Soit  $\left( u_n \right)$ une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_0$ alors pour tout entier $n$, \[u_{n} = u_{0} \times q^n \]
}

\medskip

{\textsf{\textsc{\small{exemple}}}}

\medskip
L'objectif du groupe industriel est de réduire progressivement la quantité de rejets pour atteindre une quantité inférieure ou égale à \np{30000} tonnes (soit une réduction de 40\%). Cet objectif sera-t-il atteint au bout de 10 ans ?

Au bout de 10 ans, la quantité de rejets est de : \[r_{10}= 50000\times 0,96^{10} \approx 33242\]

Avec un réduction de 4 \% par an, en 2022 l'objectif du groupe industriel ne sera pas atteint.

\medskip

 
\subsection{Propriété 2}

\cadreB{Si  $\left( u_n \right)$ une suite géométrique de raison $q$ alors pour tout entier $n$ et pour tout entier $p$, \[u_{n} = u_{p}\times q^{n-p}\]
}

\subsection{Monotonie}

Soit  $\left( u_n \right)$ une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_0$ donc :
	 \[ \begin{split} 
u_{n+1} - u_n & = u_0 \times q^{n+1} -u_0 \times q^{n}\\
& = u_0 \times q^n \times  (q-1)\\
 	\end{split}
 	\]
La monotonie de la suite dépend du signe de $u_0$, $q^n$ et $(q-1)$  
\begin{itemize}
	\item Si $ q < 0$ alors $q^n$ est positif pour $n$ pair, négatif pour $n$ impair donc la suite n'est pas monotone.
	\item Si $ q > 0$ alors la suite est monotone, croissante ou décroissante selon le signe du produit $u_0 \times (q-1)$ .
\end{itemize}	
 
 \medskip
 	
 	\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
 	 \multicolumn{2}{|c}{Si $q >1$}\rule[-4mm]{0pt}{1cm} & \multicolumn{2}{|c|}{Si $0<q <1$}\\ \hline
 	 Si $u_0 > 0$, alors la suite  $\left( u_n \right)$ est croissante 

\begin{center}
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(8,7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,-1)(8,7)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-2pt 2pt,yticksize=0 0,labels=x]{->}(0,0)(0,-1)(8,7)
\uput[dl](8,0){\footnotesize{\bleu{$n$}}} \uput[dl](0,7){\footnotesize{\bleu{$u_n$}}}
\def\f{.4 1.4  x exp mul }
\psplot[plotpoints=9,linewidth=1pt,linecolor=bleu,linestyle=none,showpoints=true]{0}{8}{\f}
\end{pspicture} 
\end{center}
 	 & Si $u_0 < 0$, alors la suite  $\left( u_n \right)$ est décroissante
 	 
 	 \begin{center}
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-1,-7)(8,1)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,-7)(8,1)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-2pt 2pt,yticksize=0 0,labels=x]{->}(0,0)(0,-7)(8,1)
\uput[dl](8,0){\footnotesize{\bleu{$n$}}} \uput[dl](0,1){\footnotesize{\bleu{$u_n$}}}
\def\f{.4 neg 1.4  x exp mul }
\psplot[plotpoints=9,linewidth=1pt,linecolor=bleu,linestyle=none,showpoints=true]{0}{8}{\f}
\end{pspicture} 
\end{center}
 & Si $u_0 > 0$, alors la suite  $\left( u_n \right)$ est décroissante  
 \begin{center}
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(8,7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,-1)(8,7)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-2pt 2pt,yticksize=0 0,labels=x]{->}(0,0)(0,-1)(8,7)
\uput[dl](8,0){\footnotesize{\bleu{$n$}}} \uput[dl](0,7){\footnotesize{\bleu{$u_n$}}}
\def\f{6.4 .7  x exp mul }
\psplot[plotpoints=9,linewidth=1pt,linecolor=bleu,linestyle=none,showpoints=true]{0}{8}{\f}
\end{pspicture} 
\end{center}
 
 & Si $u_0 < 0$, alors la suite  $\left( u_n \right)$ est croissante 
 	 \begin{center}
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-1,-7)(8,1)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,-7)(8,1)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-2pt 2pt,yticksize=0 0,labels=x]{->}(0,0)(0,-7)(8,1)
\uput[dl](8,0){\footnotesize{\bleu{$n$}}} \uput[dl](0,1){\footnotesize{\bleu{$u_n$}}}
\def\f{6.4 neg .7  x exp mul }
\psplot[plotpoints=9,linewidth=1pt,linecolor=bleu,linestyle=none,showpoints=true]{0}{8}{\f}
\end{pspicture} 
\end{center}
\\ \hline
 	\end{tabularx}
 	
 \medskip
 
 	Nous pouvons en déduire les deux théorèmes suivants
 	
 	\medskip
 	
\textsf {\textsc{\small {théorème 1}}}

\medskip

\cadreR{Soit  $q$ un réel non nul. 
\begin{itemize}
	\item  Si  $ q < 0$ alors la suite $\left( q^n \right)$ n'est pas monotone.
	\item  Si  $ q > 1$ alors la suite $\left( q^n \right)$ est strictement croissante.
	\item  Si  $ 0< q < 1$ alors la suite $\left( q^n \right)$ est strictement décroissante.
 \item  Si  $ q = 1$ alors la suite $\left( q^n \right)$ est constante.
\end{itemize}
}

\medskip

\textsf {\textsc{\small {théorème 2}}}

\medskip

\cadreR{Soit  $\left( u_n \right)$ une suite géométrique de raison $q$ non nulle et de premier terme $u_0$ non nul
\begin{itemize}
	\item Si  $ q < 0$ alors la suite $\left( u_n \right)$ n'est pas monotone.
	\item Si  $ q > 0$ et  $ u_0 > 0$ alors la suite $\left( u_n \right)$ a le même sens de variation que la suite $\left( q^n \right)$.
	\item Si  $ q > 0$ et  $ u_0 < 0$ alors la suite $\left( u_n \right)$ a  le sens de variation contraire de celui de la suite $\left( q^n \right)$.
\end{itemize}
}
\subsection{Somme de termes consécutifs}

\cadreR{Soit  $\left( u_n \right)$ une suite géométrique de raison $q \ne 1$ et de premier terme $u_0$ alors pour tout entier $n$, \[ u_0  +  u_{1}  + \cdots + u_n =\sum_{i=0}^{n} u_{i} = u_0 \left(\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\right)\]
}
\medskip

Cette formule peut se retenir de la façon suivante :

\medskip

\cadreB{
La somme $S$ de termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $q \ne 1$  est :\[S= \text{premier terme } \times \frac{1- q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}\]
}

\medskip

\section{Limite d'une suite}

On étudie le comportement d'une suite $\left( u_n \right)$ quand $n$ prend de grandes valeurs. 

\subsection{Limite infinie}

\subsubsection{Définition}

\cadreR{
On dit qu'une suite $\left( u_n \right)$ admet une limite égale à  $+\infty$ quand $n$ tend vers  $+\infty$ si pour tout nombre réel $A$ strictement positif, tous les termes de la suite sont supérieurs à $A$ à partir d'un certain rang $p$. On écrit :\[ \displaystyle \lim_{n\to +\infty}u_n=+\infty \]
}

\medskip

Concrètement, une suite $\left( u_n \right)$ tend vers $+\infty$  si $u_n $  est aussi grand que l'on veut dès que $n$ est suffisamment grand.


\subsubsection{Interprétation graphique}

On a représenté ci-dessous une suite $\left(u_n\right)$ ayant une limite égale à $+\infty$

\begin{center}
\psset{xunit=.4cm, yunit=.95cm}
\begin{pspicture}(0,0)(31,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{.9 neg x exp 1 add .005 x 2 exp mul add }
\psset{dotscale=1.2}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=Rfond, linewidth=0,linecolor=Rfond](20,3)(31,6)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(31,6)
\uput[dl](31,0){\bleu{$n$}} \uput[dl](0,6){\bleu{$u_n$}}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](0,3)(31,3)
\psplot[plotpoints=31,linewidth=.5pt,linecolor=bleu,linestyle=none,showpoints=true]{0}{30}{\f}
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune,linestyle=dashed](20,0)(20,6)
\uput[d](20,0){\prune{$p$}} 
\uput[l](0,3){\prune{$A$}} 
\end{pspicture}
\end{center}
Pour tout entier $n \geqslant p$, $u_n > A$. $p$ est le seuil à partir duquel $u_n > A$

\subsubsection{Définition}

\cadreR{
On dit qu'une suite $\left( u_n \right)$ admet une limite égale à $-\infty$ quand $n$ tend vers  $+\infty$ si pour tout nombre réel $A$ strictement négatif, tous les termes de la suite sont inférieurs à $A$ à partir d'un certain rang $p$. On écrit :\[ \displaystyle \lim_{n\to +\infty}u_n=-\infty \]}

\subsection{Limite finie}

\subsubsection{Définition}

\cadreR{
Soit $\left( u_n \right)$ une suite définie sur $\N$ et $\ell$ un réel. 
\begin{enumerate}
	\item Dire que la suite $\left( u_n \right)$ admet pour limite le réel $\ell$ signifie que tout intervalle ouvert de la forme $\left] \ell - r ; \ell +r \right[$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang $p$. On écrit :\[ \displaystyle \lim_{n\to +\infty}u_n=\ell \]
	
	\item Une suite qui admet pour limite un réel $\ell$ est dite \emph{convergente}. 
\end{enumerate}
}

\medskip

Autrement dit, une suite $\left( u_n \right)$ est convergente vers un réel $\ell$ si tous les termes de la suite à partir d'un certain rang $p$ peuvent être aussi proches que voulu de $\ell$.

\subsubsection{Interprétation graphique}

Si on représente la suite convergente par un nuage de points dans un repère, à partir d'un certain rang $p$, tous les points sont dans la bande délimitée par les droites d'équation $y= \ell -r$ et $y=\ell + r$.

\begin{center}
\psset{xunit=.6cm, yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.5,0)(20.5,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{3 2 .8 neg x exp mul add }
\psset{dotscale=1.2}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=Rfond, linewidth=0,linecolor=Rfond](0,2.5)(20.5,3.5)
\psline[linewidth=.25pt,linecolor=prune](0,2.5)(20.5,2.5)
\psline[linewidth=.25pt,linecolor=prune](0,3.5)(20.5,3.5)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(20.5,6)
\uput[dl](20.5,0){\bleu{$n$}} \uput[dl](0,6){\bleu{$u_n$}}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](0,3)(20.5,3)
\psplot[plotpoints=21,linewidth=.5pt,linecolor=bleu,linestyle=none,showpoints=true]{0}{20}{\f}
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune,linestyle=dashed](8,0)(8,4)
\uput[d](8,0){\prune{$p$}} 
\uput[l](0,2.5){\prune{$\ell -r$}} 
\uput[l](0,3){\prune{$\ell$}} 
\uput[l](0,3.5){\prune{$\ell +r$}} 
\end{pspicture}
\end{center}

Le rang $p$ est le seuil à partir duquel \og $u_n$ est à une distance de $\ell$ inférieure à $r$ \fg

\subsubsection{Propriété}

\cadreR{
La suite  $\left( u_n \right)$  converge vers un réel $\ell$ si, et seulement si,  la suite $\left( u_n \right) - \ell $ est convergente vers un 0.
}


\medskip

\textsf {\textsc{\textbf{remarque}}}

\medskip

Une suite peut ne pas admettre de limite. Par exemple la suite de terme général $(-1)^n$ prend alternativement les valeurs 1 et $-1$. Elle n'admet pas de limite.


\subsection{Limites d'une suite géométrique}

\subsubsection{Théorème \hspace{1cm} \normalfont{(\emph{admis})}} 

\cadreR{%
Soit $q$ un réel strictement positif :
\begin{itemize}
	\item Si $0<q<1$ alors la suite géométrique de terme général $q^n$ converge vers 0 : $\displaystyle \lim_{n\to +\infty}q^n=0$.
	\item Si $q=1$ alors la suite géométrique de terme général $q^n$ est constante et sa limite est 1.
	\item Si $q>1$ alors la suite géométrique de terme général $q^n$ a pour limite $+\infty$ : $\displaystyle \lim_{n\to +\infty}q^n=+\infty$.	
\end{itemize}
}

\subsubsection{Corollaire}

\cadreR{Soit  $\left( u_n \right)$ une suite géométrique de premier terme $u_0$ non nul et de raison $q$ strictement positive. 
\begin{itemize}
	\item Si $0 < q < 1$ alors la suite $\left( u_n \right)$  converge et $\displaystyle \lim_{n\to +\infty}u_n= 0$.
	\item Si $q = 1$ alors la suite $\left( u_n \right)$ est constante  et égale à $u_0$.
	\item Si $q > 1$ alors la suite $\left( u_n \right)$ admet une limite infinie avec :
	\[\displaystyle \lim_{n\to +\infty}u_n=-\infty \: \text{ si } \: u_0 < 0 \qquad \text{ et } \qquad \displaystyle \lim_{n\to +\infty}u_n=+\infty \: \text{ si } \: u_0 > 0\]
\end{itemize}
}

\subsubsection{Recherche d'un seuil à l'aide d'un algorithme}

{\textsf{\textsc{\small{exemple}}}}

\medskip

Soit $\left(u_n\right)$ la suite géométrique de raison 1,01 et de premier terme $u_0=5000$

L'algorithme suivant permet d'obtenir le seuil à partir duquel le terme général de la suite est supérieur à \np{7500}.

C'est à dire déterminer le plus petit entier $p$ tel que pour tout entier $n \geqslant p$ , $5000\times 1,01^n \geqslant 7500$

\medskip

\begin{minipage}{.35\linewidth}   
\begin{algorithm}[H]
\SetCommentSty{AlgCommentaire}
\textsc{\textsf{Initialisation :}}\\
  {$U=5000$  \; $N=0$\;}
  \textsc{\textsf{Traitement :}}\\
  \Tq{$U < 7500$}{
  $N$ prend la valeur $N+1$ \;
  $U$ prend la valeur $1,01 \times U$ \;  
    }
\textsc{\textsf{Sortie :}}\\
    Afficher $N$
    
\end{algorithm}
 \end{minipage} \hfill  \begin{tabularx}{.6\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
 \multicolumn{2}{|c|}{PROGRAMME}\\ \hline 
TEXAS & CASIO \\ \hline
\texttt{\begin{tabular}{@{ : }l}
\multicolumn{1}{l}{PROGRAM : SEUIL} \\ 
5000 $\rightarrow$  U\\
0 $\rightarrow$  N\\
While U < 7500\\
N + 1 $\rightarrow$  N\\
1.01*U $\rightarrow$  U\\
End\\
Disp U\\
\end{tabular}}
 & \texttt{\begin{tabular}{l}
\multicolumn{1}{c}{===== SEUIL =====} \\ 
5000 $\rightarrow$  U  \fvalid\\
0 $\rightarrow$  N \fvalid\\
While U < 7500 \fvalid\\
N + 1 $\rightarrow$  N \fvalid\\
1.01*U $\rightarrow$  U \fvalid\\
WhileEnd \fvalid\\
N\\
\end{tabular}} \\ \hline
 \end{tabularx} 

\medskip

La calculatrice affiche 41. Donc pour tout entier $n \geqslant 41$, on a  $5000\times 1,01^n \geqslant 7500$.



\pagebreak

\addcontentsline{toc}{section}{Exercices} 

\exo

 \medskip 
 
Soit $(u_n)$ la suite définie par : $u_0 = 16$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}= 0,75\times u_n$.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
	\item Quelle est la nature de la suite $(u_n)$ ?
	\item Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ en fonction de $n$. 
	\item Étudier la monotonie de la suite $\left( u_n \right)$.
	\item On note $S_n$ la somme des $n+1$ premiers termes de la suite $u_n$. Calculer $S_4$.
\end{enumerate}
	\item  On a tracé ci-dessous dans un repère orthonormé, la courbe représentative de la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)=0,75x$ et la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=x$.
	
	\medskip
	
	\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(33,26)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(33,26)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{->}(0,0)(16.5,13)
\uput[d](16.5,0){$x$} \uput[l](0,13){$y$}
\uput[dl](0,0){\footnotesize 0} \uput[d](1,0){\footnotesize 1} \uput[l](0,1){\footnotesize 1}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=bleu](0,0)(13,13)
\uput[r](13,13){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{D}$}}} 
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=prune](0,0)(16.5,12.375)
\def\fct{.75 xUn mul}% 
\pstVerb{/xUn 16 def}% u0 
\psline[linecolor=prune,linewidth=1pt]{->}(16,0)(!16 \fct) 
\multido{\n=0+1,\i=1+1}{1}{% 
\uput[d](! xUn 0 ){\prune{\footnotesize{$u_{\n}$}}}
\psline[linecolor=prune,linewidth=1pt]{->}(! xUn \fct )(! \fct\space dup)
\uput[u](! xUn \fct ){\bleu{\footnotesize{$M_{\i}$}}} 
\uput[ul](! \fct\space dup){\red{\footnotesize{$A_{\i}$}}}
\pstVerb{ /xUn \fct\space def}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=blue,linewidth=.5pt]{->}(! xUn xUn)(! xUn 0 )
\psline[linecolor=prune,linewidth=1pt]{->}(! xUn xUn )(! xUn \fct )
} 
\uput[d](! xUn 0 ){\prune{\footnotesize{$u_{1}$}}}

\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
	\item Construire sur le graphique les termes de la suite $u_2$, $u_3, \cdots , u_{11}$.
	\item Que peut-on conjecturer à propos de la limite de la suite $(u_n)$ ?
\end{enumerate}	
	\item \`A l'aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier $n$ tel que $u_n \leqslant 0,1$.
	\item Montrer que pour tout entier $n$, $S_n = 64 \left(1-0,75^{n+1} \right)$. Vers quel réel tend $S_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

 \medskip 
 
Soit $(u_n)$ la suite géométrique définie par : $u_0 = \dfrac{1}{2}$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}= \dfrac{8}{5}\times u_n$.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
	\item Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ en fonction de $n$. 
	\item Étudier le sens de variation de la suite $\left( u_n \right)$.

\end{enumerate}
	\item 
\begin{enumerate}
	\item Utiliser les droites d'équations $y = x$ et $y = 1,6x$  pour construire les huit premiers termes de la suite  $(u_n)$.
		\medskip
	
	\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(30,28)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(30,28)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{->}(0,0)(15,14)
\uput[d](15,0){$x$} \uput[l](0,14){$y$}
\uput[dl](0,0){\footnotesize 0} \uput[d](1,0){\footnotesize 1} \uput[l](0,1){\footnotesize 1}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=bleu](0,0)(14,14)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=prune](0,0)(8.75,14)
\end{pspicture}
\end{center}
\item Que peut-on conjecturer à propos de la limite de la suite $(u_n)$ ?
\end{enumerate}
\item \`A l'aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier $n$ tel que $u_n \geqslant 5000$.
\item On note $S$ la somme des $n$ premiers termes de la suite $u_n$.
\begin{enumerate}
	\item Montrer que pour tout entier $n$, $S = \dfrac{5\left(1,6^n -1 \right)}{6}$.
	\item Vers quel réel tend $S$ quand $n$ tend vers $+\infty$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}



\bigskip

\exo

 \medskip 


Le glacier d'Aletsch, situé dans le sud de la Suisse, est le plus grand glacier des Alpes.
 
En 2010, sa longueur était de 22,7 kilomètres pour une superficie de $128\mathrm{km}^2$. 

Depuis 1980, un réchauffement climatique significatif a conduit à un recul des glaciers de plus en plus rapide.

On émet l'hypothèse que la longueur du glacier d'Aletsch diminue de 2 \% tous les 10 ans à partir de 2010.

On note $u_n$ la longueur en kilomètres du glacier d'Aletsch $n$ dizaines d'années après 2010. Ainsi, $u_0=22,7$.

\medskip


\begin{enumerate}
\item Donner une estimation de la longueur du glacier en 2020.
\item \begin{enumerate}
\item Justifier que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0,98u_{n}$.
\item Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ?
\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$. 

\end{enumerate}

\item Selon ce modèle, le glacier d'Aletsch aura-t-il perdu au moins quatre kilomètres en un siècle ?
\item On souhaite écrire un algorithme qui permette d'afficher dans combien d'années le glacier d'Aletsch aura  perdu au moins la moitié de sa longueur.
	
Parmi les trois algorithmes suivants, déterminer celui qui convient pour répondre au problème posé et expliquer pourquoi les deux autres ne conviennent pas.
	
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|c|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}
\multicolumn{1}{|c|}{\textsf{Algorithme 1}}&&\multicolumn{1}{c|}{\textsf{Algorithme 2}}\\[.5em]
Affecter à $n$ la valeur 0&&Affecter à $n$ la valeur 0\\
Affecter à $U$ la valeur 22,7&&Affecter à $U$ la valeur 22,7\\
Tant que $U \geqslant  11,35$
\begin{itemize}
\item[] Affecter à $U$ la valeur $22,7 \times  0,98^n$
\item[] Affecter à $n$ la valeur $n + 1$
\end{itemize}
Fin Tant que &&Tant que  $U \geqslant  11,35$
\begin{itemize}
\item [] Affecter à $U$ la valeur $0,98 \times U$
\item[] Affecter à $n$ la valeur $n + 1$
\end{itemize}Fin Tant que\\
Afficher  $10\times n$&&Afficher  $10\times n$\\ \cline{1-1}\cline{3-3}
\end{tabularx}

\begin{center}
\begin{tabularx}{.5\linewidth}{|X|}\hline
\multicolumn{1}{|c|}{\textsf{Algorithme 3}}\\[.5em]
Affecter à $n$ la valeur 0\\
Affecter à $U$ la valeur 22,7\\
Tant que $U \leqslant  11,35$
\begin{itemize}
\item[] Affecter à $U$ la valeur $0,98 \times U$
\item[] Affecter à $n$ la valeur $n +10$
\end{itemize}
Fin Tant que \\
Afficher $n$ \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\end{enumerate}

 \bigskip 

\exo \hfill (\emph{D'après sujet bac Nouvelle Calédonie 2013})

 \medskip 


La suite $\left(u_{n}\right)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1} = 0,4u_{n} + 3$ et $u_{0} = - 1$.
 
\medskip

\textsf {\textsc{\textbf{partie a}}}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item À l'aide d'un tableur, on a calculé les 11 premières valeurs de $u_{n}$. On obtient les résultats suivants :
 
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\small}c|>{\small}l|*{12}{>{\centering \arraybackslash \small} X|}}\hline
&\multicolumn{1}{c|}{\sf{A}}&\sf{B} &\sf{C} &\sf{D} &\sf{E} &\sf{F} &\sf{G} &\sf{H} &\sf{I} &\sf{J} &\sf{K} &\sf{L}\\ \hline
\sf{1}&Valeur de $n$&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ \hline
\sf{2}&Valeur de $u_{n}$&
$- 1$& 2,6 &  4,04 & 4,616 & 4,8464 & 4,9386 & 4,9754 & 4,9902 & 4,9961 & 4,9984 & 4,9994 \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Parmi les quatre formules ci-dessous, laquelle a-t-on entré dans la cellule C2 pour obtenir par copie vers la droite les valeurs affichées dans les cellules D2 à L2 (on indiquera la réponse sur la copie sans justification) ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\raggedright}X*{2}{>{\centering}X}>{\raggedleft}X } 
\textbf{a.~} $= 0,4^n +3$&\textbf{b.~} $= \$\text{B}\$2*0,4+3$ 	&\textbf{c.~} $=\text{B}2*0,4+3$ &\textbf{d.~} $= 0,4 \mathsf{\Huge{\hat{\phantom{,}}}} \text{C}1+3$
\end{tabularx}

\item Quelle conjecture peut-on faire sur la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? 
\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{.75\linewidth}{|l X|}\hline 
\textsf{\textsc{variables :}}		& 	$p$ et $n$ sont des entiers naturels, $u$ est un nombre réel\\ 
\textsf{\textsc{entrée :}}		& 	saisir la valeur de $p$\\ 
\textsf{\textsc{initialisation :}}& 	$n$ prend la valeur $0$, $u$ prend la valeur $- 1$\\ 
\textsf{\textsc{traitement :}}	& 	Tant que $|u - 5| > 10^{-p}$\\ 
&	\begin{tabular}{@{\hspace{1em}}|l}
$n$ prend la valeur $n + 1$\\
$u$ prend la valeur $0,4u + 3$
\end{tabular}\\ 
& Fin Tant que\\
\textsf{\textsc{sortie :}}& 	Afficher la valeur de $n$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
À l'aide du tableau de la question 1, donner la valeur affichée par cet algorithme lorsque $p = 2$.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textsc{\textbf{partie b}}}

\medskip
 
On étudie maintenant la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n} = 6 \times  (0,4)^n$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$ et ses éléments caractéristiques. 
\item Déterminer la limite de $\left(v_{n}\right)$ quand $n$ tend vers $+ \infty$. 
\item On admet que pour tout entier naturel $n$ : $u_{n} = 5 - v_{n}$. Déterminer la limite de $\left(u_{n}\right)$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer en fonction de $n$ la somme $v_{0} + v_{1} + \cdots + v_{n}$. 
		\item En déduire en fonction de $n$ la somme $u_{0} + u_{1} + \cdots + u_{n}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip


\exo 

 \medskip 

La température d'un gâteau à la sortie du four est de 160\textdegree C.

L'évolution de la température du gâteau en fonction du temps est modélisée par la suite $\left( T_n \right)$ définie par $T_0=160$ et, pour tout entier naturel $n$, $T_{n+1} = 0,94\times T_n+1,5$. 

Pour tout entier naturel $n$, le terme $T_n$ de la suite $\left( T_n \right)$ est égal à la température en degrés Celsius du gâteau $n$ minutes après la sortie du four. 

\medskip

 \textsf{\textsc{\textbf{partie a}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la température, arrondie au degré près, du gâteau 5 minutes après la sortie du four ?
		
		\item Pour déterminer au bout de combien de minutes la température du gâteau sera inférieure ou égale à 30\textdegree C, on a commencé par élaborer l'algorithme ci-dessous.
		
		Recopier et compléter cet algorithme afin qu'il affiche la réponse.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|lX|}\hline
\textsc{\textsf{Variables:}}			&$N$ est un entier naturel\\
							&$T$ est un nombre réel\\
\textsc{\textsf{Initialisation :}}	&Affecter à $N$ la valeur 0\\
							&Affecter à $T$ la valeur 160\\
\textsc{\textsf{Traitement :}}		&Tant que \ldots\\
							&\begin{tabular}{m{0.4cm} l}
								&Affecter à $T$ la valeur \ldots\\
								&Affecter à $N$ la valeur \ldots.
								\end{tabular}\\
							&Fin Tant que\\
\textsc{\textsf{Sortie :}}			&Afficher $N$\\ \hline
\end{tabularx}								
\end{center}
\end{enumerate}

 \textsf{\textsc{\textbf{partie b}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour tout nombre entier naturel $n$, on définit la suite $\left(V_n\right)$ par : $V_n = T_n - 25$.

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(V_n\right)$ est une suite géométrique  dont on précisera le premier terme et la raison.
		\item Montrer que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a : $T_n = 135 \times  0,94^{n}+25$.		
	\end{enumerate}
	\item Calculer la limite de la suite $\left( T_n \right)$ et interpréter ce résultat.
	
\end{enumerate}

\bigskip 
\exo

 \medskip 
 
En raison de l'évaporation, une piscine perd chaque semaine 3~\% de son volume d'eau. 

On remplit un bassin avec $95~\mathrm{m}^3$ d'eau. 

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

On note $C_{n}$ le nombre de $\mathrm{m}^3$ d'eau contenu dans ce bassin au bout de $n$ semaines.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la nature de la suite $\left(C_{n}\right)$ puis, exprimer $C_{n}$ en fonction de $n$.
\item Au bout de six semaines, le bassin aura-t-il perdu 18~\% de son volume d'eau ?
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Pour être praticable, le bassin doit contenir au moins $88~\mathrm{m}^3$ d'eau. 

Pour compenser la perte due à l'évaporation, on décide de rajouter chaque semaine $2,4~\mathrm{m}^3$ d'eau dans le bassin.

On note $u_{n}$ le nombre de $\mathrm{m}^3$ d'eau contenu dans ce bassin au bout de $n$ semaines. 

On a donc $u_{0} =  95$ et, pour tout entier $n$, $u_{n+1}= 0,97 \times u_n + 2,4$.

\begin{enumerate}
\item Pour déterminer au bout de combien de semaines le volume d'eau du bassin sera inférieure ou égale à $88~\mathrm{m}^3$ d'eau, on a commencé par élaborer l'algorithme ci-dessous:		
		
\begin{center}
\textsf{\begin{tabular}{|l l|}\hline 
Initialisation :& Affecter à $N$ la valeur 0\\
& Affecter à $U$ la valeur $95$\\
Traitement :& Tant{\_}que $U \cdots $ :\\
&\begin{tabular}{l|l}
~~& Affecter à $N$ la valeur $N + 1$\\
~~& Affecter à $U$ la valeur \dots\\
\end{tabular}\\
& Fin Tant{\_}que\\ 
Sortie :& Afficher \dots\\ \hline
\end{tabular}}
\end{center} 
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter cet algorithme afin qu'il affiche la réponse.
 \item Quel nombre obtient-on en sortie de l'algorithme ? Interpréter ce résultat.
\end{enumerate}

\item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n} = u_{n} - 80$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. 
		\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$. En déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_{n} = 80 + 15 \times  0,97^n$.		
	\end{enumerate} 
	\item Étudier la monotonie de la suite  $u_{n}$.
\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. Interpréter ce résultat.

\end{enumerate}

  \bigskip 
 
\exo 

 \medskip 

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1} = 1,05u_{n} -30$ et de premier terme $u_{0}$.

Pour tout nombre entier naturel $n$, on définit la suite $\left(v_n\right)$ par : $v_n = u_n - 600$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique  dont on précisera la raison.
		\item On suppose dans cette question, que $u_{0}=500$
		\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a : $u_n = 600- 100 \times  1,05^{n}$.
		\item Étudier la monotonie de la suite  $u_{n}$.
\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
\item À l'aide d'un algorithme, déterminer le plus petit entier $p$ tel que pour tout entier $n\geqslant p$ on a  $u_n \leqslant 250$.
	\end{enumerate}	
	\item On suppose dans cette question, que $u_{0}=800$
		\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a : $u_n = 600+200 \times  1,05^{n}$.
		\item Étudier la monotonie de la suite  $u_{n}$.
\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
\item À l'aide d'un algorithme, déterminer le plus petit entier $p$ tel que pour tout entier $n\geqslant p$ on a  $u_n \geqslant 1000$.
	\end{enumerate}	
	\end{enumerate}
	
\bigskip

\exo

\medskip

Au 31 décembre 2014, Pierre  n'a  réussi à économiser que 40 euros. Ses parents lui versent 50 euros tous les premiers du mois.

Pierre décide que pour s'offrir un smartphone qui coûte 180 euros, il ne dépensera chaque mois que 20\,\% de son capital accumulé.

Le premier versement lui a été fait au 1\up{er} janvier 2015.

Soit $u_n$ le montant des économies de Pierre à la fin du mois après le $n$-ième versement. Ainsi $u_0= 40$ et $u_1$ correspond au montant des économies de  Pierre au soir du 31 janvier 2015.
\begin{enumerate}
\item  Montrer que $u_2 = 97,60$. 
\item Au terme de quel mois, Pierre aura-t-il économisé la somme nécessaire à l'achat du smartphone ?
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\chapter{Primitives}

\minitoc

\newpage


\section*{\textsf {\textsc{\textbf{\blue{activités}}}}}	
\addcontentsline{toc}{section}{Activités}	

	\medskip
	
\begin{enumerate}
	\item Soit $f$ et $g$ les fonctions définies sur $\R$ par $f(x) = -x^2 +3x-1$ et $g(x)= -2x+3$.
	
	Vérifier que $g$ est la dérivée de $f$. Trouver d'autres fonctions ayant $g$ pour dérivée.
	\item \`A l'aide du tableau des dérivées, trouver une fonction $F$ ayant pour dérivée la fonction $f$ donnée dans chacun des cas suivants :
	
	\medskip
	
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}>{\raggedright \arraybackslash}X}}
a)\quad $f(x)= \dfrac{1}{2}$ &  b)\quad $f(x)= x^3$ & c)\quad $f(x)= 3x-2$\\ 
d)\quad $f(x)= 2x^2 +x-1$\rule[-4mm]{0pt}{10mm} &  e)\quad $f(x)= \dfrac{3}{x^2}$ & f)\quad $f(x)= (2x-1)^2$\\ 
 \end{tabularx}
 \item La courbe ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction $f$  définie sur $\R$

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-12,-5)(12,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(x+1)*(8*x-17*ln(17)-24)/(20*(x^2+2*x+2))+.2*ln(x^2+2*x+2)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-12,-5)(12,6)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-6,-2.5)(6,3)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](5.8,0){$x$} \uput[l](0,3){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-6}{6}{\f}
\psdots[linecolor=prune,dotstyle=*,dotscale=.8](-1,0)(3,0)
\end{pspicture}
\end{center}
 
Parmi les cinq courbes suivantes, quelles sont celles susceptibles de représenter une fonction $F$ ayant pour dérivée la fonction $f$ ?

\medskip

\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-5)(9,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{.025*(8*x-17*ln(17)-24)*ln(x^2+2*x+2)+1.41152}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-3)(9,3)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-3,-3)(9,3)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\uput[d](9,0){\footnotesize{$x$}} \uput[l](0,3){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=600,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3}{9}{\f}
\rput(3,-4){\footnotesize{Courbe $C_1$}}
\end{pspicture}
\hfill
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-5)(5,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{.05*(8*x-17*ln(17)+24)*ln(x^2+2*x+2)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-3)(5,3)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-3,-3)(5,3)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\uput[d](5,0){\footnotesize{$x$}} \uput[l](0,3){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=335,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-2.7}{5}{\f}
\rput(1,-4){\footnotesize{Courbe $C_2$}}
\end{pspicture}
\hfill
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-5)(9,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{20*ln(x^2-6*x+10)/(x^2+11.04)-2}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-3)(9,3)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-3,-3)(9,3)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\uput[d](9,0){\footnotesize{$x$}} \uput[l](0,3){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=600,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3}{9}{\f}
\rput(3,-4){\footnotesize{Courbe $C_3$}}
\end{pspicture}


\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-5)(10,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{-.025*(8*x-17*ln(17)-24)*ln(x^2+2*x+2)-2.41152}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-4,-3)(10,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-4,-3)(10,4)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\uput[d](10,0){\footnotesize{$x$}} \uput[l](0,4){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=685,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-4}{9.7}{\f}
\rput(3,-4){\footnotesize{Courbe $C_4$}}
\end{pspicture}
\hfill
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-5)(10,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{.025*(8*x-17*ln(17)-24)*ln(x^2+2*x+2)+3.41152}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-4,-3)(10,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-4,-3)(10,4)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\uput[d](10,0){\footnotesize{$x$}} \uput[l](0,4){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=685,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-4}{9.7}{\f}
\rput(3,-4){\footnotesize{Courbe $C_5$}}
\end{pspicture}

\end{enumerate}

\pagebreak

\section{Primitives}

\subsection{Définition}

\medskip 

\cadreR{
$f$ est une fonction définie sur un intervalle $I$.

Une primitive de $f$ sur $I$ est une fonction $F$ dérivable sur $I$ et telle que pour tout réel $x$ de $I$, $F'(x)=f(x)$.
}

\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

$f$ est la fonction définie sur $\R$ par $f(x)= 5-3x$

Les fonctions $F$ et $G$ définies sur $\R$ par $F(x)= -\dfrac{3}{2}x^2+5x$ et  $G(x)= -\dfrac{3}{2}x^2+5x-\sqrt{2}$ sont des primitives de $f$ sur $\R$.

De façon générale, toute fonction $G$ définie sur $\R$ par $G(x) = -\dfrac{3}{2}x^2+5x +c$ , où $c$ est un réel, est une primitive de $f$ sur $\R$.

\subsection{Ensemble des primitives d'une fonction}

\medskip 

\cadreR{
Si $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$, alors les primitives de $f$ sur $I$ sont les fonctions $G$ définies pour tout réel $x$ de $I$ par $G(x)=F(x)+k$ où $k$ est un réel.
}

\medskip
 
 \dem
 
 \medskip
 
 \begin{itemize}
	\item Soit $F$ une primitive de la fonction $f$ sur $I$ et $G$ une fonction définie pour tout réel $x$ de $I$ par $G(x)=F(x)+k$ où $k$ est un réel.
	
	Alors, $G'(x)=F'(x)+0=f(x)$ donc $G$ est aussi une primitive de $f$ sur $I$.
	
	\item Soient $G$ et $F$ deux primitives de $f$ sur $I$ montrons qu'il existe un réel $k$ tel que pour tout réel $x$ de $I$, $G(x)=F(x)+k$.
	
	On considère la fonction $H$ définie sur $I$ par $H(x)=G(x) -F(x)$ alors, \[ H'(x) = G'(x) -F'(x)  = f(x) - f(x)  = 0 	\]
	
	$H'$ est la fonction nulle sur $I$ ce qui signifie que $H$ est une fonction constante sur $I$.
	
	Ainsi, pour tout réel $x$ de $I$, $H(x)=k$ où $k$ est un réel. Soit $G(x) -F(x)=k$ donc $G(x)=F(x)+k$.
\end{itemize}
 
\subsection{Primitive vérifiant une condition}

\medskip 

\cadreR{
Soit $f$ une fonction admettant des primitives sur un intervalle $I$.
Soit $x_0$ un réel de l'intervalle $I$ et $y_0$ un réel quelconque.

Il existe une \emph{unique} primitive $F$ de $f$ sur $I$ telle que $F(x_0)=y_0$.
}

\medskip
 
 \dem
 
\medskip 
 
Si $G$ est une primitive de $f$ sur $I$, alors toute primitive $F$ de $f$ sur $I$ est définie par $F(x) = G(x) + k$ avec $k$ réel.

La condition $F(x_0)=y_0$ s'écrit $G(x_0) + k = y_0$ d'où $k = y_0-G(x_0)$. 

Il existe donc une seule primitive $F$ de $f$ sur $I$ telle que $F(x_0)=y_0$, définie par $F(x) = G(x) + y_0-G(x_0)$.

\medskip
 
 \subsubsection{Interprétation graphique}
 
\medskip 

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}m{10.5cm} >{\raggedleft \arraybackslash}X@{}}
Si on connaît la courbe $\mathcal{C}$ représentative d'une primitive de $f$ sur $I$,  alors les courbes des primitives de $f$ sur $I$ se déduisent de $\mathcal{C}$ par une translation de vecteur $k\vec{j}$ où $k$ est un réel.

\medskip

Un point $M(x_0;y_0)$ étant donné, il n'existe qu'une seule courbe $\mathcal{C}_F$ de la famille passant par ce point.
&\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.5)(11,5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{mauveClair}{.95 .9 .95}
\def\f{(x^2-4)*Euler^(-.3*x-1.2)}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-3,-4.5)(10,5)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{O}}
\uput[d](10,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,4.8){\footnotesize{$y$}}
\psaxes[ticks=none,linewidth=1pt,labels=none,linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](.5,0){\red \scriptsize{$\vec{i}$}}
\uput[l](0,0.5){\red \scriptsize{$\vec{j}$}}
\psset{linewidth=.75pt, linecolor=bleu}
\multido{\n=-3+1}{7}{%
\psplot[algebraic=true,plotpoints=540]{-3}{10}{\f+ \n}}
\psplot[algebraic=true,linewidth=1.25pt, linecolor=prune, plotpoints=540]{-3}{10}{\f}
\uput[r](9.8,1.4){\prune{\footnotesize{$\mathcal{C}_F$}}}
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=red](0,1.41)(5,1.41)(5,0)
\uput[d](5,0){\red{\footnotesize{$x_0$}}}
\uput[l](0,1.4){\red{\footnotesize{$y_0$}}}
\uput[u](5,1.4){\red{\footnotesize{$M$}}}
\end{pspicture*} \\
 \end{tabularx} 
 

\section{Calculs de primitives}

Nous admettons la propriété suivante :

Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur $I$.

\medskip

Les opérations sur les fonctions dérivables et la définition d'une primitive conduisent aux résultats suivants :

\begin{itemize}
	\item Si $F$ et $G$ sont des primitives des fonctions $f$ et $g$ sur un intervalle $I$, alors $F+G$ est une primitive de $f+g$ sur $I$.
	\item Si $F$ est une primitives de la fonction $f$ sur un intervalle $I$ et $k$ un réel,  alors $kF$ est une primitive de $kf$ sur $I$.
\end{itemize}

\subsection{Primitives des fonctions usuelles}
  \renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$f$ est définie sur $I$ par \ldots & une primitive $F$ est donnée par &	validité\\ \hline
$f(x)=a$ ($a$ est un réel) & $F(x)=ax$  &	sur $\R$ \\ \hline
$f(x)=x^n$ ($n$ est un entier naturel)\rule[-4mm]{0pt}{1cm} & $F(x)=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$  &	sur $\R$ \\ \hline
$f(x)=\dfrac{1}{x}$ \rule[-4mm]{0pt}{1cm} & \emph{\red prochain cours}  &	sur $]0;+\infty[$ \\ \hline
$f(x)=\dfrac{1}{x^2}$ \rule[-4mm]{0pt}{1cm} & $F(x)=-\dfrac{1}{x}$  &	sur $]-\infty;0[$ ou sur $]0;+\infty[$ \\ \hline
$f(x)=\dfrac{1}{x^n}$ ($n$ entier,  $n>1$)\rule[-4mm]{0pt}{1cm} & $F(x)=-\dfrac{1}{(n-1)x^{n-1}}$  &	sur $]-\infty;0[$ ou sur $]0;+\infty[$ \\ \hline
$f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ \rule[-4mm]{0pt}{1cm} & $F(x)=2\sqrt{x}$  &	sur $]0;+\infty[$ \\ \hline
$f(x)=\cos (x)$ \rule[-4mm]{0pt}{1cm} & $F(x)=\sin (x)$  &	sur $\R$ \\ \hline
$f(x)=\cos (ax+b)$ ($a\ne 0$)\rule[-4mm]{0pt}{1cm} & $F(x)=\dfrac{1}{a}\sin (ax+b)$  &	sur $\R$ \\ \hline
$f(x)=\sin (x)$ \rule[-4mm]{0pt}{1cm} & $F(x)=-\cos (x)$  &	sur $\R$ \\ \hline
$f(x)=\sin (ax+b)$ ($a\ne 0$)\rule[-4mm]{0pt}{1cm} & $F(x)=-\dfrac{1}{a}\cos (ax+b)$  &	sur $\R$ \\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemples}}}
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $t$ par $f(t)=-3 \cos\left(2t +\dfrac{\pi}{3}\right)$.

Les primitives de la fonction $f$ sont les fonctions $F$ définies sur $\R$ par $F(t)=-\dfrac{3}{2}\sin\left(2t +\dfrac{\pi}{3}\right)+c$ où $c$ est un réel quelconque.

\item Déterminer la primitive $F$ de la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=2x^2-x+\dfrac{3}{x^2}-1$ telle que $F(1)=\dfrac{5}{6}$.

\begin{itemize}
\item Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0;+\infty[$ par \[F(x)=\dfrac{2}{3}x^3-\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{3}{x}-x+c\] où $c$ est un réel à déterminer.
\item Comme $F(1)=\dfrac{5}{6}$, on en déduit que :\[\begin{split}\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{2}-3-1+c=\dfrac{5}{6} &\iff -\dfrac{23}{6}+c=\dfrac{5}{6}\\
& \iff c=-3\end{split}\]
\end{itemize}

Ainsi, la primitive $F$ de la fonction $f$ est définie sur $]0;+\infty[$ par $F(x)=\dfrac{2}{3}x^3-\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{3}{x}-x-3$
\end{enumerate} 

 
\subsection{Primitives des formes usuelles}

$u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$.

On obtient le tableau suivant à partir de la dérivation d'une fonction composée.

\medskip

  \renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
conditions & fonction $f$ & une primitive $F$ est donnée par \\ \hline
$n$ entier,  $n>0$  \rule[-4mm]{0pt}{1cm} & $f =u'u^n$ & $F=\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$  \\  \hline
$u$ ne s'annule pas sur $I$\rule[-4mm]{0pt}{1cm} & $f=\dfrac{u'}{u^2}$  &	$F=-\dfrac{1}{u}$ \\ \hline
$u$ ne s'annule pas sur $I$

$n$ entier,  $n>1$ & $f=\dfrac{u'}{u^n}$  &	$F=-\dfrac{1}{(n-1)u^{n-1}}$ \\ \hline
$u$ strictement positive sur $I$  \rule[-4mm]{0pt}{1cm} & $f=\dfrac{u'}{\sqrt{u}}$ & $F=2\sqrt{u}$  \\ \hline
& $f=u'\cos (u)$  \rule[-4mm]{0pt}{1cm}  & $F=\sin (u)$  \\ \hline
& $f=u'\sin (u)$  \rule[-4mm]{0pt}{1cm}  & $F=-\cos (u)$  \\ \hline
\end{tabularx}


\bigskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

 Déterminer la primitive $F$ de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{4x+2}{(x^2+x+1)^2}$ telle que $F(-1)=0$.

Le carré au dénominateur incite à mettre en évidence  la forme $\dfrac{u'}{u^2}$.

 $f(x)=2\times\dfrac{2x+1}{(x^2+x+1)^2}$ soit  $f=2\times\dfrac{u'}{u^2}$ avec pour tout réel $x$, $u(x) =x^2+x+1$ et $u'(x)=2x+1$.
 
Une primitive de $f$ sur $\R$ est $F= -2 \times \dfrac{1}{u}+c$ où $c$ est un réel à déterminer. Soit pour tout réel $x$, \[F(x)= \frac{-2}{x^2+x+1}+c\]

Or $F(-1)=0 \Leftrightarrow -2 + c = 0 \Leftrightarrow  c = 2$. Ainsi, la primitive $F$ de la fonction $f$ sur $\R$ est la fonction définie par : \[F(x)= \dfrac{-2}{x^2+x+1}+2\]

\newpage

\addcontentsline{toc}{section}{Exercices} 

\exo 

\medskip 

\begin{enumerate}
	\item Dans chacun des cas suivants, déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ définie sur $\R$
\begin{enumerate}	
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}>{\raggedright \arraybackslash}X}}
\item $f(x)=3x^2+ \dfrac{1}{2}$ & \item $f(x)= x^3-4x+\sqrt{2}$ & \item $f(x)= \dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x}{3}+1$\\ 
 \end{tabularx}
 \end{enumerate}
 \item Dans chacun des cas suivants, déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ définie sur $]0; +\infty[$
\begin{enumerate}	
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}>{\raggedright \arraybackslash}X}}
\item $f(x)=3x+ \dfrac{3}{x^2}$ &  \item $f(x)= \dfrac{x^3-2x^2+1}{x^2}$ & \item $f(x)=\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}$\\ 
 \end{tabularx} 
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

 \medskip 

Dans chacun des cas suivants, calculer la primitive $F$ de la fonction $f$ qui vérifie la condition donnée.
	\begin{enumerate}
	\item $f$  est définie sur $\R$   par $f(x)=x^2-5x-1$\:  et\: $F\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{2}$.
	\item $f$  est définie sur $\R$   par $f(x)=3x^2-5x+\dfrac{1}{2}$\:  et\: $F(1)=0$.	
	\item $f$  est définie sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x)=x-\dfrac{1}{x^2}+1$\:  et\: $F\left(1\right)=2$.	
	\item $f$  est définie sur $]0;+\infty[$   par $f(x)=x^3+\dfrac{2}{x^2}$\:  et\:  $F(1)=-\dfrac{1}{4}$.	
\item $f$  est définie sur $\left]0 ; +\infty\right[$ par  $f(x)=2x^3-1-\dfrac{1}{x^2}$  et $F(1)=1$.	
\end{enumerate}

\bigskip 

\exo

\medskip
 
Soit $F$ et $G$ les fonctions définies sur $]-1;+\infty[$  par : $F(x)=\dfrac{x^2+x+1}{x+1}$ et $G(x)=x-2+\dfrac{1}{x+1}$

Montrer que $F$ et $G$ sont deux primitives sur $]-1;+\infty[$ d'une même fonction $f$ que l'on précisera.

\bigskip 
 
\exo

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur $\left]\dfrac{1}{2}; +\infty\right[$ par $f(x)=\dfrac{2x^2-4x}{(2x^2+x-1)^2}$
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $G$ définie sur $\left]\dfrac{1}{2}; +\infty\right[$ par $G(x)=\dfrac{2x^2}{2x^2+x-1}$ est une primitive de la fonction $f$.
	\item 
\begin{enumerate}
	
	\item Déterminer la primitive $F$ de $f$ sur $\left]\dfrac{1}{2}; +\infty\right[$ telle que $F(1)=0$
\item Étudier les variations de la fonction $F$.
\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction $F$ au point d'abscisse 1.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
 \bigskip 

\exo

 \medskip 

\begin{enumerate}	
\item Dans chacun des cas suivants, déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$. 
\begin{enumerate}
	\item $f$ est définie sur $\left]\dfrac{1}{2}; +\infty\right[$ par $f(x)=\dfrac{3}{(2x-1)^3}$.
	\item $f$ est définie sur $\R$ par $f(x)=(x+1)(x^2+2x-3)^3$.
	\item $f$ est définie sur $\left]1; +\infty\right[$ par $f(x)=\dfrac{x}{(x^2-1)^2}$.	
\end{enumerate}
\item Dans chacun des cas suivants, calculer la primitive $F$ de la fonction $f$ qui vérifie la condition donnée.
\begin{enumerate}
\item $f$  est définie sur  $\left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[$   par $f(x)=\dfrac{4}{(1-2x)^2}$\:  et\: $F\left(\dfrac{3}{2}\right)=-\dfrac{1}{2}$.
\item $f$  est définie sur $\R$   par $f(t)=\sin\left(2t\right)$ \:  et\: $F\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=0$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

 \bigskip 
 
\exo

\medskip

 \begin{enumerate}
\item Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(t)=6\cos\left( 3t +\dfrac{\pi}{6}\right)$.
\item La fonction $F$  définie sur $\R$ par $F(t)=-2\sin\left(2t\right)$ est-elle une primitive de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(t)=2\sin\left( 2t -\dfrac{\pi}{2}\right)$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

 \medskip 

On a tracé ci-dessous, dans le plan muni d'un repère orthogonal, les courbes $C_f$ et $C_g$ représentatives de deux fonctions $f$ et $g$ définies et dérivables sur $\R$.

La droite $D$ est tangente à la courbe $C_f$  au point $A(-1;0)$ et passe par le point de coordonnées $\left(-3;1\right)$ .

\begin{center}
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-20,-6)(20,9)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{rouge}{.86 0 0}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{1-4/(x^2+3)}
\def\g{8*x/(x^2+3)^2}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-20,-6)(20,9)
\psset{xunit=1.6cm, yunit=3.2cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=.5,labels=x]{->}(0,0)(-5,-0.75)(5,1.125)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[l](0,.51){\footnotesize{$\dfrac{1}{2}$}}
\uput[d](4.9,0){$x$} \uput[l](-0.05,1.05){$y$}
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=rouge](-1.5,-.5)(-.5,-.5)
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=rouge](-.5,-.33333)(.5,-.33333)
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=rouge](.5,.5)(1.5,.5)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=rouge](-3,1)(.5,-.75)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-5}{5}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{-5}{5}{\g}
\uput[ul](-3,.98){\rouge $D$}
\uput[ur](-1,0){\bleu \footnotesize{$A$}}\uput[dr](0,-.3333){\bleu \footnotesize{$C$}}\uput[ul](1,0){\bleu \footnotesize{$B$}}\uput[ur](4.5,.85){\bleu $C_f$}
\uput[d](-1,-.5){\prune \footnotesize{$E$}}\uput[u](1,.5){\prune \footnotesize{$F$}}\uput[r](4.5,.13){\prune $C_g$}
\psdots[dotstyle=*,dotscale=.8, linecolor=rouge](-1,0)(1,0)
\end{pspicture}
\end{center}


\begin{enumerate}
	\item Par lecture graphique :	
\begin{enumerate}
	\item Déterminer $g'(-1)$ et $f'(-1)$.	
	\item Une des deux fonctions est la dérivée de l'autre, déterminez laquelle en justifiant votre choix.	
\end{enumerate}
\item $g$ est la fonction définie sur $\R$  par $g(x)=\dfrac{8x}{\left(x^2+3\right)^2}$.
\begin{enumerate}
	\item Déterminer une primitive de la fonction $g$.	
	\item En déduire que $f$ est la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=1-\dfrac{4}{x^2+3}$.	
\end{enumerate}
\item Calculer la limite de $f$ en $- \infty$ et en $+ \infty$. Interpréter graphiquement ces résultats. 
\item Étudier les variations de la fonction $f$.
\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe $C_f$ au point $B$. La tracer sur le graphique précédent.
\end{enumerate}

 \bigskip 

\exo

 \medskip 
 
 La courbe $\mathcal{C}_F$ suivante, est la courbe représentative d'une primitive $F$ sur $\R$ d'une fonction $f$.
 
 \begin{center}
 \psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-7,-3)(11,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{2/(x^2-2*x+2)-1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-7,-3)(11,4)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3.5,-1.5)(5.5,2)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\uput[d](5.5,0){\footnotesize{$x$}} \uput[l](0,2){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=900,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3.5}{5.5}{\f}
\uput[d](5.5,-1){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{C}_F$}}}
\psline[linewidth=.75pt,linecolor=prune](0.25,1)(1.75,1)
\end{pspicture}
\end{center}
 

\begin{enumerate}
	\item Une des trois courbes ci-dessous est la courbe représentative de la fonction $f$. Déterminer laquelle.
	
	\medskip
	
	\psset{unit=.45cm}
\begin{pspicture}(-6,-4)(5,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{(-4*x)/(x^2+1)^2}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-3)(5,3)
\psset{unit=.9cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-1.5)(2.5,1.5)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\uput[d](2.5,0){\footnotesize{$x$}} \uput[l](0,1.5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=600,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{-3}{2.5}{\f}
\rput(-.25,-2){\footnotesize{Courbe $C_1$}}
\end{pspicture}
\hfill
\psset{unit=.45cm}
\begin{pspicture}(-4,-4)(7,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{(4-4*x)/(x^2-2*x+2)^2}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-4,-3)(7,3)
\psset{unit=.9cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-2,-1.5)(3.5,1.5)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\uput[d](3.5,0){\footnotesize{$x$}} \uput[l](0,1.5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=600,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{-2}{3.5}{\f}
\rput(.75,-2){\footnotesize{Courbe $C_2$}}
\end{pspicture}
\hfill
\psset{unit=.45cm}
\begin{pspicture}(-2,-4)(9,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{(8-4*x)/(x^2-4*x+5)^2}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-3)(9,3)
\psset{unit=.9cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1,-1.5)(4.5,1.5)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\uput[d](4.5,0){\footnotesize{$x$}} \uput[l](0,1.5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=600,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{-1}{4.5}{\f}
\rput(1.75,-2){\footnotesize{Courbe $C_3$}}
\end{pspicture}

	\item La fonction $G$ définie sur $\R$  par $G(x)=\dfrac{2}{x^2-2x+2}$ est une primitive de la fonction $f$.
	
\begin{enumerate}
	\item Donner l'expression de $F(x)$.
	\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_F$ au point $A$ d'abscisse 2. La tracer sur le graphique précédent.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

 \bigskip 
 
\exo

 \medskip 


Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$. On sait que $f(2)=-4$ et que le signe de la fonction $f$  est donné par le tableau suivant :

	\medskip
	
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(11.5,2) 
\psframe(11.5,2) \psline(0,1.2)(11.5,1.2)\psline(2.5,0)(2.5,2) \psline[linewidth=.5pt](2.9,0)(2.9,1.2) \psline[linewidth=.5pt](3.1,0)(3.1,1.2)
\rput(1.25,1.6){$x$} \rput(3,1.6){$0$} \rput(7,1.6){$4$}  \rput(11,1.6){$+\infty$}
\rput(1.25,0.6){signe de $f(x)$} \rput(5,0.6){$-$} \pnode(7,1.2){a1}\pnode(7,0){a2}\ncline [arrows=-,linewidth=.5pt]{a1}{a2}\ncput*{0} \rput(9,0.6){$+$} 	
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textsf{\textbf{{\textsc{partie a}}}}

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Soit $F$ la primitive de la fonction fonction $f$  sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ telle que $F(4)= \dfrac{1}{2}$. 
		
		On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $F$.

	\begin{enumerate}
			\item Donner le tableau de variations de la fonction $F$. 
	\item On suppose que la courbe $\mathcal{C}$ passe par le point $A(2;3)$. 
	
	Donner une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point $A$.
\end{enumerate}
		
			\item Tracer la courbe représentative d'une fonction qui  satisfait les conditions obtenues à la question précédente, dans un repère orthonormé du plan. (\emph{Unités graphiques 1 cm sur chaque axe})
		 
Placer le point $A$ ainsi que le point d'abscisse 4 et tracer les tangentes à la courbe en ces points.

	 
	\end{enumerate}

\medskip

\textsf{\textbf{{\textsc{partie b}}}}

\medskip

$f$ est la fonction définie sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ par $f(x)=1-\dfrac{12}{x^2}-\dfrac{16}{x^3}$
\begin{enumerate}
	\item 
\begin{enumerate}
	\item Calculer la primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ telle que $F(4)= \dfrac{1}{2}$.
	\item Vérifier que la tangente à la courbe représentative de la fonction $F$ au point d'abscisse 2 a pour équation $y=-4x+11$.
\end{enumerate}
\item Déterminer  $\displaystyle\lim_{x\to 0} F(x)$. Interpréter graphiquement le résultat.
\item
\begin{enumerate}
	\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x\to +\infty} F(x)$.
	\item Montrer que la courbe représentative de la fonction $F$ admet pour asymptote la droite d'équation \mbox{$y=x-7$}.
\end{enumerate}	
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\chapter{Fonction logarithme}

\minitoc

\newpage

\section*{\textsf {\textsc{\textbf{\blue{Transformer les produits en somme}}}}}	
\addcontentsline{toc}{section}{Activité}	

Le but de cette activité est de déterminer les fonctions définies et dérivables	sur l'intervalle $] 0 ; + \infty [$ telles que, pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs : \[f(ab)=f(a)+f(b)\] 

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip 

La courbe $\mathcal{C}_f$ tracée ci-dessous, est la courbe représentative d'une fonction $f$ définie et dérivable	sur l'intervalle $] 0 ; + \infty [$ telle que, pour tous réels $a$ et $b$ strictements positifs $f(ab)=f(a)+f(b)$.

\begin{center}
\psset{unit=.25cm}
\begin{pspicture}(-2,-9)(63,18)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{ln(x)/ln(2)}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-9)(62,18)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-2.25)(15.5,4.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](15.5,0){$x$} \uput[dl](0,4.5){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=800,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{.21}{15.5}{\f}
\psset{linestyle=dashed,linewidth=1pt, linecolor=prune}
\psline(2,0)(2,1)(0,1)  \psline(8,0)(8,3)(0,3)
\psdots[linecolor=prune,dotstyle=*,dotscale=.8](1,0)
\uput[dl](15.5,4.5){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}
\end{pspicture}
\end{center}	
On sait que $f(2)=1$ et $f(8)=3$

\begin{enumerate}
	\item Déterminer les valeurs exactes des images de  16; 32;  0,5; 0,125.
		\item Déterminer les antécédents par  $f$ de 2 et de 0,5.
	\item Déterminer $f\left(\sqrt{8}\right)$,  $f\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$
\end{enumerate} 


\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip
\begin{enumerate}

\item Supposons qu'il existe une fonction $f$ définie et dérivable sur $] 0 ; +\infty[$ telle que, pour tous réels $a$ et $b$ strictements positifs : \[f(ab)=f(a)+f(b)\]

\begin{enumerate}
\item Justifier que $f$ n'est pas définie en 0.
	\item Quelle égalité obtient-on lorsque $a = b =1$ ? En déduire la valeur de $f(1)$.
	\item Soit $x$ un réel strictement positif. Montrer que pour tout réel $y>0$, $f'(xy) =\dfrac{f'(y)}{x}$.
	
	En posant $k= f'(1)$, déduire que $f$ est la primive qui s'annule pour $x=1$ de la fonction $g$ définie sur $] 0 ; +\infty[$ par $g(x)=\dfrac{k}{x}$.
\end{enumerate}

\item Réciproquement, soit $g$ la fonction définie sur $] 0 ; +\infty[$ par $g(x)=\dfrac{k}{x}$  avec $k$ un réel fixé. 
\begin{enumerate}
\item Justifier que la fonction $g$ admet des primitives sur $] 0 ; +\infty[$.
	\item  Soit $f$ la primive qui s'annule pour $x=1$ de la fonction $g$  sur $] 0 ; +\infty[$. 
	
	Montrer que les fonctions  $ x \longmapsto f(x)$ et $ x \longmapsto f(ax)$ ont des dérivées égales.

En déduire alors, que pour tout réel $a>0$, $f(ax)=f(a)+f(x)$.
\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
 \pagebreak

\section{Fonction logarithme népérien}


La fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0; +\infty[$ par $f(x)=\dfrac{1}{x}$ est dérivable donc continue. Elle admet donc des primitives sur cet intervalle

\subsection{Définition}

\cadreR{%
La fonction logarithme népérien est la primitive sur $]0; +\infty[$ de la fonction $x \longmapsto \dfrac{1}{x}$ qui s'annule pour $x=1$.

Pour tout réel $x$ strictement positif $\ln x$ est le logarithme népérien de $x$.
}


\subsection{Conséquences}

\begin{enumerate}
	\item La fonction $\ln$ est définie sur l'intervalle $]0;+\infty[$
	\item $\ln 1 = 0$
	\item La fonction $\ln$ est dérivable sur l'intervalle $]0;+\infty[$ et pour tout réel $x>0$, $\ln '(x)= \dfrac{1}{x}$
\end{enumerate}

\section{Propriétés algébriques}

\subsection{Propriété fondamentale} 

\cadreR{%
Pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs : \[ \ln(a \times b)=\ln(a) + \ln (b) \]
}

\medskip
 
\dem
 
 \medskip
 
 $a$ étant un réel strictement positif, on considère la fonction $f$ définie sur $]0; +\infty[$ par $f(x) = \ln (ax) -\ln x$
 
 $f$ est dérivable sur $]0; +\infty[$ comme somme et composée de fonctions dérivables.
 
 Pour tout réel $x>0$, \[f'(x) = a \times \dfrac{1}{ax} -\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{x} -\dfrac{1}{x} = 0\]
 
 La dérivée de la fonction $f$ est toujours nulle, donc $f$ est une fonction constante sur $]0; +\infty[$.
 
En particulier $f(1) = \ln a - \ln 1 = \ln a$, donc pour tout réel $x>0$, $f(x)=\ln a$.
 
Ainsi, pour tout réel $x>0$, $\ln (ax) -\ln x= \ln a$. 
 
 
Soit finalement pour tout réel $x>0$, $\ln (ax)= \ln a  +\ln x$
 
\subsection{Autres règles de calcul}

\medskip 

\cadreR{%
Pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs et $n$ entier relatif :
\begin{enumerate}
	\item $\ln\left( \dfrac{1}{a} \right) = - \ln a$
	\item $\ln\left( \dfrac{a}{b} \right) =  \ln a- \ln b$
	\item $\ln\left( a^n \right) = n \ln a$
	\item $\ln\left( \sqrt{a} \right) = \dfrac{1}{2} \ln a$
\end{enumerate}
}

\medskip
 
\dem
 
 
\begin{enumerate}
	\item Soit $a>0$ alors $\dfrac{1}{a} > 0$. Or $a \times \dfrac{1}{a} = 1$ donc \[\ln \left( a \times \dfrac{1}{a} \right) = \ln 1 \Leftrightarrow \ln a + \ln \dfrac{1}{a} = 0 \Leftrightarrow  \ln \dfrac{1}{a} =-\ln a \]
	\item Soit $a>0$ et $b > 0$ 
	\[\ln \left( \dfrac{a}{b} \right) = \ln \left( a \times \dfrac{1}{b} \right) =  \ln a + \ln \dfrac{1}{b} = \ln a-\ln b \]
	
	\item Si $n= 0$, l'égalité est évidente : \[\ln \left( a ^0 \right) = \ln 1 = 0 = 0 \times \ln a\] 
	
	Soit $f$ la fonction  définie sur $]0; +\infty[$ par $f(x) = \ln \left( x^n \right) - n \ln x$ avec $n$ entier relatif non nul.
	
	$f$ est dérivable sur $]0; +\infty[$ comme somme et composée de fonctions dérivables. Pour tout réel $x>0$, \[f'(x) = \dfrac{1}{x^n} \times n \times x^{n-1} -\dfrac{n}{x} = \dfrac{n}{x} -\dfrac{n}{x} = 0\]
 
 La dérivée de la fonction $f$ est toujours nulle, donc $f$ est une fonction constante sur $]0; +\infty[$.
 
En particulier $f(1) = \ln 1^n - n \ln 1 = 0$, donc pour tout réel $x>0$, $f(x)= 0$. Soit $\ln \left(x^n \right) - n\ln x = 0$.
 
Ainsi, pour tout réel $x>0$ et pour tout entier $n$, $\ln \left( x^n \right) = n\ln x$. 
 \item Soit $a>0$ alors $\left( \sqrt{a} \right) ^2 =a$ donc \[\ln a = \ln  \left( \sqrt{a} \right) ^2  =  2 \ln  \sqrt {a}  \]
	
	\end{enumerate}

\section{Étude de la fonction logarithme népérien}

\subsection{Variation}

\cadreR{%
La fonction logarithme népérien est continue et strictement croissante sur $]0; +\infty[$ .
}
\medskip
 
\dem
 
 \medskip
 
 La fonction $\ln$ est dérivable sur $]0; +\infty[$ donc continue sur cet intervalle.
 
 La dérivée de la fonction $\ln$ est la fonction définie sur $]0; +\infty[$ par $\ln '(x)= \dfrac{1}{x}$. Or si $x > 0$ alors, $\dfrac{1}{x} > 0$.
 
La dérivée de la fonction $\ln$ est strictement positive, donc la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0; +\infty[$.
 
\subsubsection{Propriétés}
 
 On déduit de ce théorème les propriétés suivantes :
 
 \medskip 

\cadreR{%
Pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs :
\begin{itemize}
	\item[] $\ln a = \ln b$ si, et seulement si, $a=b$
	\item[] $\ln a > \ln b$ si, et seulement si, $a>b$
\end{itemize}
}

 \medskip 
 
Puisque  $\ln 1 = 0$ :
 \medskip 

\cadreR{%
Pour tout réel $x$ strictement positif :
\begin{itemize}
	\item[] $\ln x = 0$ si, et seulement si, $x=1$
	\item[] $\ln x > 0$ si, et seulement si, $x>1$
		\item[] $\ln x < 0$ si, et seulement si, $0<x<1$
\end{itemize}
}

\bigskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}


Résoudre dans $\R$ l'équation $\ln (5 -x^2)=0$ 

L'équation est définie pour $5 -x^2 >0$. Soit pour $x \in \left] - \sqrt{5} ; \sqrt{5} \right[$

Pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left] - \sqrt{5} ; \sqrt{5} \right[$, \[ \ln (5 -x^2)=0 \Leftrightarrow 5 -x^2= 1 \Leftrightarrow x^2= 4 \]

L'équation $x^2= 4$ admet deux solutions $-2$ et $2$. Or ces deux solutions sont dans l'intervalle  $\left] - \sqrt{5} ; \sqrt{5} \right[$. 

L'ensemble des solutions de l'équation $\ln (5 -x^2)=0$ est $S=\{-2 ; 2\}$

\subsection{Limites}
 
 \subsubsection{Étude de la limite en $+\infty$}

	
	Soit $A$ un réel strictement positif. 
	
	Comme $\ln 2 >0$, nous pouvons choisir un entier  $n$ tel que $n > \dfrac{A}{\ln 2}$. Soit 
	\[ n \ln 2 > A \Leftrightarrow \ln 2 ^n > A \]
	
	Puisque la fonction $\ln$ est strictement croissante, pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left[ 2^n ; +\infty \right[$ : \[ \ln x > \ln 2 ^n > A \]
	
	Ainsi, $\ln x$ peut être rendu aussi grand que l'on veut à condition de choisir $x$ suffisamment grand. D'où

\medskip	
	
\cadreR{%
	La fonction $\ln$ a pour limite $+\infty$ en $+\infty$ : $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \ln x =+\infty $.
	}
	
 \subsubsection{Étude de la limite en $0$}
	
	
	Pour tout réel $x>0$, $\ln x = - \ln \left( \dfrac{1}{x} \right)$.
	
	Or $\displaystyle \lim_{x\to 0^+} \dfrac{1}{x} =+\infty $ et $\displaystyle \lim_{X\to +\infty} \ln X =+\infty $ donc par composition des limites  $\displaystyle \lim_{x\to 0^+} - \ln \left( \dfrac{1}{x} \right)  =-\infty $. D'où
	
\medskip
	
\cadreR{%
	La fonction $\ln$ a pour limite $-\infty$ en $0$ : $\displaystyle \lim_{x\to 0} \ln x =-\infty $.
	
	L'axe des ordonnées est asymptote à la courbe d'équation $y= \ln x$	
}

\subsection{Le nombre $\e$}

La fonction $\ln$ est continue et strictement croissante sur $]0; +\infty[$  et pour tout réel $x> 1$, $\ln x \in ] 0 ; + \infty [$. 

D'après le théorème de la valeur intermédiaire, l'équation $\ln x = 1$ admet une solution unique notée $\e$.

\subsubsection{Définition}
	
\cadreR{%
Le nombre $\e$ est le nombre dont le logarithme népérien est égal à 1 : $\ln \e =1$.
}

\subsubsection{Application}

Pour tout entier relatif $n$, \[ \ln \e^n = n \ln \e = n \]

\cadreR{%
Pour tout entier relatif $n$,  $\e^n$ est le réel solution de l'équation $\ln x = n$.
}

\subsection{Courbe représentative}


\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}m{8.5cm} >{\raggedleft \arraybackslash}X@{}}

\emph{Tangentes remarquables} :

\medskip

La tangente à la courbe représentative de la fonction $\ln$ au point $(1;0)$ a pour équation : \[ y= x-1 \]

\medskip

La tangente à la courbe représentative de la fonction $\ln$ au point $(\e ; 1)$ a pour équation : \[ y= \dfrac {1}{\e} (x-\e) +1 \Leftrightarrow y= \dfrac {1}{\e} x\]
&
\psset{unit=1.6cm}
\begin{pspicture}(-.2,-2.1)(4.8,1.8)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{mauveClair}{.95 .9 .95}
\def\f{ln(x)}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.2,-2.1)(4.8,1.8)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{O}}
\uput[d](4.8,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,1.8){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{.12}{4.8}{\f}
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune](-.2, -1.2)(2.5,1.5)
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune](0, 0)(4,1.47152)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=prune](0,1)(2.71828,1)(2.71828,0)
\uput[d](2.71828,0){\prune{$\e$}}
\uput[l](4.9,1.7){\bleu{\footnotesize{$y = \ln x$}}}
\end{pspicture} \\
 \end{tabularx} 
 
\subsection{Limites importantes}

\cadreR{%
$\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \dfrac {\ln x}{x} =0$ \: et \: $\displaystyle \lim_{x\to 0} x \ln x  =0$.
}
	
\medskip
 
\dem
 
 \medskip
 
\begin{enumerate}
	\item \emph{Un résultat préliminaire} : Montrons que pour tout réel $x \geqslant 1$, $\ln x \leqslant x$
	
	Soit $f$ la fonction définie sur $[1 ; +\infty [$ par $f(x)= \ln x -x$. $f$ est dérivable et pour tout réel $x \geqslant 1$, 
	\[f'(x)= \dfrac{1}{x} -1 \Leftrightarrow f'(x)= \dfrac{1-x}{x} \]
	
	Or,  pour tout réel $x \geqslant 1$, $\dfrac{1-x}{x} \leqslant 0$, donc $f$ est décroissante.
	
	D'autre part, $f(1)= -1$, donc pour tout réel $x \geqslant 1$, $f(x) \leqslant f(1) \leqslant 0 $.
	
	Ainsi, pour tout réel $x \geqslant 1$,  $\ln x \leqslant x$.
	
	\emph{Remarque} : lorsque $0 < x < 1$, $\ln x <0$ donc $\ln x < x$
	
	\medskip
	
	\cadreB{
Pour tout réel  $x > 0$, $\ln x \leqslant x$. 

Graphiquement, la courbe représentative de la fonction $\ln$ est au dessous de la droite d'équation $y=x$
}
	
	\medskip
	
	\item Limite en $+\infty$ de $\dfrac{\ln x}{x}$
	 
	Nous avons établi que pour tout réel $X \geqslant 1$,  $\ln X \leqslant X$. 
	
	Pour tout réel $x \geqslant 1$, $\sqrt{x} \geqslant 1$ et  $\ln \sqrt{x} \geqslant 0$. 	Donc pour tout réel $x \geqslant 1$, 
	\[0 \leqslant \ln \sqrt{x} \leqslant \sqrt{x} \Leftrightarrow 0 \leqslant \dfrac{1}{2} \ln x \leqslant \sqrt{x} \Leftrightarrow 0 \leqslant  \ln x \leqslant 2 \sqrt{x} \Leftrightarrow 0 \leqslant \dfrac {\ln x}{x} \leqslant \dfrac {2 \sqrt{x}}{x}\]
	
	Or $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \dfrac {2 \sqrt{x}}{x} =0 $ donc d'après le théorème des gendarmes , $\boxed {\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \dfrac {\ln x}{x} =0}$
	
		
	\emph{Conséquence} :
	
	Pour tout réel $x>0$ et pour tout entier $n \geqslant 2$,  $\dfrac {\ln x}{x^n} = \dfrac {\ln x}{x} \times \dfrac {1}{x^{n-1}}$
	
	Or, $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \dfrac {\ln x}{x} =0$ et $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \dfrac {1}{x^{n-1}} =0$ donc par produit des limites $\boxed {\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \dfrac {\ln x}{x^n} =0}$
	
	\item Limite en $0$ de $x \ln x$ 
	
	Le théorème sur la limite d'un produit de permet pas de calculer $\displaystyle \lim_{x\to 0} x \ln x$.
	
	Pour tout réel $x>0$, nous avons : \[x \ln x = \dfrac {1}{\dfrac {1}{x}} \times \left(- \ln \dfrac {1}{x} \right)= \dfrac {- \ln \dfrac {1}{x}}{\dfrac {1}{x}}\]
	
		Or $\displaystyle \lim_{x\to 0^+} \dfrac{1}{x} =+\infty $ et $\displaystyle \lim_{X\to +\infty} \dfrac {-\ln X}{X} =0$ donc par composition des limites  $\boxed{ \displaystyle \lim_{x\to 0} x \ln x  =0}$
\end{enumerate}


\section{Étude d'une fonction $\ln (u)$}

\subsection{Définition}

\cadreR{%
Soit $u$ une fonction définie et strictement positive sur un intervalle $I$. 

La composée de la fonction $u$ suivie de la fonction $\ln$ est notée $\ln (u)$.
}

\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $] 1; + \infty[$ par $f(x) = \ln \left( x^2 -1 \right)$.

$f$ est la composée de la fonction $u$ définie sur l'intervalle $] 1; + \infty[$ par $u(x)=  x^2 -1$  suivie de la fonction $\ln$.

\subsection{Limites}

Pour étudier une limite d'une fonction $\ln (u)$, on utilise le théorème sur la limite d'une fonction composée.

\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $] 1; + \infty[$ par $f(x) = \ln \left( x^2 -1 \right)$.

\begin{enumerate}
	\item $\displaystyle \lim_{x\to 1^+} x^2 -1 =0 $ et $\displaystyle \lim_{X\to 0} \ln X = - \infty$ donc par composition des limites  $\boxed{ \displaystyle \lim_{x\to 1} \ln \left( x^2 -1 \right) = - \infty}$
	\item $\displaystyle \lim_{x\to + \infty} x^2 -1 =+ \infty$ et $\displaystyle \lim_{X\to + \infty} \ln X = + \infty$ donc par composition des limites  $\boxed{ \displaystyle \lim_{x\to + \infty} \ln \left( x^2 -1 \right) = + \infty}$
\end{enumerate}

\subsection{Variations}

\cadreR{%
Soit $u$ une fonction définie et strictement positive sur un intervalle $I$. 

Les fonctions $u$ et $\ln (u)$ ont les mêmes variations sur $I$.
}
\medskip
 
\dem
 
 \medskip
 
Pour tout réel $x \in I$, $u(x)>0$. Or la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0 ; + \infty[$. 

D'après le théorème sur les variations des fonctions composées, $u$ et $\ln (u)$ ont les mêmes variations sur $I$.

\subsection{Dérivée}

\cadreR{%
Soit $u$ une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$. 

La fonction $\ln (u)$ est dérivable sur $I$ et $\left( \ln u \right) ' =\dfrac{u'}{u}$.
}
\medskip
 
\dem
 
 \medskip
 
La fonction $u$ est dérivable sur $I$ et pour tout réel $x \in I$, $u(x)>0$. Or la fonction $\ln$ est dérivable sur $]0 ; + \infty[$. Donc la fonction composée $f = \ln u$ est dérivable sur $I$.

D'après la formule de dérivation d'une fonction composée  \[ f' = \ln' (u) \times u' \quad \text{soit} \quad f' = \dfrac{1}{u} \times u' = \dfrac{u'}{u}\] 

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $] 1; + \infty[$ par $f(x) = \ln \left( x^2 -1 \right)$.

La fonction $u$ définie sur $] 1; + \infty[$ par $u(x) = x^2 -1$ est dérivable et strictement positive sur $] 1; + \infty[$ ; $u'(x)= 2x$.

$f$ est dérivable sur $] 1; + \infty[$ et pour tout réel $x>1$, $f'(x) =  \dfrac{2x}{x^2-1}$


\subsubsection{Primitives}

\cadreR{%
Si $u$ est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$. 

Une primitive de $\dfrac{u'}{u}$ sur $I$ est $\ln u$.
}

\newpage

\addcontentsline{toc}{section}{Exercices}

\exo

\medskip

Simplifier l'écriture des nombres suivants :

\medskip

  \renewcommand{\arraystretch}{1.5}
		\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{}>{\raggedright \arraybackslash}X}} 
		$A=\ln(16)-7\ln(2)+ 4\ln(32)+3\ln\left(\dfrac{1}{8}\right)$ & $B=3\ln(125)-2\ln(25)+6\ln\left(\dfrac{1}{5}\right)$ \\
		$ C = 2\ln \sqrt{8}-3\ln\left(\dfrac{1}{4}\right)$ & $D =\dfrac{\ln \left( \sqrt {3} -1 \right) + \ln \left( \sqrt {3} +1 \right)}{2}$\\
		$E=\ln\left( \sin{\dfrac{\pi}{3}} +\sin{\dfrac{\pi}{4}}\right)+\ln\left( \sin{\dfrac{\pi}{3}} -\sin{\dfrac{\pi}{4}}\right)$	 & $F=7\ln\left(2\sin{\dfrac{\pi}{3}}\right)+5\ln(9)-\ln \left( 6 \sin{\dfrac{\pi}{3}} \right)$ \\
		$G =  \dfrac{\ln 5-\ln 10}{2\ln \left(\sqrt{2}\right)}$ & $H= \dfrac{\ln 36}{\ln 3+\ln 2} $  \\	
		$I= \dfrac{\dfrac{1}{3}\ln 9-4\ln \sqrt{3}-\ln \dfrac{1}{3}}{\ln 3}$ &  $ J = \dfrac{\ln(12)-\ln(9)}{\ln\left(\cfrac{1}{27}\right)+\ln(64)}$ \\
	\end{tabularx}

 \bigskip 
 
\exo

\medskip

Démontrer les propriétés suivantes : 

\begin{enumerate}
	\item Pour tout réel $x > 1$, $\ln \left(x^2 +x -2 \right) = \ln \left(x+2 \right)+\ln \left(x-1\right)$
	\item Pour tout réel $x$ strictement positif, $\ln \left(x+1 \right) = \ln x +\ln \left(1+ \dfrac{1}{x}\right)$
		\item Pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]-2 ; 2[$, $\ln \sqrt{2-x} +  \ln \sqrt{2+x}= \dfrac{1}{2}\ln \left(4-x^2 \right)$
\end{enumerate}

\bigskip


\exo

\medskip

Résoudre les équations suivantes après avoir précisé l'ensemble des valeurs du réel $x$ pour lesquelles l'équation est définie.

\begin{enumerate}
\item $\ln \left(1-2x\right)=\ln \left(x+2\right)+\ln 3$
\item $\ln \left(1-x^2\right)=\ln \left(2x-1\right)$
\item $\ln \left( {x - 2} \right) + \ln \left( x + 3 \right) = \ln \left( {3x + 2} \right)$
\item $\ln \sqrt{2x-2} = \ln \left( 4-x \right) -\dfrac{1}{2}\ln x$
\end{enumerate}

 \bigskip 
 
 \exo

\medskip

Résoudre les inéquations suivantes :

\begin{enumerate}
\item $\ln \left(x-2\right)\leqslant \ln \left(2x+1\right)$
\item $\ln \left(3x+2\right) \geqslant \ln \left(x^2+\dfrac{1}{4}\right)$
\item $\ln \left(1+\dfrac{2}{x} \right) \leqslant \ln x$
\end{enumerate}

 \bigskip 
 
\exo

\medskip

Simplifier l'écriture des nombres suivants :

$A=\ln \left( \e^3 \right) + \left( \e^2 \right)$ ; \hfill 	$B=\dfrac{\ln\e}{\ln\left(\e^2\right)}-\ln\left(\dfrac{1}{\e}\right)$ ; \hfill $C = \ln \left(4 \e^2 \right) + \ln\left( \dfrac{2}{ \sqrt {\e}} \right)$ ; \hfill  $D =\dfrac{\ln\left(\dfrac{1}{\e^3}\right)}{\ln 3}\times \dfrac{\ln 9}{\e^2}$
	
\bigskip

\exo

 \medskip 
  
\begin{enumerate}
	\item Résoudre les équations suivantes :
	
			\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{}>{\raggedright \arraybackslash}X} m{4cm}}	
	a) \: $\ln \dfrac{x+2}{x} =1$ ; & b) \: $\ln \dfrac{x-1}{2x+1} =-1$  ; & c) \: $2 \left(\ln x \right) ^2  + 3\ln x =2$ \\	
	\end{tabularx}
	
	\item Résoudre les inéquations suivantes :
	
			\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{}>{\raggedright \arraybackslash}X} m{4cm}}	
	a) \: $\ln \dfrac{x}{x+1} \leqslant -1$ ; & b) \: $\ln \left(2x+1 \right) - \ln \left(x-1\right) \leqslant 1$  ; & c) \: $\left(\ln x \right) ^2  -\ln x \leqslant 6$ \\	
	\end{tabularx} 
\end{enumerate}

 \bigskip 
 
\exo

 \medskip 

Dans chacun des cas suivants, déterminer le plus petit entier $n$ solution de l'inéquation :

a) \: $1,05^n \geqslant 1,5$ ; \hfill b) \: $0,92^n \leqslant 0,75$ ; \hfill c) \: $\left( 1+ \dfrac{3}{100}\right)^n \geqslant 2$ ; \hfill d) \: $0,2 \geqslant \left( 1- \dfrac{9}{100}\right) ^n $

 \bigskip 
 
\exo

 \medskip 
 
\begin{enumerate}
	\item Actuellement, le taux du livret A d'épargne est égal à 0,75\%. 
	
	En supposant que ce taux reste inchangé sur le long terme, au bout de combien d'années, un capital placé sur le livret A  aura-t-il augmenté d'au moins 75\% ?
	\item Le gouvernement d'un pays envisage de baisser l'impôt de 2\% par an. Au bout de combien d'années, l'impôt aura-t-il baissé de 20\% ? 
		\item D'une année sur l'autre, un produit perd 5\% de sa valeur. Au bout de combien d'années ce produit aura-t-il a perdu plus de 40\% de sa valeur initiale ?
		\item En 2014, la population mondiale était d'environ 7,25 milliards de personnes. Avec un taux de croissance annuel de 1,14\% , en quelle année la population mondiale dépassera-t-elle 9 milliards ?
	\end{enumerate}

 \bigskip 

 \exo

 \medskip 
  
  Dans chacun des cas suivants, calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$ définie sur $]0 ; + \infty[$  :
	
	a) \: $f(x) = x \ln x - x$ ; \hfill b) \: $f(x) = \ln \left(\dfrac{1}{x}\right)$ ; \hfill c) \: $f(x) = \dfrac{1}{\ln x}$ ; \hfill d) \: $f(x)=  \ln \sqrt{x}$ ; \hfill e) \: $f(x)= \left(\ln x \right) ^2  + \ln \left( x^2 \right)$ 
	
 \bigskip  
 
 \exo

 \medskip 
  
  Dans chacun des cas suivants, étudier les limites aux bornes de son ensemble de définition de la fonction $f$ définie sur $]0 ; + \infty[$  :
	
	a) \: $f(x) = 3x +2 - \ln x$ ; \hfill b) \: $f(x) = \dfrac{2x +\ln x}{x}$ ; \hfill c) \: $f(x) = \dfrac{2\ln x -1}{x}$ ; \hfill d) \: $f(x)=  \dfrac{1}{x} - \ln x$  
	
  \bigskip 
  
  \exo

 \medskip 
 
Soit $f$ la fonction définie sur $]0 ; + \infty[$  par $f(x)=  \dfrac{1}{x} + \ln x$
	
\begin{enumerate}
	\item Étudier les limites de $f$ en 0 et en $+\infty$.
		\item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$.
			\item Étudier les variations de $f$.
\end{enumerate}

\bigskip 
 
\exo

 \medskip 

\textsc{\textbf{\textsf{partie a}}}

\medskip

Soit $g$  la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par  $g(x)=1-x^2-\ln(x)$.

\begin{enumerate}
	\item Calculer la dérivée de la fonction $g$ et étudier son signe. En déduire les variations de la fonction $g$.
	\item Calculer $g(1)$. En déduire le signe de $g(x)$  pour $x$ appartenant à l'intervalle $]0;+\infty[$.
\end{enumerate}

\medskip

\textsc{\textbf{\textsf{partie b}}}

\medskip

Soit $f$  la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{\ln(x)}{2x}-\dfrac{x}{2}+1$. On note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

\begin{enumerate}
	\item 
\begin{enumerate}
	\item Calculer la limite de $f$ en $0$. Interpréter graphiquement ce résultat.
	\item Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$.
	\item Montrer que la droite $D$ d'équation $y=-\dfrac{x}{2}+1$ est asymptote à la courbe $C_f$ en $+ \infty$.
	\item Calculer les coordonnées du point $A$, intersection de la droite $D$ et de la courbe $C_f$.
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
	\item Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0;+\infty[$,  $f'(x)=\dfrac{g(x)}{2x^2}$.
	\item En déduire le signe de  $f'(x)$ puis les variations de la fonction $f$.
\end{enumerate}
 \item Tracer la droite $D$ et la courbe $C_f$ dans le repère ci-dessous.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-12)(30,4)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-2,-12)(30,4)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[linewidth=.75pt,ticksize=-4pt 0]{->}(0,0)(-1,-6)(15,2)
\uput[dl](0,0){0}
\uput[dl](15,0){$x$} \uput[dl](0,2){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip 
	
 \exo

 \medskip 

Soit $f$  la fonction définie sur $\left] {0; + \infty } \right[$  par $f(x)= \dfrac{{\ln x}}{{x^2 }}$. On note $C_{f}$  sa courbe représentative.

\begin{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
	\item Étudier les limites de $f$ aux bornes son intervalle de définition.
	\item La courbe  $C_{f}$ admet-elle des asymptotes ?
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
	\item Montrer que  $f'\left( x \right) = \dfrac{{1 - 2\ln x}}{{x^3 }}$
	\item Étudier les variations de la fonction $f$.
\end{enumerate}
\item Donner une équation de la tangente $T$ à la courbe $C_{f}$ au point d'abscisse 1.
\end{enumerate}

\bigskip 

\exo \hfill (\emph{D'après sujet bac France Métropolitaine, La Réunion septembre 2015})

 \medskip 


\emph{Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près.}

\medskip

Un smartphone est équipé d'une batterie Li-ion qui débite en usage normal un courant d'intensité moyenne $I$ de 0,03 ampère (A).

La capacité $C$ de cette batterie, exprimée en ampères-heures (Ah), est la quantité maximale d'électricité qu'elle peut emmagasiner.

On dit que la batterie a effectué un cycle de charge lorsque la quantité d'électricité absorbée, éventuellement en plusieurs fois, est égale à sa capacité.

Lors des 300 premiers cycles de charge de la batterie, sa capacité reste égale à 1,8 Ah.

\begin{enumerate}
\item L'autonomie $T$ de ce smartphone, en heures, est fonction de la capacité $C$ de sa batterie et de l'intensité moyenne $I$ du courant qu'elle débite en usage normal.

On estime que $T=0,7\times\dfrac{C}{I}$.

Calculer l'autonomie $T$, en heures, de ce smartphone au cours de l'un des 300 premiers cycles de charge.
\item On considère qu'après 300 cycles de charge, l'autonomie de la batterie diminue de 1\% à chaque nouveau cycle de charge.

Pour tout entier naturel $n$, on note $T_n$ l'autonomie, en heures, de la batterie au bout de \og $300 + n$ \fg{} cycles de charge.

On admet que $T_0=42$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $T_1$ et $T_2$. Interpréter les résultats.
\item Exprimer $T_{n+1}$ en fonction de $T_n$.
\item Justifier que $T_n = 42 \times 0,99^n$.
\end{enumerate}
\item Un utilisateur souhaite déterminer à partir de combien de cycles de charge l'autonomie de la batterie aura diminué de moitié par rapport à son état initial.
\begin{enumerate}
\item On propose l'algorithme suivant pour déterminer le nombre de cycles de charge correspondant.
\begin{center}	
\fbox{\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\textbf{Variables}
\begin{itemize}
\item[] $n$ : nombre entier naturel
\item[] $T$ : nombre réel
\item[] $q$ : nombre réel
\end{itemize}
\textbf{Initialisation}
\begin{itemize}
\item[] $n$ prend la valeur 0
\item[] $T$ prend la valeur 42
\item[] $q$ prend la valeur 0,99
\end{itemize}
\textbf{Traitement}
\begin{itemize}
\item[] Tant que \ldots
\item[] \begin{itemize}
\item[] $T$ prend la valeur \ldots
\item[] $n$ prend la valeur \ldots
\end{itemize}
\item[] Fin Tant que
\end{itemize}
\textbf{Sortie}
\begin{itemize}
\item[] Afficher $n+300$
\end{itemize}
\end{minipage}}
\end{center}

Recopier et compléter la partie relative au traitement.

\item Déterminer à partir de combien de cycles de charge l'autonomie de la batterie aura diminué de moitié par rapport à son état initial.
\end{enumerate}
\item Lorsque l'autonomie de la batterie devient inférieure à 5 heures, on estime qu'elle ne permet plus un usage normal du smartphone. Le nombre de cycles de charge correspondant est alors appelé durée de vie de la batterie.

Déterminer la durée de vie de cette batterie.
\end{enumerate}
	
\bigskip 

\exo

 \medskip 

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ telle que pour tout réel $x$ de cet intervalle $f(x) = (1 + \ln x)(2-\ln x)$  
et dont la courbe représentative $C_f$  est donnée ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-8)(30,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(1+ln(x))*(2-ln(x))}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(0,-8)(30,6)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-0.05 0.05,yticksize=-0.05 0.05]{->}(0,0)(0,-4)(15,3)
\uput[d](14.8,0){$x$} \uput[l](0,2.7){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{0.135}{15}{\f}
\end{pspicture}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation $f(x) = 0$. Les valeurs exactes sont demandées. 
		\item Montrer que le signe de $f(x)$ est donné pour tout réel de l'intervalle $]0~;~ + \infty[$ par le tableau suivant : 
\begin{center}
\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(13,2.2)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(13,2.2) \psline(0,1.2)(13,1.2) \psline(3,0)(3,2.2) \psline(3.4,1.2)(3.4,0)\psline(3.6,1.2)(3.6,0)
\rput(1.5,1.7){$x$} \rput(3.5,1.7){$0$}\rput(6.5,1.7){$\dfrac{1}{\e}$} \rput(9.5,1.7){$\e^2$} \rput(12.5,1.7){$+\infty$}
\rput(1.5,.6){Signe de $f(x)$}  \rput(5,.6){$-$} \rput(8,.6){$+$} \rput(11,.6){$-$}
\rput(6.5,1.2){\rnode{A}{}} \rput(6.5,0){\rnode{B}{}} \rput(9.5,1.2){\rnode{C}{}} \rput(9.5,0){\rnode{D}{}} 
\psset{nodesep=0pt,arrows=-,linewidth=.5pt}
\ncline{A}{B} \ncput*{0} \ncline{C}{D} \ncput*{0}
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate} 
	\item Calculer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+ \infty$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$ et vérifier que $f'(x) = \dfrac{1 - 2\ln x}{x}$		pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
		\item Étudier les variations de $f$. On précisera la valeur exacte du maximum de $f$ et la valeur exacte de $x$ pour laquelle il est atteint.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 1 et la tracer sur le graphique.
\item 
\begin{enumerate}
	\item Donner le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 2$.
	\item Résoudre dans $\R$ l'équation $\left(1+X\right)\left(2-X\right)=2$.
	\item En déduire les solutions de l'équation $f(x) = 2$.
\end{enumerate}
\end{enumerate} 

 \bigskip 

\exo

 \medskip 

Dans chacun des cas suivants, calculer la primitive $F$ de la fonction $f$ qui vérifie la condition donnée.

	\begin{enumerate}
	\item $f$  est définie sur $]0;+\infty[$   par $f(x)=1-\dfrac{1}{x^2}$\:  et\:  $F(1)=2$.	
	\item $f$  est définie sur $]0;+\infty[$   par $f(x)=1-\dfrac{1}{x}$\:  et\:  $F(1)=2$.
		\item $f$  est définie sur $]0;+\infty[$   par $f(x)=3x^2-\dfrac{2}{x}$\:  et\: $F(1)=-1$ .
	\item $f$  est définie sur  $]0;+\infty[$   par $f(x)=\dfrac{2 \ln(x)}{x}$\:  et\: $F(\e)=0$ .
		\item $f$  est définie sur $\left]0;+\infty\right[$ par $f(x)=\dfrac{x^2+x-2}{x^2}$\:  et\:  $F(1)=2$.		
\end{enumerate}

 \bigskip 
 
\exo

 \medskip 

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $\left]0; +\infty\right[$ dont on donne la représentation graphique $C_f$ dans le repère ci-dessous.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-4)(20,10)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.85 .85 .9}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(ln(x))^2-2*ln(x)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-4)(20,10)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-0.5,-2)(10,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](9.8,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,4.8){\footnotesize{$y$}}
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune, linestyle= dashed](2.718282,0)(2.718282,-1)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{.234}{10}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-.5,3)(2,-2)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](1.7,-1)(3.8,-1)
\uput[d](2.718,0){\footnotesize{$\e$}}
\uput[d](0.6,5){\bleu $C_f$}
\uput[u](2.1,-2){\prune $T$}
\psdots[linecolor=bleu,dotscale=.8,dotstyle=*](1,0)
\uput[ur](1,0){\bleu \footnotesize{$A$}}
\psdots[linecolor=bleu,dotscale=.8,dotstyle=*](2.718282,-1)
\uput[d](2.718282,-1){\bleu \footnotesize{$B$}}
\psdots[linecolor=bleu,dotscale=.8,dotstyle=*](7.389,0)
\uput[u](7.389,0){\bleu \footnotesize{$C$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{\textsf{partie a}}}

\medskip 

Dans cette partie , on admet que :
\begin{itemize}
\item  la courbe $C_f$ coupe l'axe des abscisses en deux points $A$ et $C$ ;
\item la droite $T$ est tangente  en $A$ à la courbe $C_f$ ;
\item la courbe $C_f$ admet une tangente horizontale au point $B$ d'abscisse $\e$.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Avec la précision permise par le graphique, donner les valeurs de $f(1)$, $f'(1)$, et $f'(\e )$, où $f'$ est la fonction dérivée de $f$ sur $\left]0; +\infty\right[$.
\item Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f'$ et une autre d'une primitive $F$ de la fonction $f$. Déterminer la courbe associée à la fonction $f'$ et celle qui est associée à  la fonction $F$. 

\psset{unit=.475cm}
\begin{pspicture}(-1,-4)(10,3.5)
\rput(4.5,3){\textsf{{\footnotesize{Courbe $C_1$}}}}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{2*ln(x)-(ln(x))^2}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-4)(10,2)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-1,-4)(10,2)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{.28}{10}{\f}
\uput[dl](0,0){\scriptsize{O}}
\uput[d](9.8,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,1.7){\footnotesize{$y$}}
\end{pspicture}\hfill
\psset{unit=.475cm}
\begin{pspicture}(-1,-5)(10,2.5)
\rput(4.5,2){\textsf{{\footnotesize{Courbe $C_2$}}}}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{(2*ln(x)-2)/x}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-5)(10,1)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-1,-5)(10,1)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{.6}{10}{\f}
\uput[dl](0,0){\scriptsize{O}}
\uput[d](9.8,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,.7){\footnotesize{$y$}}
\end{pspicture}\hfill
\psset{unit=.475cm}
\begin{pspicture}(-1,-3)(10,4.5)
\rput(4.5,4){\textsf{{\footnotesize{Courbe $C_3$}}}}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{x*((ln(x))^2-4*ln(x)+4)-Euler}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-3)(10,3)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-1,-3)(10,3)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{.001}{10}{\f}
\uput[dl](0,0){\scriptsize{O}}
\uput[d](9.8,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,2.7){\footnotesize{$y$}}
\end{pspicture}\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsc{\textsf{partie b}}}

\medskip
 
Dans cette partie, on admet que la fonction $f$ représentée ci-dessus est définie pour tout réel $x$ appartenant à $]0;+\infty[$ par  $f(x)=\left( \ln (x) \right) ^2-2\ln (x)$

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $f(x) = 0$.
\item 
\begin{enumerate}
	\item Étudier la limite de $f$ en $+ \infty$.
	\item Justifier que l'axe des ordonnées est asymptote à la courbe représentative de $f$.
\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$.
		\item Étudier les variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
	\item Soit $F$ la primitive de la fonction $f$ telle que $F(\e) = - \e$. Donner une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction $F$ au point d'abscisse $\e$.
	\end{enumerate}

\bigskip 

\exo

 \medskip 
 
 Soit $f$  la fonction définie sur $\left] {0; + \infty } \right[$  par $f(x)= \ln \left( x^2 \right) - \sqrt{x}$.
 \begin{enumerate}
 \item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$.
 \item Étudier les variations de $f$. On précisera la valeur exacte du maximum de $f$.
 \item  Existe-t-il un entier $M$ tel que pour tout réel $x \geqslant M$, $\ln \left( x^2 \right) \geqslant \sqrt{x}$ ?
 \end{enumerate}

 \bigskip
  
\exo

 \medskip 

\textsf {\small{\textbf{\textsc{partie a}}}}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\left]-1 ; +\infty \right[$ par  $f(x)=\dfrac{x-1}{x+1}$
\begin{enumerate}
	\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
	\item On note $f'$  la dérivée de la fonction $f$ . Calculer $f'(x)$.
	\item Étudier le signe de $f$ sur l'intervalle $\left]-1 ; +\infty \right[$. 
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\small{\textbf{\textsc{partie b}}}}

\medskip
  
Soit $g$ la fonction définie par $g(x)=\ln\left[f(x)\right]$ et $C_g$ sa représentation graphique.
\begin{enumerate}
	\item Déterminer l'intervalle $I$ de définition de $g$.
	\item Calculer les limites de $g$ en $+\infty$ et en 1.
	
	En déduire les asymptotes à la courbe $C_g$ en précisant une équation pour chacune d'elles.
	\item Exprimer $g'(x)$. En déduire le tableau de variations de $g$.
	\item Donner une équation de la tangente à la courbe $C_g$ au point d'abscisse 2.
	\item Ci-dessous, la courbe représentative de la fonction $f$  dans un repère orthonormal a été tracée. Tracer la courbe $C_g$  dans le même repère.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-10)(20,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(x-1)/(x+1)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-10)(20,4)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1.5,-5)(10,2)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](10,0){$x$} \uput[dl](0,2){$y$}
\uput[u](9.8,.8){\textcolor{bleu}{\small $C_{f}$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-.66666}{10}{\f}
\end{pspicture}
\end{center}	

  \bigskip
 
\exo

\medskip

Dans chacun des cas suivants, calculer la primitive $F$ de la fonction $f$ qui vérifie la condition donnée.
 
\begin{enumerate}
		\item $f$  est définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{x}{x^2+\e}$\:  et\:  $F(0)=\dfrac{1}{2}$.	
	\item $f$  est définie sur $ \left] \dfrac{2}{3}; + \infty  \right[$ par $f\left( x \right) =  -\displaystyle \frac{2}{{3x - 2}}$\:  et\:  $F(1)=\dfrac{1}{3}$.
	\item $f$  est définie sur $\R$  par $\displaystyle f\left( x \right) = \frac{{x - 1}}{{x^2  - 2x + 2}}$\:  et\:  $F(0)=\ln 2$.
	\item $f$  est définie sur $ \left] -1; + \infty \right[$ par $f(x)=\dfrac{x+3}{x+1}$\:  et\:  $F(1)=\ln4$.
\end{enumerate}

 \bigskip 
  
\exo

 \medskip 
 
 Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\left]0 ; \pi \right[$ par $f(t)=\dfrac{\cos (t)}{\sin (t)}$. On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.
\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de la fonction $f$ aux bornes de son intervalle de définition.

En déduire les asymptotes à la courbe $C_f$ en précisant une équation pour chacune d'elles.
\item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$.
\begin{enumerate}
		\item Calculer la dérivée $f'(t)$.
		\item Étudier les variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $C_f$  au point $A$ d'abscisse $\dfrac{\pi}{2}$.
\item Soit $F$ la primitive de la fonction $f$ telle que  $F\left( \dfrac{\pi}{6} \right)=0$.
\begin{enumerate}
	\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction $F$ au point d'abscisse $\dfrac{\pi}{6}$.
	\item Étudier les variations de la fonction $F$.
	\item Calculer $F(t)$.
	\item En déduire la valeur exacte du maximum de la fonction $F$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\chapter{Fonction exponentielle}

\minitoc

\newpage

\section{Définition et premières propriétés}

La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur $]0 ; + \infty[$ avec $\displaystyle \lim_{x\to 0} \ln x =-\infty $ et $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \ln x =+\infty $, on en déduit que pour tout réel $k$ l'équation $\ln(x) =k$ admet une solution unique $a$ dans l'intervalle $]0 ; + \infty[$

\begin{center}
\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(10.5,3)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(10.5,3)\psline(0,2.2)(10.5,2.2) \psline(1.5,0)(1.5,3) \psline(1.9,0)(1.9,2.2)\psline(2.1,0)(2.1,2.2)
\rput(0.75,2.6){$x$} \rput(2,2.6){$0$} \rput(6,2.6){$a$} \rput(10,2.6){$+ \infty$}
\rput(0.75,1.1){$\ln(x)$} \rput(2.5,.4){\rnode{A}{$-\infty$}}  \rput(9.8,1.8){\rnode{B}{$+\infty$}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncput*{$k$} 
\end{pspicture}
\end{center}

Cette propriété, permet de définir une nouvelle fonction \og réciproque \fg{} de la fonction logarithme népérien.


\subsection{Définition}

\cadreR{%
La fonction exponentielle, notée $\exp$,  est la fonction définie sur $\R$ qui à tout réel $x$ associe associe le réel $y$ strictement positif tel que :
\[y=\exp(x)\iff  x= \ln(y)\]
}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{\small{notation}}}}

Pour tout entier relatif $n$, $\ln\left( \e^n \right) =n$. Ainsi,  pour tout entier relatif $n$, $\exp(n)=\e^n$. On convient d'étendre cette écriture à tout réel $x$.

C'est à dire que pour tout réel $x$, on écrit $\exp(x)= \e^x$. $\e^x$ se lit donc \og exponentielle de $x$ \fg .

\subsection{Premières propriétés de la fonction exponentielle}

Les propriétés suivantes se déduisent de la définition :

\medskip

\cadreR{%
\begin{itemize}
	\item Pour tout réel $x$, $\e^x >0$.
	\item Pour tout réel $x$ et pour tout réel $y>0$, $y=\e^x \iff x= \ln(y)$.
	\item Pour tout réel $x$, $\ln\left(\e^x\right) =x$.
	\item Pour tout réel $x>0$, $\e^{\ln(x)}=x$.
\end{itemize}
}

\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemples}}}


$\ln (1) = 0 \iff \e^0 = 1$ ; \hfill $\e^x = 3 \iff x= \ln 3$ ; \hfill L'équation $\e^x = 0$ n'a pas de solution.

\section{Propriétés algébriques de la fonction exponentielle}

\subsection{Exponentielle d'une somme}
 	
			\cadreR{%
	Pour tout réel $a$ et pour tout réel $b$  
	\[\e^{a+b} = \e^a \times \e^b\]
	}

\dem
 	
	Pour tout réel $a$ et pour tout réel $b$,  $\e^{a+b}$, $\e^a$ et $\e^b$ sont des réels strictement positifs.
	
	Nous avons, d'une part, $\ln \left( \e^{a+b} \right)= a+b$.
	
	D'autre part, $\ln \left( \e^a \times \e^b \right) = \ln \left( \e^a \right)+ \ln \left( \e^b \right) = a+b$
	
	Donc  $\ln \left( \e^{a+b} \right)= \ln \left( \e^a \times \e^b \right) \iff \e^{a+b} = \e^a \times \e^b$
	

\subsection{Autres propriétés}	

		\cadreR{%
		
\begin{enumerate}
	\item Pour tout réel $a$, $\e^{-a} = \dfrac{1}{\e^a}$
	\item Pour tout réel $a$ et pour tout réel $b$,   $\e^{a-b} = \dfrac{\e^a}{\e^b}$
	\item Pour tout réel $a$ et pour tout entier relatif $n$,   $\e^{na} = \left( \e^{a}\right) ^n $
\end{enumerate}
}
	
\medskip
 
 \textsf {\small{Démonstrations}}
 
  \medskip
  
	\begin{enumerate}
	\item Pour tout réel $a$, $\e^{a}\times \e^{-a} = \e^{0}=1$ donc $\e^{-a} = \dfrac{1}{\e^a}$
	\item Pour tout réel $a$ et pour tout réel $b$,   $\e^{a-b} = \e^{a}\times \e^{-b}= \e^{a}\times  \dfrac{1}{\e^b}=\dfrac{\e^a}{\e^b}$
	\item Pour tout réel $a$ et pour tout entier relatif $n$,   $\ln\left(\e^{na}\right) = na$ et $\ln \left( \e^{a}\right) ^n =n \ln \left( \e^{a}\right)=na $
	
		Donc  $\ln\left(\e^{na}\right)= \ln \left( \e^{a}\right) ^n \iff \e^{na} = \left( \e^{a}\right) ^n$
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemples}}}	
	
$\e^{2+\ln 3} = \e^2 \times \e^{\ln 3} = 3 \e^2 $ ; \hfill $\dfrac{1}{\e^{x-2}}=\e^{-(x-2)} = \e^{2-x}$  ; \hfill $\dfrac{\e^{2x+1}}{\e^x}= \e^{2x+1-x} = \e^{x+1}$ ; \hfill $\e^{2x}\times \e^2= \left(\e^{x+1}\right)^2$
	

\section{Étude de la fonction exponentielle} 
	
\subsection{Dérivée et sens de variation} 

\subsubsection{Dérivée}

		\cadreR{%		
La fonction exponentielle est dérivable sur $\R$ et $\exp ' (x) =\exp(x)$
	}
	
\medskip
	
		Preuve :
		 
		On admet que la fonction exponentielle est dérivable sur $\R$. 
		
	$\e^x$ étant strictement positif, la fonction composée définie sur $\R$ par $f(x) = \ln\left( \exp(x) \right)$ est dérivable et pour tout réel $x$, $f'(x) = \dfrac{\exp'(x)}{\exp(x)}$.
	
	Or  $f(x) = \ln\left( \e^x \right) = x$, donc $f'(x)= 1$.
	
	Ainsi, pour tout réel $x$, $\dfrac{\exp'(x)}{\exp(x)}=1$ donc $\exp ' (x) =\exp(x) =\e^x$.
		
		\subsubsection{Variation}
		
	\cadreR{%		
La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$
	}	

\dem
	 	
La fonction exponentielle est dérivable sur $\R$ et est égale à sa dérivée.

Or pour tout réel $x$, 	$\e^x>0$. On en déduit que la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$.
	
 	
		\subsubsection{Conséquences}
		
\cadreB{%
	Pour tout réel $x$ et pour tout réel $y$, \[\e^{x} = \e^{y} \iff x = y \qquad \text { et } \qquad \e^{x} < \e^{y} \iff x < y\]	
}
		
		\subsection{Limites}
		
			\cadreR{%
		\[\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \e^x = + \infty \qquad \text{ et } \qquad	\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \e^x = 0\]
}

\medskip
 
 \textsf {\small{Démonstrations}}
 
 \medskip 
 
\begin{enumerate}
	\item 	Soit $f$  la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \e^x -x$. 
	
	La fonction $f$  est dérivable sur $\R$, et pour tout réel $x$, $f'(x) = \e^x -1$.
	
	Or la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$ et $\e^0 =1$. Donc si $x \geqslant 0$, alors  $\e^x \geqslant 1$.
	
	On en déduit le signe de $f'$ ainsi que le tableau des variations de la fonction $f$
	
	\begin{center}
\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(12,3.6)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(12,3.6) \psline(2,0)(2,3.6) \psline(0,2.8)(12,2.8)\psline(0,2)(12,2) 
\rput(1,3.2){$x$}\rput(2.5,3.2){$- \infty$} \rput(7,3.2){0} \rput(11.5,3.2){$+\infty$}
\rput(1,2.4){$f'(x)$} \rput(4.75,2.4){$-$} \pnode(7,2.8){m1}\pnode(7,2){m2}
\ncline [arrows=-,linewidth=.5pt]{m1}{m2}\ncput*{0}\rput(9.25,2.4){$+$}
\rput(1,1){$f(x)$} \pnode(2.5,1.7){A} \rput(7,.3){\rnode{B}{$1$}} \pnode(11.5,1.7){C}
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B}  \ncline{B}{C}
\end{pspicture}
\end{center}
	
Le minimum de la fonction $f$ est égal à 1. Donc pour tout réel $x$, $f(x) > 0$. C'est à dire pour tout réel $x$, $ \e^x -x > 0 \iff \e^x >x $.

Or $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x = + \infty$ donc d'après les théorèmes de comparaison, $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \e^x = + \infty$
\item La limite de la fonction exponentielle en $- \infty$ se déduit de sa limite en $+ \infty$

Si $x$ tend vers $+\infty$, alors $-x$ tend vers $-\infty$. Par conséquent  
\[\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \e^x = \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \e^{-x} = \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{1}{\e^{x}}\]

Or $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \e^x = + \infty$ donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{1}{\e^{x}}=0$. Soit $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \e^x = 0$
\end{enumerate}

	\subsection {courbe représentative}
	
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}m{8cm} >{\raggedleft \arraybackslash}X@{}}

\begin{itemize}
	\item $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \e^x = 0$ donc l'axe des abscisses est asymptote à la courbe représentative de la fonction exponentielle en $- \infty$.
	\item $\e^0 = 1$ et la tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle au point d'abscisse 0 a pour équation $y=x+1$.
	\item La tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle au point d'abscisse 1 a pour équation $y=\e x$.
	\item La fonction exponentielle est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien. 
	
	Dans un repère orthonormé, leurs courbes représentatives sont symétriques par rapport à la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=x$.
\end{itemize}


&
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3,-2.5)(5,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.28 .28 .56}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{Euler^x}
\def\g{ln(x)}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-3,-2.5)(5,5)
\psaxes[linewidth=1pt,linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\rput(.5,-.3){\red{$\vec i$}} \uput[l](0,.5){\red{$\vec j$}}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](5,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-3}{1.6}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=.5pt, linecolor=grisb]{.08}{5}{\g}
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=prune](-1.25,-.25)(1.25,2.25)
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=prune](0,0)(1.8,4.8929)
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune,linestyle=dashed](0,2.71828)(1,2.71828)(1,0)
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=grisb,linestyle=dashed](0,1)(2.71828,1)(2.71828,0)
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=grisb,linestyle=dashed](-2.5,-2.5)(4.5,4.5)
\uput[d](-1,0){\scriptsize{$-1$}}
 \uput[l](0,2.71828){\bleu{\footnotesize{$\e$}}}
  \uput[d](2.71828,0){\grisb{\footnotesize{$\e$}}}
    \uput[l](1.6,5){\bleu{\footnotesize{$y=\e^x$}}}
    \uput[l](5,1.7){\grisb{\footnotesize{$y=\ln x$}}}
\end{pspicture} \\
 \end{tabularx}
 
 \pagebreak
 
\subsection{Croissances comparées}
		
			\cadreR{%
		\[\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\e^x}{x} = + \infty \qquad \text{et} \qquad	\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\e^x = 0\] 
		Pour tout entier naturel $n$ non nul, $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\e^x}{x^n} = + \infty \qquad \text{et} \qquad \displaystyle\lim_{x \to - \infty} {x^n}{\e^x} = 0$.
}

\medskip
 
 \textsf {\small{Démonstrations}}
 
 \medskip
 
\begin{enumerate}
	\item Pour tout réel $x$ strictement positif, $\dfrac{\e^x}{x} =\dfrac{\e^x}{\e^{\ln(x)}}=\e^{x-\ln(x)}=\e^{x \left(1-\frac{\ln(x)}{x}\right)}$
	
	Or $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0$ donc  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x \left(1-\frac{\ln(x)}{x}\right) = + \infty$
	
	Ainsi,  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x \left(1-\frac{\ln(x)}{x}\right) = + \infty$ et  $\displaystyle\lim_{X \to + \infty} \e^X = + \infty$, donc par composition,  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\e^{x \left(1-\frac{\ln(x)}{x}\right)} = + \infty$. Soit $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\e^x}{x} = + \infty$.
	
	\medskip
	
	\item Comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\e^x}{x} = + \infty$, on en déduit par passage à l'inverse que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{x} {\e^x}= 0$. C'est à dire $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}x\e^{-x}= 0$ donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\e^x = 0$.
	
	\medskip
	
	\item Soit $n$ un entier naturel non nul quelconque.
	
	Pour tout réel $x$, $\e^{x} = \left( \e^{\frac{x}{n}}\right)^n$
	
	Donc pour tout réel $x$ non nul, $\dfrac{\e^x}{x^n}= \dfrac{\left( \e^{\frac{x}{n}}\right)^n}{\left(n \times \dfrac{x}{n} \right)^n} = \dfrac{1}{n^n} \times \dfrac{\left( \e^{\frac{x}{n}}\right)^n}{\left(\dfrac{x}{n}\right)^n}= \dfrac{1}{n^n} \times \left(\dfrac{ \e^{\frac{x}{n}}}{\dfrac{x}{n}}\right)^n$
	
	$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{x}{n} = + \infty$ et  $\displaystyle\lim_{X \to + \infty} \dfrac{\e^X}{X} = + \infty$, donc par composition, $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{ \e^{\frac{x}{n}}}{\dfrac{x}{n}} = + \infty$.
	
	On en déduit que  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \left(\dfrac{ \e^{\frac{x}{n}}}{\dfrac{x}{n}}\right)^n = + \infty$ d'où, $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}  \dfrac{1}{n^n} \times \left(\dfrac{ \e^{\frac{x}{n}}}{\dfrac{x}{n}}\right)^n = + \infty$. 
	
	C'est à dire  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\e^x}{x^n} = + \infty$.
	
	Ce résultat est vrai pour  un entier naturel $n$ non nul quelconque, ce qui signifie qu'il est vrai pour tout entier  naturel $n$ non nul.
	
	\textsf {\textsc{\small{remarque :}}}

\medskip

On peut résumer cette propriété à l'aide de la règle opératoire :

En $+\infty$, l'exponentielle de $x$ l'emporte sur toutes les puissances de $x$

\medskip
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(5,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{Euler^x}
\def\g{x^2}
\def\h{x^3}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-.5,-.5)(5,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](5,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,5){\footnotesize{$y$}}
\psline[linewidth=.5pt](-.1,1)(.1,1)
\psline[linewidth=.5pt](0,-.1)(0,.1)
\uput[d](0.8,0){\scriptsize{1}}
\uput[l](0,1){\scriptsize{50}}
    \uput[l](5,5){\bleu{\footnotesize{$y=\e^x$}}}
     \uput[l](5.5,1){\prune{\footnotesize{$y=x^2$}}}
  \uput[l](5.5,4.5){\prune{\footnotesize{$y=x^3$}}}
\psset{xunit=.8cm, yunit=0.2mm}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{0}{5.5}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=.5pt, linecolor=prune]{0}{6}{\g}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=.5pt, linecolor=prune]{0}{6}{\h}
\end{pspicture}
\end{center}	
\end{enumerate}

\section{Exponentielle d'une fonction : $\exp (u)$}

On considère une fonction $u$ définie sur un intervalle $I$. 

La fonction $f= \exp (u)$ est la composée de la fonction $u$ suivie de la fonction exponentielle notée également $f=\e^u$.

\subsection{Limites}

\cadreR{
Soit $u$ une fonction définie sur un intervalle $I$. $\alpha$ désigne soit un réel, soit $-\infty$, soit $+\infty$. 

\begin{itemize}
	\item Si  $\displaystyle\lim_{x \to \alpha} u(x) = - \infty $ alors, $\displaystyle\lim_{x \to \alpha} \e^{u(x)} = 0$.
	\item Si  $\displaystyle\lim_{x \to \alpha} u(x) = + \infty $ alors, $\displaystyle\lim_{x \to \alpha} \e^{u(x)} = + \infty$.
	\item Si  $\displaystyle\lim_{x \to \alpha} u(x) = b$ avec $b$ réel alors, $\displaystyle\lim_{x \to \alpha} \e^{u(x)} = \e^b$.
	\end{itemize}	
}

\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $] 1; + \infty[$ par $f(x) = \e ^{x-\frac{1}{x-1}}$.

\begin{enumerate}
	\item $\displaystyle \lim_{x\to 1^+} x-1 =0^+ $ d'où $\displaystyle \lim_{x\to 1^+} x-\dfrac{1}{x-1} =-\infty$ et comme  $\displaystyle \lim_{X\to -\infty} \e^ X = 0$ on en déduit que  $\boxed{ \displaystyle \lim_{x\to 1}   \e ^{x-\frac{1}{x-1}} = 0}$
	\item $\displaystyle \lim_{x\to + \infty} x-\frac{1}{x-1} =+ \infty$ et $\displaystyle \lim_{X\to + \infty} \e^ X = + \infty$ donc par composition des limites  $\boxed{ \displaystyle \lim_{x\to + \infty} \e ^{x-\frac{1}{x-1}}=+\infty}$
\end{enumerate}

\subsection{Dérivée}

\cadreR{%
Soit $u$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$. La fonction $\e^ u$ est dérivable sur $I$ et $\left( \e^u \right) ' = u' \times \e^{u}$.
}

\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\R$ par $f(x) = \e^{x^2 -1}$.

La fonction $u$ définie sur $\R$ par $u(x) = x^2 -1$ est dérivable sur $\R$ et $u'(x)= 2x$.

$f$ est dérivable sur $\R$ et pour tout réel $x$, $\boxed{f'(x) =  2x \e^{x^2 -1}}$

\subsection{Variation}

\cadreR{%
Les fonctions $u$ et $\e^u$ ont les mêmes variations sur l'intervalle $I$.
}

\medskip
 
 \textsf {\small{Démonstration}}
 
 \medskip
 
 La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$, par composée :
 
\begin{itemize}
	\item si la fonction $u$ est croissante sur $I$, alors la fonction $\e^u$ est croissante sur $I$ ;
		\item si la fonction $u$ est décroissante sur $I$, alors la fonction $\e^u$ est décroissante sur $I$.
\end{itemize}

\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\R$ par $f(x) = \e^{1-2x}$.

$f$ est la composée de la fonction affine $u$ définie sur $\R$ par $u(x)=  1-2x$  suivie de la fonction $\exp$. 

Or la fonction $u$ est décroissante sur $\R$ donc la fonction $f$ est décroissante sur $\R$.


\subsection{Primitives}

\cadreR{%
Soit $u$ est une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$. La fonction $f$ définie par $f(x)= u'(x) \e^{u(x)}$ admet des primitives sur $I$.

L'ensemble des primitives de $f$ sur $I$ est l'ensemble des fonctions $F$ définies par $F(x)=\e^{u(x)}+k$ .
}

																						

\newpage

\addcontentsline{toc}{section}{Exercices}


\exo

 \medskip 
 
Simplifier les écritures suivantes :

$A={\left( \e^x\right)}^2-\dfrac{1}{\e^{-2x}}$ ; \hfill $B={\left(\e^x+\e^{-x}\right)}^2-{\left(\e^x-\e^{-x}\right)}^2$ ; \hfill $C=\e^{-x}\left(\e^{2x}-\dfrac{1}{\e^x} \right)$ ; \hfill
$D=\dfrac{\e^{2x+1}}{\e^{1-x}}$  .  

$E=\dfrac{{\left(\e^{x+2}\right)}^2}{\e^{2x-1}}$; \hfill $F=\ln\left(\e^{2x+1}\times \e^{2-x}\right)$ ;   \hfill $G=\dfrac{\e^{2x+\ln 2}}{\e^{-x}}$ ; \hfill $H=\dfrac{\e^{x+\ln8}}{\e^{x-\ln2}}$.  

 \bigskip 
 
\exo

 \medskip 

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$  les équations suivantes :
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}>{\raggedright \arraybackslash}X}}
\item $\e^{x^2+x-1}=1$ & \item $\dfrac{\e^{3x+5}}{\e^{3-2x}}=\e^{2x^2-1}$  &	\item $2\e^{2x}-\e^x-1=0$\\ 
\item $\ln\left(\e^{x+1}\right)=\e^{x+1}+x$  & \item $\e^{\ln\left(x^2+1\right)}-\ln\left(\e^{1-x^2}\right)=\dfrac{1}{2}$&	\item $\ln\left(\e^{-x}\right)+\e^{-\ln x}=0$\\ 
\end{tabularx}
\end{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$  les inéquations suivantes :
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}>{\raggedright \arraybackslash}X}}
\item $\e^{\frac{1}{x}} \geqslant \e$  \rule[-4mm]{0pt}{1cm} & \item $\e^{2x} \leqslant \e^x$  &	\item$\e^{2x} \e^{x^2} < 1$\\
\end{tabularx}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip 

\exo \hfill (\emph{D'après sujet bac France métropolitaine, La Réunion 2016})

 \medskip 


Quand l'oreille humaine est soumise à une intensité acoustique, exprimée en watts par mètre carré $\left( \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\right)$, le niveau sonore du bruit responsable de cette intensité acoustique est exprimé en décibels (dB).


{\footnotesize{
\begin{center}
\textbf{Échelle de bruit}
\end{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}l|}\hline
\textsf{Sources sonores} & \textsf{Intensité acoustique $\left( \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\right)$}  &  \textsf{Niveau sonore (dB) arrondi éventuellement à l'unité} & \multicolumn{1}{c|}{\textsf{Sensation auditive}} \\ \hline
Décollage de la Fusée Ariane & $10^ 6$ & 180 & \multirow{3}{*}{Exige une protection spéciale}\\ \cline{1-3} 
Turboréacteur & $10^ 2$ & 140 &  \\ \cline{1-3} 
Course de Formule 1 & 10 & 130 &  \\ \hline
Avion au décollage & 1 & 120 & Seuil de douleur \\ \hline
Concert et discothèque & $10^{-1}$ & 110 & \multirow{2}{*}{Très difficilement supportable}\\ \cline{1-3} 
Baladeur à puissance maximum & $10^{-2}$ & 100 &  \\ \hline
Moto & $10^{-5}$ & 70 & Pénible à entendre \\ \hline
Voiture au ralenti & $10^{-7}$ & 50 & Bruit courant \\ \hline
Seuil d'audibilité & $10^{-12}$ & 0,08 & Silence anormal \\ \hline
\end{tabularx}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item D'après le tableau, lorsque l'intensité acoustique est multipliée par 10, quelle semble être l'augmentation du niveau sonore ?
\item La relation liant l'intensité acoustique $x$ où $x$ appartient à l'intervalle  $\left[ 10^ {-12} ; 10^6 \right]$ et le niveau sonore est donnée par : 
\[f(x) =\dfrac{10}{\ln 10}	\times  \ln(x) + 120.\] 
On pourra prendre $\dfrac{10}{\ln 10} \approx 4,34$.

	\begin{enumerate}
		\item Vérifier la conjecture émise à la question 1.
		\item Quel serait le niveau sonore de deux motos ?
	\end{enumerate}
\item Pour éviter tout risque sur la santé, le port d'un casque de protection acoustique est donc conseillé au delà de $85$~dB.

Déterminer l'intensité acoustique à partir de laquelle le port d'un tel casque est conseillé.
\end{enumerate}

\bigskip

 
\exo

 \medskip 

On a tracé ci-dessous, la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{4}{1+\e^x}-2$.
  
\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-11,-5)(12,6)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{4/(EXP(x)+1)-2}
\def\g{5/(3*x+5)}
\def\h{(x+3)/(3-x)}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-9,-5)(10,6)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-4.5,-2.5)(5,3)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}\uput[dl](5,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,3){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-4.5}{5}{\f}
\uput[ul](5,-2){\footnotesize{\bleu{$\mathcal{C}_f$}}}
%\psset{linewidth=1pt, linecolor=prune}
%\psline(-4.5,2)(5,2)
%\uput[ul](5,2){\footnotesize{\prune{$\mathcal{D}_2$}}}
%\psline(-4.5,-2)(5,-2)
%\uput[dr](-4.5,-2){\footnotesize{\prune{$\mathcal{D}_1$}}}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Calculer $f\left(-\ln 7\right)$ et $f\left(\ln 3\right)$.
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x)=0$.
\end{enumerate}
	\item La courbe $C_f$ représentative de la fonction $f$ admet-elle des asymptotes ?	
	\item \begin{enumerate}
	\item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$.
	\item Étudier les variations de la fonction $f$. 
\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $\ln 3$.	
\end{enumerate}

\bigskip
    
\exo

 \medskip 

 Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)=\e^x+\dfrac{1}{\e^{x}}$.  On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$.
	
\begin{enumerate}
	\item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$.
	\item Donner le tableau de variations de $f$.
\item En déduire que pour tout réel $x$, $\e^x+\e^{-x}\geqslant 2$. 
\end{enumerate}

 \bigskip 
  
 \exo

 \medskip 

Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$  par $f(x) =\dfrac{3-2x}{\e^{x}}$. 

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. 

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout nombre réel $x$,  on a : $f'(x) = (2x-5)\times\e^{-x}$.
	\item Étudier les variations de la fonction $f$.	
\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d'abscisse 0.
\end{enumerate}

 \bigskip 
 
 \exo

 \medskip 

 Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f (x) = (4 - x)\e^x -2$. 
 
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}	
\item Déterminer, en justifiant avec soin, $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)$   et  $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
\item La courbe $C_f$ représentative de la fonction $f$ admet-elle des asymptotes ?
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate} 
\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$.
	\item  Étudier les variations de la fonction $f$.
\end{enumerate}
 \item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 2.
\end{enumerate}

\bigskip

 \exo

 \medskip 

 Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f (x) = \left(x^2-\dfrac{5}{2}x+1\right) \e^x$. 
 
 Sa courbe représentative notée $\mathcal{C}_f$ est donnée ci-dessous.
 \begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-13,-6)(8,10)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{(x^2-2.5*x+1)*EXP(x)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-13,-6)(8,10)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-6.5,-3)(4,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}\uput[dl](4,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-6.5}{2.285}{\f}
%\psline(-1,2.5)(1,-.5)
\uput[dr](2.4,5){\footnotesize{\bleu{$\mathcal{C}_f$}}}
\end{pspicture}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
	\item \begin{enumerate} \item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$.
	\item Étudier les variations de la fonction $f$.
\end{enumerate}
 \item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 0.
 
 Tracer la droite $T$ sur le graphique précédent.

\end{enumerate}

 \bigskip 

\exo
   
  \medskip 
  
  Calculer les dérivées des fonctions suivantes :  
\begin{enumerate}
	\item $f$ est définie sur $\R$ par $f(x)= \e^{x^2} -\left( \e^x\right)^2$
	\item $f$ est définie sur $\R$ par $f(x)= \dfrac{\e^{x^2}}{\e^{1-x}}$
	\item $f$ est définie sur $\R$ par $f(x)=\e^{-x^2}\times \e^{x^2-2x+1}$
	\end{enumerate}
	
\bigskip


\exo \hfill (\emph{D'après sujet bac France métropolitaine, La Réunion septembre 2016})

 \medskip 


\emph{Dans cet exercice, la température est exprimée en degrés Celsius (°C) et le temps $t$ est exprimé en minutes.}

Dans une entreprise de fabrication de pièces métalliques, un ouvrier doit manipuler des plaques chaudes pendant une dizaine de secondes. À la sortie du four, les plaques sont à une température de 300~°C et disposées dans une pièce dont la température ambiante est maintenue à 26~°C par un système de ventilation.

La commission de sécurité prescrit qu'avec les gants actuels, l'ouvrier doit attendre 10 minutes pour manipuler les plaques à leur sortie du four. Afin de réduire ce délai d'attente, le directeur s'interroge sur l'achat de nouveaux gants dont les caractéristiques techniques établies par la commission de sécurité sont les suivantes :

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{.5\linewidth}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Sans couture.
\item[$\bullet~~$] Très doux et confortables.
\item[$\bullet~~$] Température maximale d'utilisation : 240~°C.
\end{itemize}
\end{minipage}
}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on ne demande pas de justification.
\begin{enumerate}
\item Quelle est, à la sortie du four, la température des plaques ?
\item Comment varie, à la sortie du four, la température des plaques au cours du temps ?
\item Vers quelle valeur la température des plaques devrait-elle se stabiliser ?
\end{enumerate}
\item La température d'une plaque depuis sa sortie du four, est modélisée en fonction du temps $t$, exprimé en minutes, par une fonction $g$. 

On admet que cette fonction $g$ est définie sur l'intervalle $[0 ; +\infty [$ par $g(t) = 274\e^{at} +26$ où $a$ est un nombre réel.
\begin{enumerate}
\item Calculer $g(0)$. Ce résultat est-il conforme aux données ?
\item D'après la question 1, quel doit être le signe du nombre réel $a$ ?
\item On sait que 3 minutes après sa sortie du four la température de la plaque, arrondie à l'unité, est de 262~°C.

Montrer que la valeur approchée à $10^{-2}$ près du coefficient $a$ est $-0,05$.
\end{enumerate}
\item Dans cette question on considère que, pour tout nombre réel $t$ de l'intervalle $[0 ; +\infty [$ : $g(t)=274\e^{-0,05t}+26$.
\begin{enumerate}
\item Avec les gants actuellement utilisés, à quelle température l'ouvrier pourra-t-il manipuler les plaques après leur sortie du four, en respectant les caractéristiques techniques de la commission de sécurité ?
\item Si le directeur décidait d'équiper les ouvriers avec les nouveaux gants, quel délai d'attente minimal serait requis avant que les ouvriers puissent manipuler les plaques ?
\item En déduire le gain de temps, en pourcentage, dû à l'utilisation de ces nouveaux gants.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

 \bigskip 
\exo

 \medskip 


\textsf {\small{\textbf{\textsc{partie a}}}}

\medskip

La courbe $(\mathcal{C})$ tracée ci-dessous dans un repère orthonormé est la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur  $\R$. On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $\R$. 

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-8,-6)(16,6)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{vertf}{.1 .4 .2}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-8,-6)(16,6)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-4,-3)(8,3)
\uput[dl](8,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,3){\footnotesize{$y$}}
\uput[dl](0,0){\textsf 0}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-2.756}{8}{(x+2)*EXP(-0.5*x)}
\psline[linecolor=prune, linewidth=0.75pt](-1.25,2)(1.25,2)
\psdots[linecolor=prune,dotscale=.8] (0,2)
\uput[ur](0,2){\textcolor{bleu}{\footnotesize $A$}}
\uput[l](8,.5){\textcolor{bleu}{\footnotesize $(\mathcal{C})$}}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
	\item Au point $A(0;2)$, la courbe $(\mathcal{C})$ admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses. En déduire $f(0)$  et $f'(0)$.
	\item Parmi les trois représentations graphiques ci-dessous, une représente la fonction $f'$ dérivée de la fonction $f$ et une autre une primitive $F$ de $f$ sur $\R$.
	
\medskip
	 
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}>{\centering \arraybackslash}X@{}}}
\psset{unit=0.5cm} 
\begin{pspicture}(-4,-1)(5,7)
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-4,-1)(5,7)
\psaxes[linewidth=.75pt,labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-4,-1)(5,7)
\psline[linewidth=0.4pt](1,-0.1)(1,0.1)\rput(1,-0.4){\footnotesize{\textsf 1}}
\psline[linewidth=0.4pt](-0.1,1)(0.1,1)\rput(-0.4,1){\footnotesize{\textsf 1}}
\rput(-0.4,-0.4){\footnotesize{\textsf 0}}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=1.5pt, linecolor=prune]{-3.05}{5}{-.5*x*EXP(-.5*x)}
\psline[linecolor=bleu, linewidth=0.75pt](-3,1.5)(2,-1)
\psdots[linecolor=bleu,dotscale=.8] (0,0)
\end{pspicture}  &
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-5)(6,3)
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-3,-5)(6,3)
\psaxes[linewidth=.75pt,labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-3,-5)(6,3)
\psline[linewidth=0.4pt](1,-0.1)(1,0.1)\rput(1,-0.4){\footnotesize{\textsf 1}}
\psline[linewidth=0.4pt](-0.1,1)(0.1,1)\rput(-0.4,1){\footnotesize{\textsf 1}}
\rput(-0.4,-0.4){\footnotesize{\textsf 0}}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=1.5pt, linecolor=prune]{-2.2}{3.66}{2*x-(x-2)*EXP(.5*x)-2}
\psline[linecolor=bleu, linewidth=0.75pt](-2,-4)(1.5,3)
\psdots[linecolor=bleu,dotscale=.8] (0,0)
\end{pspicture} &
\psset{unit=0.5cm} 
\begin{pspicture}(-4,-3)(5,5)
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-4,-3)(5,5)
\psaxes[linewidth=.75pt,labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-4,-3)(5,5)
\psline[linewidth=0.4pt](1,-0.1)(1,0.1)\rput(1,-0.4){\footnotesize{\textsf 1}}
\psline[linewidth=0.4pt](-0.1,1)(0.1,1)\rput(-0.4,1){\footnotesize{\textsf 1}}
\rput(-0.4,-0.4){\footnotesize{\textsf 0}}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=1.5pt, linecolor=prune]{-3.77}{3.11}{8-(2*x+8)*EXP(-.5*x)}
\psline[linecolor=bleu, linewidth=0.75pt](-1.5,-3)(2.5,5)
\psdots[linecolor=bleu,dotscale=.8] (0,0)
\end{pspicture} \\ 
\textsf{Courbe 1}& \textsf{Courbe 2} & \textsf{Courbe 3} \\
\end{tabularx}

\medskip

Déterminer la courbe associée à la fonction $f'$ et celle qui est associée à la fonction $F$. 
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\small{\textbf{\textsc{partie b}}}}

\medskip


Pour la suite, on admet que la fonction $f$ est définie sur $\R$ par : $f(x)=(x+2)\e^{-0,5x}$.
\begin{enumerate}
	\item 
\begin{enumerate}
	\item Calculer $\displaystyle\lim_{x\to -\infty} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x)$. 
	\item La courbe $(\mathcal{C})$ a-t-elle des asymptotes ? Si oui lesquelles ?
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
	\item Calculer $f'(x)$.
	\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\R$  puis dresser le tableau de variation complet de $f$.
\end{enumerate}
\item Soit  $F$ la primitive de la fonction $f$ telle que $F(0)=0$. On note $(\Gamma)$ sa courbe représentative.

 Déterminer une équation de la tangente à la courbe $(\Gamma)$ au point d'abscisse 0.

\end{enumerate}

 \bigskip 
 
 \exo

 \medskip 


\textsf {\textsc{\textbf{partie a}}}

\medskip

 Soit $u$ la fonction polynôme du second degré définie sur $\R$ dont la courbe représentative $\mathcal{C}_u$ est donnée en annexe ci-dessous.

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)=\e^{u(x)}$. On note $f'$ sa fonction dérivée.
 
 À l'aide du graphique, répondre aux questions suivantes.
\begin{enumerate}
\item La proposition \og L'équation $f(x)=0$ admet deux solutions.\fg{} est-elle vraie ou fausse ?
	\item Déterminer $f(0)$ et $f'(0)$.
	\item Donner le tableau de variation de la fonction $f$.
\end{enumerate}

 
 \begin{center}
 \textsf {\textsc{\textbf{annexe}}}

\medskip
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-10,-6)(16,8)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{EXP(-.5*x^2+x)}
\def\g{x-.5*x^2}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-10,-6)(16,8)
\psset{xunit=2cm,yunit=2cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-2.5,-1.5)(4,2)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}\uput[dl](4,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,2){\footnotesize{$y$}}
%\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-2.5}{4}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-1,-1)(.75,.75)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](1.25,.75)(3,-1)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-1}{3}{\g}
%\psdots[linewidth=1pt, linecolor=prune,dotscale=.8](-2.5,1.80587)(0,2)
\uput[ur](3,-1.5){\footnotesize{\bleu{$\mathcal{C}_u$}}}
\end{pspicture}
\end{center}
 
\medskip
 
\textsf {\textsc{\textbf{partie b}}}

\medskip

On considère dans cette partie, que la fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ par $f(x)=\e^{x-0,5x^2}$.

On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.

 

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$, l'équation $f(x)=1$.
 \item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$.
	\begin{enumerate}
	\item Calculer $f'(x)$.
	\item Étudier les variations de la fonction $f$.
\end{enumerate}

\item Représentation graphique de la fonction $f$.
\begin{enumerate}
\item La courbe $\mathcal{C}_f$ admet-elle des points d'inflexion ?
 \item Déterminer une équation de la tangente $T_{A}$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$ d'abscisse 0.
 \item Déterminer une équation de la tangente $T_{B}$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $B$ d'abscisse 2.
  \item Tracer dans le repère fourni en annexe la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative de la fonction $f$.
  
  On placera les points d'abscisses 0, 1, 2 et on tracera les tangentes à la courbe en ces points.
 \end{enumerate}		 

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\chapter{Trigonométrie (compléments)}

\minitoc

\newpage



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\chapter{Nombres complexes}

\minitoc

\newpage

\addcontentsline{toc}{section}{Exercices} 

\exo

 \medskip 


On note $\mathrm{i}$ le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

On considère les nombres complexes $z_{1}$ et $z_{2}$ définis par $z_{1} = 1 - \mathrm{i}$ et $z_{2} = \e^{ \text{i}\frac{5\pi}{6}}$.
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer une forme trigonométrique de $z_{1}$. 
\item Déterminer l'écriture algébrique de $z_{2}$. 
\item Soit $Z=z_{1} \times  z_{2}$. 
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'écriture algébrique de $Z$.
\item Déterminer une forme exponentielle  de $Z$. 
\item En déduire la valeur exacte de  $\cos \left(\dfrac{7\pi}{12}\right)$   et $\sin \left(\dfrac{7\pi}{12}\right)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

 \bigskip
 
 \exo \hfill (\emph{D'après sujet bac Polynésie septembre 2014})

 \medskip 


On considère les nombres complexes $Z_{1}$ et $Z_{2}$ : 

\[Z_{1} = \dfrac{3\sqrt{2}}{1 + \mathrm{i}}\quad \text{et}\quad Z_{2} = \dfrac{4\mathrm{i}}{1 + \mathrm{i}\sqrt{3}}.\]
 
\begin{enumerate}
\item Écrire les nombres $Z_{1}$ et $Z_{2}$ sous forme algébrique et trigonométrique. 
\item Placer les points $A_{1}$ et $A_{2}$ d'affixes respectives $Z_{1}$ et $Z_{2}$ dans le repère donné en annexe. 
\item Calculer sous forme algébrique le produit $Z_{1} \times Z_{2}$ et donner sa forme trigonométrique. 
\item En déduire les valeurs exactes de $\cos \dfrac{\pi}{12}$ et $\sin \dfrac{\pi}{12}$.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}

\textsf {\textbf{\textsc{annexe } à rendre avec la copie}}

\medskip

\psset{unit=.75cm}
\begin{pspicture}(-8.5,-8.5)(8.5,8.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-8.5,-8.5)(8.5,8.5)
\psset{linewidth=.5pt,linecolor=bleu}
\multido{\n=1+1}{6}{%
\pscircle(0,0){\n} 
}
\multido{\n=30+15}{3}{%
\rput{\n}(0,0){\psline(-8.5,0)(8.5,0)}
}
\multido{\n=120+15}{3}{%
\rput{\n}(0,0){\psline(-8.5,0)(8.5,0)}
}
\end{pspicture}
\end{center}


 \bigskip 

\exo \hfill (\emph{D'après sujet bac Nouvelle Calédonie mars 2014 2013})

 \medskip 


On note $\mathrm{i}$ le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

On considère les nombres complexes $z_{1}, z_{2}$ et $z_{3}$ définis par: 

\[z_{1} = 1 + \mathrm{i}\sqrt{3}, \quad z_{2} = \e^{- \mathrm{i}\frac{\pi}{4}}\quad \text{et} \quad z_{3} = \e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{12}}.\]
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'écriture exponentielle de $z_{1}$. 
\item Déterminer l'écriture algébrique de $z_{2}$. 
\item Démontrer que $z_{1} \times  z_{2} = 2z_{3}$. 
\item En déduire l'écriture algébrique de $z_{3}$. 
\item En déduire que $\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$   et $\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$.
\end{enumerate}


 \bigskip  

\exo

 \medskip 


Le plan est rapporté à un repère orthonormal $\left( {{\mathrm{O}};\vec u,\vec v} \right)$.

On considère les nombre complexes $z_{0}=\sqrt{3}+\mathrm{i}$, $z_{1}=\overline{z_0}$ et $z_{2}=-\sqrt{3}+\mathrm{i}$. 


\begin{enumerate}
\item Écrire le nombres $z_{0}$, $z_{1}$ et $z_{2}$ sous forme trigonométrique et exponentielle.
\item Soit $z$ le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{3}$. Donner l'écriture algébrique de $z$.
\item Calculer  $z_{3}=z\times z_{2}+z_{1}$.
\item Placer les points $A$, $B$, $C$ et $D$ d'affixes respectives $z_{0}$, $z_{1}$ , $z_{2}$ et $z_{3}$ dans le repère donné ci-dessous. 
\item Quelle est la nature du triangle $ABD$ ?
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1.6cm}
\begin{pspicture}(-3.5,-3.25)(3.5,3.25)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3.5,-3.5)(3.5,3.5)
\psset{linewidth=.5pt,linecolor=bleu,linestyle=dashed}
\multido{\r=.5+.5}{6}{%
\pscircle(0,0){\r} 
}
\multido{\n=30+15}{3}{%
\rput{\n}(0,0){\psline(-3.5,0)(3.5,0)}
}
\multido{\n=120+15}{3}{%
\rput{\n}(0,0){\psline(-3.5,0)(3.5,0)}
}
\end{pspicture}
\end{center}	


 \bigskip 

\exo

 \medskip 


On donne le nombre complexe $\mathrm{j} = - \dfrac{1}{2} + \mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.


\begin{enumerate}
\item Déterminer le module et un argument du nombre complexe $\mathrm{j}$, puis donner sa forme exponentielle.
\item Démontrer les égalités suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item $\mathrm{j}^3 = 1$ ;
		\item $\mathrm{j}+\mathrm{j}^2 +\mathrm{j}^3=0$.
	\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
		\item Placer les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives  $\mathrm{j}$ , $\mathrm{j}^2$ et $\mathrm{j}^3$ dans le plan muni d'un repère orthonormal $\left( {{\mathrm{O}};\vec u,\vec v} \right)$.
	\item Quelle est la nature du triangle $ABC$ ? Justifier la réponse.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}	
	
	\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-6,-6)(6,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-6)(6,6)
\psset{unit=2cm}
\psaxes[labels=none,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1.5,-1.5)(1.5,1.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,linecolor=prune]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}\uput[d](.5,0){\prune{$\vec{u}$}}\uput[l](0,.5){\prune{$\vec{v}$}}
\pscircle[linewidth=.5pt,linecolor=bleu,linestyle=dashed](0,0){1} 
\end{pspicture}
\end{center}


 \bigskip 


\exo 

 \medskip 


Dans le plan muni d'un repère orthonormé $\left( {{\mathrm{O}};\vec u,\vec v} \right)$ d'unité graphique $10\;\mathrm{cm}$, on considère le point $M_0$ d'affixe $z_0 =1$.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $M_n$ le point d'affixe $z_n = \dfrac{1}{2} \e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}z_{n-1}$.

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Déterminer l'écriture exponentielle de $z_1$, $z_2$ et $z_3$.
\item Construire les points $M_0$, $M_1$, $M_2$ et $M_3$ dans le repère $\left( {{\mathrm{O}};\vec u,\vec v} \right)$.
\end{enumerate}
\item On appelle $r_n$ le module de $z_n$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\left( r_n \right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
\item Quelle est la limite de la suite $\left( r_n \right)$ ?
\item On considère que sur la représentation, on ne peut plus distinguer le point $M_n$ du point $\mathrm{O}$ si la distance $\mathrm{O}M_n$ est strictement inférieure à $1\;\mathrm{mm}$.

Déterminer la plus grande valeur $N$ de $n$ pour laquelle $M_n$ peut être distingué de $\mathrm{O}$.
\end{enumerate}
\item On admet que $z_6 = {\left( \dfrac{1}{2} \e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}} \right)}^6$.

Donner l'écriture exponentielle de $z_6$ puis construire $M_6$ dans le repère $\left( {{\mathrm{O}};\vec u,\vec v} \right)$ .
\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

 \medskip 


Dans le plan muni d'un repère orthonormé $\left( {{\mathrm{O}};\vec u,\vec v} \right)$, on considère le point $M_0$ d'affixe $z_0 =\sqrt{3} + 1$.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $M_n$ le point d'affixe $z_n = {z_0}^n$.

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Déterminer l'écriture exponentielle de $z_1$, $z_2$ et $z_3$.
\item Construire les points $M_0$, $M_1$, $M_2$ et $M_3$ dans le repère $\left( {{\mathrm{O}};\vec u,\vec v} \right)$.
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Donner l'écriture exponentielle de $z_n$ en fonction de $n$.
\item Déterminer la plus petite valeur $N$ de $n$ telle que $M_n$ soit situé sur l'axe des ordonnées avec une ordonnée négative.

Quelle est alors la distance $\mathrm{O}M_n$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\chapter{Calcul intégral}

\minitoc

\newpage

\section{Intégrale et aire}

\subsection{Unité d'aire}

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}m{12cm} >{\raggedleft \arraybackslash}X@{}}
Soit \Oij un repère orthogonal du plan. 

L'unité d'aire, notée u.a, est l'aire du rectangle unitaire OIJK avec $\mathrm{I}(0;1)$, $\mathrm{J}(0;1)$ et $\mathrm{K}(1;1)$.
&
\psset{xunit=1.5cm,yunit=.75cm}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(2.5,1.5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{T2}{.82 .6 .75}
\newpsstyle{TCouleur}{linewidth=.5pt,fillstyle=vlines,hatchcolor=\pslinecolor,  hatchwidth=0.1\pslinewidth, hatchsep=1.5\pslinewidth}
\psframe[linecolor=T2,style=TCouleur](0,0)(1,1)
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-.5,-.5)(2.5,2.5)
\psaxes[ticks=none,linewidth=1pt,linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\rput(-0.2,-0.35){\footnotesize{0}}
\uput[dl](2.5,0){$x$}
\uput[dl](0,2.5){$y$}
\uput[d](.5,0){\red{$\vec i$}}
\uput[l](0,.5){\red{$\vec j$}}
\uput[dr](1,0){\footnotesize{I}}
\uput[ul](0,1){\footnotesize{J}}
\uput[ur](1,1){\footnotesize{K}}
\rput(.5,.5){\scriptsize{u.a.}}
\end{pspicture}
\end{tabularx}

\subsection{Intégrale d'une fonction continue et positive}

\subsubsection{Définition}

\cadreR{%
Soit $f$ une fonction définie, continue et positive sur un intervalle $[a;b]$ et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal \Oij .

L'intégrale de $f$ entre $a$ et $b$ est l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine  $\mathcal{D}_f$ compris entre la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$

Ce nombre est noté :  $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x$
}

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm, yunit=.75cm}
\begin{pspicture}(-2.4,-1.8)(3.8,3.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\newrgbcolor{mauve}{.92 .84 .98}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(49-8*x*(x^3-2*x^2-3*x+4))/27}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{-1.2}{2.4}{\f} \gsave
\psline(2.4,0)(-1.2,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=grisb] \grestore }
\psframe[linewidth=.25pt,fillstyle=vlines,hatchwidth=.1\pslinewidth, hatchsep=2\pslinewidth,hatchcolor=mauve,fillcolor=grisb,linecolor=prune,linestyle=dashed](0,0)(1,1)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{->}(0,0)(-2.4,-1.8)(3.8,3.5)
\psaxes[linewidth=1pt,linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](3.8,0){$x$} \uput[dl](0,3.5){$y$}
\rput(.5,-.3){\red{$\vec i$}} \uput[l](0,.5){\red{$\vec j$}}
\uput[d](1,0){\footnotesize{$I$}} \uput[l](0,1){\footnotesize{$J$}}  \uput[r](1,1){\footnotesize{$K$}} 
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-1.2,0)(-1.2,2.878)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](2.4,0)(2.4,2.451)
\uput[d](-1.2,0){\footnotesize{\prune $a$}}
\uput[d](2.4,0){\footnotesize{\prune $b$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-2}{3}{\f}
 \uput[ur](3,-1.8){\bleu $\mathcal{C}_f$}
  \rput(.5,.5){\bleu {1 u.a}}
\end{pspicture}
\end{center}

\textsf {\textsc{\small{remarques}}}

 \medskip
\begin{itemize}
 \item $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x$ se lit \og intégrale de $a$ à $b$ de $f(x)\dd x$ \fg{} ou encore   \og somme de $a$ à $b$ de $f(x)\dd x$ \fg .
 \item Les réels $a$ et $b$ sont appelés les bornes de l'intégrale $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x$.
\item La variable $x$ est dite \og muette \fg{}, elle n'intervient pas dans le résultat. C'est à dire qu'on peut la remplacer par n'importe quelle autre variable distincte des lettres $a$ et $b$ :$\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x =\displaystyle\int_{a}^{b}f(t)\dd t =\displaystyle\int_{a}^{b}f(u)\dd u$
\item $\displaystyle\int_{a}^{a}f(x)\dd x = 0$, car le domaine $\mathcal{D}_f$ est alors réduit à un segment.
 \end{itemize} 

\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemples}}}


\begin{minipage}{11cm}%
\begin{enumerate}
\item 

Calculons $\displaystyle\int_{-1}^{4} \left(-0,4x+3,6\right)\dd x$.

La fonction affine $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)= -0,4x+3,6$ est continue et positive sur l'intervalle $[-1 ; 4]$

L'intégrale $\displaystyle\int_{-1}^{4} \left(-0,4x+3,6\right)\dd x$ est égale à l'aire du trapèze $ABCD$.
\begin{eqnarray*} \displaystyle\int_{-1}^{4} \left(-0,4x+3,6\right)\dd x  &=& \dfrac{\left( AD + BC\right)\times AB}{2}\\
 &=&\dfrac{\left( 4 + 2\right)\times 5}{2}\\
 &=&15 \\
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill\begin{minipage}{5.6cm} %
\begin{flushright}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(5,5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\newrgbcolor{mauve}{.92 .84 .98}
\def\f{-2*x/5+18/5}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{-1}{4}{\f} \gsave
\psline(4,0)(-1,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=grisb] \grestore }
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-1)(5,5)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1.99,-.99)(5,5)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{O}}
\uput[dl](5,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-2}{5}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-1, 0)(-1,4)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](4, 0)(4,2)
\uput[ul](-1,0){\footnotesize{\prune $A$}}
\uput[ur](4,0){\footnotesize{\prune $B$}}
\uput[ur](4,2){\footnotesize{\prune $C$}}
\uput[ul](-1,4){\footnotesize{\prune $D$}}
 \uput[u](1.5,3){\bleu $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)=\dfrac{6}{x^2-4x+7}$ dont la courbe $\mathcal{C}_f$ est représentée ci-dessous.  Déterminer un encadrement de l'intégrale  $\displaystyle\int_{-1}^{3} f(x) \dd x$.
\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-.25)(4,2.5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\newrgbcolor{jauneclair}{1 .97 .78}
\def\f{6/(x^2-4*x+7)}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=jauneclair,linewidth=0.75pt, linecolor=prune](-1,0)(-1,.75)(-.25,.75)(-.25,1)(0.25,1)(0.25,1.25)(.5,1.25)(.5,1.5)(1,1.5)(1,1.75)(1.25,1.75)(1.25,2)(2.75,2)(2.75,1.75)(3,1.75)(3,0)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=grisb,linewidth=0.75pt, linecolor=prune](-1,0)(-1,.5)(0,.5)(0,.75)(.5,.75)(.5,1)(.75,1)(.75,1.25)(1,1.25)(1,1.5)(1.5,1.5)(1.5,1.75)(2.5,1.75)(2.5,1.5)(3,1.5)(3,0)
\psset{unit=.5cm}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-1)(16,10)
\psset{unit=2cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1.5,-.25)(4,2.5)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{O}}
\uput[dl](4,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,2.5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1.5}{4}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-1, 0)(-1,.5)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](3, 0)(3,1.5)
 \uput[ul](4,1){\bleu $\mathcal{C}_f$}

\end{pspicture}
\end{center}

Sur l'intervalle $[-1 ; 3]$, la fonction $f$ est continue et positive. L'intégrale  $\displaystyle\int_{-1}^{3} f(x) \dd x$ est égale à l'aire, en unités d'aire, du domaine  $\mathcal{D}_f$ compris entre la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=-1$ et $x=3$.

On peut déterminer un encadrement de l'intégrale  $\displaystyle\int_{-1}^{3} f(x) \dd x$ à l'aide du quadrillage. D'où l'encadrement \[\dfrac{75}{16} \leqslant \displaystyle\int_{-1}^{3} f(x) \dd x \leqslant 6\]
Un encadrement plus précis est obtenu à partir de trapèzes. Les droites $(MN)$ , $(NV)$ et $(VU)$ étant les tangentes respectives à la courbe $\mathcal{C}_f$ aux points d'abscisses $-1$, 1 et 3.
\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-.25)(4,2.5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\newrgbcolor{jauneclair}{1 .97 .78}
\def\f{6/(x^2-4*x+7)}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=jauneclair,linewidth=0.75pt, linecolor=prune](-1,0)(-1,.5)(1,1.5)(2,2.25)(3,1.5)(3,0)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=grisb,linewidth=0.75pt, linecolor=prune](-1,0)(-1,.5)(0,.75)(1,1.5)(2,2)(3,1.5)(3,0)
\psset{unit=.5cm}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-1)(16,10)
\psset{unit=2cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1.5,-.25)(4,2.5)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{O}}
\uput[dl](4,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,2.5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1.5}{4}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-1, 0)(-1,.5)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](3, 0)(3,1.5)
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=prune](1,0)(1,1.5)
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=prune](2,0)(2,2.25)
 \uput[ul](4,1){\bleu $\mathcal{C}_f$}
 \uput[ul](-1,0){\footnotesize{\prune $L$}}
\uput[ul](-1,.5){\footnotesize{\prune $M$}}
\uput[dr](0,.75){\footnotesize{\prune $N$}}
\uput[ul](1,0){\footnotesize{\prune $P$}}
\uput[ul](1,1.5){\footnotesize{\prune $Q$}}
\uput[ul](2,2){\footnotesize{\prune $R$}}
\uput[ul](2,0){\footnotesize{\prune $S$}}
\uput[ur](3,0){\footnotesize{\prune $T$}}
\uput[ur](3,1.5){\footnotesize{\prune $U$}}
\uput[ur](2,2.25){\footnotesize{\prune $V$}}
\end{pspicture}
\end{center}

L'aire du domaine $\mathcal{D}_f$ est comprise entre la somme des aires des trapèzes $LMN\mathrm{O}$, $N\mathrm{O}PQ$, $PQRS$ et $RSTU$ et, la somme des aires des trapèzes $LMPQ$, $PQVS$ et $VSTU$. Soit \[0,625 +1,25 +1,75 +1,75 \leqslant \displaystyle\int_{-1}^{3} f(x) \dd x \leqslant 2 +1,875++1,875 \iff 5,375 \leqslant \displaystyle\int_{-1}^{3} f(x) \dd x \leqslant 5,75 \]

Remarque :
\begin{itemize}
\item À l'aide de la calculatrice, on trouve $\displaystyle\int_{-1}^{3} \left(\dfrac{6}{x^2-4x+7}\right) \dd x \approx 5,44$.
\item À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on obtient  $\displaystyle\int_{-1}^{3} \left(\dfrac{6}{x^2-4x+7}\right) \dd x = \pi \sqrt{3}$.
\end{itemize}
\end{enumerate}

\subsection{Intégrale d'une fonction continue et négative}

Si $f$ est une fonction continue et négative sur un intervalle $[a;b]$ alors, la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[a;b]$ par $g=-f$ est une fonction continue et positive sur cet intervalle.

Par symétrie par rapport à l'axe des abscisses, l'aire du domaine $\mathcal{D}_f$ compris entre la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$ est égale à l'aire du domaine $\mathcal{D}_g$ compris entre la courbe $\mathcal{C}_g$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$.

\begin{center}
\psset{unit=1.6cm, yunit=.8cm}
\begin{pspicture}(-1.9,-3.5)(3.5,3.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\newrgbcolor{mauve}{.92 .84 .98}
\newrgbcolor{jauneclair}{1 .97 .78}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(49-8*x*(x^3-2*x^2-3*x+4))/27}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.5pt, linecolor=prune]{-1.2}{2.4}{\f} \gsave
\psline(2.4,0)(-1.2,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=jauneclair] \grestore }
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{-1.2}{2.4}{-\f} \gsave
\psline(2.4,0)(-1.2,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=grisb] \grestore }
\psframe[linewidth=.25pt,fillstyle=vlines,hatchwidth=.1\pslinewidth, hatchsep=2\pslinewidth,hatchcolor=mauve,fillcolor=grisb,linecolor=prune,linestyle=dashed](0,0)(1,1)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{->}(0,0)(-1.9,-3.5)(3.5,3.5)
\psaxes[linewidth=1pt,linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](3.5,0){$x$} \uput[dl](0,3.5){$y$}
\rput(.5,-.3){\red{$\vec i$}} \uput[l](0,.5){\red{$\vec j$}}
\uput[d](1,0){\footnotesize{$I$}} \uput[l](0,1){\footnotesize{$J$}}  \uput[r](1,1){\footnotesize{$K$}} 
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt](-1.2,-2.878)(-1.2,2.878)
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt](2.4,-2.451)(2.4,2.451)
\uput[dl](-1.2,0){\footnotesize{\prune $a$}}
\uput[dr](2.4,0){\footnotesize{\prune $b$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=prune]{-1.5}{2.7}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-1.5}{2.7}{-\f}
 \uput[ur](2.7,-1.7){\bleu $\mathcal{C}_f$}
 \uput[dr](2.7,1.7){\prune $\mathcal{C}_g$}
  \rput(.5,.5){\bleu {1 u.a}}
\end{pspicture}
\end{center}

\subsubsection{Définition}

\cadreR{%
Soit $f$ une fonction définie, continue et négative sur un intervalle $[a;b]$ et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal \Oij .

L'intégrale de la fonction $f$ entre $a$ et $b$ est égale à l'opposé de l'aire $\mathcal{A}$, exprimée en unités d'aire, du domaine  $\mathcal{D}_f$ compris entre la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$:\[\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x=-\mathcal{A}\]
}

\subsection{Lien entre intégrale et primitive}

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a;b]$. On peut définir une nouvelle fonction $F$ qui à tout réel $x$ de l'intervalle $[a;b]$, associe l'intégrale de $f$ entre $a$ et $x$ : $F(x)=\displaystyle\int_{a}^{x}f(t)\dd t$

\subsubsection{Théorème  \; \normalfont{(\emph{admis})}} 

\cadreR{%
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a;b]$.

La fonction $F$ définie sur $[a;b]$ par $F(x)=\displaystyle\int_{a}^{x}f(t)\dd t$ est dérivable sur $[a;b]$ et a pour dérivée $f$.
}
\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}

 \medskip
\begin{minipage}{10.5cm}

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[-1 ; 4]$ par $f(x)= -\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}$. 

Si $x$ est un réel de l'intervalle $[-1 ; 4]$, la fonction $F$ définie par 

$F(x)=\displaystyle\int_{-1}^{x} f(t)\dd t$ est égale à l'aire du trapèze colorié.

On a donc $F(x)= \dfrac{(3+(-0,5x+2,5))\times (x+1)}{2}=-\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{5x}{2}+\dfrac{11}{4}$

La fonction $F$ est dérivable sur $[-1 ; 4]$ et $F'(x)=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{5}{2}=f(x)$.
\end{minipage}\hfill\begin{minipage}{\linewidth-10.5cm}
\begin{flushright}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-.5)(4.5,3.5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\newrgbcolor{mauve}{.92 .84 .98}
\def\f{-.5*x+2.5}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{-1}{2.5}{\f} \gsave
\psline(2.5,0)(-1,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=grisb] \grestore }
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1.5,-.5)(4.5,3.5)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{O}}

\uput[d](2.5,0){\prune{$x$}}

\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1}{4}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt](-1, 0)(-1,3)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt](2.5, 0)(2.5,1.25)
 \uput[u](4,.5){\footnotesize{\bleu{$\mathcal{C}_f$}}}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{minipage}

\section{Intégrale d'une fonction continue}

\subsection{Définition}

\cadreR{%
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a;b]$ et $F$ une primitive de la fonction $f$ sur $[a;b]$.

L'intégrale de $f$ entre $a$ à $b$ est le nombre réel égal à $F(b)-F(a)$ :
\[\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x = F(b)-F(a)\]
}

\medskip

\textsf {\textsc{\small{remarques}}}

\medskip

\begin{itemize}
\item La différence  $F(b)-F(a)$ se note $\mathopen{\Bigl[}F(x)\mathclose{\Bigr]}_{a}^{b}$ ; ainsi  $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x = \Bigl[F(x)\Bigr]_{a}^{b}= F(b)-F(a)$.
\item Le choix de la primitive $F$ n'influe pas sur la valeur de l'intégrale. 
	
	En effet, si $G$ est une autre primitive de $f$ sur $I$, il existe un réel $k$ tel que $G(x) = F(x) +k$ d'où 	\[G(b) - G(a) = \left(F(b) +k \right)-\left(F(a)+k \right)=F(b)-F(a)\]		
	\item Si $f$ est une fonction continue et positive sur un intervalle $\left[ a ; b \right]$ alors l'intégrale 	$\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x=F(b)-F(a)$ est l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine compris entre la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$.
\end{itemize}

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}
\[\begin{split} 
\displaystyle\int_{1}^{\e} \left(x-\dfrac{1}{x}+\dfrac{\e}{x^2}\right) \dd x & = \left[\dfrac{x^2}{2}-\ln(x) -\dfrac{\e}{x}\right]_{1}^{\e} \\
&=\left(\dfrac{\e^2}{2}-\ln(\e) -\dfrac{\e}{\e}\right)-\left(\dfrac{1^2}{2}-\ln(1) -\dfrac{\e}{1}\right) \\
&=\dfrac{\e^2}{2}+\e-\dfrac{5}{2} \\
\end{split}
\]

\subsection{Premières propriétés}
	
\cadreR{%
	Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ de $\R$. Pour tout réel $a$ appartenant à $I$. 
	\[\displaystyle\int_{a}^{a}f(x)\dd x =0\]
	}

\medskip
	
	Preuve :
	
	Soit $F$ une primitive de $f$ sur $I$.
	\[\displaystyle\int_{a}^{a}f(x)\dd x =F(a)-F(a)=0\]
	
	
		\cadreR{%
	Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ de $\R$, $a$ et $b$ deux réels appartenant à $I$. 
	\[\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x =-\displaystyle\int_{b}^{a}f(x)\dd x\]
}
	
\medskip
	
		Preuve :
	
	Soit $F$ une primitive de $f$ sur $I$.
	\[\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x =F(b)-F(a) \qquad \text{et} \qquad \displaystyle\int_{b}^{a}f(x)\dd x =F(a)-F(b)\]

\section{Propriétés de l'intégrale}
		
\subsection{Positivité}

\cadreR{%
	Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$, $a$ et $b$ deux réels appartenant à $I$.

 Si $a \leqslant b$ et $f \geqslant 0$ sur l'intervalle $[a;b]$, alors $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x \geqslant 0$.
	
}
		
\dem
	
	Soit $F$ une primitive de $f$ sur $I$. Pour tout réel $x$ de l'intervalle $I$, $F'(x)=f(x)$.
	
	Or  $f \geqslant 0$ sur l'intervalle $[a;b]$ donc $F$ est croissante sur $[a;b]$. Par conséquent, si $a \leqslant b$, alors  $F(a) \leqslant F(b)$.
	
	On en déduit que $ F(b) -  F(a) \geqslant 0$ et $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x \geqslant 0$.
	
	\medskip
	
		\textbf{Attention la réciproque est fausse :}
		
		 Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=-x^2+3x+1$
		 \[\begin{split} 
\displaystyle\int_{-2}^{3} \left( -x^2+3x+1\right) \; \dd x & = \left[-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{3}{2} x^2+x\right]_{-2}^{3} \\
&=\left(-9 +\dfrac{27}{2} +3 \right)-\left(\dfrac{8}{3} +6 -2 \right)=\dfrac{5}{6}\\
\end{split}
\]
Ainsi  $\displaystyle\int_{-2}^{3} f(x) \dd x \geqslant 0$ mais $f(-1) = -3$.
		 
\medskip		 
	
	On démontre de manière analogue la propriété suivante :
	
\medskip
		 
\cadreB{
	Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$, $a$ et $b$ deux réels appartenant à $I$.
	
	Si $a \leqslant b$ et $f \leqslant 0$ sur l'intervalle $[a;b]$, alors $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x \leqslant 0$.	
}	

		\subsection{Linéarité}
		
			\cadreR{%
	Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$ de $\R$. Pour tous réels $a$ et $b$ appartenant à $I$, et pour tout réel $\alpha$ 
	\[\displaystyle\int_{a}^{b}\left({f(x)+g(x)}\right)\dd x = \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x + \displaystyle\int_{a}^{b}g(x)\dd x \qquad\text{ et }\qquad \displaystyle\int_{a}^{b} \alpha f(x)\dd x =\alpha \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x \]
}

\dem
 
\begin{enumerate}
	\item 	Si $F$ et $G$ sont deux primitives respectives des fonctions $f$ et $g$ sur $I$, alors $F+G$ est une primitive sur $I$ de la fonction $f+g$. \[\begin{split} 
\displaystyle\int_{a}^{b}\left({f(x)+g(x)}\right)\dd x & = \left(F(b)+G(b)\right)  -\left(F(a)+G(a)\right)\\
&=\left(F(b)-F(a)\right)  +\left(G(b)-G(a)\right)\\
&= \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x + \displaystyle\int_{a}^{b}g(x)\dd x\\
\end{split}
\]
\item Soit $F$ une primitive de $f$ sur $I$ et $\alpha$ un réel. \[\begin{split} 
\displaystyle\int_{a}^{b} kf(t)\dd t &=\alpha F(b)-\alpha F(a)\\
&=\alpha \left(F(b)-F(a)\right)\\
&= \alpha \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x \\
\end{split}
\]
\end{enumerate}

\subsection{Relation de Chasles}
	
\cadreR{%
	Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ de $\R$. Pour tous réels $a$, $b$ et $c$ appartenant à $I$ 
	\[\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x = \displaystyle\int_{a}^{c}f(x)\dd x + \displaystyle\int_{c}^{b}f(x)\dd x\]
}

\dem
 
 Soit $F$ une primitive de $f$ sur $I$. Pour tous réels $a$, $b$ et $c$ appartenant à $I$ 
	\[\begin{split} 
\displaystyle\int_{a}^{c} f(x)\dd x + \displaystyle\int_{c}^{b} f(x)\dd x&=\left(F(c)-F(a)\right)+\left(F(b)-F(c)\right)\\
&=F(b)-F(a)\\
&= \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x \\
\end{split}
\]


\begin{minipage}{10cm}
\textsf {\textsc{\small{interprétation graphique :}}}

\medskip
Dans le cas où $f$ est une fonction continue et positive sur $[a;b]$. 

L'aire du domaine compris entre la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$ est égale à la somme des aires du domaine compris entre la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=c$ et du domaine compris entre la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=c$ et $x=b$.
\end{minipage}\hfill\begin{minipage}{\linewidth-10.5cm}
\begin{flushright}
\psset{unit=.75cm}
\begin{pspicture}(-2.4,-.8)(6.6,3.6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\newrgbcolor{mauve}{.92 .84 .98}
\newrgbcolor{jauneclair}{1 .97 .78}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{12/(x^2-4*x+8)}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.5pt, linecolor=prune]{-2}{3.5}{\f} \gsave
\psline(3.5,0)(-2,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=jauneclair] \grestore }
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.5pt, linecolor=prune]{3.5}{5.3}{\f} \gsave
\psline(5.3,0)(3.5,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=grisb] \grestore }
\psframe[linewidth=.25pt,fillstyle=vlines,hatchwidth=.1\pslinewidth, hatchsep=2\pslinewidth,hatchcolor=mauve,fillcolor=grisb,linecolor=prune,linestyle=dashed](0,0)(1,1)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{->}(0,0)(-2.4,-.8)(6.6,3.6)
\psaxes[linewidth=1pt,linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](6.6,0){$x$} \uput[dl](0,3.5){$y$}
\rput(.5,-.3){\red{$\vec i$}} \uput[l](0,.5){\red{$\vec j$}}
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune](-2,0)(-2,.6)
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt](3.5,0)(3.5,1.92)
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune](5.3,0)(5.3,.806)
\uput[d](-2,0){\footnotesize{\prune $a$}}
\uput[d](3.5,0){\footnotesize{\prune $c$}}
\uput[d](5.3,0){\footnotesize{\prune $b$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-2.4}{6.6}{\f}
 \uput[ul](7,.45){\footnotesize{\bleu{$\mathcal{C}_f$}}}
  \rput(.5,.5){\footnotesize{\bleu{1 u.a}}}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{minipage}

\subsection{Ordre}
 
\cadreR{%
Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$, $a$ et $b$ deux réels appartenant à $I$ tels que $a \leqslant b$. 

Si pour tout réel $x$ appartenant à $\left[ a ; b \right]$, $f(x) \leqslant g(x)$, alors $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x \leqslant \displaystyle\int_{a}^{b}g(x)\dd x $	
}

\dem
 
Si pour tout réel $x$ appartenant à $\left[ a ; b \right]$, $f(x) \leqslant g(x)$, alors $f(x) - g(x) \leqslant 0$. Comme $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur $\left[ a ; b \right]$, la fonction $f-g$ est continue sur $\left[ a ; b \right]$.

Par conséquent, si  $a \leqslant b$ et $f-g \leqslant 0$ alors 	\[
\displaystyle\int_{a}^{b} (f-g)(x)\dd x \leqslant 0 \Leftrightarrow \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\dd x -  \displaystyle\int_{a}^{b} g(x)\dd x \leqslant 0
\]

\medskip
	
		\textbf{Attention la réciproque est fausse :}
		
		 Considérons les fonctions $f$ et $g$  définies sur $\R$ par $f(x)=4-x^2$ et $g(x)=x^2+x-2$.
		 \[\begin{split} 
\displaystyle\int_{-4}^{3} \left(4-x^2\right) \dd x & = \left[ 4x-\dfrac{x^3}{3}\right]_{-4}^{3} \\
&=\left(12-\dfrac{27}{3}\right)-\left(-16+\dfrac{64}{3}\right)  \\
&=-\dfrac{7}{3}\\
\displaystyle\int_{-4}^{3}\left( x^2+x-2\right) \dd x & = \left[ \dfrac{x^2}{3} + \dfrac{x^2}{2}-2x\right]_{-4}^{3} \\
&=\left(\dfrac{27}{3}+\dfrac{9}{2}-6\right)-\left(-\dfrac{64}{3}+\dfrac{16}{2}+8\right)\\
&=\dfrac{77}{6}
\end{split}
\]
\begin{minipage}{10cm}
Ainsi,  $\displaystyle\int_{-4}^{3} f(x) \dd x \leqslant \displaystyle\int_{-4}^{3} g(x) \dd x$ mais nous ne pouvons pas conclure que sur l'intervalle $[-4;3]$, $f(x) \leqslant g(x)$ comme on peut le constater sur le graphique ci-contre.
\end{minipage}\hfill\begin{minipage}{\linewidth-11cm}
\begin{flushright}
\psset{xunit=.5cm,yunit=.15cm}
\begin{pspicture}(-4.9,-14)(5,14)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\def\f{4-x^2}
\def\g{x^2+x-2}
\psline[linewidth=0.5pt, linecolor=red,linestyle=dashed](-4,-12)(-4,10)
\psline[linewidth=0.5pt, linecolor=red,linestyle=dashed](3,-5)(3,10)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=4]{->}(0,0)(-4.9,-14)(5,15)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](5,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,15){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-4.25}{4.25}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{-4.53}{3.53}{\g}
\uput[u](5,-14){\bleu $\mathcal{C}_{f}$}
\uput[dr](3.3,12){\prune $\mathcal{C}_{g}$}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{minipage}

		 
\section{Intégrale et moyenne}

\subsection{Inégalités de la moyenne}

\cadreR{%
Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $\left[ a ; b \right]$ de $\R$ ($a < b$ ). Soit $m$ et $M$ deux réels.

Si pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $\left[ a ; b \right]$, $m \leqslant f(x) \leqslant M$, alors :
\[m \times (b-a) \leqslant \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x \leqslant M \times (b-a)\] 
}

\dem
 
Les fonctions définies sur $\left[ a ; b \right]$ par $x \longmapsto m$ et $x \longmapsto M$ sont constantes donc continues.

Si pour tout réel $x$ appartenant à $\left[ a ; b \right]$ ($a < b$ ), $m \leqslant f(x) \leqslant M$, alors d'après la propriété de l'intégration d'une inégalité :
	\[\begin{split} 
\displaystyle\int_{a}^{b} m \;\dd x \leqslant \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\dd x \leqslant  \displaystyle\int_{a}^{b} M \;\dd x &\Leftrightarrow m\displaystyle\int_{a}^{b}  \dd x \leqslant \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\dd x \leqslant  M\displaystyle\int_{a}^{b} \dd x\\
&\Leftrightarrow m \times (b-a) \leqslant \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x \leqslant M \times (b-a)
\end{split}
\]

\medskip

\begin{minipage}{10cm}
\textsf {\textsc{\small{interprétation graphique :}}}

\medskip

Dans le cas où $f$ est une  fonction  continue et positive sur $[a;b]$

\medskip

L'aire du domaine compris entre la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$ est comprise entre les aires des rectangles $R_1$ et $R_2$ :

$R_1$ de côtés $m$ et $b-a$ ;

$R_2$ de côtés $M$ et $b-a$.
\end{minipage}\hfill\begin{minipage}{\linewidth-10.5cm}
\begin{flushright}
\psset{xunit=1cm,yunit=2cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-.25)(4.5,1.7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(4*x^3-5*x^2-16*x-11)*Euler^(-4-.5*x)+1}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{-1}{3.5}{\f} \gsave
\psline(3.5,0)(-1,0)(-1,.879)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=grisb] \grestore }
\psframe[linewidth=.5pt,linecolor=prune,fillstyle=vlines,hatchcolor=prune,hatchwidth=0.25pt,hatchsep=5pt](-1,0)(3.5,1.138)
\psframe[linewidth=.5pt,linecolor=prune,fillstyle=hlines,hatchcolor=prune,hatchwidth=0.25pt,hatchsep=5pt](-1,0)(3.5,.689)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-1.5,-.25)(4.5,1.7)
\psset{xunit=1cm,yunit=.5cm}
\psaxes[linewidth=1pt,linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\rput(.5,-.25){\red{$\vec i$}} \uput[l](0,.5){\red{$\vec j$}}
\psset{xunit=1cm,yunit=2cm}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](4.3,0){\footnotesize{$x$}} \uput[l](0,1.6){\footnotesize{$y$}}
\uput[d](-1,0){\red{\footnotesize{$a$}}} \uput[d](3.5,0){\red{\footnotesize{$b$}}} 
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-1.5}{4.5}{\f}
\uput[ul](4.5,1.3){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{C}_f$}}}
 \uput[l](0,.75){\bleu{\scriptsize{\textit{\textbf{m}}}}}
  \uput[l](0,1.25){\bleu{\scriptsize{\textit{\textbf{M}}}}}
    \uput[l](3,.4){\prune{\footnotesize{ $\mathbf{R_1}$}}}
        \uput[l](1.9,.9){\prune{\footnotesize{ $\mathbf{R_2}$}}}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{minipage}
 
\subsection{Valeur moyenne}

\cadreR{%
Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $\left[ a ; b \right]$ de $\R$ ($a < b$ ).

On appelle valeur moyenne de $f$ sur $\left[ a ; b \right]$ le réel $\mu = \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x$ 
}

\medskip

\begin{minipage}{10cm}
\textsf {\textsc{\small{interprétation graphique :}}}

\medskip

Dans le cas où $f$ est une  fonction  continue et positive sur $[a;b]$

\medskip

L'aire du domaine compris entre la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$ est égale à l'aire du rectangle de côtés $\mu$ et $b-a$.
\end{minipage}\hfill\begin{minipage}{\linewidth-10.5cm}
\begin{flushright}
\psset{xunit=.8cm,yunit=2cm}
\begin{pspicture}(-2,-.5)(5.5,1.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{1.5-(x^3-2*x^2-3*x+10)*Euler^(-2.3-.25*x)}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{-1}{4}{\f} \gsave
\psline(4,0)(-1,0)(-1,.879)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=grisb] \grestore }
\psframe[linewidth=.5pt,linecolor=prune,fillstyle=vlines,hatchcolor=prune,hatchwidth=0.25pt,hatchsep=5pt](-1,0)(4,.833573)
\psdot[linewidth=2pt,linecolor=prune,dotstyle=x](0,.833573)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-2,-.5)(5.5,1.5)
\psset{xunit=1cm,yunit=.5cm}
\psaxes[linewidth=1pt,linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\rput(.5,-.25){\red{$\vec i$}} \uput[l](0,.5){\red{$\vec j$}}
\psset{xunit=.8cm,yunit=2cm}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](5.3,0){\footnotesize{$x$}} \uput[l](0,1.4){\footnotesize{$y$}}
\uput[d](-1,0){\red{\footnotesize{$a$}}} \uput[d](4,0){\red{\footnotesize{$b$}}} 
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-1.8}{5}{\f}
\uput[r](4.8,-.4){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{C}_f$}}}
 \uput[l](0,.9){\prune{\footnotesize{$\mu$}}}
\end{pspicture} 
\end{flushright}
\end{minipage}
 
\newpage

\addcontentsline{toc}{section}{Exercices}

\exo

\medskip

\begin{enumerate}
\item La courbe $\mathcal{C}_f$ est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie sur $\R$.  

Déterminer un encadrement de l'intégrale  $\displaystyle\int_{-1}^{3} f(x) \dd x$.
\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-.25)(4,2.5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\newrgbcolor{jauneclair}{1 .97 .78}
\def\f{6/(x^2-4*x+7)}
%\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=jauneclair,linewidth=0.75pt, linecolor=prune](-1,0)(-1,.75)(-.25,.75)(-.25,1)(0.25,1)(0.25,1.25)(.5,1.25)(.5,1.5)(1,1.5)(1,1.75)(1.25,1.75)(1.25,2)(2.75,2)(2.75,1.75)(3,1.75)(3,0)
%\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=grisb,linewidth=0.75pt, linecolor=prune](-1,0)(-1,.5)(0,.5)(0,.75)(.5,.75)(.5,1)(.75,1)(.75,1.25)(1,1.25)(1,1.5)(1.5,1.5)(1.5,1.75)(2.5,1.75)(2.5,1.5)(3,1.5)(3,0)
\psset{unit=.5cm}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-1)(16,10)
\psset{unit=2cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1.5,-.25)(4,2.5)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{O}}
\uput[dl](4,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,2.5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1.5}{4}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-1, 0)(-1,.5)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](3, 0)(3,1.5)
 \uput[ul](4,1){\bleu $\mathcal{C}_f$}

\end{pspicture}
\end{center}


\item La fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ par $f(x)=\dfrac{6}{x^2-4x+7}$.  

À l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement au centième près, de l'intégrale  $\displaystyle\int_{-1}^{3} f(x) \dd x$.
\end{enumerate}


\bigskip
\exo

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij d'unité graphique 1~cm. $a$ et $b$ sont deux réels tels que $a <b$.

Dans chaque cas, on considère une fonction $f$ définie et positive sur l'intervalle $[a;b]$.

$\mathcal{C}_f$ désigne la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère \Oij et $\mathcal{D}_f$ le domaine compris entre la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$.

\medskip

\textsf {\textsc{\small{fonction constante :}}}

\medskip

Soit $c$ un réel positif. $f$ est la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=c$.
	
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}m{11cm} >{\raggedleft \arraybackslash}X@{}}
\begin{enumerate}
	\item Exprimer en fonction de $a$ et de $b$ l'aire en $\text{cm}^2$ du domaine $\mathcal{D}_f$.
	\item On considère la fonction $F$ qui à tout réel $x$ de l'intervalle $[a;b]$, associe l'aire $\mathcal{A}_x$ du domaine  hachuré.
	\begin{enumerate}
	\item Donner une expression de $F$ en fonction de $x$.
	\item Calculer $F'(x)$ où $F'$ est la dérivée de la fonction $F$ sur $[a;b]$
	\item Calculer $F(b) - F(a)$. Que constate-t-on ?
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}
&
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(11,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psframe[linewidth=.25pt,linecolor=grisb,fillstyle=solid,fillcolor=grisb](2.4,0)(8.6,3.6)
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-1)(11,5)
\psset{unit=1cm}
\psframe[linewidth=.25pt,linecolor=grisb,fillstyle=vlines,hatchcolor=prune,hatchwidth=0.25pt,hatchsep=5pt](1.2,0)(2.4,1.8)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-.5,-.5)(5.5,2.5)
\psaxes[linewidth=1pt,linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\rput(.5,-.25){\red{$\vec i$}} \uput[l](0,.5){\red{$\vec j$}}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](1.2,0){\red{\footnotesize{$a$}}} \uput[d](4.3,0){\red{\footnotesize{$b$}}} 
\uput[d](2.4,0){\footnotesize{\prune{$x$}}} 
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](1.2,0)(1.2,1.8)
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt](2.4,0)(2.4,1.8)
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](4.3,0)(4.3,1.8)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=bleu](-.5,1.8)(5.5,1.8)
\uput[u](5,1.8){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{C}_f$}}}
  \uput[ul](0,1.8){\bleu{\footnotesize{$c$}}}
    \uput[ur](2.6,.6){\prune{\footnotesize{$\mathcal{D}_f$}}}
\end{pspicture}
 \end{tabularx}
 
\medskip

\textsf {\textsc{\small{fonction affine :}}}

\medskip

$f$ est une fonction affine définie sur $\R$ par $f(x)=mx+p$ où $m$ et $p$ sont des réels fixés avec $m$ non nul. $f$ est supposée positive sur $[a;b]$.
	
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}m{11cm} >{\raggedleft \arraybackslash}X@{}}
\begin{enumerate}
	\item Exprimer en fonction de $a$ et de $b$ l'aire en $\text{cm}^2$ du domaine $\mathcal{D}_f$.
	\item On considère la fonction $F$ qui à tout réel $x$ de l'intervalle $[a;b]$, associe l'aire $\mathcal{A}_x$ du domaine  hachuré.
	\begin{enumerate}
	\item Donner une expression de $F$ en fonction de $x$.
	\item Calculer $F'(x)$ où $F'$ est la dérivée de la fonction $F$ sur $[a;b]$
	\item Calculer $F(b) - F(a)$. Que constate-t-on ?
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}
&
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(11,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\pspolygon[linewidth=.25pt,linecolor=grisb,fillstyle=solid,fillcolor=grisb](2.4,0)(2.4,2.16)(8.6,4.64)(8.6,0)
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-1)(11,6)
\psset{unit=1cm}
\pspolygon[linewidth=.25pt,linecolor=grisb,fillstyle=vlines,hatchcolor=prune,hatchwidth=0.25pt,hatchsep=5pt](1.2,0)(1.2,1.08)(2.4,1.56)(2.4,0)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-.5,-.5)(5.5,3)
\psaxes[linewidth=1pt,linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\rput(.5,-.25){\red{$\vec i$}} \uput[l](0,.5){\red{$\vec j$}}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](1.2,0){\red{\footnotesize{$a$}}} \uput[d](4.3,0){\red{\footnotesize{$b$}}} 
\uput[d](2.4,0){\footnotesize{\prune{$x$}}}
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](1.2,0)(1.2,1.08)
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt](2.4,0)(2.4,1.56)(0,1.56)
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](4.3,0)(4.3,2.32) 
\psline[linewidth=1pt,linecolor=bleu](-.5,.4)(5.5,2.8)
\uput[ul](5,2.5){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{C}_f$}}}
\uput[ur](2.6,.6){\prune{\footnotesize{$\mathcal{D}_f$}}}
\end{pspicture}
 \end{tabularx} 

\bigskip

\exo

 \medskip 

La courbe $\mathcal{C}_f$ tracée ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$. 

La tangente $T$  à la courbe  $\mathcal{C}_f$ au point $A$ passe par le point de coordonnées $(4 ; 3)$.

On note $f'$ la dérivée de la fonction fonction $f$ et $F$ une primitive de la fonction fonction $f$.
	
	\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-5,-3.5)(7,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.85 .85 .9}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(x+1)^2*(5-x)/12}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{-1}{5}{\f} \gsave
\psline(4,0)(1,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=grisb,addfillstyle=vlines,hatchcolor=bleu,hatchwidth=0.5pt] \grestore }
\psset{unit=.5cm}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-10,-7)(14,8)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-5,-3.5)(7,4)
\uput[dl](7,0){$x$} \uput[dl](0,4){$y$}
\uput[dl](0,0){0}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-3.391}{5.885}{\f}
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=prune]{<->}(2,2.67)(4,2.67)
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=prune]{<->}(3.7,3.9)(6.1,-3.3)
\uput[ur](5,0){\bleu{$A$}}
\psdot[linecolor=bleu,dotscale=.8](5,0)
\uput[dr](-4,4){\small{\bleu{$C_{f}$}}}
\uput[dr](4,4){\small{\prune{$T$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

	\begin{enumerate}
	\item  Déterminer $f'(3)$ et $f'(5)$.
		\item Donner le tableau de variations de la fonction $F$.
		\item Donner un encadrement de l'intégrale $\displaystyle\int_{-1}^{5}  f(x)  \:\dd x$.
		\item Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f'$ et une autre celle de la fonction $F$. 
\begin{enumerate}
		\item Déterminer la courbe associée à la fonction $f'$ et celle qui est associée à  la fonction $F$. 

\begin{center}
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-6,-6)(12,4)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-6)(12,4)
\psset{unit=.8cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-3)(6,2)
\uput[dl](6,0){$x$} \uput[dl](0,2){$y$}
\uput[dl](0,0){0}
\def\g{.25*(3-x)*(x+1)}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1pt, linecolor=prune]{-3}{5}{\g}
\uput[ur](2.5,.5){\small{\prune{$C_1$}}}
\end{pspicture}\hfill
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-6,-4)(12,6)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-4)(12,6)
\psset{xunit=.8cm,yunit=.4cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=2]{->}(0,0)(-3,-4)(6,6)
\uput[dl](6,0){$x$} \uput[dl](0,6){$y$}
\uput[dl](0,0){0}
\def\g{(x-3)^2*(-1-x)/8}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1pt, linecolor=prune]{-2.55}{5.26}{\g}
\uput[ur](5,-3){\small{\prune{$C_2$}}}
\end{pspicture}

\medskip

\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-8,-7)(16,6)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-8,-7)(16,6)
\psset{xunit=.8cm,yunit=.4cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=2]{->}(0,0)(-4,-7)(8,6)
\uput[dl](8,0){$x$} \uput[dl](0,6){$y$}
\uput[dl](0,0){0}
\def\g{(4*x^3+18*x^2+20*x-x^4-233)/48}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1pt, linecolor=prune]{-3.11}{7.17}{\g}
\uput[ur](7,-5){\small{\prune{$C_3$}}}
\end{pspicture}
\end{center}
\item En déduire la valeur exacte de l'aire du domaine colorié. 
\end{enumerate}	
\end{enumerate}	

 \bigskip 
 
 \exo

 \medskip 

Calculer la valeur exacte de chacune des intégrales suivantes :

\begin{enumerate}
\item $A =\displaystyle \int_{-1}^{2} \left( x^2-3x+1 \right) \:\dd x$
\item $B =\displaystyle \int_{2}^{6} \left( \dfrac{x^2}{2}-\dfrac{2}{x^2}-1 \right) \:\dd x$
\item $C =\displaystyle\int_{-2}^{1}  2 \e^{2x+1}  \:\dd x$
\item $D =\displaystyle \int_{0}^{\ln 2}  2\e^x \times \left(\e^x+1\right) \:\dd x$
\item $E =\displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^{2}   \dfrac{\ln x}{x}  \:\dd x$ 
\item $F =\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}   \cos t  \:\dd t$ 
\item $G =\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}   \sin t  \:\dd t$ 
\item $H =\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}   \sin \left(2t +\pi \right) \:\dd t$ 
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'intégrale $\displaystyle\int_{-2}^{2} \e^x - \e^{-x} \:\dd x$. 
\item Peut-on en déduire que la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x) = \e^x - \e^{-x}$ est constante sur l'intervalle $[-2;2]$ ?
\end{enumerate}
	
 \bigskip 
  
 \exo

 \medskip 

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0;9]$ par $f(x)= 3x -\dfrac{x^2}{3}$ et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal. 

 \begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(20,8)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x*(9-x)/3}
\psset{xunit=1cm, yunit =.5cm}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{0}{6.75}{\f} \gsave
\psline(6.75,0)(0,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=grisb] \grestore }
\psset{unit=.5cm}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(20,8)
\psset{xunit=1cm, yunit =.5cm}
\pspolygon[linewidth=.75pt, linecolor=prune,fillstyle=vlines,hatchcolor=prune,hatchwidth=.25pt,hatchsep=6pt,fillcolor=grisb](0,0)(6.75,5.0625)(6.75,0)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=2]{->}(0,0)(10,8)
\uput[dl](10,0){$x$} \uput[dl](0,8){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=300,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{9}{\f}
\uput[ur](9,0){\small{\bleu{$C_{f}$}}}
\uput[d](6.75,0){\small{\prune{$a$}}}
\uput[u](6.75,5.1){\small{\bleu{$M$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

L'objet de cet exercice est de déterminer l'abscisse $a$ du point $M$ de la parabole $\mathcal{C}_f$ telle que l'aire du triangle hachuré soit égale à la moitié de l'aire du domaine délimité par la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=0$  et  $x = a$.

\begin{enumerate}
	\item Quelle est l'ordonnée du point $M$ de la parabole $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $a$ ? En déduire l'aire $T$ en fonction de $a$ du triangle hachuré.
	\item Exprimer l'aire $A$ en fonction de $a$ du domaine délimité par la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=0$  et  $x = a$.
	\item Déterminer $a$ pour que $A=2T$.
\end{enumerate}

 \bigskip 


\exo

 \medskip 


La courbe $\mathcal{C}_{f}$  tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthogonal est la courbe représentative d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$.

La droite $T$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse 0.
 
\medskip
 
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-4)(12,5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.85 .85 .9}
\def\f{4*x*EXP(-.4*x)}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{0}{5}{\f} \gsave
\psline(5,0)(0,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=grisb,addfillstyle=hlines,hatchcolor=bleu,hatchwidth=0.5pt] \grestore }
\psset{unit=.5cm}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-3,-8)(24,10)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1.5,-4)(12,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}} \uput[dl](12,0){$x$} \uput[dl](0,5){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=600,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-.743}{12}{\f}
\uput[ul](12,0.5){\bleu{$\mathcal{C}_{f}$}}
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=prune](-1,-4)(1.25,5)
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=bleu](5,0)(5,2.706)
\uput[dr](1.5,5){\prune{$T$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}} - Lecture graphique}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Par lecture graphique, déterminer $f'(0)$.
\item Soit $F$ une primitive de $f$. Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumii}{\textsf {\textsc{proposition \theenumii :}}}
\item Sur l'intervalle $[5 ; + \infty[$, la fonction $F$ est croissante. 
\item $F(-1) \leqslant F(0)$.
\item $12 \leqslant F(5) - F(0) \leqslant 18$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}} - Calcul d'aire}

\medskip

La fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ par $f(x) = 4x\e^{-0,4x}$.  


\begin{enumerate}
 \item On cherche une primitive $F$ de la fonction $f$ de la forme $F(x) = (ax+b)\e^{-0,4x}$ avec $a$ et $b$ deux nombres réels.
 \begin{enumerate}
 \item Montrer que $a$ et $b$ sont solutions du système d'équations suivant : $\left\{\begin{array}{r c l}
-0,4 a&=&4\\
a -0,4b&=&0\\
\end{array}\right.$ 	
 \item Calculer $a$ et $b$ et donner l'expression de $F(x)$.
	\end{enumerate}  
\item  On note $A$ l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine colorié sur le graphique.
  Déterminer la valeur exacte de $A$.	
 
\end{enumerate}

 \bigskip 

\exo

 \medskip 


La courbe $\mathcal{C}_f$ tracée ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$. 

La tangente $T$  à la courbe  $\mathcal{C}_f$ au point $C(6 ; 0)$ passe par le point de coordonnées $(5 ; 2)$
	
	\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,-3.5)(8,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{2*(6-x)*(x^2+3*x+9)/63}
\def\g{12-2*x}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{0}{6}{\f} \gsave
\psline(0,0)
\fill[fillstyle=hlines,hatchcolor=bleu,hatchwidth=.25pt] \grestore }
\psset{unit=.5cm}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-8,-7)(16,8)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-4,-3.5)(8,4)
\uput[dl](8,0){$x$} \uput[dl](0,4){$y$}
\uput[dl](0,0){0}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3.93552}{7.30749}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt, linecolor=prune]{4.5}{7.5}{\g}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-1.8,1.55556)(-0.2,1.55556)\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](2.2,2.57143)(3.8,2.57143)
\uput[d](-1,1.5){\bleu{$A$}}\uput[u](3,2.5){\bleu{$B$}}\uput[ur](6,0){\bleu{$C$}}
\psdots[linecolor=bleu,dotscale=.8](-1,1.55556)(3,2.57143)(6,0)
\uput[dr](-3.5,4){\small{\bleu{$C_{f}$}}}
\uput[ur](7.5,-3){\small{\prune{$T$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

On note $f'$ la dérivée de la fonction fonction $f$ et $F$ une primitive de la fonction fonction $f$.

À partir du graphique et des renseignements fournis, répondre aux questions suivantes :
	\begin{enumerate}
	\item Déterminer $f'(-1)$ et $f'(6)$.
		\item Donner le tableau de variations de la fonction $F$. 
		\item Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la dérivée $f'$ et une autre de la primitive $F$. 
		
		Déterminer la courbe associée à la fonction $f'$ et celle qui est associée à  la fonction $F$. 
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}>{\centering\arraybackslash}X>{\centering}m{5cm}>{\centering\arraybackslash}X}
\psset{xunit=.45cm,yunit=.36cm}
\begin{pspicture}(-2,-6)(10,10)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-6)(10,10)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-2,-6)(10,10)
\uput[dl](10,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,10){\footnotesize{$y$}}
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\def\f{5*x^2/8-23*x/4+8}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-.335585}{9.53559}{\f}
\end{pspicture}&
\psset{xunit=.45cm,yunit=.48cm}
\begin{pspicture}(-4,-8)(6,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-4,-8)(6,4)
\psset{xunit=.45cm,yunit=1.92cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2]{->}(0,0)(-4,-2)(6,1)
\uput[dl](6,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,1){\footnotesize{$y$}}
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\def\f{2*(3-x)*(x+1)/21}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-4}{6}{\f}
\end{pspicture}&
\psset{xunit=.45cm,yunit=.36cm}
\begin{pspicture}(-2,-6)(10,10)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-6)(10,10)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-2,-6)(10,10)
\uput[dl](10,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,10){\footnotesize{$y$}}
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\def\f{(4*x^3+18*x^2+216*x-x^4-504)/126}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-1.24935}{9.0064}{\f}
\end{pspicture}\\
Courbe $C_1$ & Courbe $C_2$ & Courbe $C_3$\\ 
\end{tabularx}

\medskip

\item Donner une valeur approchée (en unité d'aire) de l'aire du domaine hachuré.
\end{enumerate}	


 \bigskip 

\exo \hfill (\emph{D'après sujet bac Antilles Guyane 2015})

 \medskip 


\begin{center}
\emph{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.}
\end{center}


Dans cet exercice, $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $]0 ; + \infty[$ par : \[f(x) = ax + b\ln (x) + 1\] où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.

$C_f$ est la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthonormé.

Les points $A$ et $E$ sont deux points de la courbe $C_f$.

Le point $A$ a pour coordonnées $(1 ; 2)$ et le point $E$ a pour abscisse 4.

La tangente à $C_f$ au point $E$ est horizontale.

\begin{center}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(26,22)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x-4*ln(x)+1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-2,-2)(26,22)
\psset{unit=1cm}
\pscustom[fillstyle=vlines,hatchwidth=.5pt,hatchcolor=prune,linewidth=.25pt,linecolor=bleu]{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=20]{1}{2}{\f}
\psline(2,0)(1,0)}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1,-1)(13,11)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](13,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,11){\footnotesize{$y$}}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](1,0)(1,2)\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](2,0)(2,.227)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(2.2,-.5452)(5.8,-.5452)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0.0838}{13}{\f}
\psdots[linecolor=prune,dotscale=.8](1,0)(1,2)(2,.227)(2,0)(4,-.5452)
\uput[ur](1,2){\footnotesize{\bleu $A$}} \uput[ul](1,0){\footnotesize{\bleu $B$}} \uput[dr](2,0){\footnotesize{\bleu $C$}} 
\uput[ur](2,0.22){\footnotesize{\bleu $D$}} \uput[d](4,-.55){\footnotesize{\bleu $E$}} \uput[ul](12.6,3.4){\bleu $C_f$} 
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Déterminer $f(1)$ et $f'(4)$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.
\item Calculer $f'(x)$ puis exprimer $f'(4)$ en fonction de $a$ et $b$.
\item Déterminer les valeurs de $a$ et $b$.
 \end{enumerate}
 
\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip
 
Soit la fonction $f$ définie sur $]0 ; + \infty[$ par : \[f(x) = x - 4\ln (x) + 1\]
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to 0}  f(x)$ en justifiant la réponse. Donner une interprétation graphique du résultat.
\item  Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}  f(x)$ en justifiant la réponse (on pourra factoriser l'expression de $f(x)$ par $x$).
\item  Calculer la dérivée $f'$ de $f$. En déduire le tableau des variations de $f$.
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie c}}}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}X>{\raggedleft}m{4cm}@{}}
Une entreprise fabrique des pièces de carrosserie de voiture.


La forme d'une pièce est donnée sur la figure ci-contre et correspond à la zone hachurée sur le graphique précédent.

On souhaite déterminer la mesure de l'aire de la pièce en unité d'aire.

Le point $D$ est le point de la courbe $C_f$ d'abscisse 2.

Les points $B$ et $C$ ont pour coordonnées respectives $(1 ; 0)$ et $(2 ; 0)$.
&
\psset{unit=.6cm}
\begin{pspicture}(1,-1)(5,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x-4*ln(x)+1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](1,-1)(5,5)
\psset{unit=1.2cm}
\pscustom[fillstyle=vlines,hatchwidth=.5pt,hatchcolor=prune,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=20]{1}{2}{\f}
\psline(2,0)(1,0)(1,2)}
\uput[ul](1,2){\footnotesize{\bleu $A$}} \uput[dl](1,0){\footnotesize{\bleu $B$}} \uput[dr](2,0){\footnotesize{\bleu $C$}} 
\uput[ur](2,0.22){\footnotesize{\bleu $D$}}
\end{pspicture}
\end{tabularx}


Soit la fonction $G$ définie sur $]0 ; + \infty[$ par : \[G(x) = x\ln (x) - x.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer la dérivée $G'$ de $G$.
\item En déduire une primitive $F$ de la fonction $f$ donnée dans la partie B sur $]0 ; + \infty[$.
\item Déterminer la valeur exacte de l'aire de la pièce en unité d'aire ; puis en donner une valeur arrondie à $10^{-2}$.
\end{enumerate} 


 \bigskip 

\exo \hfill (\emph{D'après sujet bac Nouvelle Calédonie 2015})

 \medskip 


Une entreprise fabriquant des planches de surf conçoit un nouveau modèle d'aileron. Cet aileron est composé de deux parties :
\begin{itemize}
\item la partie supérieure ou \og boîtier \fg{} permettant de fixer l'aileron à la planche,
\item la partie inférieure destinée à être immergée dans l'eau.
\end{itemize}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(.4,0)(3,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{4/x+4*ln(x)-4}
\pscustom[fillstyle=vlines,hatchwidth=.5pt,hatchcolor=prune,linewidth=.25pt,linecolor=prune]{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=20]{.45}{3}{\f}\gsave
\psline(3,1.72778)(.45,1.69486)\grestore}
\pspolygon[linewidth=0.75pt,linecolor=bleu](1.3,1.7)(1.3,2.5)(1,2.5)(1,2.7)(1.8,2.7)(1.8,2.5)(1.5,2.5)(1.5,1.7)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=300,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{0.45}{3}{\f}
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=bleu](3,1.72778)(.45,1.69486)
\end{pspicture}
\end{center}

Pour estimer la quantité de matière nécessaire à la fabrication de la partie inférieure de l'aileron, l'entreprise souhaite connaître le mieux possible l'aire A du domaine hachuré.

Pour modéliser le profil latéral de la partie inférieure on se place dans un repère
orthonormé avec une échelle de 1 carreau pour 10 cm et on se propose d'utiliser, pour
des abscisses comprises entre 0,45 et 3, la courbe $C_f$ représentative de la
fonction $f$ définie sur $]0 ; +\infty[ $ par : $f(x) = \dfrac{a}{x} + b + 4\ln(x)$ où $a$ et $b$ sont des 
constantes réelles qui restent à déterminer.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(4.5,3.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{4/x+4*ln(x)-3}

\multido{\n=0+1}{5}{\psline[linestyle=dotted](\n,0)(\n,3.5)}
\multido{\n=0+1}{4}{\psline[linestyle=dotted](0,\n)(4.5,\n)}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(4.5,3.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[d](.45,0){\footnotesize{0,45}}\uput[dl](4.5,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,3.5){\footnotesize{$y$}}
\pscustom[fillstyle=vlines,hatchwidth=.5pt,hatchcolor=prune,linewidth=.25pt,linecolor=prune]{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=20]{.45}{3}{\f}\gsave
\psline(3,2.72778)(.45,2.69486)\grestore}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{0.45}{3}{\f}
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=bleu](3,2.72778)(.45,2.69486)
\psline[linewidth=.75pt,linecolor=prune,linestyle=dashed](.45,0)(.45,2.69486)
\psline[linewidth=.75pt,linecolor=prune,linestyle=dashed](3,0)(3,2.72778)
\uput[r](2.2,1.8){\bleu $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Évaluer l'aire A en nombre entier de carreaux en expliquant votre démarche.
\item Déterminer graphiquement les valeurs de $f(1)$ et de $f'(1)$.
\item Vérifier que le choix de $a = 4$ et $b = - 3$ répond au problème posé.
\item Soit la fonction $F$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par $F(x) = (4x + 4) \ln(x) - 7x$.

Montrer que $F$ est une primitive de $f$.
\item Déterminer en $\mathrm{cm}^2$ près une valeur approchée de l'aire A.
\end{enumerate}


 \bigskip 

\exo \hfill (\emph{D'après sujet bac Antilles Guyane 2016})

 \medskip 


Sur le graphique ci-dessous, $\mathcal{C}$ est la courbe représentative, dans le repère orthonormé $\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j} \right)$, d'une fonction $f$ définie sur $\R$.

 \begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(30,12)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{(x-1)*EXP(2.5-x)}
\def\g{-.5*x+2.75}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-3)(30,12)
\psset{unit=2cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.75,-.75)(7.5,3)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}\uput[dl](7.5,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,3){\footnotesize{$y$}}
\psaxes[labels=none,linewidth=1.5pt,linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](.5,0){\red{$\vec i$}} \uput[l](0,.5){\red{$\vec j$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{.85521}{7.5}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt, linecolor=prune]{-.5}{7}{\g}
\psdot[linecolor=bleu](2.5,1.5)
\uput[u](1.2,1){\bleu{$\mathcal{C}$}}\uput[ur](2.5,1.5){\bleu{$A$}}\uput[ur](1,2.25){\prune{$T$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textsf{\textbf{\textsc{partie a - }} Étude graphique}

\medskip 

La droite $T$ est tangente à $\mathcal{C}$ au point $A(2,5 ; 1,5)$ et d'ordonnée à l'origine 2,75.


L'axe des abscisses est asymptote horizontale à $\mathcal{C}$ au voisinage de $+ \infty$.

Déterminer graphiquement et indiquer sur votre copie :

\begin{enumerate}
\item $f(1)$ ;
\item $f'(2,5)$ ;
\item Une équation de la tangente $T$ ;
\item $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)$.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf{\textbf{\textsc{partie b - }} Modélisation}

\medskip 

On admet qu'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que pour tout réel $x$, $f(x) = (ax + b)\e^{-x+2,5}$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$.
\item Exprimer en fonction des réels $a$ et $b$ les nombres suivants $f(1)$ ; $f'(2,5)$.
\item Déduire des questions précédentes un système d'équations vérifiées par $a$ et $b$.
\item Résoudre ce système et en déduire l'expression de $f(x)$ en fonction de $x$.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf{\textbf{\textsc{partie c - }} Étude algébrique}

\medskip 

On admet que pour tout réel $x$,  $f(x) =(x-1)\e^{-x+2,5}$.

\begin{enumerate}
\item  Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$.
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $x$,  $f(x) = \e^{2,5}\left(\dfrac{x}{\e^x} - \dfrac{1}{\e^x} \right)$.
\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$
\end{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$.
\item Étudier le signe de $f'$ et en déduire le tableau des variations de la fonction $f$ en faisant figurer les limites trouvées précédemment.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf{\textbf{\textsc{partie d - }} Application}

\medskip 

\parbox{0.75\linewidth}{On souhaite déterminer l'aire $S$ en unité d'aire de la surface d'une des faces principales du boîtier plastique de l'appareil auditif schématisé ci-contre.

Une modélisation mathématique a permis de représenter cette surface.}
\hfill \parbox{0.2\linewidth}{
\begin{flushright}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(.3,.3)(2,2.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\def\f{(x-1)*EXP(2.5-x)}
\def\g{-2*x^2 + 12*x - 16}
\psset{linewidth=1.25pt, linecolor=bleu}
\ThreeDput[normal=1 0 0](-.2,-.2,0){
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{1.02}{2.74}{\f}
\pnode(1.02,.087859){A}
}
\ThreeDput[normal=1 0 0](0,0,0){
\pscustom[linewidth=1.25pt, linecolor=bleu,fillstyle=solid,fillcolor=grisb]{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100]{1}{2.5}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100]{2.5}{2}{\g}
\psline(2,0)(1,0)}
\pnode(1,0){B}}
\ncline{A}{B}
\end{pspicture}
\end{flushright}
}

Dans le plan muni du repère orthonormé $\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j} \right)$ cette surface correspond à la partie du plan limitée par :
\begin{itemize}
\item l'axe des abscisses ;
\item les droites d'équations $x = 1$ et $x = 2,5$ ;
\item la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ étudiée précédemment ;
\item la courbe représentative $\mathcal{C}_g$ de la fonction $g$ définie par : \[\text{pour tout réel }x ,\; g(x) = -2x^2 + 12x - 16.\]
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Sur l'annexe fournie, hachurer la surface décrite précédemment.
\end{enumerate}
Pour déterminer l'aire $S$ de cette surface, on décompose le calcul en deux parties.
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item Calculer la valeur exacte de l'intégrale suivante :  $I=\displaystyle\int_2 ^{2,5} g(x) \dd x$.
\item on souhaite calculer la valeur exacte de l'intégrale suivante : $J=\displaystyle\int_1 ^{2,5} f(x) \dd x$ où $f$ est la fonction dont une expression est donnée dans la partie C.
\begin{enumerate}
\item Vérifier qu'une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $\R$ est la fonction définie par : \[\text{pour tout réel }x ,\;  F(x) = -x\e^{-x+2,5}.\]
\item En déduire la valeur exacte de l'intégrale $J$.
\end{enumerate}
\item Déterminer la valeur exacte de l'aire $S$ en unité d'aire.
\item En déduire la valeur arrondie à $10^{-2}$ de l'aire $S$ en unité d'aire.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(30,16)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{(x-1)*EXP(2.5-x)}
\def\g{-2*x^2 + 12*x - 16}
\rput(13.5,15){\textsf{\textbf{\textsc{annexe}}}}
\rput(13.5,14){\textsf{\emph{À rendre avec la copie}}}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-3)(30,12)
\psset{unit=2cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.75,-.75)(7.5,3)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}\uput[dl](7.5,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,3){\footnotesize{$y$}}
\psaxes[labels=none,linewidth=1.5pt,linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](.5,0){\red{$\vec i$}} \uput[l](0,.5){\red{$\vec j$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{.85521}{7.5}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{1.8274}{4.1726}{\g}
\psdot[linecolor=bleu](2.5,1.5)
\uput[u](1.2,1){\bleu{$\mathcal{C}$}}\uput[ul](2.5,1.5){\bleu{$A$}}\uput[ur](3.5,1.5){\prune{$\mathcal{C}_g$}}
\end{pspicture}
\end{center}

 \bigskip 

\exo \hfill (\emph{D'après sujet bac France Métropolitaine, La Réunion septembre 2015})

 \medskip 


\emph{\og Avec une centaine de décès en moyenne par an, le monoxyde de carbone (CO) est la première cause de mortalité accidentelle par intoxication en France. [\ldots] Pourtant certains symptômes annonciateurs d'une intoxication au monoxyde de carbone existent. Maux de tête, nausées et vomissements sont notamment les premiers signes qui doivent alerter. Bien identifiés, ils permettent de réagir rapidement et d'éviter le pire.\fg}

\begin{flushright}
Source Ministère des Affaires Sociales et de la Santé. (octobre 2012)
\end{flushright}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{document 1}}}

\medskip

\fbox{\begin{minipage}{\linewidth}
La société COalerte fabrique un modèle de détecteurs qui enregistre en temps réel la concentration de monoxyde de carbone en parties par million (ppm).

Un tel détecteur produit un signal d'alarme respectant les modalités fixées par la norme européenne EN 50 291 ci-dessous.

Il déclenche un signal d'alarme :

\begin{itemize}
\item si la concentration est supérieure à 30 ppm pendant au moins 120 minutes ;
\item si la concentration est supérieure à 50 ppm pendant au moins 60 minutes ;
\item si la concentration est supérieure à 100 ppm pendant au moins 10 minutes ;
\item si la concentration est supérieure à 300 ppm pendant au moins 3 minutes.
\end{itemize}
\end{minipage}
}

\bigskip
\fbox{\begin{minipage}{\linewidth}
 
\textsf {\textbf{\textsc{document 2}}}

\medskip

\begin{center}

\textbf{Symptômes et effets sur la santé du monoxyde de carbone}

\begin{pspicture}(0,-1)(11.5,10)
\newrgbcolor{violetF}{0.29 0 .51}
\newrgbcolor{violetC}{0.67 0.58 1}
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=gradient,gradbegin=lightgray,gradend=darkgray,gradmidpoint=0](2.6,-.5)(2.9,-.3)(2.9,8)(2.9,8)(3,8)(3.3,8.2)(2.3,9.7)(2,9.5)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=gradient,gradbegin=violetC,gradend=violetF,gradmidpoint=0,gradlines=1000](1.4,-.5)(2.6,-.5)(2.6,8)(3,8)(2,9.5)(1,8)(1.4,8)(1.4,-.5)
\rput{90}(0.3,4.5){\textsf {\textbf{Niveaux croissants de CO}}}
\rput{90}(.8,4.5){\textsf {\textbf{dans l'air ambiant (en ppm)}}}
\psset{yunit=1.25cm}
\multido{\n=0+1}{8}{\psline[linewidth=.5pt](2.9,\n)(3.7,\n)}
\multido{\n=0+1}{3}{\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=white](1.4,\n)(1.7,\n)\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=white](2.3,\n)(2.6,\n)}
\multido{\n=3+1}{3}{\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=white](1.4,\n)(1.65,\n)\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=white](2.35,\n)(2.6,\n)}
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=white](1.4,6)(1.6,6)\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=white](2.4,6)(2.6,6)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=white](1.5,7)(1.6,7)\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=white](2.4,7)(2.5,7)
\rput(2,0){\textbf{\white{10}}}\rput(2,1){\textbf{\white{20}}}\rput(2,2){\textbf{\white{40}}}\rput(2,3){\textbf{\white{100}}}\rput(2,4){\textbf{\white{200}}}\rput(2,5){\textbf{\white{400}}}\rput(2,6){\textbf{\white{1000}}}\rput(2,7){\textbf{\white{2000}}}
\uput[r](3.8,0){Pas de symptôme}
\uput[r](3.8,1.3){\violetF{Troubles du rythme cardiaque ressentis}}
\uput[r](3.8,1){\violetF{chez les personnes les plus sensibles,}}
\uput[r](3.8,.7){\violetF{souffrant de coronaropathie}}
\uput[r](3.8,2){Céphalées et nausées chez les enfants}
\uput[r](3.8,3.15){\violetF{Céphalées occasionnelles,}}
\uput[r](3.8,2.85){\violetF{souffle court lors d'un exercice}}
\uput[r](3.8,4.15){Céphalées, vertiges, baisse de l'acuité visuelle,}
\uput[r](3.8,3.85){irritabilité chez l'adulte et syncope chez l'enfant}
\uput[r](3.8,5.15){\violetF{Céphalées, confusion, évanouissements}}
\uput[r](3.8,4.85){\violetF{chez l'adulte}}
\uput[r](3.8,6){Coma, convulsions}
\uput[r](3.8,7){\violetF{Décès rapide}}
\end{pspicture}

Source : Commission européenne 2014.
\end{center}
\end{minipage}
}

\medskip

Un laboratoire d'essais procède à des tests sur un détecteur produit par la société COalerte en simulant un accident qui provoque une concentration anormale de monoxyde de carbone dans une pièce.

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Le laboratoire relève la concentration de monoxyde de carbone en fonction du temps, exprimé
en heures. Les enregistrements effectués sur une période de 8 heures se traduisent
par la représentation graphique ci-dessous.

\begin{center}
\psset{xunit=0.035cm,yunit=0.105cm}
\begin{pspicture}(-15,-5)(435,85)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{2.2+10*x/3*EXP(-x/60)}
\multido{\n=30+30}{14}{\psline[linestyle=dotted,dotsep=2pt](\n,-5)(\n,85)}
\multido{\n=10+10}{8}{\psline[linestyle=dotted,dotsep=2pt](-15,\n)(435,\n)}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=30,Dy=10]{->}(0,0)(-15,-5)(435,85)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{0}{435}{\f}
\uput[dl](435,-5){\footnotesize{\sf Temps en minutes}}
\uput[dr](0,85){\footnotesize{\sf Concentration de monoxyde de carbone en ppm}}
\psline[linestyle=dashed](9.824,0)(9.824,30)\psline[linestyle=dashed](20.02,0)(20.02,50)
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Estimer au bout de combien de temps devrait retentir un signal d'alarme.
\item Une personne présente dans la pièce depuis le début d'un tel accident risquerait-elle
de présenter des symptômes ? Si oui, lesquels ?
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Dans cette partie, tous les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près.

La concentration de monoxyde de carbone exprimée en ppm dans la pièce en fonction du
temps, exprimé en heures, est modélisée par la fonction $f$ définie sur $[0 ; 8]$ par

\[f(t) = 2,2 + 200t\e^{-t}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la concentration de monoxyde de carbone en ppm dans la pièce :
	\begin{enumerate}
		\item au moment de l'accident ;
		\item 30 minutes après.
	\end{enumerate}
\item À l'aide du graphique de la partie A, conjecturer les variations de la concentration de
monoxyde de carbone dans la pièce en fonction du temps.
\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ; 8]$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0 ; 8]$, $f'(t) = 200(1 - t)\e^{-t}$.
		\item Étudier le signe de $f'(t)$ sur l'intervalle $[0 ; 8]$.
		\item Valider ou invalider la conjecture émise à la question 2.
	\end{enumerate}
\item On note $F$ la fonction définie sur l'intervalle $[0 ; 8]$ par $F(t) = 2,2 t - 200(t + 1)\e^{-t}$. On admet que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ; 8]$.
	\begin{enumerate}
		\item On rappelle que la valeur moyenne d'une fonction continue sur un intervalle
$[a~;b]$ est le nombre réel défini par : $\dfrac{1}{b-a} \displaystyle\int_a^b  f(t)\dd t$.
		
Calculer la valeur moyenne de la concentration de monoxyde de carbone lors
des 8 heures qui ont suivi l'accident.
		\item Pour des raisons de sécurité, le ministère du travail fixe un seuil pour la concentration moyenne de monoxyde de carbone. Ce seuil est de $50$~ppm pour une période
de 8 heures.
		
La sécurité des personnes présentes dans la pièce aurait-elle été remise en cause
lors de l'accident simulé ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

 \bigskip 

\exo \hfill (\emph{D'après sujet bac Polynésie 2016})

 \medskip 


\textsf{\textbf{{\textsc{partie a :}}}  Lecture graphique}

\medskip

On considère la courbe $C$ associée à une fonction $f$ représentée en annexe 2 avec la droite $T$, tangente à la courbe $C$ au point d'abscisse 0.

\begin{enumerate}
\item Résoudre graphiquement sur l'intervalle $[- 1 ; 1,5]$ et avec la précision permise par le dessin les deux inéquations suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item $f(x) \geqslant 1$.
		\item $f'(x) \geqslant 0$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'équation de la tangente $T$ à la courbe $C$ au point de coordonnées $(0 ; 1)$ en sachant que cette tangente passe par le point de coordonnées $(2 ; 7)$.
		\item En déduire le nombre dérivé $f'(0)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textsf{\textbf{{\textsc{partie b :}}} Étude de la fonction  $f$}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par la relation $f(x) =  \e^{-2x} + 5x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer, en la justifiant, la limite de $f$ en $+ \infty$.

On admet pour la suite que la limite de $f$ en $- \infty$ est $+ \infty$.
\item Calculer $f'(x)$ et étudier son signe sur $\R$.
\item En déduire le tableau des variations de la fonction $f$ sur $\R$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer à partir du tableau des variations le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 2$.
		\item Donner une valeur arrondie à $10^{-2}$ près de chaque solution.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textsf{\textbf{{\textsc{partie c :}}} Calcul d'aire}

\medskip

On admet :

\begin{itemize}
\item que la courbe $C$ de la partie A est la représentation de la fonction $f$ définie dans la partie B ;
\item que la courbe $C$ se situe \og au-dessus \fg{} de la droite tangente $T$ sur $\R$.
\end{itemize}

L'objectif de cette partie est de déterminer par un calcul l'aire $\mathcal{A}$ comprise entre la courbe $C$, la droite $T$ et les droites verticales d'équations $x = 0$ et $x = 1,5$.

\begin{enumerate}
\item Hachurer sur le dessin, en annexe 2, l'aire $\mathcal{A}$ que l'on veut déterminer.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une primitive de la fonction $g$ définie sur $\R$ par :\[\text{pour tout réel }\:x,\: g(x) = \e^{-2x} + 2x - 1.\]
		
		\item Justifier que l'aire $\mathcal{A}$ recherchée vaut, en unité d'aire : $\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^{1,5} g(x)\dd x$.
		
		\item En déduire la valeur exacte puis l'arrondi à $10^{- 2}$ de $\mathcal{A}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

 \begin{center}
\psset{unit=.75cm}
\begin{pspicture}(-8,-1)(11,19)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{EXP(-2*x)+5*x}
\def\g{3*x+1}
\rput(1.5,18.6){\textsf{\textbf{{\textsc{annexe 2}}}}}
\rput(1.5,18){\textsf{à rendre avec la copie}}
\psgrid[griddots=10,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-8,-1)(11,17)
\psset{unit=3cm,yunit=1.5cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=.5,comma=true]{->}(0,0)(-2,-.5)(2.75,8.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}\uput[dl](2.75,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,8.5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1.364}{1.693}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt, linecolor=prune]{-.5}{2.5}{\g}
\uput[dl](-1.25,6){\bleu{$C$}}\uput[dl](2,6.5){\prune{$T$}}
\end{pspicture}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\chapter{Lois de probabilité à densité}

\minitoc

\newpage

\section{Introduction}

Dans différents domaines on est amené à étudier des variables aléatoires pouvant prendre théoriquement toute valeur réelle d'un intervalle $I$ de $\R$. Ces variables aléatoires sont dites continues.

C'est le cas, par exemple, de la durée du temps d'attente aux consultations d'un hôpital fictif.

\begin{center}
{\footnotesize{\begin{tabularx}{.9\linewidth}{|m{2.5cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}	\hline
Temps d'attente 

(en minutes) & $[0;10[$ & $[10;20[$ & $[20;30[$ & $[30;40[$ & $[40;50[$ & $[50;60[$ & $[60;70[$ & $[70;80[$ & $[80;90]$\\ \hline
Fréquences  &  0,064 & 0,152 & 0,192 & 0,192 & 0,166 & 0,123 & 0,074 & 0,032 & 0,005\\ \hline
\end{tabularx}}}
\end{center}

La série statistique à caractère quantitatif continu est représentée par un histogramme constitué d'une juxtaposition de rectangles dont les aires sont proportionnelles aux fréquences.  

\begin{center}
\psset{unit=.35cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(20,9)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\rput(9,-2){\footnotesize{Histogramme}}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-1)(20,9)
\psframe[linewidth=.5pt,linecolor=bleu,fillstyle=solid,fillcolor=bleuclair](17,6)(19,8)
\rput(18,7){\footnotesize{\bleu{$0,05$}}}
\psset{xunit=4.2cm,yunit=14cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=.5,Dy=.05,comma]{->}(0,0)(1.6667,.225)
\psset{xunit=1.4cm,yunit=14cm}
\savedata{\donnees}[{{.25,.064},{.75,.152},{1.25,.192},{1.75,.192},{2.25,.166},{2.75,.123},{3.25,.074},{3.75,.032},{4.25,.005}}]
\listplot[plotstyle=bar,barwidth=2,linewidth=.5pt, linecolor=bleu,fillstyle=solid,fillcolor=bleuclair]{\donnees}

\end{pspicture} \hfill
\psset{unit=.35cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(20,9)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\rput(9,-2){\footnotesize{Polygone des fréquences cumulées}}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-1)(20,9)
\psset{xunit=4.2cm,yunit=2.8cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=.5,Dy=.25,comma]{->}(0,0)(1.6667,1.125)
\savedata{\donnees}[{{0,0},{.1667,.064},{.3333,.216},{.5,.408},{.6667,.6},{.8333,.766},{1,.889},{1.1667,.963},{1.333,.995},{1.5,1}}]
\listplot[linecolor=prune,linewidth=1pt]{\donnees} 
\listplot[plotstyle=dots,linecolor=bleu,dotscale=.75]{\donnees} 
\end{pspicture}
\end{center}


On modélise la situation à l'aide d'une variable aléatoire $X$ mesurant la durée en heure du temps d'attente aux consultations de cet hôpital avec  $X \in [0 ; 1,5]$.

Pour une telle variable aléatoire, les évènements étudiés sont ceux qui correspondent à des intervalles du type $X \in [0; 0,3]$, $0,5\leqslant X \leqslant 1$ ou $X > 0,5 $.

Le calcul de la probabilité $P\left( X=0,345\right)$  que le temps d'attente soit exactement de 20 minutes et 42 secondes n'a pas de sens.

Dans le cas d'une variable aléatoire continue le polygone des fréquences cumulées croissantes est remplacé par la courbe représentative de la fonction de répartition $F$ permettant de calculer des probabilités.

On suppose que la fonction $F$ est définie sur l'intervalle $[0 ; 1,5]$ par $F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\dd t$ où $f$ est la fonction définie sur $[0 ; 1,5]$ par $f(t)=\dfrac{64 t^3}{27}-\dfrac{64 t^2}{9}+\dfrac{16 t}{3}$. On dit que  $f$ est la fonction de densité de probabilité de la variable aléatoire $X$.

\begin{center}
\psset{unit=.35cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(20,11)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\def\f{(64*x^3-192*x^2+144*x)/27}
\rput(9,-2){\footnotesize{Fonction de densité}}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-1)(20,11)
\psset{xunit=4.2cm,yunit=2.8cm}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{0}{.6}{\f} \gsave
\psline[linewidth=0.5pt, linecolor=prune](.6,0)(0,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=bleuclair] \grestore }
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=.5,Dy=.25,comma]{->}(0,0)(1.6667,1.375)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=300,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{1.5}{\f}
\uput[dl](1.6667,0){\footnotesize{$t$}}
\psset{linecolor=prune}
\rput(.35,.5){\rnode{A}{\prune{\scriptsize{$F(x)$}}}}
\rput(1.2,1.05){\rnode{B}{\prune{\scriptsize{$P\left( X \leqslant x \right)=F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\dd t$}}}}
\ncline{<-}{A}{B}
\psline[linewidth=0.75pt, linecolor=prune](.6,0)(.6,1.152)
\uput[d](.6,0){\footnotesize{\prune{$x$}}}
\end{pspicture} \hfill
\psset{unit=.35cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(20,11)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\def\f{8*x^2*(2*x^2-8*x+9)/27}
\rput(9,-2){\footnotesize{Fonction de répartition}}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-1)(20,11)
\psset{xunit=4.2cm,yunit=3.5cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=.5,Dy=.2,comma]{->}(0,0)(1.6667,1.1)
\uput[dl](1.6667,0){\footnotesize{$t$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=300,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{0}{1.5}{\f}
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune,linestyle=dashed](.6,0)(.6,.5248)(0,.5248)
\uput[d](.6,0){\footnotesize{\prune{$x$}}}
\uput[l](0,.5248){\footnotesize{\prune{$F(x)$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

Ainsi, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0 ; 1,5]$, $F(x)$ est l'aire du domaine compris entre la courbe représentative de la fonction de densité $f$, les axes du repère et la droite d'équation $t=x$.

On en déduit que :

\begin{itemize}
\item $P\left( X \leqslant 0,3 \right)= F(0,3)=\displaystyle\int_{0}^{0,3}f(t)\dd t=0,1808$.
\item $P\left( 0,5\leqslant X \leqslant 1 \right)= F(1)-F(0,5)=\displaystyle\int_{0,5}^{1}f(t)\dd t=\dfrac{13}{27}$.
\item $P\left(  X > 0,5 \right)=1- P\left( X \leqslant 0,5 \right)=1- F(0,5)=1-\displaystyle\int_{0}^{0,5}f(t)\dd t=\dfrac{16}{27}$.
\end{itemize}

\section{Densité de probabilité et loi de probabilité}

\subsection{Variable aléatoire continue} 

Une variable aléatoire pouvant prendre toute valeur d'un intervalle $I$ de $\R$ est dite continue.

\subsection{Fonction de densité} 

\cadreR{%
Soit $I$ un intervalle de $\R$. On appelle fonction de densité de probabilité sur $I$ toute fonction $f$ définie, continue et positive sur $I$ telle que l'intégrale de $f$ sur $I$ soit égale à 1.
}

\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}

\medskip	

Vérifions que la fonction $f$ définie pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0 ; 1,5]$ par $f(t)=\dfrac{64 t^3}{27}-\dfrac{64 t^2}{9}+\dfrac{16 t}{3}$ est une fonction de densité de probabilité sur $[0 ; 1,5]$.

\begin{itemize}
\item La fonction $f$ est dérivable sur $[0 ; 1,5]$ donc continue.
\item Pour tout réel $t$, $\dfrac{64 t^3}{27}-\dfrac{64 t^2}{9}+\dfrac{16 t}{3}=\dfrac{16t \left(4 t^2-12 t+9\right)}{27}=\dfrac{16t \left(2 t-3\right)^2}{27}$.

Par conséquent, la fonction $f$ est positive sur l'intervalle $[0 ; 1,5]$.
\item Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur sur $[0 ; 1,5]$ par $F(t)=\dfrac{16 t^4}{27}-\dfrac{64 t^3}{27}+\dfrac{8 t^2}{3}$ d'où \[ \displaystyle\int_{0}^{1,5}f(t)\dd t = F(1,5)-F(0)=1\]
\end{itemize}

Ainsi,  $f$ est une fonction de densité de probabilité sur $[0 ; 1,5]$

\subsection{Loi de probabilité} 

\cadreR{%
Soit $f$ une fonction de densité de probabilité sur un intervalle $I$.

On dit que la variable aléatoire $X$ suit la loi de probabilité de densité $f$ sur l'intervalle $I$ lorsque, pour tout intervalle $[a;b]$ inclus dans $I$, la probabilité de l'événement $X \in [a;b]$ est :\[P\left(X \in [a;b]\right)=P\left(a \leqslant X \leqslant b\right)= \displaystyle\int_{a}^{b}f(t)\dd t\]
}	

\medskip

\textsf {\textsc{\small{remarque}}}

\medskip
$P\left(a \leqslant X \leqslant b\right)$ est la mesure, en unités d'aire, de l'aire du domaine compris entre la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative de la fonction $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$.

On a représenté ci-dessous la courbe représentative de la fonction de densité étudiée dans l'exemple précédent.

\begin{center}
\psset{unit=.35cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(20,11)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\def\f{(64*x^3-192*x^2+144*x)/27}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-1)(20,11)
\psset{xunit=4.2cm,yunit=2.8cm}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{0.3}{.8}{\f} \gsave
\psline[linewidth=0.5pt, linecolor=prune](.8,0)(0.3,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=bleuclair] \grestore }
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=.5,Dy=.25,comma]{->}(0,0)(1.6667,1.375)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=300,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{1.5}{\f}
\psset{linewidth=0.75pt, linecolor=prune}
\psline(.3,0)(.3,1.02)\psline(.8,0)(.8,.929)
\rput(.55,.5){\prune{\scriptsize{$P\left(a \leqslant X \leqslant b\right)$}}}
\uput[d](.3,0){\footnotesize{\prune{$a$}}}\uput[d](.8,0){\footnotesize{\prune{$b$}}}
\end{pspicture}
\end{center}
On observe sur cet exemple, que la fonction $f$ prend des valeurs supérieures à 1 sur l'intervalle $[0 ; 1,5]$ : c'est possible car $f(x)$ n'est pas une probabilité, c'est une densité de probabilité.

\subsubsection{Propriétés} 

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi de probabilité de densité $f$ sur un intervalle $I$.

Pour tous réels $a$ et $b$ appartenant à $I$

\begin{enumerate}
\item $P\left( X = a\right)=\displaystyle\int_{a}^{a}f(t)\dd t=0$
\item $P\left(a \leqslant X \leqslant b\right)=P\left(a < X \leqslant b\right)=P\left(a \leqslant X < b\right)=P\left(a < X < b\right)$
\item $P\left( X \geqslant a\right)=P\left( X > a\right)=1-P\left( X \leqslant a\right)$
\end{enumerate}

\subsection{Espérance mathématique} 

\cadreR{%
Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi de probabilité de densité $f$ sur l'intervalle $[a ; b]$, alors l'espérance mathématique de $X$ est le réel \[E(X)= \displaystyle\int_{a}^{b} t \times f(t)\dd t\]
}	

\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}

\medskip	

Calculons l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ mesurant la durée en heure du temps d'attente aux consultations dont la fonction de densité $f$ est définie sur $[0 ; 1,5]$ par $f(t)=\dfrac{64 t^3}{27}-\dfrac{64 t^2}{9}+\dfrac{16 t}{3}$. \[\begin{split} E(X) &= \displaystyle\int_{0}^{1,5} \dfrac{64 t^4}{27}-\dfrac{64 t^3}{9}+\dfrac{16 t^2}{3} \dd t\\
&= \left[ { \dfrac{64 t^5}{135}-\dfrac{16 t^4}{9}+\dfrac{16 t^3}{9}}\right]_{0}^{1,5}\\
&=3,6-9+6\\
&=0,6\\
\end{split}\] 
Le temps d'attente moyen aux consultations est de 0,6 h soit 36 minutes. 


\section{Loi uniforme} 

\subsection{Définition}

\cadreR{%
Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a<b$. 

On dit qu'une variable aléatoire $X$ suit une loi uniforme sur l'intervalle $\left[a;b\right]$ si la densité de probabilité de $X$ est la fonction constante $f$ définie sur $\left[a;b\right]$ par $f(x)=\dfrac{1}{b-a}$.
} 

\medskip

\textsf {\textsc{\small{remarque}}}

\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-1,-.5)(8,3)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-.5,-.5)(8,3)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=bleu](1.5,2)(6.5,2)
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune,linestyle=dashed](1.5,0)(1.5,2)(0,2)  
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune,linestyle=dashed](6.5,0)(6.5,2) 
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}} \uput[d](1.5,0){\footnotesize{\prune{$a$}}}  \uput[d](6.5,0){\footnotesize{\prune{$b$}}}\uput[l](0,2){\footnotesize{\prune{$\dfrac{1}{b-a}$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

La fonction $f$ définie sur $\left[a;b\right]$ par $f(x)=\dfrac{1}{b-a}$ est une densité de probabilité sur $\left[a;b\right]$ :
\begin{itemize}
\item $f$ est continue et positive sur $\left[a;b\right]$.
\item $\displaystyle\int_{a}^{b} \dfrac{1}{b-a} \dd x = \left[ { \dfrac{x}{b-a}}\right]_{a}^{b}=\dfrac{b}{b-a}-\dfrac{a}{b-a}=1$.
\end{itemize}

\subsection{Propriété} 

\cadreR{%
$X$ est une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur l'intervalle $\left[a;b\right]$.

Pour tout intervalle $\left[c;d\right]$ inclus dans $\left[a;b\right]$, $P\left( c \leqslant X \leqslant d \right)=\dfrac{d-c}{b-a}$.
}

\dem

\[\begin{split} P\left( c \leqslant X \leqslant d \right) &= \displaystyle\int_{c}^{d} \dfrac{1}{b-a} \dd x =  \left[ \dfrac{x}{b-a}\right]_{c}^{d}\\
&=\dfrac{d}{b-a}-\dfrac{c}{b-a}=\dfrac{d-c}{b-a}\\
\end{split}\] 

\subsection{Espérance mathématique} 

\cadreR{%
Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a<b$. 

L'espérance mathématique d'une variable aléatoire  $X$ suivant une loi uniforme sur l'intervalle $\left[a;b\right]$ est le réel \[E(X)=\dfrac{a+b}{2}\]
}	

\dem

Par définition : \[\begin{split} E(X) &= \displaystyle\int_{a}^{b} x \times \dfrac{1}{b-a} \dd x =  \left[ \dfrac{x^2}{2\left({b-a}\right)}\right]_{a}^{b}\\
&=\dfrac{b^2-a^2}{2\left({b-a}\right)}=\dfrac{\left({b-a}\right)\left({b+a}\right)}{2\left({b-a}\right)}=\dfrac{a+b}{2}\\
\end{split}\] 

\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

Le temps d'attente $T$, en minutes, auprès du standard téléphonique du service après vente d'une entreprise suit la loi uniforme sur l'intervalle $\left[0,5;9,5\right]$.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que le temps d'attente soit inférieur à 2 minutes ?
\item Quelle est la probabilité que le temps d'attente soit supérieur à 3 minutes ?
\item Quelle est le temps d'attente moyen auprès du standard téléphonique ?
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\small{Solution}}

\medskip

La variable aléatoire $T$ suit la loi uniforme sur l'intervalle $\left[0,5;9,5\right]$, donc la densité de probabilité est la fonction $f$ définie sur $\left[0,5;9,5\right]$ par $f(t)=\dfrac{1}{9,5-0,5}=\dfrac{1}{9}$.

\medskip

Le temps d'attente $T$, en minutes, auprès du standard téléphonique du service après vente d'une entreprise suit la loi uniforme sur l'intervalle $\left[0,5;9,5\right]$.

\begin{enumerate}
\item La probabilité que le temps d'attente soit inférieur à 2 minutes est $P\left( X \leqslant 2 \right)=\dfrac{2-0,5}{9}=\dfrac{1}{6}$.
\item La probabilité que le temps d'attente soit supérieur à 3 minutes est $P\left( X \geqslant 3 \right)=\dfrac{9,5-3}{9}=\dfrac{13}{18}$.
\item L'espérance mathématique de $T$ est $E(T)=\dfrac{0,5+9,5}{2}=5$.

Le temps d'attente moyen auprès du standard téléphonique est de 5 minutes.
\end{enumerate}

\section{Loi exponentielle}

\subsection{Définition}

\cadreR{%
Soit $\lambda$ un nombre réel strictement positif. 

On dit qu'une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\left[ 0 ; +\infty \right[$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$  si la densité de probabilité de $X$ est la fonction $f$ définie sur  $\left[ 0 ; +\infty \right[$ par $f(x)= \lambda \e^{-\lambda x}$.
} 

\medskip

\textsf {\textsc{\small{remarque}}}

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=15cm}
\begin{pspicture}(-.3,-.015)(10,.35)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\newrgbcolor{mauve}{.92 .84 .98}
\def\f{.3*EXP(-.3*x)}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=0.25pt, linecolor=bleu]{2}{6}{\f} \gsave
\psline(6,0)(2,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=mauve] \grestore }
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](2,0)(2,.164643)  
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](6,0)(6,.04959)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-.3,-.015)(10,.35)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}} \uput[dl](10,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,.35){\footnotesize{$y$}} 

\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{10}{\f} 
\uput[d](2,0){\footnotesize{\prune{$a$}}}  \uput[d](6,0){\footnotesize{\prune{$b$}}}\uput[l](0,.3){\footnotesize{$\lambda$}}\rput(4,.028){\bf{\footnotesize{$P\left( a \leqslant X \leqslant b \right)$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

La variable aléatoire $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$ si, pour tout intervalle fermé $I = \left[a;b\right]$ inclus dans  $\left[ 0 ; +\infty \right[$, la probabilité de l'évènement \og $X \in I$ \fg{} est l'aire du domaine $\left\{ M \left( x ; y \right) ; x \in I \text{ et } 0 \leqslant y \leqslant f(x) \right\}$, où $f$ est la fonction définie sur  $\left[ 0 ; +\infty \right[$ par $f(x)= \lambda \e^{-\lambda x}$.


\subsection{Propriétés} 

\cadreR{%
Soit $X$ est une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$.

\begin{enumerate}
\item Pour tout intervalle $I = \left[a;b\right]$ avec $0 \leqslant a \leqslant b$ , $P\left( a \leqslant X \leqslant b \right)=\e^{-\lambda a} - \e^{-\lambda b}$.
\item Pour tout réel $a \geqslant 0$, $P\left( X \leqslant a \right) = P\left( X < a \right) =1- \e^{-\lambda a}$.
\item Pour tout réel $a \geqslant 0$, $P\left( X \geqslant a \right) = P\left( X > a \right)=1- P\left( X \leqslant a \right) = \e^{-\lambda a}$.
\end{enumerate}
}

\dem

$X$ est une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$,  $a$ et $b$ deux réels tels que $0 \leqslant a \leqslant b$
\begin{enumerate}
\item $ P\left( a \leqslant X \leqslant b \right) = \displaystyle\int_{a}^{b}  \lambda \e^{-\lambda x} \dd x =  \left[  - \e^{-\lambda x}\right]_{a}^{b} =\e^{-\lambda a} - \e^{-\lambda b}$.
\item $P\left( X \leqslant a \right) = P\left( 0 \leqslant X \leqslant a \right) =\e^{-\lambda \times 0} - \e^{-\lambda a} =1- \e^{-\lambda a}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textsc{\small{remarque}}}

L'aire, en unité d'aire, du domaine compris entre l'axe des abscisses et la courbe $\mathcal{C}_f$ de la fonction de densité de la loi exponentielle est égale à 1 :
\[\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \displaystyle\int_{0}^{x}  \lambda \e^{-\lambda t} \dd t= \lim_{x\to +\infty}P\left( X \leqslant x \right)=\lim_{x\to +\infty}1- \e^{-\lambda x}=1\]

\subsection{Espérance mathématique} 

\cadreR{%
L'espérance mathématique d'une variable aléatoire  $X$ suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$ est le réel \[E(X)=\dfrac{1}{\lambda}\]
}	

\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

La durée de vie en heures, d'une ampoule led est une variable aléatoire $D$, qui suit la loi exponentielle de paramètre 0,00005.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que la durée de vie d'une ampoule soit inférieure à \np{20000} heures ?
\item Quelle est la probabilité que la durée de vie d'une ampoule soit comprise entre \np{20000} et \np{30000} heures ?
\item Quelle est la durée de vie moyenne d'une ampoule ?
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\small{Solution}}

La durée de vie en heures $D$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda=0,00005$.

\begin{enumerate}
\item La probabilité que la durée de vie d'une ampoule soit inférieure à \np{20000} heures est :\[P\left( D \leqslant 20000 \right) =1- \e^{-0,00005 \times 20000} =1- \e^{-1}\approx 0,632 \] 
\item La probabilité que la durée de vie d'une ampoule soit comprise entre \np{20000} et \np{30000} heures est :\[P\left( 20000 \leqslant D \leqslant 30000 \right) =\e^{-0,00005 \times 20000}- \e^{-0,00005 \times 30000} = \e^{-1}-\e^{-1.5}\approx 0,145 \] 
\item La durée de vie moyenne d'une ampoule est $\dfrac{1}{0,00005}=20000$ heures.
\end{enumerate}

\medskip

    \section{Loi normale} 
   
   \subsection{Vers une approximation de la loi binomiale}	 
   
    \subsubsection{Rappel}
    
\cadreB{Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ notée $\mathcal{B}(n;p)$. 
    
    L'espérance mathématique est $E(X)=np$ ; l'écart-type est $\sigma(X) =\sqrt{np(1-p)}$.} 
    
    \subsubsection{La fonction de Gauss}	
    

 Soit $\left( X_{n}\right)$ une suite de variables aléatoires  suivant une loi binomiale de paramètres $n$ et de même probabilité $p$. 
  
 On s'intéresse à la loi de probabilité de la variable aléatoire  $Z_{n}=\dfrac{X_{n}-E\left(X_{n}\right)}{\sigma_{n}}=\dfrac{X_{n}-np}{\sqrt{np(1-p)}}$. 
 
La variable aléatoire $Z_{n}$ prend les valeurs suivantes :\[z_{k}=\dfrac{k-np}{\sqrt{np(1-p)}} \quad \text{où } k \text{ est un entier naturel tel que } 0 \leqslant k \leqslant n\]
Pour tout entier naturel $k$ compris entre 0 et $n$ on a :\[P\left( Z_{n}=z_{k}\right)=P\left( \dfrac{X_{n}-np}{\sqrt{np(1-p)}}=\dfrac{k-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)=P\left( X_{n}=k\right)=p_{k}\]
Ainsi, quand $X_{n}$ prend la valeur $k$ avec la probabilité $p_{k}$, alors $Z_{n}$ prend la valeur $\dfrac{k-np}{\sqrt{np(1-p)}}$ avec la même probabilité $p_{k}$.

On a représenté graphiquement ci-dessous, pour  $X_{n} \in \left[ E\left(X_{n}\right)-3\sigma_{n} ; E\left(X_{n}\right)+3\sigma_{n} \right]$, les lois de probabilité de $X_{n}$ et de $Z_{n}$ pour $n=36$ et $n=400$ avec $p=0,2$.


La loi de probabilité de $Z_{n}$ est représentée à l'aide d'un histogramme. 

L'aire de chaque rectangle centré sur la valeur $z_k$ est égale à la probabilité $P\left( Z_{n}=z_{k}\right)=p_{k}$, il s'ensuit que chaque rectangle a pour dimensions  $\sigma_{n}\times P\left( X_{n}=k\right)$ et $\dfrac{1}{\sigma_{n}}$.
\begin{center}
\psset{xunit=3.3mm, yunit=25cm}
\begin{pspicture}(-3,-.06)(20,.18)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\rput(10,-.032){\footnotesize{Loi binomiale de paramètres $n=36$ et $p=0,2$}}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=3, Dy=0.02,comma]{->}(0,0)(20,.18)
\psBinomial[linewidth=.5pt,linecolor=bleu,markZeros,fillstyle=solid, fillcolor=bleu,barwidth=0.1]{0,15,36}{0.2}% 
\end{pspicture}
\hfill
\psset{xunit=1.2cm, yunit=10cm}
\begin{pspicture*}(-3.1,-.15)(3.2,.45)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\rput(.1,-.08){\footnotesize{Loi de probabilité de $Z_{36}=\dfrac{X_{36}-7,2}{2,4}$}}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt, Dy=0.1,comma]{->}(0,0)(-3,0)(3.2,.45)
\psBinomialN[linewidth=.5pt,linecolor=bleu,markZeros]{36}{0.2}% 
\psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=prune]{-3}{3}
% \psBinomialN[linecolor=prune,linewidth=.75pt,showpoints=false ,plotstyle=curve,dotscale=.75]{36}{0.2}% 
\savedata{\donnees}[{{-3,0.000779},{-2.583,0.00701},{-2.167,0.030667},{-1.75,0.08689},{-1.333,0.17921},{-0.917,0.286736},{-0.5,0.370368},{-0.083,0.396823},{0.333,0.359621},{0.75,0.279705},{1.167,0.188801},{1.583,0.111564},{2,0.058106},{2.417,0.026818},{2.833,0.011015},{3.25,0.004039}}]
\listplot[linewidth=1pt,showpoints=true,linecolor=red,dotscale=.75,plotstyle=LineToXAxis,linestyle=dotted,dotsep=2pt]{\donnees} 
\psbrace[ref=tC,rot=90,braceWidth=.5pt,linecolor=red,braceWidthInner=2.5pt,braceWidthOuter=2.5pt,nodesepB=1pt](-1.54,0)(-1.125,0){\red{\footnotesize{$\frac{1}{2,4}$}}}
\rput[l]{90}(-1.3,.19){\red{\footnotesize{$2,4\times P\left( X_{36}=4\right)$}}}
\end{pspicture*}



\psset{xunit=1.16mm, yunit=85cm}
\begin{pspicture}(42,-.0176)(110,.054)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\rput(80,-.009){\footnotesize{Loi binomiale de paramètres $n=400$ et $p=0,2$}}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Ox=50,Dx=5, Dy=0.005,comma]{->}(50,0)(110,.054)
\psBinomial[linewidth=.5pt,linecolor=bleu,markZeros,fillstyle=solid, fillcolor=bleu,barwidth=0.2]{56,104,400}{0.2}% 
\end{pspicture}
\hfill
\psset{xunit=1.2cm, yunit=10cm}
\begin{pspicture*}(-3.1,-.15)(3.2,.459)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\rput(.1,-.08){\footnotesize{Loi de probabilité de $Z_{400}=\dfrac{X_{400}-80}{8}$}}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt, Dy=0.1,comma]{->}(0,0)(-3,0)(3.2,.459)
\psBinomialN[linewidth=.25pt,linecolor=bleu,markZeros]{400}{0.2}%
 \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=prune]{-3}{3}
\savedata{\donnees}[{{-3,0.00340},{-2.875,0.00514},{-2.75,0.00759},{-2.625,0.01100},{-2.5,0.01563},{-2.375,0.02179},{-2.25,0.02978},{-2.125,0.03994},{-2,0.05258},{-1.875,0.06795},{-1.75,0.08622},{-1.625,0.10746},{-1.5,0.13156},{-1.375,0.15825},{-1.25,0.18708},{-1.125,0.21738},{-1,0.24832},{-0.875,0.27894},{-0.75,0.30815},{-0.625,0.33486},{-0.5,0.35799},{-0.375,0.37659},{-0.25,0.38986},{-0.125,0.39726},{0,0.39851},{0.125,0.39359},{0.25,0.38279},{0.375,0.36665},{0.5,0.34591},{0.625,0.32149},{0.75,0.29439},{0.875,0.26563},{1,0.23620},{1.125,0.20701},{1.25,0.17883},{1.375,0.15230},{1.5,0.12788},{1.625,0.10588},{1.75,0.08645},{1.875,0.06962},{2,0.05529},{2.125,0.04332},{2.25,0.03349},{2.375,0.02554},{2.5,0.01922},{2.625,0.01427},{2.75,0.01046},{2.875,0.00756},{3,0.00540}}]
\listplot[showpoints=true,linecolor=red,dotscale=.5,plotstyle=dots]{\donnees} 
\end{pspicture*}
\end{center}

La \og courbe en cloche \fg{} est la courbe représentative de la fonction de Gauss définie pour tout réel $x$ par \[f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\e^{-\frac{x^2}{2}}\]	


Quand $n$ est de plus en plus grand, les aires des rectangles deviennent de plus en plus proches des aires correspondantes limitées par la courbe représentant la fonction la fonction de Gauss  : \[P\left( a \leqslant Z_{n} \leqslant b \right)\approx\displaystyle\int_{a}^{b}\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\e^{-\frac{x^2}{2}}\dd x\] 

   \subsection{Loi normale centrée réduite}
   
   \subsubsection{Définition}
   
   \cadreR{%
Dire qu'une variable aléatoire $X$ suit la loi normale centrée réduite notée $\mathcal{N}\left( 0 ; 1\right)$ signifie que sa densité de probabilité est la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\e^{-\frac{x^2}{2}}$.
} 
\subsubsection{Courbe représentative}

\begin{minipage}{.5\linewidth}
Pour tout réel $x$, $f(-x)=f(x)$, la courbe représentative de la densité $f$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{.5\linewidth}
\begin{flushright}
\psset{xunit=1cm, yunit=8cm}
\begin{pspicture}(-4,-.02)(4,.43)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt, Dy=0.1,comma]{->}(0,0)(-3.99,0)(4,.45)
 \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=prune]{-3.99}{4}
 \psset{linewidth=.5pt,linecolor=bleu}
 \pnode(0,.4){A}
 \rput(2.5,.45){\ovalnode{B}{\bleu{\scriptsize{$f(0)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\approx 0,4$}}}} 
 \ncarc[arcangle=-12]{->}{B}{A}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{minipage}

\subsubsection{Espérance et écart-type de la loi normale centrée réduite}

\cadreR{%
Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}\left( 0 ; 1\right)$ on a : $E(X)=0$ et $\sigma(X)=1$.
} 

\subsubsection{Propriété}

\begin{minipage}{.5\linewidth}
La courbe de la fonction de densité de la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}\left( 0 ; 1\right)$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, donc les mesures des aires égales aux probabilités $P\left( X \leqslant 0\right)$ et $P\left( X \geqslant 0\right)$ sont égales, d'où  $P\left( X \leqslant 0\right) = P\left( X \geqslant 0\right)$.

Comme $P\left( X \leqslant 0\right) + P\left( X > 0\right) = 1$, on en déduit que \[P\left( X \leqslant 0\right) = P\left( X \geqslant 0\right)=\dfrac{1}{2}\]
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{.5\linewidth}
\begin{flushright}
\psset{xunit=1cm, yunit=8cm}
\begin{pspicture}(-4,-.1)(4,.45)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\pscustom{
\psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=.25pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-3.99}{0} \gsave
\psline[linewidth=0.25pt, linecolor=bleu](0,0)(-3.99,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=bleuclair] \grestore }
\pscustom{
\psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=.25pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{0}{4}\gsave
\psline(4,0)(0,0)
\fill[fillstyle=vlines,hatchcolor=prune,hatchwidth=0.5pt] \grestore }
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt, Dy=0.1,comma]{->}(0,0)(-3.99,0)(4,.45)
 \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-3.99}{4}
 \pnode(-1,.15){A}\pnode(1,.15){B}
 \rput[tl](-3,.25){\rnode{G}{\bleu{\scriptsize{$P\left( X \leqslant 0\right)$}}}} 
 \rput[tr](3,.25){\rnode{D}{\prune{\scriptsize{$P\left( X \geqslant 0\right)$}}}} 
  \ncline[linewidth=.5pt,linecolor=bleu]{->}{G}{A}\ncline[linewidth=.5pt,linecolor=prune]{->}{D}{B}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{minipage}

\cadreR{%
Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}\left( 0 ; 1\right)$ on a : $P\left( X \leqslant 0\right) = P\left( X \geqslant 0\right)=\dfrac{1}{2}$.
}
\subsubsection{Intervalle associé à une probabilité donnée}

\begin{minipage}{.7\linewidth}
\cadreR{%
Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}\left( 0 ; 1\right)$.

Pour tout réel $\alpha \in ] 0 ; 1 [$ il existe un unique réel positif $u_{\alpha}$ tel que  : $P\left( -u_{\alpha}\leqslant  X \leqslant u_{\alpha} \right)=1-\alpha$.
}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{.25\linewidth}
\begin{flushright}
\psset{xunit=.6cm, yunit=4.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-.05)(3,.45)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\pscustom{
\psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=.25pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-1.3}{1.3} \gsave
\psline[linewidth=0.25pt, linecolor=bleu](1.3,0)(-1.3,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=bleuclair] \grestore }
 \rput(0,.15){\psframebox*[framearc=.3]{\prune{\scriptsize{$1-\alpha$}}}}
 \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.5pt,ticks=y,yticksize=-2pt 2pt,labels=none,Dy=0.1]{->}(0,0)(-3,-.02)(3,.45)
 \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-3}{3}
  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](-1.3,0)(-1.3,.171)  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](1.3,0)(1.3,.171)
  \uput[d](-1.3,0){\prune{\scriptsize{$-\alpha$}}}\uput[d](1.3,0){\prune{\scriptsize{$\alpha$}}}\uput[dl](0,0){\tiny{$0$}}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{minipage}

\medskip

On retient en particulier : 

\medskip

\psframebox[linewidth=0.25pt,framearc=0.1]{
\begin{minipage}{.7\linewidth}
Si $X$ est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}\left( 0 ; 1\right)$ alors :
 \[P\left( -1,96 \leqslant X \leqslant 1,96\right) \approx 0,95\]
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{.3\linewidth}
\begin{flushright}
\psset{xunit=.6cm, yunit=4.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-.05)(3,.45)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\pscustom{
\psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=.25pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-1.96}{1.96} \gsave
\psline[linewidth=0.25pt, linecolor=bleu](1.96,0)(-1.96,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=bleuclair] \grestore }
   \rput(0,.15){\psframebox*[framearc=.3]{\prune{\bf{\scriptsize{\phantom{0,95}}}}}}
 \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.5pt,ticksize=-2pt 2pt, Dy=0.1,labels=x,comma]{->}(0,0)(-3,0)(3,.45)
 \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-3}{3}
  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](-1.96,0)(-1.96,.058)  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](1.96,0)(1.96,.058)
 \rput(0,.15){\prune{\bf{\scriptsize{0,95}}}}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{minipage}
}
\subsubsection{Calculs}

Il n'est pas possible de déterminer les primitives de la fonction de densité de la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}\left( 0 ; 1\right)$ à l'aide de fonctions usuelles. 

On peut néanmoins  calculer des valeurs approchées des intégrales $\displaystyle\int_{a}^{b}\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\e^{-\frac{x^2}{2}}\dd x$ par des méthodes numériques, disponibles dans les calculatrices et permettant d'obtenir directement des valeurs approchées de certaines probabilités liées à la loi normale.
 
\medskip

Du fait de la symétrie de la courbe de la fonction de densité de la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}\left( 0 ; 1\right)$, pour calculer $P\left( X \leqslant a \right)$ ou $P\left( X \geqslant a \right)$, on peut utiliser la méthode suivante :

\medskip

{\footnotesize{\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}	\hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex}\textsf{\textbf{Probabilité}} &$P\left( X \leqslant a \right)$ avec $a<0$ & $P\left( X \leqslant a \right)$ avec $a>0$ & $P\left( X \geqslant a \right)$ avec $a<0$ & $P\left( X \geqslant a \right)$ avec $a>0$\\ \hline
\textsf{\textbf{Graphique}} &\psset{xunit=.5cm, yunit=4cm}
\begin{pspicture}(-3,-.15)(3,.46)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\pscustom{
\psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=.25pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-3}{-1} \gsave
\psline[linewidth=0.25pt, linecolor=prune](-1,0)(-3,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=bleuclair] \grestore} 
 \psaxes[linewidth=.5pt,labels=none,ticks=y,yticksize=-2pt 2pt, Dy=0.1]{->}(0,0)(-3,-.05)(3,.45)
 \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-3}{3}
  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](-1,0)(-1,.24)
  \uput[d](-1,0){\prune{\scriptsize{$a$}}}\uput[dl](0,0){\tiny{$0$}}
  \rput(0,-.1){\prune{\scriptsize{$a<0$}}}
\end{pspicture}  & \psset{xunit=.5cm, yunit=4cm}
\begin{pspicture}(-3,-.15)(3,.46)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\pscustom{
\psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=.25pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-3}{1} \gsave
\psline[linewidth=0.25pt, linecolor=prune](1,0)(-3,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=bleuclair] \grestore} 
  \psaxes[linewidth=.5pt,labels=none,ticks=y,yticksize=-2pt 2pt, Dy=0.1]{->}(0,0)(-3,-.05)(3,.45)
 \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200,linecolor=bleu]{-3}{3}
  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](1,0)(1,.24)
  \uput[d](1,0){\prune{\scriptsize{$a$}}}\uput[dl](0,0){\tiny{$0$}}
  \rput(0,-.1){\prune{\scriptsize{$a>0$}}}
\end{pspicture} & 
\psset{xunit=.5cm, yunit=4cm}
\begin{pspicture}(-3,-.15)(3,.46)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\pscustom{
\psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=.25pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-1}{3} \gsave
\psline[linewidth=0.25pt, linecolor=prune](3,0)(-1,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=bleuclair] \grestore} 
  \psaxes[linewidth=.5pt,labels=none,ticks=y,yticksize=-2pt 2pt, Dy=0.1]{->}(0,0)(-3,-.05)(3,.45)
 \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200,linecolor=bleu]{-3}{3}
  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](-1,0)(-1,.24)
  \uput[d](-1,0){\prune{\scriptsize{$a$}}}\uput[dl](0,0){\tiny{$0$}}
  \rput(0,-.1){\prune{\scriptsize{$a<0$}}}
\end{pspicture} &
 \psset{xunit=.5cm, yunit=4cm}
\begin{pspicture}(-3,-.15)(3,.46)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\pscustom{
\psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=.25pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{1}{3} \gsave
\psline[linewidth=0.25pt, linecolor=prune](3,0)(1,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=bleuclair] \grestore} 
  \psaxes[linewidth=.5pt,labels=none,ticks=y,yticksize=-2pt 2pt, Dy=0.1]{->}(0,0)(-3,-.05)(3,.45)
 \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200,linecolor=bleu]{-3}{3}
  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](1,0)(1,.24)
  \uput[d](1,0){\prune{\scriptsize{$a$}}}\uput[dl](0,0){\tiny{$0$}}
  \rput(0,-.1){\prune{\scriptsize{$a>0$}}}
\end{pspicture}\\\hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex}\textsf{\textbf{Calcul}} &$0,5-P\left( a< X < 0 \right)$ & $0,5+P\left( 0 <  X \leqslant a \right)$ & $0,5+P\left( a \leqslant  X < 0  \right)$ & $0,5-P\left( 0< X <a \right)$\\ \hline
\end{tabularx}}}

   \subsection{Loi normale}
   
   \subsubsection{Définition}

\cadreR{%
Soit $\mu$ un réel et $\sigma$ un réel strictement positif. Dire qu'une variable aléatoire $X$ suit la loi normale d'espérance  $\mu$ et d'écart-type $\sigma$, signifie que la variable aléatoire $\dfrac{X-\mu}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}\left( 0 ; 1\right)$.

On note : $X$ suit la loi normale $\mathcal{N}\left( \mu ; \sigma\right)$.
}

\medskip

\textsf {\textsc{\small{remarques :}}}

\medskip

\begin{itemize}
\item Si $X$ suit la loi normale $\mathcal{N}\left( \mu ; \sigma\right)$ alors sa variance $V(X)=\sigma^{2}$.
\item La densité associée à une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale $\mathcal{N}\left( \mu ; \sigma\right)$ est la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\e^{\frac{1}{2}\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right)^2}$.

\begin{minipage}{.55\linewidth}\item L'espérance $\mu$ de la loi normale $\mathcal{N}\left( \mu ; \sigma\right)$ est un paramètre de position : la courbe représentative de la fonction de densité admet pour axe de symétrie la droite d'équation $x=\mu$.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{.4\linewidth}
\begin{flushright} 
\psset{xunit=.6cm, yunit=5cm}
\begin{pspicture}(-5,-.1)(6,.45)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{vert}{0.06 0.43 .08}
 \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.5pt,labels=none,ticks=y,yticksize=-2pt 2pt, Dy=0.1]{->}(0,0)(-5,-.02)(6,.45)
 \psGauss[sigma=1, mue=-1.58, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=vert]{-5}{2}
  \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-3.5}{3.5}
   \psGauss[sigma=1, mue=2.75, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=prune]{-1}{6}
  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=vert,linestyle=dashed](-1.58,0)(-1.58,.45)  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune,linestyle=dashed](2.75,0)(2.75,.45)
\uput[d](-1.58,0){\vert{\scriptsize{$\mu=-15,8$}}}\uput[d](2.75,0){\prune{\scriptsize{$\mu=27,5$}}}\uput[dl](0,0){\scriptsize{$0$}}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{minipage}

\begin{minipage}{.55\linewidth}\item L'écart-type $\sigma >0$ de la loi normale $\mathcal{N}\left( \mu ; \sigma\right)$ est un paramètre de dispersion : plus $\sigma$ est élevé, plus les réalisations de $X$ sont dispersées autour de $\mu$.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{.4\linewidth}
\begin{flushright} 
\psset{xunit=.6cm, yunit=4cm}
\begin{pspicture}(-5.5,-.05)(5.5,.6)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{vert}{0.06 0.43 .08}
 \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.5pt,labels=none,ticks=y,yticksize=-2pt 2pt, Dy=0.1]{->}(-3.5,0)(-5.5,-.02)(5.5,.6)
 \psGauss[sigma=2.5, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=vert]{-5.5}{5.5}
  \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-3.5}{3.5}
   \psGauss[sigma=.693, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=prune]{-3}{3}
  \psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed](0,0)(0,.6)
\uput[l](5.5,.1){\vert{\scriptsize{$\sigma=2,5$}}}\uput[r](.4,.5){\prune{\scriptsize{$\sigma=0,693$}}}\uput[r](1.2,.2){\bleu{\scriptsize{$\sigma=1$}}}\uput[dl](-3.5,0){\scriptsize{$0$}}\uput[d](0,0){\scriptsize{$\mu$}}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{minipage}
\end{itemize}

 \subsubsection{Intervalles de fluctuation d'une loi normale}
 
 \psframebox[linewidth=0.25pt,framearc=0.1]{
\begin{minipage}{\linewidth}
Si la  variable aléatoire $X$ suit la loi normale $\mathcal{N}\left( \mu ; \sigma\right)$ alors :

\begin{itemize}
\item $P\left( \mu -\sigma \leqslant X \leqslant \mu+\sigma\right) \approx 0,683$.
\item $P\left( \mu -2\sigma \leqslant X \leqslant \mu+2\sigma\right) \approx 0,954$.
\item $P\left( \mu -3\sigma \leqslant X \leqslant \mu+3\sigma\right) \approx 0,997$.
\end{itemize}

\psset{xunit=.75cm, yunit=5cm}
\begin{pspicture}(-3.5,-.2)(3.5,.5)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\pscustom{
\psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=.25pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-1}{1} \gsave
\psline[linewidth=0.25pt, linecolor=bleu](1,0)(-1,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=bleuclair] \grestore }
   \rput(0,.15){\psframebox*[framearc=.3]{\prune{\scriptsize{68,3\%}}}}
 \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.5pt,labels=none,ticks=y,yticksize=-2pt 2pt, Dy=0.1]{->}(-2.5,0)(-3.5,-.05)(3.5,.5)
 \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-3.5}{3.5}
 \psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed](0,0)(0,.45)
  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](-1,0)(-1,.241)  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](1,0)(1,.241)
  \uput[dl](-2.5,0){\scriptsize{$0$}}\uput[d](0,0){\scriptsize{$\mu$}}\uput[d](-1,0){\prune{\tiny{$\mu-\sigma$}}}\uput[d](1,0){\prune{\tiny{$\mu+\sigma$}}}
   \rput(0,-.15){\footnotesize{$X\in \left[ \mu-\sigma ; \mu+\sigma \right]$}}
\end{pspicture}\hfill\psset{xunit=.75cm, yunit=5cm}
\begin{pspicture}(-3.5,-.2)(3.5,.5)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\pscustom{
\psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=.25pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-2}{2} \gsave
\psline[linewidth=0.25pt, linecolor=bleu](2,0)(-2,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=bleuclair] \grestore }
   \rput(0,.15){\psframebox*[framearc=.3]{\prune{\scriptsize{95,4\%}}}}
 \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.5pt,labels=none,ticks=y,yticksize=-2pt 2pt, Dy=0.1]{->}(-2.5,0)(-3.5,-.05)(3.5,.5)
 \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-3.5}{3.5}
 \psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed](0,0)(0,.45)
  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](-2,0)(-2,.0539)  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](2,0)(2,.0539)
  \uput[dl](-2.5,0){\scriptsize{$0$}}\uput[d](0,0){\scriptsize{$\mu$}}\uput[d](-2,0){\prune{\tiny{$\mu-2\sigma$}}}\uput[d](2,0){\prune{\tiny{$\mu+2\sigma$}}}
  \rput(0,-.15){\footnotesize{$X\in \left[ \mu-2\sigma ; \mu+2\sigma \right]$}}
\end{pspicture}
\hfill\psset{xunit=.75cm, yunit=5cm}
\begin{pspicture}(-3.5,-.2)(3.5,.5)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\pscustom{
\psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=.25pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-3}{3} \gsave
\psline[linewidth=0.25pt, linecolor=bleu](3,0)(-3,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=bleuclair] \grestore }
   \rput(0,.15){\psframebox*[framearc=.3]{\prune{\scriptsize{99,7\%}}}}
 \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.5pt,labels=none,ticks=y,yticksize=-2pt 2pt, Dy=0.1]{->}(-2.5,0)(-3.5,-.05)(3.5,.5)
 \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-3.5}{3.5}
 \psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed](0,0)(0,.45)
  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](-3,0)(-3,.004)  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](3,0)(3,.004)
  \uput[dr](-2.5,0){\scriptsize{$0$}}\uput[d](0,0){\scriptsize{$\mu$}}\uput[d](-3,0){\prune{\tiny{$\mu-3\sigma$}}}\uput[d](3,0){\prune{\tiny{$\mu+3\sigma$}}}
  \rput(0,-.15){\footnotesize{$X\in \left[ \mu-3\sigma ; \mu+3\sigma \right]$}}
\end{pspicture}
\end{minipage}
}

\subsubsection{Loi normale et calculatrices}

Soit  $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale $\mathcal{N}\left( \mu ; \sigma\right)$. Les calculatrices disposent de commandes permettant de calculer :
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}X X}
\item $P\left( a \leqslant X \leqslant b\right)$ & \item Le réel $k$ tel que $P\left(  X \leqslant k\right) = \alpha$ avec $\alpha \in ]0 ;1[$\\
\end{tabularx}
\end{enumerate}

Commandes spécifiques des calculatrices :

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{2}{>{\sffamily}X|}} \cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{} & \multicolumn{1}{c|}{\normalsize{Sur TI 83}} & \multicolumn{1}{c|}{Sur Casio} \\ \hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex}\textsf {Menu} & \footnotesize{\psframebox*[framearc=.3,fillcolor=blue!75]{\white{\scriptsize{2nde}}} puis sur la touche \rnode{A}{\psframebox*[framearc=.3,fillcolor=lightgray!40]{var}} \nput[labelsep=2pt]{90}{A}{\blue\tiny{{distrib}}}} &  \footnotesize{\psframebox*[framearc=.3,fillcolor=gray]{\white{\scriptsize{OPTN}}} puis \psframebox{\tiny{STAT}} \psframebox{\tiny{DIST}} \psframebox{\tiny{NORM}}}\\ \hline
$P\left( a \leqslant X \leqslant b\right)$ &  \footnotesize{\texttt{normalFrep}$(a,b,\mu,\sigma)$  ou \texttt{normalCdf}$(a,b,\mu,\sigma)$\par borninf : $a$ ; bornsup : $b$  puis, renseigner $\mu$ et $\sigma$} & \footnotesize{\psframebox{\tiny{Ncd}} \texttt{normCD($a$,$b$,$\sigma$,$\mu$)} \par Lower : $a$ ; Upper : $b$ puis, renseigner $\sigma$ et $\mu$}\\ \hline 
$P\left(  X \leqslant k\right) = \alpha$ &  \footnotesize{\texttt{FracNormale}$(\alpha,\mu,\sigma)$ ou \texttt{invNorm}$(\alpha,\mu,\sigma)$ \par aire : $\alpha$  puis, renseigner $\mu$ et $\sigma$}&  \footnotesize{\psframebox{\tiny{InvN}} \texttt{InvNormCD}$(\alpha,\sigma,\mu)$ \par Area : $\alpha$  puis, renseigner $\sigma$ et $\mu$}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

{\footnotesize{La variable $X$ suit la loi normale $\mathcal{N}\left(125; 4,5 \right)$ d'espérance $\mu=125$ et d'écart-type $\sigma= 4,5$. 

Les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près. 

\begin{enumerate}
\item Déterminer les probabilités suivantes :

$P(122 \leqslant X \leqslant 128 )$ ;  \hfill $P(  X \leqslant 120 )$ ;  \hfill $P(  X \geqslant 130,4 )$ ; \hfill $P(  X \geqslant 118,7 )$.

\item Déterminer le réel $a$ tel que $P\left( X \leqslant a \right) =0,871$. 
\item Déterminer le réel $b$ tel que $P\left(  X \geqslant b \right) =0,02$. 
\item Déterminer un intervalle $I$ de centre 125 tel que $P\left( X\in I\right)= 0,81$.
\end{enumerate}
}}
\begin{enumerate}
\item\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice on trouve $P(122 \leqslant X \leqslant 128 )\approx 0,495$.

\begin{minipage}{.7\linewidth}
\item \[\begin{array}{lcl}
  P(  X \leqslant 120 ) &=& P(  X \leqslant 125 ) - P(120 < X \leqslant 125 )\\
&=&0,5-P(120 < X \leqslant 125 )\\
&\approx & 0,133 \\
\end{array}\]
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{.3\linewidth}
 \begin{flushright}
\psset{xunit=.5cm, yunit=4cm}
\begin{pspicture}(-3,-.1)(3,.45)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\pscustom{
\psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=.25pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-3}{-1.11} \gsave
\psline[linewidth=0.25pt, linecolor=prune](-1.11,0)(-3,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=bleuclair] \grestore} 
 \psaxes[linewidth=.5pt,labels=none,ticks=none, yAxis=false]{->}(0,0)(-3,0)(3,.45)
 \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-3}{3}
  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](-1.11,0)(-1.11,.215)
  \psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed](0,0)(0,.45)
 \psline[linewidth=.5pt,linecolor=bleu]{->}(0,.42)(-3,.42)
  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune]{<->}(0,.107)(-1.11,.107)
  \uput[d](-1.11,0){\prune{\tiny{$120$}}}\uput[d](0,0){\tiny{$125$}}\uput[u](-1.5,.4){\bleu{\tiny{$0,5$}}}
\end{pspicture}
 \end{flushright}
\end{minipage}

\begin{minipage}{.7\linewidth}
\item \[\begin{array}{lcl}
  P(  X \geqslant 130,4 ) &=& P(  X \geqslant 125 ) - P(125 \leqslant X < 130,4 )\\
&=&0,5-P(125 \leqslant X < 130,4 )\\
&\approx & 0,115 \\
\end{array}\]
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{.3\linewidth}
 \begin{flushright}
\psset{xunit=.5cm, yunit=4cm}
\begin{pspicture}(-3,-.1)(3,.45)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\pscustom{
\psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=.25pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{1.2}{3} \gsave
\psline[linewidth=0.25pt, linecolor=prune](3,0)(1.2,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=bleuclair] \grestore} 
 \psaxes[linewidth=.5pt,labels=none,ticks=none, yAxis=false]{->}(0,0)(-3,0)(3,.45)
 \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-3}{3}
  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](1.2,0)(1.2,.194)
  \psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed](0,0)(0,.45)
 \psline[linewidth=.5pt,linecolor=bleu]{->}(0,.42)(3,.42)
 \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune]{<->}(0,.097)(1.2,.097)
  \uput[d](1.2,0){\prune{\tiny{$130,4$}}}\uput[d](0,0){\tiny{$125$}}\uput[u](1.5,.4){\bleu{\tiny{$0,5$}}}
\end{pspicture}
 \end{flushright}
\end{minipage}

\begin{minipage}{.7\linewidth}
\item \[\begin{array}{lcl}
  P(  X \geqslant 118,7 ) &=& P(118,7 \leqslant X \leqslant 125 )+P(  X > 125 ) \\
&=&0,5+ P(118,7 \leqslant X \leqslant 125 )\\
&\approx & 0,919 \\
\end{array}\]
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{.3\linewidth}
 \begin{flushright}
\psset{xunit=.5cm, yunit=4cm}
\begin{pspicture}(-3,0)(3,.5)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\pscustom{
\psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=.25pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-1.4}{3} \gsave
\psline[linewidth=0.25pt, linecolor=prune](3,0)(-1.4,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=bleuclair] \grestore} 
 \psaxes[linewidth=.5pt,labels=none,ticks=none, yAxis=false]{->}(0,0)(-3,0)(3,.45)
 \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-3}{3}
  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](-1.4,0)(-1.4,.149)
  \psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed](0,0)(0,.45)
 \psline[linewidth=.5pt,linecolor=bleu]{->}(0,.42)(3,.42)
 \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune]{<->}(0,.075)(-1.4,.075)
  \uput[d](-1.4,0){\prune{\tiny{$118,7$}}}\uput[d](0,0){\tiny{$125$}}\uput[u](1.5,.4){\bleu{\tiny{$0,5$}}}
\end{pspicture}
 \end{flushright}
\end{minipage}
\end{enumerate}
\item Avec la calculatrice, $P\left( X \leqslant a \right) =0,871$ pour $a\approx 130,09$. 
\item La calculatrice permet de résoudre l'équation $P\left(  X \leqslant k\right) = \alpha$ avec $\alpha \in ] 0 ; 1[$. Or \[P\left(  X \geqslant b \right) =0,02 \iff 1-P\left(  X < b \right) =0,02 \iff P\left(  X < b \right) =0,98\]

Soit en utilisant la calculatrice $b\approx 134,242$.
\item Un intervalle $I$ de centre 125 est de la forme $[ 125 - a ; 125 + a ]$ où $a$ est un réel positif.

On cherche donc le réel $a$ tel que $P\left( 125 - a \leqslant X \leqslant 125 + a \right)= 0,81$.

\begin{minipage}{.65\linewidth}
La courbe de la fonction de densité de la loi normale  $\mathcal{N}\left( 125 ; 4,5\right)$ est symétrique par rapport à la droite d'équation $x=125$.

On en déduit que : \[\begin{split}P\left( 125 - a \leqslant X \leqslant 125 + a \right)= 0,81 &\iff 1-2 \times P\left(  X < 125 - a \right) =0,81\\ &\iff P\left(  X < 125 - a \right) =\dfrac{1-0,81}{2}=0,095\end{split}\]
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{.35\linewidth}
 \begin{flushright}
\psset{xunit=.65cm, yunit=6cm}
\begin{pspicture}(-3,-.1)(3,.45)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\pscustom{
\psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=.25pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-1.31}{1.31} \gsave
\psline[linewidth=0.25pt, linecolor=prune](1.31,0)(-1.31,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=bleuclair] \grestore} 
\pscustom{
\psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=.25pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-3}{-1.31}\gsave
\psline(-1.31,0)(-3,0)
\fill[fillstyle=vlines,hatchcolor=prune,hatchwidth=0.5pt] \grestore }
\pscustom{
\psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=.25pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{1.31}{3}\gsave
\psline(3,0)(1.31,0)
\fill[fillstyle=hlines,hatchcolor=prune,hatchwidth=0.5pt] \grestore }
\rput(0,.169){\psframebox*[framearc=.3]{\prune{\scriptsize{81\%}}}}
 \psaxes[linewidth=.5pt,labels=none,ticks=none, yAxis=false]{->}(0,0)(-3,0)(3,.45)
 \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-3}{3}
  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](-1.31,0)(-1.31,.169)\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](1.31,0)(1.31,.169)
  \psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed](0,0)(0,.45)
  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune]{->}(-1.31,.169)(-3,.169) \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune]{->}(1.31,.169)(3,.169)
  \uput[d](-1.31,0){\prune{\tiny{$125-a$}}}\uput[d](0,0){\tiny{$125$}} \uput[d](1.31,0){\prune{\tiny{$125+a$}}}
  \uput[u](-2.15,.16){\prune{\tiny{$9,5\%$}}}\uput[u](2.15,.16){\prune{\tiny{$9,5\%$}}}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{minipage}


Soit en utilisant la calculatrice $125-a\approx 119,102$ d'où $a\approx 8,898$ et $125+a\approx 130,898$.

Donc $I=[ 119,102 ; 130,898 ]$ (ou avec les bornes de l'intervalle arrondies à $10^{-1}$ près, $I=[ 119,1 ; 130,9 ]$)
\end{enumerate}
 
 \section {application à la prise de décision}
 
 



 \subsection{Intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\%}

 On s'intéresse à un caractère de proportion $p$ connue au sein d'une population. On prélève au hasard et avec remise un échantillon de taille $n$ sur lequel on observe une fréquence $f$ du caractère étudié.

La variable aléatoire $X_n$ qui à chaque échantillon aléatoire de taille $n$ associe le nombre d'individus ayant le caractère étudié suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n;p)$. La fréquence $F_n$  du caractère est $F_n=\dfrac{X_n}{n}$.

Lorsque $n\geqslant 30$, $n p \geqslant 5$ et $n(1-p) \geqslant 5$, on admet que $X_n$ suit approximativement la loi normale d'espérance $\mu = np$ et d'écart-type $\sigma = \sqrt{np\left(1-p\right)}$.

On a alors, \[P\left( \mu -1,96\sigma \leqslant X_n \leqslant \mu +1,96 \sigma\right) \approx 0,95 \iff P\left( {p -1,96\times \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}}  \leqslant \dfrac{X_n}{n} \leqslant {p +1,96\times \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}} \right) \approx 0,95\] 

\cadreR{%
Si $n\geqslant 30$, $n p \geqslant 5$ et $n(1-p) \geqslant 5$, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\% de la variable aléatoire $F_n$, l'intervalle :  \[I_{n} =\left[ {p -1,96\times \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}} ; {p +1,96\times \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}} \right].\]
}
%
%\subsubsection{Interprétation}
%
%L'intervalle $I_n$ contient la fréquence $F_n$ avec une probabilité proche de de 0,95 pourvu que $n$ soit suffisamment grand.
%

\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

En première partie de soirée une série a attiré près de 5,7 millions de téléspectateurs soit 28\% de part d'audience.

On interroge 120 personnes ayant regardé la télévision en première partie de soirée. 

Avec $p=0,28$ et $n=120$ on a $np=33,6$ et $n(1-p)=86,4$, les critères d'approximation étant vérifiés, un intervalle de fluctuation asymptotique à 95 \% de  la fréquence $f$ des téléspectateurs qui ont regardé cette série est :\[I_{120} =\left[ {0,28 -1,96\times \sqrt{\dfrac{0,28\times0,72}{120}}} ; {0,28 +1,96\times \sqrt{\dfrac{0,28\times0,72}{120}}} \right]\]
Soit en arrondissant les bornes de l'intervalle à $10^{-3}$ près, $I_{120} \approx \left[ 0,199 ; 0,361\right]$.

\subsection{Décision à partir de la fréquence d'un échantillon}

Quand les critères d'approximation sont vérifiés, l'intervalle de fluctuation asymptotique $I_{n}$ permet de déterminer des seuils de décision :

\begin{itemize}
\item pour accepter ou rejeter l'hypothèse selon laquelle $p$ est la proportion d'un caractère dans la population ;
\item pour déterminer si un échantillon issu de la population est représentatif. 
\end{itemize}

\medskip

\cadreB{%
On formule l'hypothèse que la proportion d'un caractère dans la population est $p$. 

On prélève dans la population un échantillon de taille $n$ et on note $f$ la fréquence observée du caractère étudié.

Lorsque  $n\geqslant 30$, $n p \geqslant 5$  et $n(1-p) \geqslant 5$ on pose : \[I_{n} =\left[ {p -1,96\times \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}} ; {p +1,96\times \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}} \right].\]
\begin{itemize}
\item Si la fréquence observée $f$ n'appartient pas à l'intervalle $I_{n}$, alors on rejette l'hypothèse selon laquelle $p$ est la proportion du caractère étudié dans la population avec un risque d'erreur de 5 \%.
\item Si la fréquence observée $f$ appartient à l'intervalle $I_{n}$, alors l'hypothèse selon laquelle $p$ est la proportion du caractère étudié dans la population est acceptée.
\end{itemize}
}

\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

Dans un forum on a constaté que 42 personnes sur 120 ont regardé la série dont la part d'audience a été estimée à 28\%. Ce résultat remet-il en question l'estimation de la part d'audience de la série ?

La fréquence observée de la part d'audience dans l'échantillon de taille 120 est : $f= \dfrac{42}{120}=0,35$.

L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 \% de la part d'audience de la série dans les échantillons de taille 120 est $I_{120} = \left[ 0,199 ; 0,361\right]$.


Comme $0,35 \in \left[ 0,199 ; 0,361\right]$, l'estimation d'une part d'audience de 28 \% pour la série n'est pas remise en cause.

\subsection{Intervalle de confiance}

On cherche à estimer avec un certain niveau de confiance, la proportion $p$ \textbf{inconnue} d'un caractère au sein d'une population à partir d'un échantillon de taille $n$. 

\subsubsection{Définition}

\cadreR{%
Soit $f$ la fréquence observée d'un caractère dans un échantillon de taille $n$.

Sous les conditions d'approximation $n\geqslant 30$, $n p \geqslant 5$  et $n(1-p) \geqslant 5$, l'intervalle de confiance au niveau de confiance 95 \% de la proportion inconnue $p$ dans la population est l'intervalle \[I =\left[ {f -1,96\times \sqrt{\dfrac{f(1-f)}{n}}} ; {f +1,96\times \sqrt{\dfrac{f(1-f)}{n}}} \right].\] 
}

\subsubsection{Remarques}

\begin{itemize}
\item En pratique, les conditions de validité de la formule peuvent être vérifiées à posteriori.
\item La différence entre deux fréquences $f_1$ et $f_2$ observées sur deux échantillons est considérée comme significative quand les intervalles de confiance correspondants sont disjoints.

Dans ce cas, on considère que les deux proportions $p_1$ et $p_2$ sont différentes. Dans le cas contraire, on ne peut pas conclure.
\end{itemize}

\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

On interroge au hasard 100 clients ayant effectué des achats à la sortie d'une grande surface. Le temps d'attente aux caisses a été jugé raisonnable par 52 personnes interrogées.

Peut-on considérer que plus de la moitié des clients de cette grande surface estiment que le temps d'attente aux caisses est raisonnable ?

Soit $f=\dfrac{52}{100}=0,52$ la fréquence des clients qui estiment que le temps d'attente aux caisses est raisonnable. 

L'intervalle de confiance au niveau de confiance 95\% de la proportion des clients qui estiment que le temps d'attente aux caisses est raisonnable est :
\[I= \left[ {0,52-1,96\times \sqrt{\dfrac{0,52\times 0,48}{100}}} ; {0,52+1,96\times \sqrt{\dfrac{0,52\times 0,48}{100}}} \right]\approx\left[ 0,42 ; 0,62\right]\]

On a : $n=100$,  $0,42 \leqslant p \leqslant 0,62$,  $100\times 0,42 \leqslant np \leqslant 0,62$ et $100\times \left(1-0,62\right) \leqslant n\left( 1- p\right) \leqslant 100\times\left(1-0,42\right)$.

Soit $n\geqslant 30$, $42 \leqslant np \leqslant 62$ et  $38 \leqslant n\left( 1- p\right) \leqslant 58$. Les conditions d'utilisation d'un intervalle de confiance au niveau de confiance 95 \% sont vérifiées.

Un intervalle de confiance au niveau de confiance 95 \% de la proportion de clients  qui estiment que le temps d'attente aux caisses est raisonnable est $\left[ 0,42 ; 0,62\right]$.

La borne inférieure de l'intervalle de confiance est 0,42, il est donc possible que moins de 50\% des clients trouvent que le temps d'attente aux caisses est raisonnable.

 

 
\newpage

\addcontentsline{toc}{section}{Exercices}
 
 \exo

 \medskip
 
 Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle  $\left[47;55\right]$ par $f(x)=\begin{cases} \dfrac{x}{4}-\dfrac{47}{4} & \text{si } 47 \leqslant x <48 \\ -\dfrac{x}{28}+\dfrac{55}{28} & \text{si } 48 \leqslant x \leqslant 55\end{cases}$ .
 
\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(10,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{x/4}
\def\g{2/7-x/28}
\rput(4,-2){\footnotesize{Courbe représentative de la fonction $f$}}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-1)(10,6)
\pspolygon[linewidth=0.75pt, linecolor=prune,fillstyle=solid,fillcolor=bleuclair](2.4,0)(2.4,3.2)(3.8,2.4)(3.8,0)
\psset{xunit=.5cm,yunit=8cm}
\psaxes[yAxis=false,labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=8,Ox=47]{->}(0,0)(-2,0)(10,.375)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{1}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{1}{8}{\g}
\uput[dl](1,.28){\scriptsize{$y=\dfrac{x}{4}-\dfrac{47}{4}$}}
\uput[dr](5,.2){\scriptsize{$y=-\dfrac{x}{28}+\dfrac{55}{28}$}}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est une fonction de densité de probabilité sur l'intervalle  $\left[47;55\right]$.
\item La fonction $f$ est la densité de probabilité de la variable aléatoire $C$ mesurant la capacité en ml du volume d'eau de parfum contenue dans un flacon pris au hasard dans la production d'une entreprise. 

On a $C \in [47 ; 55]$.
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité de l'évènement $C \in [49,4 ; 50,8]$.
\item Quelle est la probabilité que le flacon contienne moins de 50 ml d'eau de parfum ?
\item Calculer l'espérance mathématique de la variable $C$. Interpréter le résultat. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip 

\exo

 \medskip 

\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur exacte de l'intégrale $I=\displaystyle\int_{0}^{2} \dfrac{\e^{0,5x}}{2}  \:\dd x$.
\item En déduire que la fonction $f$ définie sur  $[0;2]$ par $f(x) =\dfrac{\e^{0,5x}}{2\e - 2} $ est une fonction de densité  sur $[0;2]$. 
\item Soit $X$ la variable aléatoire de densité de probabilité  $f$. La probabilité $P( X \geqslant 1,2 )$ est-elle supérieure à 0,5 ? 
\end{enumerate}

\bigskip 

\exo

\medskip 

Dans un supermarché, le  temps d'attente $X$ à la caisse, exprimé en minutes, suit la loi uniforme sur l'intervalle $[1;11]$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer la fonction de densité de probabilité  $f$  de la la loi de $X$.
\item Quelle est la probabilité que le temps d'attente soit compris entre trois  et cinq minutes ?
\item Quelle est la probabilité qu'un client attende plus de huit  minutes à la caisse ? 
\item Préciser le temps d'attente moyen à la caisse. 
\end{enumerate}

\bigskip

\exo
 
 \medskip
 
 Dans la journée, un métro passe toutes les 6 minutes à la station 14.
 
 Soit $X$ le temps d'attente d'une personne à cette station. On suppose que $X$ suit la loi uniforme sur $[0 ; 6]$. 
 
 Quelle est la probabilité que cette personne attende entre 3 et 5 minutes ?
 
\bigskip

\exo
 
 \medskip
 
 Soit $[AB]$ un segment de longueur 8 cm. On choisit au hasard un point $M$ sur le segment $[AB]$ et on note $D$ la variable aléatoire donnant la distance $AM$ en cm.
 
\begin{enumerate}
 \item Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire $D$ ?
 \item Calculer la probabilité que le point $M$ :
 \begin{enumerate}
 \item soit le milieu $I$ du segment $[AB]$ ;
 \item soit à une distance inférieure à 3 cm du point $A$ ;
 \item soit plus près du point $B$ que du milieu $I$.
 \end{enumerate}
 \end{enumerate}

 \bigskip

\exo \hfill (\emph{D'après sujet bac France Métropolitaine, La Réunion septembre 2015})

 \medskip 


Un sismologue déclare en janvier 2014 : \og Le risque d'un séisme majeur le long de la faille de
San Andreas, en Californie, dans les vingt prochaines années est supérieur à 70\,\% \fg.

\medskip

On s'intéresse au temps, exprimé en années, écoulé entre deux séismes majeurs le long de
cette faille en Californie. On admet que ce temps est une variable aléatoire $X$ qui suit une loi
exponentielle de paramètre $\lambda$.

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{document 1}}}

\medskip

\fbox{\begin{minipage}{\linewidth}
La faille de San Andreas, en Californie : séismes majeurs de magnitude supérieure
ou égale à 5.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{Ville}	& \textbf{Année} &\textbf{Magnitude}\\ \hline\hline
Comté d'Orange	& 1769	& 6\\ \hline
San Diego 		&1800	& 6,5\\ \hline
San Francisco 	&1808 	&6\\ \hline
Fort Tejon 		&1857 	&8,3\\ \hline
Monts Santa Cruz&1865 	&6,5\\ \hline
Hayward 		&1868 	&6,9\\ \hline
San Francisco 	&1906 	&8,2\\ \hline
Santa Barbara 	&1925 	&6,3\\ \hline
Santa Barbara 	&1927 	&7,3\\ \hline
Long Beach 		&1933 	&6,3\\ \hline
Comté de Kern 	&1952 	&7,7\\ \hline
San Francisco 	&1957 	&5,3\\ \hline
San Fernando 	&1971 	&6,6\\ \hline
LomaPrieta 		&1989 	&7,1\\ \hline
Parkfield 		&2004 	&6,0\\ \hline
Los Angeles 	&2008 	&5,5\\ \hline
Mexicali 		&2010 	&7,2\\ \hline
Napa 			&2014 	&6,0\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{minipage}
}
\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{document 2}}}

\medskip

\fbox{\begin{minipage}{\linewidth}

\textbf{Rappels sur la loi exponentielle}
\begin{itemize}
\item $\lambda$ est un nombre réel strictement positif.
 
 Une variable aléatoire suit \textbf{la loi exponentielle de paramètre} $\lambda$ si sa densité
de probabilité est définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(x) = \lambda\e^{-\lambda x}$.
\item L'espérance d'une variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre
$\lambda$ est $E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$.
\end{itemize}

\end{minipage}
}
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour illustrer la situation un élève utilise un tableur.
\begin{center}
\scalebox{.8}{
{\footnotesize{
\newrgbcolor{gris1}{.87 .89 .97}
\newrgbcolor{gris2}{.41 .49 .59}
\begin{tabularx}{1.25\linewidth}{|>{\columncolor{gris1}}c|c|*{18}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
\rowcolor{gris1} &A &B &C &D &E &\multicolumn{1}{c|}{\cellcolor{gris2}\white{\bf{F}}} &G &H &I &J &K &L &M &N &O &P &Q &R &S &T\\ \hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex}1& Année& 1769& 1800 &1808 &1857 &1865 &1868 &1906 &1925 &1927 &1933 &1952 &1957 &1971 &1989 &2004 &2008 &2010 &2014& Total\\ \hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex}2&\cellcolor{gris2}& &31 &8 &49 &8 &3 &38 &19 &2 &6 &19 &5 &14 &18 &15 &4 &2 &4 &245\\ \hline
\end{tabularx}}}
}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Proposer un titre pour la cellule A2 grisée.
		\item Quelle formule a saisi l'élève dans la cellule C2 afin de compléter ce tableau jusqu'à la colonne S par \og recopie automatique vers la droite \fg{} ?
 	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer en années la moyenne $m$, arrondie à $10^{-2}$ près, du temps écoulé entre
deux séismes majeurs le long de la faille de San Andreas en Californie.
		\item Justifier qu'une approximation du paramètre $\lambda$ de la loi exponentielle suivie par la variable aléatoire $X$ est \np{0,0694}.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P(X \leqslant 20)$ à $10^{-2}$ près.
		\item L'affirmation du sismologue paraît-elle cohérente avec cette modélisation par
une loi exponentielle?
	\end{enumerate}
\item  Le dernier séisme majeur a eu lieu en 2014 à Napa.
Calculer la probabilité qu'il n'y ait pas d'autres séismes majeurs le long de la faille de
San Andreas, en Californie, avant 2050. On arrondira à $10^{-2}$ près.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation $1 - \e^{\np{-0,0694}t} = 0,95$.
		\item Interpréter ce résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 \bigskip
 
\exo \hfill (\emph{D'après sujet bac France métropolitaine, La Réunion 2016})

 \medskip 

\emph{Les parties A et B sont indépendantes.}

Un pont levant enjambant un canal peu fréquenté est constitué d'un tablier qui, une fois relevé, permet le passage de bateaux de différentes tailles.

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-.5,0)(6.75,5.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\psset{linewidth=1pt, linecolor=bleu}
\psline(-.5,.2)(.75,.2)(.75,0)(5.5,0)(5.5,.2)(6.75,.2)
\pspolygon*(.75,0)(.75,.25)(1,.25)(1,4)(1.25,4)(1.25,.25)(1.5,.25)(1.5,0)
\pspolygon*(4.75,0)(4.75,.25)(5,.25)(5,4)(5.25,4)(5.25,.25)(5.5,.25)(5.5,0)
\psline(.8,3.5)(1.2,4.5)(1.4,4.5)(1.25,4)(1.1,4.25)(1.4,4.5)(1.4,3.4)
\psline(5.45,3.5)(5.05,4.5)(4.85,4.5)(5,4)(5.15,4.25)(4.85,4.5)(4.85,3.4)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=grisb](-.5,.8)(.95,1)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=grisb](1.3,3.2)(4.95,3.4)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=grisb](5.3,.8)(6.75,1)
\uput[u](3.125,4.5){Position haute}
\footnotesize{
\uput[u](3.125,3.4){tablier du pont}
\uput[u](0.225,1){route}
\uput[u](6.025,1){route}
\uput[u](3.125,0){chenal maritime}
}
\end{pspicture} \hfill
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-.5,0)(6.75,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\psset{linewidth=1pt, linecolor=bleu}
\psline(-.5,.2)(.75,.2)(.75,0)(5.5,0)(5.5,.2)(6.75,.2)
\pspolygon*(.75,0)(.75,.25)(1,.25)(1,4)(1.25,4)(1.25,.25)(1.5,.25)(1.5,0)
\pspolygon*(4.75,0)(4.75,.25)(5,.25)(5,4)(5.25,4)(5.25,.25)(5.5,.25)(5.5,0)
\psline(.8,3.5)(1.2,4.5)(1.4,4.5)(1.25,4)(1.1,4.25)(1.4,4.5)(1.4,1)
\psline(5.45,3.5)(5.05,4.5)(4.85,4.5)(5,4)(5.15,4.25)(4.85,4.5)(4.85,1)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=grisb](-.5,.8)(.95,1)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=grisb](1.3,.8)(4.95,1)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=grisb](5.3,.8)(6.75,1)
\uput[u](3.125,4.5){Position basse}
\footnotesize{
\uput[u](3.125,1){tablier du pont}
\uput[u](0.225,1){route}
\uput[u](6.025,1){route}
\uput[u](3.125,0){chenal maritime}
}
\end{pspicture}

\begin{center}
 \fbox{\begin{minipage}{.6\linewidth}
 Hauteur du tablier en position haute : 7 mètres
 
 Longueur du tablier : 30 mètres
 
 Temps de montée du tablier : 2 minutes
 
 Temps en position haute du tablier (hors incident) : 8 minutes
 
 Temps de descente du tablier : 2 minutes
 \end{minipage}}
\end{center}

\medskip

\textsf{\textbf{\textsc{partie a - }} Sur la route}


\medskip

Un automobiliste se présente devant le pont. Le tablier du pont est en position haute. On s'intéresse ici au temps d'attente $D$, exprimé en minutes, de l'automobiliste avant qu'il puisse franchir le canal, pont baissé (hors incident).

\begin{enumerate}
\item Combien de temps l'automobiliste attend-il au minimum ? au maximum ?
\item On admet que le temps d'attente, en minutes, de l'automobiliste pour franchir le pont est une variable aléatoire $D$ qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $[2 ; 10]$.

Déterminer l'espérance $E(D)$ de la variable aléatoire $D$ et interpréter le résultat dans le contexte.
\item Calculer la probabilité que le temps d'attente de l'automobiliste ne dépasse pas 5 minutes.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf{\textbf{\textsc{partie b - }}  Sur l'eau}

\medskip

\emph{Dans cette partie les résultats demandés seront arrondis à $10^{-2}$ près.}

\medskip

Lorsqu'un bateau est passé, le tablier du pont revient en position basse. Le temps, exprimé en heures, avant que le bateau suivant se présente devant le pont est une variable aléatoire $T$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,05$. Ce temps est appelé temps de latence.

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'espérance $E(T)$ de la variable aléatoire $T$ et interpréter le résultat dans le contexte.
\item On considère la fonction $f$ définie sur $[0 ; +\infty[$ par $f(x) = 0,05 \e^{-0,05 x}$.

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $F$ définie sur $[0 ; +\infty[$  par $F(x) = -\e^{-0,05 x}$ est une primitive de $f$.
		\item On rappelle que pour tout nombre réel $t$  de $[0 ; +\infty[$ , $P\left(T \leqslant t\right) = \displaystyle\int_0 ^t f(x) \dd x$.

Démontrer que $P\left(T \leqslant t\right)  = 1 - \e^{-0,05 t}$.
	\end{enumerate} 
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que le temps de latence soit inférieur à une demi-journée, soit 12 heures.
		\item  Calculer la probabilité que le temps de latence soit supérieur à un jour.
		\item  Calculer $P\left(12\leqslant T \leqslant 24\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \bigskip 

\exo \hfill (\emph{D'après sujet bac Antilles Guyane 2014})

 \medskip 

Dans cet exercice, on s'intéresse à deux types A et B de téléviseurs à écran plat. 

Les réponses aux questions 1. a., 1. b. et 1. c. seront arrondies au centième.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La durée de fonctionnement, exprimée en heures, d'un téléviseur du type A, avant que survienne la première panne, est modélisée par une variable aléatoire $X$ suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 2 \times 10^{-5}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que la première panne survienne avant la \np{32000}\up{e} heure de fonctionnement. 
		\item On s'intéresse à un téléviseur de type A fonctionnant chaque jour pendant 4 heures. Calculer la probabilité que la première panne d'écran ne survienne pas avant 10 ans.
		 
\emph{On prendra $1$ année = $365$ jours}. 
		\item Calculer la probabilité que la première panne survienne après \np{10000}~heures et avant \np{40000}~heures de fonctionnement. 
		\item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ et en donner une interprétation.
	\end{enumerate} 
\item La durée de fonctionnement avant la première panne d'un téléviseur de type B est modélisée par une variable aléatoire $Y$ suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda'$. 

Une étude statistique a permis d'évaluer $P(Y \leqslant \np{32000}) = 0,8$. 

Calculer la valeur arrondie à $10^{-5}$ de $\lambda'$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
 \exo

 \medskip 

Dans une entreprise de vente par correspondance, une étude statistique a montré que 40 \% des clients ont choisi l'option \og Livraison Express \fg{}. 

On prélève au hasard et de manière indépendante 600 bons de commande. 

On note $X$ la variable aléatoire qui associe le nombre de bons  portant la mention  \og Livraison Express \fg{}. 

\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi probabilité de $X$. Quelle est son espérance mathématique ?
\item On admet que l'on peut approcher la loi de la variable aléatoire $\dfrac{X-240}{12}$ par la loi normale centrée réduite. On note $Z$ une variable aléatoire suivant  la loi normale centrée réduite.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $P(225 \leqslant X \leqslant 270 )=P(-1,25 \leqslant Z \leqslant 2,5 )$.

Quelle est la probabilité, arrondie à  $10^{-3}$ près, que le nombre de bons portant la mention  \og Livraison Express \fg{} soit compris entre 225 et 270 ?
\item Déterminer la probabilité qu'au moins 276  bons portent la mention  \og Livraison Express \fg{}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\begin{center}
\emph{Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à $10^{-3}$ près}
\end{center}

Un produit est conditionné en paquets dont la masse théorique est de 250 grammes.

\medskip

 \textsf{\textsc{\textbf{partie a}}}

\medskip 

La machine en charge du remplissage automatique des paquets est régulièrement calibrée. 

On considère que la durée $T$ de fonctionnement, exprimée en heures, entre deux calibrages, est une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre \mbox{$\lambda = 0,005$}.

\begin{enumerate}
\item Calculer l'espérance $E(T)$ de la variable aléatoire $T$. Interpréter ce résultat.
\item Déterminer $P( T \geqslant 200)$.
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textsc{\textbf{partie b}}}

\medskip

On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à chaque paquet pris au hasard, associe sa masse exprimée en grammes. On considère que $X$ suit la loi normale de moyenne $\mu = 250$ et d'écart type $\sigma = 2,7$.

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité $P(245 \leqslant X \leqslant 260)$. 
\item Le contrôle de conformité mis en place rejette tout paquet dont la masse est inférieure à 245 grammes.
 
Quelle est la probabilité qu'un paquet pris au hasard ne soit pas conforme ?
\end{enumerate}

 \bigskip 
 
\exo

\begin{center} 
\emph{Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à  $10^{- 3}$}
\end{center}

La compagnie aérienne Truc-Air utilise pour ses vols moyen-courriers des avions pouvant transporter 200 passagers.

Suite à une étude qui a permis d'établir que 10\% des clients qui ont réservé un vol ne se présentent pas à l'embarquement, la direction commerciale a décidé de pratiquer le \og surbooking\fg{}.

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip


La compagnie accepte pour un vol donné, 210 réservations.

On note $X$ la variable aléatoire qui associe le nombre de passagers qui se présentent à l'embarquement.

\begin{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
  \item Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$ ?
  \item Déterminer la probabilité $P\left( X\leqslant 200\right)$.
  \end{enumerate}
  \item On choisit d'approcher la loi binomiale de $X$ par une loi normale d'espérance $\mu = E(X)$ et d'écart-type $\sigma = \sigma(X)$. Soit $Y$ l'approximation normale de $X$.
  \begin{enumerate}
  \item Déterminer $P\left( Y\leqslant 200\right)$.
  \item Déterminer un intervalle $I$ de centre 189 tel que $P\left( Y\in I\right)\approx 0,95$.
  \end{enumerate}
 
  \item La compagnie prend-elle un risque important en acceptant 210 réservations pour ce vol ? 
  \end{enumerate} 
  
  \medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

La compagnie accepte pour un vol donné $n$ réservations.

On note $X_{n}$ le nombre de passagers qui se présentent à l'embarquement. La variable aléatoire $X_{n}$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}\left( n ; 0,9 \right)$. 

On cherche à déterminer le nombre maximal de réservations pour que la probabilité de l'évènement \og \mbox{$ X_{n} \leqslant 200$}\fg{} soit supérieure à 0,95.

On admet que la loi de probabilité de $X_{n}$ peut être approchée par une loi normale d'espérance $\mu = E(X_{n})=0,9 n$ et d'écart-type $\sigma = \sigma(X_{n})=0,3 \sqrt{n}$.
\begin{enumerate}
    
  \item On considère la variable aléatoire $Z_{n}= \dfrac{X_{n}-0,9n}{0,3 \sqrt{n}}$ qui suit la loi normale centrée réduite.
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que $X_{n} \leqslant 200$ équivaut à $Z_{n} \leqslant \dfrac{200-0,9n}{0,3 \sqrt{n}}$.
  \item Déterminer à l'aide de la calculatrice, la valeur arrondie à $10^{-3}$ près, du réel $k$ tel que \mbox{$P\left( Z_{n}\leqslant k\right) \geqslant 0,95$}.
  \item En déduire que $n$ est solution de l'inéquation $0,9 n+0,4935 \sqrt{n}-200 \leqslant 0$.
   \end{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
  
  \item On pose $x= \sqrt{n}$ avec $x \geqslant 0$. Résoudre dans $\R^+$, l'inéquation $0,9 x^2+0,4935 x-200 \leqslant 0$.
  \item En acceptant le risque maximum de 5\% de voir plus de 200 passagers se présenter à l'embarquement, quel est le nombre maximal de réservations que cette compagnie peut prendre pour ce vol ?
   \end{enumerate}   
  \end{enumerate}  

\bigskip
 
  \exo  

\medskip
 
Une entreprise fabrique en grande quantité des tubes en aluminium. 

La longueur des tubes est exprimée en millimètres. Un tube est dit \og conforme pour la longueur \fg{} lorsque celle-ci appartient à l'intervalle $[245~;~255]$. 
 
\begin{center} 
\emph{Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à  $10^{- 3}$}
\end{center}

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Dans cette partie, on considère que  5\,\% des tubes ne sont pas conformes pour la longueur. 

On prélève au hasard 50 tubes dans le stock. Le stock est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 50  tubes.

\medskip
 
On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de 50 tubes, associe le nombre de tubes qui ne sont pas conformes pour la longueur.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. 
\item Calculer la probabilité $P(X = 3)$. Interpréter le résultat.
\item Calculer la probabilité que dans un tel prélèvement deux tubes au moins ne sont pas conformes pour la longueur. 
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

On désigne par $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque tube pris au hasard dans la production d'une journée, associe sa longueur.


On admet que la variable aléatoire $Y$ suit la loi normale de moyenne 250 et d'écart type 2,5.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité qu'un tube prélevé au hasard dans la production d'une journée soit conforme pour la longueur. 

\item Le contrôle de conformité mis en place rejette les tubes dont la longueur est inférieure à 245 millimètres.

Quelle est la probabilité pour qu'un tube prélevé au hasard dans la production d'une journée soit rejeté par le contrôle de conformité ?
\end{enumerate}

\bigskip

\exo \hfill (\emph{D'après sujet bac Antilles Guyane 2016})

 \medskip 

\emph{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante. Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à $10^{-3}$ près.}

Un manufacturier de pneumatiques produit des pneus d'avions en grande quantité. 

Il s'engage à livrer des produits spécifiques aux avionneurs de masse maximum
garantie de 124 kg. Ces pneus doivent supporter une charge nominale de 10 tonnes, des vitesses pouvant aller jusqu'à $420\; \text{km.h}^{-1}$ et des températures instables allant de $-40\; ^{\circ}\text{C}$ (en altitude) à $250\; ^{\circ}\text{C}$ (au moment du décollage).

\medskip

\textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip 

On note $M$ la variable aléatoire qui, à chaque pneu prélevé au hasard dans la production, associe sa masse en kilogramme. On admet que la variable aléatoire $M$
suit la loi normale de moyenne $\mu = 121,37$ et d'écart type $\sigma = 0,42$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité qu'un pneu prélevé au hasard ait une masse en kg comprise entre 120,95 et 121,79.
\item Déterminer la probabilité qu'un pneu prélevé au hasard ait une masse en kg supérieure à 122,63.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip 

Un pneu trop lourd entraîne une augmentation de la consommation du kérosène.

Lorsque la masse d'un pneu reçu par une compagnie aérienne dépasse 121,9 kg cela entraîne des pénalités financières pour le manufacturier.

Sur la chaîne de fabrication, on prélève de façon aléatoire un échantillon de 36 pneus et on constate que 2 d'entre eux ont une masse qui dépasse 121,9 kg.


\begin{enumerate}
 \item Quelle est la fréquence des pneus dans l'échantillon prélevé dont la masse dépasse 121,9 kg ?
 \item Déterminer l'intervalle de confiance avec un niveau de confiance de 95\;\% de la proportion de pneus dont la masse dépasse 121,9 kg dans la production.

\emph{On rappelle que lorsqu'une fréquence $f$ est mesurée dans un échantillon de taille $n$, l'intervalle de confiance à 95\;\% de la proportion dans la population est donné par :}\[I=\left[f - 1,96\sqrt{\dfrac{f(1 - f)}{n}} ; f + 1,96\sqrt{\dfrac{f(1 - f)}{n}}\right]\]
\item Donner une interprétation du résultat précédent.
 \end{enumerate} 

 \bigskip 

\exo \hfill (\emph{D'après sujet bac France métropolitaine, La Réunion septembre 2016})

 \medskip 

\emph{Dans cet exercice, toutes les probabilités demandées seront arrondies à $10^{-3}$.}

Une usine métallurgique fabrique des boîtes de conserve pour des entreprises spécialisées dans le conditionnement industriel de légumes.

La probabilité qu'une boîte prélevée au hasard soit non conforme est 0,04.

Un lot de 200 boîtes choisies au hasard est livré à une entreprise spécialisée dans le conditionnement des légumes. Le nombre de boîtes fabriquées par cette usine métallurgique est assez important pour pouvoir assimiler un tel prélèvement à un tirage avec remise de 200 boîtes.

\medskip

\textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

La variable aléatoire $X$ désigne le nombre de boîtes non conformes dans un tel lot.

\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
\item Déterminer la probabilité qu'un tel lot contienne exactement quatre boîtes non conformes.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

On décide d'approcher la loi binomiale suivie par $X$ par la loi normale d'espérance $\mu = 8$ et d'écart type $\sigma = 2,77$.

\begin{enumerate}
\item Justifier le choix de ces paramètres.
\item À l'aide de la loi normale ainsi définie :
\begin{enumerate}
\item calculer $P(6 \leqslant X \leqslant 10)$ et interpréter le résultat trouvé ;
\item déterminer une approximation de la probabilité qu'il y ait au maximum 4 boîtes non conformes.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textsf{\textbf{\textsc{partie c}}}

\medskip 

Dans le lot livré de 200 boîtes, on compte 11 boîtes non conformes. Le fabricant des boîtes est averti. Doit-il s'inquiéter ?

\emph{On pourra utiliser un intervalle de fluctuation.}


 \bigskip 

\exo \hfill (\emph{D'après sujet bac Nouvelle Calédonie 2016})

 \medskip 

Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante. Dans l'ensemble de l'exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près.

Une usine fabrique des batteries au lithium-ion pour des vélos électriques. Le cahier des charges indique qu'une batterie mesure 15 cm de large.

Lors de la fabrication, on modélise la largeur des batteries par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale de moyenne $\mu = 15$ et d'écart-type $\sigma = 0,02$. L'objectif de cet exercice est d'analyser la qualité de la production dans cette usine.

\medskip

\textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip 

Une batterie est jugée conforme lorsque sa largeur, exprimée en centimètres, appartient à l'intervalle $[14,95 ; 15,05]$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité qu'une batterie prélevée au hasard dans la production soit non conforme.
\end{enumerate}
L'usine vend ses batteries au lithium-ion par lots de \np{2000} aux fabricants de vélos électriques. En moyenne, chaque lot de \np{2000} batteries en contient 24 non conformes.

On note $p$ la probabilité qu'une batterie soit non conforme. On prélève au hasard \np{2000} batteries dans la production. La production est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise.

On modélise le nombre de batteries non conformes dans un lot de \np{2000} par une variable aléatoire $Y$.
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item Quelle loi suit la variable aléatoire $Y$ ? Préciser ses paramètres.
\item Calculer la probabilité qu'il y ait au moins $30$ batteries non conformes dans un lot de \np{2000} batteries.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip 

Dans le cadre d'un fonctionnement correct des machines de la chaîne de production, on admet que la proportion $p$ de batteries non conformes est 1,2\,\%.

Le responsable de l'usine affirme qu'il ne vend pas de lot de \np{2000}~batteries qui en contienne plus de $40$ non conformes. Quelle est la fiabilité de cette affirmation ? Justifier.

\bigskip

\exo

\begin{center}

\emph{Sauf mention contraire, les résultats seront donnés sous forme décimale arrondis à $10^{-4}$ près.}

\end{center}
 
Une usine fabrique en grande quantité des lames de parquet en chêne.

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip
 
On prélève au hasard 40 lames dans le stock, pour vérification. On admet que la probabilité qu'une lame prélevée au hasard dans ce stock ait un défaut est égale à 0,1. 

Le stock est suffisamment important pour assimiler le lot de 40 lames à un tirage avec remise de 40 lames. 
 
On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de 40 lames dans ce stock, associe le nombre de lames ayant un défaut.
 
\begin{enumerate}
	\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
	\item Calculer l'espérance mathématique $E(X)$. Interpréter le résultat. 
	\item Déterminer la probabilité de trouver quatre lames qui ont un défaut. 
	\item Déterminer la probabilité qu'au moins deux lames ont un défaut. 
\end{enumerate}	
	 
\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

 Pour satisfaire la commande d'un client, on prélève au hasard dans le stock 400 lames.
 
 On admet que la loi de la variable aléatoire $Z$ qui, à tout prélèvement de 400 lames dans ce stock, associe le nombre de lames ayant un défaut peut être approchée par la loi normale de moyenne 40 et d'écart type 6. 
 
 \begin{enumerate}
 \item 	Déterminer, la probabilité que dans un prélèvement de 400 lames, il y ait plus de 50 lames ayant un défaut. 
		\item Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95 \% de la proportion de lames ayant un défaut. 		
		En déduire le nombre de lames ayant un défaut que le client peut trouver avec une probabilité proche de 0,95.
		
		\end{enumerate} 

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie c}}}

\medskip
 
Le fabriquant souhaite évaluer la proportion inconnue $p$ de clients satisfaits par son produit. Pour cela, il effectue un sondage auprès d'un échantillon de 200 clients. Sa clientèle est suffisamment importante pour considérer que cet échantillon résulte d'un tirage aléatoire avec remise.
 
Lors de ce sondage, 156  clients se sont déclarés satisfaits par son produit.  
 
\begin{enumerate}
\item Donner une estimation ponctuelle $f$ de la proportion $p$ de clients satisfaits. 
\item Déterminer un intervalle de confiance centré sur $f$ de la proportion $p$ avec le coefficient de confiance 95 \%. Arrondir les bornes de l'intervalle à $10^{- 2}$. 
\item Ce fabriquant peut-il être certain que plus de 70\% de sa clientèle est satisfaite par son produit ? 
\end{enumerate}


 \bigskip 

\exo \hfill (\emph{D'après sujet bac France métropolitaine, La Réunion 2015})

 \medskip 


\emph{Dans l'ensemble de l'exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-4}$ près.}

\medskip

L'usine OCEFRAIS embouteille des jus de fruits. L'étiquette de la bouteille indique 1,5 litre de jus de fruits. Le volume de la bouteille est de 1,55 litre.

À l'embouteillage, le volume de jus de fruits versé dans une bouteille est une variable aléatoire
$X$ qui suit la loi normale de moyenne $\mu = 1,5$ et d'écart-type $\sigma = 0,015$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item L'une des trois figures donne la courbe représentative $C_f$ de la densité $f$ de cette loi normale. Indiquer sur la copie le numéro de la figure correspondante en expliquant votre choix.
		
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-.2,-1.5)(11,3)
\rput(5.4,-1){Figure 1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{1/(.015*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-.5)/.015)^2)/2)}
\psgrid[gridwidth=.5pt,griddots=10,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(11,3)
\psset{xunit=5cm,yunit=0.1cm,comma=true}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=.2,Dy=10]{-}(0,0)(-.04,-2)(2.2,30)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=5000,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{0}{2.2}{\f}
\end{pspicture}

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-.2,-1.5)(11,3)
\rput(5.4,-1){Figure 2}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{1/(.015*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-1)/.015)^2)/2)}
\psgrid[gridwidth=.5pt,griddots=10,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(11,3)
\psset{xunit=5cm,yunit=0.1cm,comma=true}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=.2,Dy=10]{-}(0,0)(-.04,-2)(2.2,30)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=5000,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{0}{2.2}{\f}
\end{pspicture}

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-.2,-1)(11,3)
\rput(5.4,-1){Figure 3}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{1/(.015*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-1.5)/.015)^2)/2)}
\psgrid[gridwidth=.5pt,griddots=10,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(11,3)
\psset{xunit=5cm,yunit=0.1cm,comma=true}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=.2,Dy=10]{-}(0,0)(-.04,-2)(2.2,30)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=5000,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{0}{2.2}{\f}
\end{pspicture}

\end{center}

\medskip

		\item Déterminer $P(1,485 \leqslant X \leqslant 1,515)$.
	\end{enumerate}
\item On choisit au hasard une bouteille de jus de fruits.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité que cette bouteille contienne exactement 1,48 litre de jus de fruits ?
		\item Calculer la probabilité que cette bouteille contienne entre 1,46 litre et 1,54 litre de jus de fruits.
		\item Quelle est la probabilité que cette bouteille déborde sur la chaîne d'embouteillage ?
		
On rappelle que toutes les bouteilles utilisées ont un volume de $1,55$ litre.
	\end{enumerate}
\item Une bouteille est dite conforme si elle contient entre 1,46 litre et 1,54 litre de jus de fruits.

Selon l'usine OCEFRAIS, la probabilité qu'une bouteille soit non conforme est  0,0077.

Un supermarché achète un lot de \np{10000} bouteilles.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% de la fréquence observée de bouteilles non conformes dans un tel lot.
		\item Dans le lot de \np{10000} bouteilles, on a compté 90 bouteilles non conformes. Le gérant du supermarché trouve le nombre de bouteilles non conformes anormalement élevé.
		
L'usine OCEFRAIS a-t-elle des raisons de s'inquiéter?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\chapter{Équations différentielles}

\minitoc

\newpage


\addcontentsline{toc}{section}{Exercices} 

\exo  

\medskip

On sort un gâteau du four et on note que sa température est de 180\degres C. On suppose que la température ambiante de la cuisine est supposée constante à 20\degres C.
 
 
La température du gâteau est donnée par une fonction $g$ du temps $t$, exprimé en heures, qui est solution de l'équation différentielle : \[(E)\quad  y' +1,38y = 27,6.\]
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle $(E)$ et donner sa solution particulière $g$ définie par la condition initiale $g(0) = 180$. 
\item En utilisant l'expression de $g(t)$ trouvée : 
	\begin{enumerate}
	\item Quelle est la température, arrondie au degré près, du gâteau 30 minutes après l'avoir sorti du four ?
		\item Quel est le temps nécessaire pour atteindre inférieure à 25\degres C ? 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip
 


\exo \hfill (\emph{D'après sujet bac Nouvelle Calédonie 2016})

 \medskip 


Le bassin d'une piscine municipale a une capacité de \np{600000} litres d'eau. Afin de respecter les normes d'hygiène et de sécurité, \np{30000} litres d'eau de la piscine sont renouvelés chaque heure et le taux de chlore maximum autorisé est de 0,25 mg/L.


Un soir après la fermeture de la piscine, alors que le taux de chlore est indétectable, 1 kg de chlore est déversé par erreur dans le bassin à 20 h.


Le directeur de la piscine souhaiterait savoir quand il pourra ouvrir à nouveau la piscine au public.

On modélise la concentration massique du chlore présent dans la piscine par une fonction $f$. Lorsque $t$ désigne le temps écoulé depuis l'accident, exprimé en heures, $f(t)$ représente la concentration massique du chlore présent dans la piscine en milligrammes par litre.

On admet que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle (E) :

\[y' + 0,05 y = 0\quad  \text{où }\: y \text{ désigne une fonction de la variable } t.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation différentielle (E).
		\item Que vaut $f(0)$ ? En déduire une expression de $f(t)$ sur $[0 ; + \infty[$.
	\end{enumerate}
\item On admet que $f$ est définie sur $[0 ; + \infty[$ par $f(t) = \dfrac{5}{3} \times  \e^{- 0,05t}$.

À quel moment la piscine pourra-t-elle ouvrir de nouveau au public ?
\end{enumerate}

 \bigskip

 \bigskip 

\exo \hfill (\emph{D'après sujet bac France Métropolitaine 2014})

 \medskip 


Dans cet exercice, la température est exprimée en degrés Celsius (°C) et le temps $t$ est exprimé en heures.

Une entreprise congèle des ailerons de poulet dans un tunnel de congélation avant de les conditionner en sachets. À l'instant $t = 0$, les ailerons, à une température de 5~°C, sont placés dans le tunnel.

Pour pouvoir respecter la chaîne du froid, le cahier des charges impose que les ailerons aient une température inférieure ou égale à $-24$~°C.

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

La température des ailerons dans le tunnel de congélation est modélisée en fonction du temps $t$ par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0,+\infty[$ par $f (t) = 35\mathrm{e}^{-1,6t}-30$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer la température atteinte par les ailerons au bout de 30 minutes, soit 0,5 h.
\item Étudier le sens de variation de la fonction $f$.
\item Si les ailerons de poulet sont laissés une heure et demie dans le tunnel de congélation, la température des ailerons sera-t-elle conforme au cahier des charges ?
\item Résoudre par le calcul l'équation $f(t)=-24$ et interpréter le résultat trouvé.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Pour moderniser son matériel, l'entreprise a investi dans un nouveau tunnel de congélation.

La température des ailerons dans ce nouveau tunnel est modélisée, en fonction du temps, par une fonction $g$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0,+\infty[$, qui est solution de l'équation différentielle $y'+1,5y=-52,5$

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle $y'+1,5y=-52,5$.
\item \begin{enumerate}
\item Justifier que $g(0) = 5$.
\item Vérifier que la fonction $g$ est définie par $g(t) = 40\mathrm{e}^{-1,5t}-35$.
\end{enumerate}
\item Ce nouveau tunnel permet-il une congélation plus rapide ?
\end{enumerate}


 \bigskip 

\exo \hfill (\emph{D'après sujet bac France métropolitaine, La Réunion 2015})


\begin{center}
\emph{Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près.}
\end{center}


Une fibre optique est un fil très fin, en verre ou en plastique, qui a la propriété d'être un
conducteur de la lumière et sert dans la transmission d'un signal véhiculant des données.

La puissance du signal, exprimée en milliwatts (mW), s'atténue au cours de la propagation.

On note $P_E$ et $P_S$ les puissances respectives du signal à l'entrée et à la sortie d'une fibre.

Pour une fibre de longueur $L$ exprimée en kilomètres (km), la relation liant $P_E$, $P_S$ et $L$ est donnée par : \[P_S = P_E \times  \e^{- aL}\]
 où $a$ est le coefficient d'atténuation linéaire dépendant de la fibre.
 
Une entreprise utilise deux types de fibre optique de coefficients d'atténuation différents.
 
Dans tout l'exercice :

\begin{itemize}
\item la puissance du signal à l'entrée de la fibre est 7 mW ;
\item à la sortie, un signal est détectable si sa puissance est d'au moins 0,08 mW;
\item pour rester détectable, un signal doit être amplifié dès que sa puissance devient strictement inférieure à 0,08~mW.
\end{itemize}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Le premier type de fibre de longueur $100$~km utilisé par l'entreprise a un coefficient d'atténuation linéaire $a = 0,046$. 

Pour ce type de fibre, sera-t-il nécessaire de placer au moins un amplificateur sur la ligne pour que le signal soit détectable en sortie ?

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

La puissance du signal le long du second type de fibre est modélisée par une fonction $g$ de la variable $x$, où $x$ est la distance en kilomètres parcourue par le signal depuis l'entrée de la fibre. 

On admet que cette fonction $g$ est définie et dérivable sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$ et qu'elle est solution sur cet intervalle de l'équation différentielle $y' + 0,035 t = 0$.

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle $y' + 0,035 t = 0$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Sachant que $g(0) = 7$, vérifier que la fonction $g$ est définie sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$ par $g(x) = 7\e^{-0,035x}$.
		\item En déduire le coefficient d'atténuation de cette fibre.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le sens de variation de la fonction $g$.
		\item Déterminer la limite de la fonction $g$ en $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Le signal sera-t-il encore détecté au bout de 100 km de propagation ?
		\item Déterminer la longueur maximale de la fibre permettant une détection du signal à la sortie sans amplification.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \bigskip 

\exo \hfill (\emph{D'après sujet bac Antilles Guyane 2015})

 \medskip 


\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}X>{\raggedleft}m{5.5cm}@{}}
On étudie la charge d'un condensateur et l'on dispose pour cela du circuit électrique ci-contre composé de :

\begin{itemize}
\item une source de tension continue $E$ de 10 V.
\item une résistance $R$ de $10^5 \: \Omega$.
\item un condensateur de capacité $C$ de $10^{-6}$ F.
\end{itemize}
&
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0)(5,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psset{linewidth=1.25pt,linecolor=bleu}
\psline(2.4,3)(0,3)\psline[ArrowInside=->,arrowscale=1.5](0,3)(0,1)\psline(0,1)(3.8,1)\psline(4,1)(5,1)(5,3)(2.6,3)
\psline(2.4,2.5)(2.4,3.5)\psline(3.8,1.4)(3.8,.6)\psline(4,1.4)(4,.6)\psline[linewidth=2pt](2.6,2.7)(2.6,3.3)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](1,.8)(2,1.2)
\psline[linewidth=1pt]{<-}(1.9,3.7)(3.1,3.7)\psline[linewidth=1pt]{<-}(3.3,.4)(4.5,.4)
\uput[u](2.5,3.7){\footnotesize{\bleu $E$}} \uput[l](0,2){\footnotesize{\bleu $i$}} \uput[d](3.9,.4){\footnotesize{\bleu $u$}}\uput[u](3.9,1.4){\footnotesize{\bleu $C$}} \uput[u](1.5,1.2){\footnotesize{\bleu $R$}}
\end{pspicture}
\end{tabularx}

 
On note $u$ la tension exprimée en volt aux bornes du condensateur. Cette tension $u$ est une fonction du temps $t$ exprimé en seconde.
 
La fonction $u$ est définie et dérivable sur $[0 ; +\infty[$ ; elle vérifie l'équation différentielle suivante :\[RCu' + u = E\] où $u'$ est la fonction dérivée de $u$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que l'équation différentielle est équivalente à :$u' + 10u = 100$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la forme générale $u(t)$ des solutions de cette équation différentielle.
		\item  On considère qu'à l'instant $t = 0$, le condensateur est déchargé. Parmi les solutions, déterminer l'unique fonction $u$ tel que $u(0) = 0$.
		\item  Déterminer en justifiant la réponse, la limite en $+ \infty$ de la fonction $u$ ainsi obtenue. En donner une interprétation.
	\end{enumerate}
\item On donne ci-dessous, la représentation graphique de la fonction $u$ qui vient d'être obtenue à la question 2.~b. avec les unités suivantes : 1 unité pour 1 seconde sur l'axe des abscisses et 1 unité pour 1 volt sur l'axe des ordonnées.

\begin{center}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(17,13)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{10-10*EXP(-10*x)}
\rput(7.5,12){\footnotesize{\sf{Charge du condensateur en fonction du temps}}}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-2,-1)(17,11)
\psset{xunit=5cm,yunit=.5cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,comma=true,Dx=.5]{->}(0,0)(-.2,-.99)(1.7,11)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](1.7,0){\footnotesize{$t$}}\uput[dl](0,11){\footnotesize{$u(t)$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{1.7}{\f}
\end{pspicture}
\end{center}

On appelle $T$ le temps de charge en seconde pour que $u(T)$ soit égal à 95\,\% de $E$.
		
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement le temps de charge $T$.
		\item Retrouver, par le calcul, le résultat précédent.
 	\end{enumerate}

\item  Sans modifier les valeurs respectives de $E$ et de $C$, déterminer la valeur de $R$ afin que le temps de charge $T$ soit multiplié par 2.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

 \medskip 


Une entreprise réalise par moulage des hélices de mini-drones dans un nouveau matériau plastique. La fabrication s'effectue en deux temps :


\begin{enumerate}[{Phase} 1 : ]
\item  injection sous pression de la matière fondue à une température initiale de 240\degres C et maintien sous pression de la matière pendant les 3 premières secondes du refroidissement.
 \item poursuite du refroidissement et éjection de l'hélice. 
\end{enumerate}

À l'issue de ces deux étapes le moule est refermé et une nouvelle hélice est introduite.

Pour être utilisable, on estime que le matériau plastique ne doit pas avoir perdu plus de 20\,\% de sa température initiale lors des 3 premières secondes du refroidissement.

Lors de la fabrication, afin de maîtriser le refroidissement de l'hélice, on étudie la température $T$ à laquelle le moule doit être maintenu. En effet, pour garantir un remplissage homogène du moule, le matériau plastique ne doit pas refroidir trop vite lors de son injection dans le moule.

\medskip

\textsf {\textsc{\textbf{partie 1}}}

\medskip

Des séries de mesures ont permis de réaliser trois courbes de refroidissement. Elles représentent l'évolution de la température du matériau plastique (exprimée en degrés Celsius) en fonction du temps (exprimé en secondes), pour trois valeurs différentes de la température du moule, $T_1$, $T_2$ et $T_3$.

\begin{center}
\psset{unit=0.425cm}
\begin{pspicture}(-1,-.5)(38,27)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{80+160*EXP(-x/10)}
\def\g{90+150*EXP(-x/10)}
\def\h{25+215*EXP(-x/10)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(38,27)
\psset{xunit=0.425cm,yunit=0.0425cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=10]{->}(0,0)(38,270)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=prune]{0}{38}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{0}{38}{\g}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{38}{\h}
\uput[dr](0,270){\footnotesize{Température du matériau plastique en \degres C}}
\uput[ul](38,95){\bleu\footnotesize{Température $T_1$ du moule}}
\uput[ul](38,70){\prune\footnotesize{Température $T_2$ du moule}}
\uput[ul](38,19){\red\footnotesize{Température $T_3$ du moule}}
\uput[ul](38,0){\footnotesize{Temps en s}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Les trois températures satisfont-elles aux conditions souhaitées de fabrication d'une hélice ?

Détailler la réponse.
\item On estime de plus que le matériau a suffisamment durci et que l'hélice peut être éjectée sans risque de déformation lorsque sa température atteint les 100 degrés.

Parmi les températures qui satisfont aux conditions de fabrication, quelle est la température du moule qui permet de fabriquer le plus d'hélices dans un temps donné ? Expliquer.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textsc{\textbf{partie 2}}}

\medskip

On décide de  maintenir le moule  à une température  de 80\degres C. On s'intéresse à la fonction donnant la température du matériau plastique (exprimée en degrés) en fonction du temps (exprimé en secondes).

On admet que cette fonction est solution de l'équation différentielle $(E)$ : $y' + 0,1y = 8$.

Dans cette équation, $y$ désigne une fonction de la variable réelle $t$,  définie et dérivable sur $[0 ; + \infty[$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$.
\item Déterminer la fonction $f$ définie sur $[0 ; + \infty[$, solution particulière de l'équation différentielle $(E)$ satisfaisant la condition initiale de température $f(0)=240$.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textsc{\textbf{partie 3}}}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0 ; + \infty[$ par $f(t) =160\e^{-0,1t}+80$.

Cette fonction $f$ donne la température de l'hélice (en degrés) en fonction du temps $t$ (en secondes) lorsque le moule est maintenu à une température de 80\degres C.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier par le calcul le sens de variation de la fonction $f$.
		\item Calculer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t)$. Interpréter ce résultat dans le contexte du problème.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation $f(t) = 100$ et donner une valeur arrondie à $10^{-1}$ de la ou des solutions éventuelles.
		\item Interpréter ce résultat dans le contexte du problème.
 	\end{enumerate}
\item On souhaite de plus que la température moyenne du matériau plastique, durant la première phase
de fabrication, c'est-à-dire durant les trois premières secondes, ne soit pas inférieure à 210\degres C.
\begin{enumerate}
	\item Montrer que la fonction $F$ définie pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0 ; + \infty[$ par $F(t) =80t-1600\e^{-0,1t}$ est une primitive de la fonction $f$.
		\item Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ; 3]$.
		
On rappelle que la valeur moyenne d'une fonction $f$ sur un intervalle $[a ; b]$ est : $\dfrac{1}{b - a}\times\displaystyle\int_a^b f(t)\dd t$.
		\item La fonction $f$ satisfait-elle la contrainte sur la température moyenne ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'équation différentielle $y''+ 9 y = 0$ admet pour solution la fonction $f$ définie, pour tout réel $x$, par : 


\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.~~} $f(x) = 3 \cos \left(x\right)$&
\textbf{b.~~} $f(x) = 3\sin \left(x\right)$ & \textbf{c.~~} $f(x) =  \sin \left( 3x + \dfrac{\pi}{4}\right)$\\
\end{tabularx}
\item L'équation différentielle $y''+ 4 y = 0$ admet pour solution la fonction $f$ définie, pour tout réel $x$, par : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{m{4cm}*{2}{X}} 

\textbf{a.}\quad $f(x) = 3\mathrm{e}^{2x}+ \mathrm{e}^{-2x}$ &\textbf{b.}\quad $f(x) = \cos \left(\dfrac{x}{2}\right) + \sin \left(\dfrac{x}{2}\right)$ & \textbf{c.}\quad  $f(x) = \cos (2x) + \sin (2x)$\\
\end{tabularx}


\item L'équation différentielle $4y'' + 9y = 0$ admet pour solution la fonction $f$ définie, pour tout réel $x$, par : 
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{m{3cm}*{2}{X}} 
\textbf{a.}\quad $f(x) = \text{e}^{- \frac{3}{2}x}$&\textbf{b.}\quad $f(x) = \cos \left(\dfrac{3x}{2}\right) - \sin \left(\dfrac{3x}{2}\right)$ &\textbf{c.}\quad  $f(x) =   \cos \left(\dfrac{2x}{3}\right) + \sin \left(\dfrac{2x}{3}\right)$
\end{tabularx}

\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle (E) : $4y'' + y = 0$, où $y$ désigne une fonction de la variable réelle $x$.
\item Le but de cette question est de trouver la solution particulière de (E), appelée $f$ dont la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ est donnée ci-dessous. La droite $T$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 0. 

\begin{center}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-6,-4)(18,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{cos(x/2)+sin(x/2)}
\def\g{x/2+1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-6,-4)(18,5)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-2)(9,2.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3}{9}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt, linecolor=prune]{-3}{2}{\g}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique, donner les valeurs de $f(0)$ et de $f'(0)$.
\item Montrer que la fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ par $f(x)=\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)+\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

\medskip


\begin{enumerate}
\item Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle $y'' + 2y = 0$ telle que la droite d'équation $y=2x+1$ est tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d'abscisse 0.
\item 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle $9y'' + 16y = 0$ vérifiant $f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{3}$ et $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0$.
\item Vérifier que pour tout réel $x$, $f(x)=2\cos\left(\dfrac{4}{3}x-\dfrac{\pi}{6}\right)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

 \bigskip 

\exo 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle (E) : $9y'' + y = 0$, où $y$ désigne une fonction de la variable réelle $x$.
\item Le but de cette question est de trouver la solution particulière de (E), appelée $f$ dont la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ admet pour tangente au point d'abscisse 0  la droite $T$ d'équation $y=x$. 

\begin{enumerate}
\item Quelles sont les valeurs de $f(0)$ et de $f'(0)$ ?
\item Déterminer une expression de la fonction $f$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\chapter*{contrôles}
\addstarredchapter{Contrôles}
\minitoc

\newpage 

\chaptermark{\textsc{contrôle \no 1}}
\setcounter{nexo}{0}
\addcontentsline{toc}{section}{Contrôle du 23 septembre 2016} 

\exo \hfill  ( 3 \emph{points} ) 

\medskip

Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
\begin{enumerate}
\item $f$ est définie sur l'intervalle $\left] 0  ; +\infty\right[$ par $f(x)=\sqrt{x}-\dfrac{2}{x}$.
\item $g$ est définie sur $\R$ par $g(x) = \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}-2}$
\end{enumerate}

\bigskip

\exo \hfill  ( 4 \emph{points} ) 

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\left] -\dfrac{1}{2}  ; +\infty\right[$ par $f(x) = \dfrac{4x^2}{2x+1}$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to -0,5} f(x)$, interpréter graphiquement ce résultat.
\item \begin{enumerate}
\item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
\item Justifier que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=2x-1$ est asymptote à la courbe représentative de la fonction $f$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'intervalle $\left] -\dfrac{1}{2}  ; +\infty\right[$ l'inéquation $\dfrac{1}{2x+1}<0,001$.
\item Quel calcul peut-on effectuer pour déterminer le plus simplement possible une valeur approchée au millième près de $f(750)$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\exo \hfill  ( 4 \emph{points} ) 

\medskip

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $\left] -3  ; +\infty\right[$.  On sait que  :
\begin{itemize}
\item la courbe $\mathcal{C}_f$ admet pour asymptotes les droites $d_1$ et $d_2$ ; 
\item la tangente au point  $A\left(-1;5\right)$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ est parallèle à l'axe des abscisses ;
\item la tangente au point  $B\left(2;1\right)$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées $(3;0)$.
\end{itemize}
\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-7,-4)(20,12)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{violet}{0.5 0.1 .8}
\def\f{1-20*(17*x^2+13*x-94)/((x^2+14)^2*(x+3))}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-7,-4)(20,12)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3.5,-2)(10,6)
\uput[dl](10,0){$x$} \uput[dl](0,6){$y$}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[u](-1,5){\bleu{\footnotesize{$A$}}}\uput[ur](2,1){\bleu{\footnotesize{$B$}}}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=violet](-3,-2)(-3,6)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=violet](-3.5,1)(10,1)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-2.876}{10}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(-1.75,5)(-.25,5)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(.5,2.5)(3.5,-.5)
\psdots[linewidth=1pt, linecolor=bleu,dotscale=.8](-1,5)(2,1)
\uput[dl](10,.8){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}\uput[ul](10,1){\violet{$d_2$}}\uput[dl](-3,6){\violet{$d_1$}}
\end{pspicture}
\end{center}

 On note $f'$  la dérivée de la fonction $f$. À partir du graphique et des renseignements fournis :
\begin{enumerate}
\item Déterminer  $\displaystyle\lim_{x \to -3} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
\item Déterminer  $f'(-1)$ et $f'(2)$. 
\item Pour chacune des affirmations ci-dessous, dire si elle est vraie ou si elle est fausse en justifiant votre choix.
	\begin{enumerate}
	\item $f'(0) \times f'(6) \leqslant 0$. 
	\item $f'(-2,999) \times f'(-2,5) \leqslant 0$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

 \exo  \hfill  ( 9 \emph{points} ) 
 
 \medskip
 


Sur le graphique ci-dessous, on a tracé la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$.

 On note $f'$  la dérivée de la fonction $f$. 

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-16,-6)(18,12)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{(18-9*x)/(x^2+5)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-16,-6)(18,12)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-8,-3)(9,6)
\uput[dl](9,0){$x$} \uput[dl](0,6){$y$}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[ur](2,0){\bleu{\footnotesize{$A$}}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-8}{9}{\f}
\uput[ur](-8,1.4){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textsf{\textsc{\textbf{partie a}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=2-x$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$ d'abscisse $2$
\begin{enumerate}
	\item Tracer la droite $\mathcal{D}$ sur le graphique précédent. 
	\item Déterminer les valeurs de $f(2)$ et de  $f'(2)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textsf{\textsc{\textbf{partie b}}}

\medskip

La fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ par $f(x)=\dfrac{18-9x}{x^2+5}$. 

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
	\item Déterminer les limites de la fonction $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$. 
	\item Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}_f$ ?
\end{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $x$, $f'(x)=\dfrac{9\left(x^2-4x-5\right)}{\left(x^2+5\right)^2}$.
\item \begin{enumerate}
\item Étudier le signe de $f'(x)$.
\item Donner le tableau de variations de la fonction $f$.
\end{enumerate}

\item Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $B$ d'abscisse $(-2)$.

\end{enumerate}

\pagebreak
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\chaptermark{\textsc{contrôle \no 2}}
\setcounter{nexo}{0}
\addcontentsline{toc}{section}{Contrôle du 14 octobre 2016} 


\exo 

\medskip

La température de refroidissement d'une pâtisserie à la sortie du four dépend du type de pâtisserie et de la température ambiante supposée constante de la pièce dans laquelle elle est entreposée. 


La température d'une tarte à la sortie du four est de 180\textdegree C.

L'évolution de la température de la tarte en fonction du temps est modélisée par la suite $\left( T_n \right)$ définie par $T_0=180$ et, pour tout entier naturel $n$, $T_{n+1} = 0,84\times T_n+3,2$. 

Pour tout entier naturel $n$, le terme $T_n$ de la suite $\left( T_n \right)$ est égal à la température en degrés Celsius de la tarte $n$ minutes après la sortie du four. 

\medskip

 \textsf{\textsc{\textbf{partie a}}}

\medskip

La tarte peut être sortie de son moule dès que sa température est inférieure à 80\textdegree C

Pour déterminer au bout de combien de minutes la tarte peut être démoulée, on  utilise un algorithme.
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter cet algorithme afin qu'il affiche la réponse.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|lX|}\hline
\textsc{\textsf{Variables:}}			&$N$ est un entier naturel\\
							&$T$ est un nombre réel\\
\textsc{\textsf{Initialisation :}}	&Affecter à $N$ la valeur 0\\
							&Affecter à $T$ la valeur 180\\
\textsc{\textsf{Traitement :}}		&Tant que $T\geqslant 80$\\
							&\begin{tabular}{m{0.4cm} l}
								&Affecter à $T$ la valeur \ldots\\
								&Affecter à $N$ la valeur \ldots.
								\end{tabular}\\
							&Fin Tant que\\
\textsc{\textsf{Sortie :}}			&Afficher $N$\\ \hline
\end{tabularx}								
\end{center}
		
			\item Recopier et compléter autant que nécessaire les colonnes du tableau suivant en arrondissant les résultats à l'unité. 
			
			\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{1-3}\cline{5-5}
Valeur de $N$				&0	& 1	& \ldots & \\ \cline{1-3}\cline{5-5}
Valeur de $T$				& 180  & & \ldots & \\ \cline{1-3}\cline{5-5}
Condition $T\geqslant 80$	& Vraie & & \ldots & \\ \cline{1-3}\cline{5-5}
\end{tabularx}
\end{center} 

\medskip

\item Donner la valeur affichée en sortie par cet algorithme et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

\end{enumerate}

 \textsf{\textsc{\textbf{partie b}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour tout nombre entier naturel $n$, on définit la suite $\left(V_n\right)$ par : $V_n = T_n - 20$.

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(V_n\right)$ est une suite géométrique  dont on précisera le premier terme et la raison.
		\item Exprimer $V_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item En déduire que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a : $T_n = 160 \times  0,84^{n}+20$.		
	\end{enumerate}
	\item Étudier la monotonie de la suite  $\left( T_n \right)$.
	\item Calculer la limite de la suite $\left( T_n \right)$ et interpréter ce résultat.
	
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\left] 0  ; +\infty\right[$ par $f(x) = x^2-7x-\dfrac{9}{x}+15$.

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative se la fonction $f$ dans le plan. 
\begin{enumerate}
\item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$. La courbe $\mathcal{C}_f$ admet-elle des asymptotes ?
\item  On note $f'$  la dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$ et, vérifier que pour tout réel $x$ strictement positif, \[f'(x)=\dfrac{\left(x-3\right)\left(2x^2-x-3\right)}{x^2}\]
\item  \begin{enumerate}
\item Étudier le signe du polynôme $g(x)= 2x^2-x-3$.
\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $\left] 0  ; +\infty\right[$.
\end{enumerate}
\item Donner le tableau de variations de la fonction $f$.
\item Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$ d'abscisse $1$.
\end{enumerate}

\vfill
~
\pagebreak

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\chaptermark{\textsc{contrôle \no 3}}
\setcounter{nexo}{0}
\addcontentsline{toc}{section}{Contrôle du 7 novembre 2016} 

 \textbf{Dans chacun des cas suivants, les primitives $F$ de la fonction $f$.}

	\begin{enumerate}
	\item $f$  est définie sur $\R$   par $f(x)=\dfrac{3}{2}x^2-2x+1$.
	\vspace{2.25cm}
	\item $f$ est définie sur $\left] 0 ; +\infty \right[$ par  $f(x)=2x^3+5x- \dfrac{1}{x^2}+\dfrac{2}{3}$
	\vspace{2.25cm}
		\item $f$  est définie sur$\left] 0 ; +\infty \right[$   par $f(x)=\dfrac{2x^3-3x^2+1}{x^2}$.
	\vspace{3cm}	
\end{enumerate}


 \medskip 
 \textbf{Dans chacun des cas suivants, calculer la primitive $F$ de la fonction $f$ qui vérifie la condition donnée.}
\begin{enumerate}
\item $f$  est définie sur $\R$   par $f(x)=2x^3-2x^2+3x-4$\:  et\: $F(-1)=6$.
	\vspace{3.5cm}
\item $f$  est définie sur $\R$   par $f(x)=\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{4x}{9}+\dfrac{1}{2}$\:  et\: $F(-2)=-2$.
		\vspace{3.5cm}
		
\item $f$ est définie sur $\left]0; +\infty\right[$ par  $f(x)= \dfrac{x^3}{2}-\dfrac{3}{x^2}$ \:  et\: $F(1)=-1$.
		
	\end{enumerate}
	
\pagebreak

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\chaptermark{\textsc{contrôle \no 4}}
\setcounter{nexo}{0}
\addcontentsline{toc}{section}{Contrôle du 21 novembre 2016} 

\exo

 \medskip 

\begin{enumerate}
\item Déterminer la primitive $F$ de la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ strictement positif par $f(x)= x^2+2x-\dfrac{3}{x^2}$ telle que $F(1)=-1$.
\item Déterminer la primitive $G$ de la fonction $g$ définie pour tout réel $t$ de l'intervalle $\left]-\pi ; \pi \right]$ par $g(t)= 3\cos\left( 2t \right)$ telle que $G\left( \dfrac{\pi}{4}\right)=1$.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip

 \textsf{\textsc{\textbf{partie a}}}

\medskip

On a tracé ci-dessous, la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-10,-4)(10,6)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{18*x/(x^2+3)^2}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-10,-4)(10,6)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-5,-2)(5,3)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](5,0){$x$} \uput[dl](0,3){$y$}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-1.75,-1.125)(-.25,-1.125)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](1.75,1.125)(.25,1.125)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-.75,-1.5)(1.25,2.5)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-5}{5}{\f}
%\psdots[linewidth=1pt, linecolor=bleu,dotscale=.8](-1,-1.125)(1,1.125)
\uput[ul](5,.2){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$.

Par lecture graphique, déterminer $f'(-1)$ et $f'(0)$.
\item Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la dérivée $f'$ de la fonction $f$ et une autre d'une primitive $F$ de la fonction $f$.

Déterminer la courbe associée à la fonction $f'$ et celle qui est associée à la fonction $F$. Justifier la réponse. 
\begin{center}
\psset{unit=.4cm} 
\begin{pspicture}(-6,-3)(6,5)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\def\f{9/4-9/(x^2+3)}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-3)(6,5)
\psset{unit=.8cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-1.5)(3,2.5)
\uput[dl](0,0){\tiny{0}}\uput[dl](3,0){\tiny{$x$}}
\uput[dl](0,2.5){\tiny{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=prune]{-3}{3}{\f}
\uput[ur](-3,1.5){\footnotesize{\prune{$\mathcal{C}_1$}}}
\end{pspicture}
\hfill
\psset{unit=.4cm} 
\begin{pspicture}(-6,-4)(6,4)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\def\f{12/(x^2+3)-3}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-4)(6,4)
\psset{unit=.8cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-2)(3,2)
\uput[dl](0,0){\tiny{0}}\uput[dl](3,0){\tiny{$x$}}
\uput[dl](0,2){\tiny{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=prune]{-3}{3}{\f}
\uput[ur](-3,-1.5){\footnotesize{\prune{$\mathcal{C}_2$}}}
\end{pspicture}
\hfill
\psset{unit=.4cm} 
\begin{pspicture}(-6,-2)(6,6)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\def\f{(54-54*x^2)/(x^2+3)^3}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-2)(6,6)
\psset{unit=.8cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-1)(3,3)
\uput[dl](0,0){\tiny{0}}\uput[dl](3,0){\tiny{$x$}}
\uput[dl](0,3){\tiny{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=prune]{-3}{3}{\f}
\uput[ur](-3,-1){\footnotesize{\prune{$\mathcal{C}_3$}}}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textsc{\textbf{partie b}}}

\medskip
La fonction $f$ est définie pour tout réel $x$  par $f(x)=\dfrac{18x}{\left(x^2+3\right)^2}$.

\begin{enumerate}
\item Soit $F$ la primitive de la fonction $f$ telle que $F(1)=0$
\begin{enumerate}
	\item Montrer que la fonction $G$ définie sur $\R$ par $G(x) =- \dfrac{9}{x^2+3}$ est une primitive de la fonction $f$.	
	\item En déduire une expression de $F(x)$.	
\end{enumerate}
\item Déterminer la limite de $F$ en $- \infty$ et en $+ \infty$. Interpréter graphiquement ces résultats.
\item Étudier les variations de la fonction $F$.
\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_F$ représentative de la fonction $F$ au point d'abscisse 1.
\end{enumerate}

\pagebreak

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\chaptermark{\textsc{contrôle \no 5}}
\setcounter{nexo}{0}
\addcontentsline{toc}{section}{Contrôle du 16 décembre 2016} 


\exo  \hfill  ( 5 \emph{points} )

\medskip

\emph{Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.}

\emph{Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.}

\begin{enumerate}[{\textsf{\textsc{proposition }}} 1 :]
\item  $\ln \np{10000}-\ln 0,1 + \ln 0,01 = 3\ln 10$.
\item  La solution de l'équation $2\ln x = 1$ est $\dfrac{\e}{2}$.
\item  L'équation $2\ln x = \ln (4x-3)$ admet une seule solution $x=1$.
\item  L'ensemble des solutions de l'inéquation $\ln \dfrac{1}{x} -\ln x \geqslant 0$ est l'intervalle $]0 ; 1]$.
\item  La fonction $F$ définie sur l'intervalle $]0 ; + \infty [$ par $F(x)= \ln\left({x^3}\right)-2$ est une primitive de la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{3}{x}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo \hfill  ( 6 \emph{points} )

 \medskip 

Un groupe industriel s'engage à réduire ses émissions de polluants de 4\% par an.

En 2015, la masse de polluants émise dans l'atmosphère était de \np{50000} tonnes.

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la masse, exprimée en tonnes, de polluants émise dans l'atmosphère pour l'année $(2015+n)$. On a donc $u_0= \np{50000}$.

\begin{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
		\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$. En déduire la nature de la suite $\left(u_n\right)$.
		\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
		\item En 2020, la masse de polluants émise dans l'atmosphère par ce groupe industriel aura-t-elle diminué de 20~\% ?
	\item On considère l'algorithme ci-dessous :

\begin{center}	
\begin{tabularx}{0.45\linewidth}{|X|}\hline	
\textsc{\textsf{Variables}}
\begin{itemize}
\item[] $N$ un entier naturel
\item[] $Q$ et $U$ deux nombres réels
\end{itemize}\\
\textsc{\textsf{Initialisation}}
\begin{itemize}
\item[] $N$ prend la valeur 0
\item[] $Q$ prend la valeur 0,96
\item[] $U$ prend la valeur \np{50000}
\end{itemize}\\
\textsc{\textsf{Traitement}}
\begin{itemize}
\item[] Tant que \dotfill\hspace{1em}\hbox{}
\begin{itemize}
\item[] $N$ prend la valeur \dotfill\hspace{1em}\hbox{}
\item[] $U$ prend la valeur  \dotfill\hspace{1em}\hbox{}
\end{itemize}
\item[] Fin Tant que
\end{itemize}\\
\textsc{\textsf{Sortie}}
\begin{itemize}
\item[] Afficher \dotfill\hspace{1em}\hbox{}
\end{itemize}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Recopier et compléter les lignes en pointillé afin que l'algorithme renvoie l'année à partir de laquelle la masse de polluants émise dans l'atmosphère par ce groupe industriel aura diminué d'au moins 20~\%.
\end{enumerate}	
	\item \begin{enumerate}
		\item Déterminer le plus petit entier $n$ solution de l'inéquation $\np{50000}\times 0,96^n \leqslant \np{30000}$.
	\item À partir de quelle année, la masse de polluants émise dans l'atmosphère par ce groupe industriel aura diminué d'au moins 40~\% ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\exo \hfill  ( 9 \emph{points} )

\medskip

 \textsf{\textsc{\textbf{partie a}}}

\medskip

On a tracé ci-dessous, la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $]0 ; +\infty[$.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-6)(20,6)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{x*(ln(x)-2)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-6)(22,6)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-3)(11,3)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](11,0){$x$} \uput[dl](0,3){$y$}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](0,-1)(2,-3)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](1.8,-2.71828)(3.72,-2.71828)
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune,linestyle=dashed](2.71828,0)(2.71828,-2.71828)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{.0001}{9.98}{\f}
\psdots[linecolor=bleu](1,-2)(2.71828,-2.71828)
\uput[dr](10,3){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}
\uput[u](2.71828,0){\prune{$\e$}}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$.

Par lecture graphique, déterminer $f'(1)$ et $f'(\e)$.
\item Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la dérivée $f'$ de la fonction $f$ et une autre d'une primitive $F$ de la fonction $f$.

Déterminer la courbe associée à la fonction $f'$ et celle qui est associée à la fonction $F$. Justifier la réponse. 
\begin{center}
\psset{unit=.4cm} 
\begin{pspicture}(-1,-7)(13,3)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\f{.25*x^2*(2*ln(x)-5)+1.25}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-7)(13,3)
\psset{xunit=.4cm,yunit=.2cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=4]{->}(0,0)(-1,-14)(13,6)
\uput[dl](0,0){\tiny{0}}\uput[dl](13,0){\tiny{$x$}}
\uput[dl](0,6){\tiny{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{.0001}{12.8984}{\f}
\uput[d](11,-8){\footnotesize{\bleu{$\mathcal{C}_1$}}}
\end{pspicture}
\hfill
\psset{unit=.4cm} 
\begin{pspicture}(-1,-6)(12,4)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\f{ln(x)-1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-6)(12,4)
\psset{unit=.8cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-3)(6,2)
\uput[dl](0,0){\tiny{0}}\uput[dl](6,0){\tiny{$x$}}
\uput[dl](0,2){\tiny{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{.135335}{6}{\f}
\uput[ur](1,-1.5){\footnotesize{\bleu{$\mathcal{C}_2$}}}
\end{pspicture}
\hfill
\psset{unit=.4cm} 
\begin{pspicture}(-1,-6)(12,4)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\def\f{(x^2-2*Euler*x+Euler)/(Euler-1)}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-6)(12,4)
\psset{unit=.8cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-3)(6,2)
\uput[dl](0,0){\tiny{0}}\uput[dl](6,0){\tiny{$x$}}
\uput[dl](0,2){\tiny{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{0}{5.56562}{\f}
\uput[dr](4.5,-1){\footnotesize{\bleu{$\mathcal{C}_3$}}}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textsc{\textbf{partie b}}}

\medskip
La fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ strictement positif par $f(x)=x\left( \ln(x) -2\right)$.

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $f(x)=0$.
\item	\begin{enumerate}
	\item Calculer la limite de la fonction $f$ en $0$. (\emph{Rappel :} $\displaystyle\lim_{x \to 0} x\ln x = 0$)
	\item Calculer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. 
\end{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0;+ \infty[$ on a $f'(x) = \ln(x) -1$.
	\item \begin{enumerate}
	\item Étudier le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs du réel $x$.
	\item Donner le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$.
	\end{enumerate}
	\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d'abscisse $\e^2$.
\end{enumerate}

\pagebreak

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\chaptermark{\textsc{contrôle \no 6}}
\setcounter{nexo}{0}
\addcontentsline{toc}{section}{Contrôle du 16 janvier 2017} 

\exo 

 \medskip 

\begin{enumerate}
	\item Résoudre dans $\R$  l'équation : $\e^{x}\times \e^{-4}=\left( {\e^{x}}\right)^4 $.	

	\item Résoudre dans $\R$  l'inéquation : $\left(\e^{x}+1\right) \times \left(\e^{2x}-2\right) \geqslant 0$.
\end{enumerate}
	
\bigskip

\exo

 \medskip 

On a tracé ci-dessous, la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative de la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)=\dfrac{3\e^x-2}{\e^x+1}$.
  
\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-11,-5)(12,8)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{3-5/(EXP(x)+1)}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-11,-5)(12,8)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-5.5,-2.5)(6,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}\uput[dl](6,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,4){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-5.5}{6}{\f}
\uput[ul](6,3){\footnotesize{\bleu{$\mathcal{C}_f$}}}
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip

 \textsf{\textsc{\textbf{partie a}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f\left(-\ln 4\right)$ et $f\left(\ln 4\right)$.
\item Résoudre dans $\R$ l'équation : $f(x)=0$.
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textsc{\textbf{partie b}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.
\item \begin{enumerate}
	\item Montrer que pour tout réel $x$,  $f(x)=3-\dfrac{5}{\e^x+1}$.	
	\item Calculer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.	
	\end{enumerate}
	\item La courbe $C_f$ représentative de la fonction $f$ admet-elle des asymptotes ?	
	
	\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation : $3-f(x)\leqslant 0,001$.
	
	En déduire une valeur approchée au millième près de $f(9)$.

\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textsc{\textbf{partie c}}}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$.
	\item Donner le tableau des variations de la fonction $f$. 
\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $0$.	
\end{enumerate}


\pagebreak

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\chaptermark{\textsc{contrôle \no 7}}
\setcounter{nexo}{0}
\addcontentsline{toc}{section}{Bac blanc du 21 février 2017} 

\exo  \hfill  ( 5 \emph{points} )

\medskip

\emph{Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.}

\emph{Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.}

\medskip

\begin{enumerate}[{\textsf{\textsc{proposition }}} 1 :]
\item  La fonction $f$ définie pour tout réel $x$ strictement positif par $f(x)=x\ln(x)-x$ est croissante.
\item  La forme algébrique du nombre complexe $z=\sqrt{2}\e^{\mathrm{i}\frac{3\pi}{4}}$ est $z=-1+\mathrm{i}$.
\item  Le conjugué du nombre complexe $z=\sqrt{3}-\mathrm{i}$ est $\overline{z}=2\e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}$.
\item  Le cube du nombre complexe $z=2\e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}$ est égal à 8.
\item  La solution de l'équation $\left( 2- \mathrm{i}\right)z = 4+3\mathrm{i}$ est $z=2-3\mathrm{i}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo \hfill  ( 5 \emph{points} )

\medskip

L'évolution de la température du lubrifiant d'un moteur en fonction du temps est modélisée par la suite $\left( T_n \right)$ définie par $T_0=20$ et, pour tout entier naturel $n$, $T_{n+1} = 0,9\times T_n+3$. 

Pour tout entier naturel $n$, le terme $T_n$ de la suite $\left( T_n \right)$ est égal à la température en degrés Celsius du lubrifiant après $n$ minutes de fonctionnement du moteur.

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la température du lubrifiant lorsque le moteur ne fonctionne pas ? 
		\item Quelle est la température du lubrifiant après deux minutes de fonctionnement du moteur ? 
	\end{enumerate}
	
	\item Pour déterminer au bout de combien de minutes la température du lubrifiant sera supérieure à 28\textdegree C, on a commencé par élaborer l'algorithme suivant :
		
		\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|lX|}\hline
\textsc{\textsf{Variables:}}			&$N$ est un entier naturel\\
							&$T$ est un nombre réel\\
\textsc{\textsf{Initialisation :}}	&Affecter à $N$ la valeur 0\\
							&Affecter à $T$ la valeur 20\\
\textsc{\textsf{Traitement :}}		&Tant que \ldots\\
							&\begin{itemize}
							\item[] Affecter à $T$ la valeur \ldots
							\item[] Affecter à $N$ la valeur \ldots
							\end{itemize}\\
							&Fin Tant que\\
\textsc{\textsf{Sortie :}}			&Afficher $N$\\ \hline
\end{tabularx}								
\end{center} 
		Recopier et compléter cet algorithme afin qu'il affiche la réponse.
		

	\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Pour tout nombre entier naturel $n$, on définit la suite $\left(V_n\right)$ par : $V_n = 30 - T_n$.	
	\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
\item Calculer $V_0$, $V_1$ et $V_2$.
\item Vérifier que $V_0$, $V_1$ et $V_2$ semblent être les termes d'une suite géométrique.
\end{enumerate}  
\item On admet que pour tout entier naturel $n$, on a $V_{n+1} = 0, 9V_n$.
\begin{enumerate}
\item Exprimer  $V_n$ en fonction de $n$.
\item En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a $T_n = 30 - 10 \times {0,9}^n$.
\end{enumerate}
\item Déterminer la limite de la suite $\left( T_n \right)$. Interpréter le résultat trouvé.
\item \begin{enumerate}
	\item Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $ 30 - 10 \times {0,9}^n > 28$.
	\item En déduire la valeur $N$ affichée par l'algorithme de la partie A.
	\end{enumerate}
		\end{enumerate}
		
\bigskip

\exo \hfill  ( 4 \emph{points} )

 \medskip 


\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\raggedright}X m{5.5cm}|} \hline
On étudie la charge d'un condensateur et l'on dispose pour cela du circuit électrique ci-contre composé de :

\begin{itemize}
\item une source de tension continue $E$ de 10 V ;
\item une résistance $R$ de $4000 \: \Omega$ ;
\item un condensateur de capacité $C$ de $500 \times 10^{-6} \: \mathrm{F}$.
\end{itemize}
&
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0)(5,4.2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psset{linewidth=1.25pt,linecolor=bleu}
\psline(2.4,3)(0,3)\psline[ArrowInside=->,arrowscale=1.5](0,3)(0,1)\psline(0,1)(3.8,1)\psline(4,1)(5,1)(5,3)(0,3)
\psline(3.8,1.4)(3.8,.6)\psline(4,1.4)(4,.6)
\pscircle(2.5,3){.5}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](1,.8)(2,1.2)
\psline[linewidth=1pt]{<-}(1.9,3.7)(3.1,3.7)\psline[linewidth=1pt]{<-}(3.3,.4)(4.5,.4)
\uput[u](2.5,3.7){\footnotesize{\bleu $E$}} \uput[l](0,2){\footnotesize{\bleu $i$}} \uput[d](3.9,.4){\footnotesize{\bleu $u$}}\uput[u](3.9,1.4){\footnotesize{\bleu $C$}} \uput[u](1.5,1.2){\footnotesize{\bleu $R$}}
\end{pspicture}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

La tension $u(t)$ exprimée en volt aux bornes du condensateur est une fonction du temps $t$ exprimé en seconde.
 
La fonction $u$ est définie  sur $[0 ; +\infty[$ par : \[u(t)= 10\times \left(1-\e^{-0,5t}\right)\]

 On donne ci-dessous, la représentation graphique de la fonction $u$.

\begin{center}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(20,13)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{10*(1-EXP(-.5*x))}
\rput(9.5,12){\footnotesize{\sf{Charge du condensateur en fonction du temps}}}
\psgrid[gridwidth=0.75pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0,griddots=5](0,0)(20,11)
\psset{xunit=1cm,yunit=.5cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.3,-.6)(10,11)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](10,0){$t$}\uput[l](0,11){$u(t)$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{10}{\f}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour caractériser le temps de charge d'un condensateur, on utilise grandeur appelée constante de temps, notée $\tau$, exprimée en seconde . On a \[\tau = R \times C\] Vérifier que  $u\left( \tau \right)\approx 0,63 \times E$.
\item Déterminer la limite en $+ \infty$ de la fonction $u$. En donner une interprétation graphique.
\item  On note $u'$ la dérivée de la fonction $u$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $u'(t)=5\e^{-0,5t}$.
		\item Étudier le signe de $u'(t)$. En déduire le sens de variation de la fonction $u$.  
	\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente $D$ à la courbe représentative de la fonction $u$ au point d'abscisse 0.
\item Pratiquement, un condensateur est considéré comme totalement chargé au bout d'une durée $T$ telle que  $u(T)=0,99 \times E$. 

Déterminer le temps de charge $T$ arrondi au dixième de seconde près.
		
\end{enumerate}

 \bigskip

\exo \hfill  ( 6 \emph{points} )

 \medskip 
 
Dans le plan muni d'un repère orthogonal, on a tracé en annexe ci-dessous, la courbe $\mathcal{C}_F$ représentative d'une primitive $F$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $\left] 0; +\infty \right]$.

La tangente à la courbe $\mathcal{C}_F$ au point $A$ d'abscisse 1 coupe l'axe des ordonnées au point $B$ de coordonnées $( 0 ; 2)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique, déterminer $F(1)$ et $f(1)$.
\item La fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ strictement positif par $f(x)=x-\ln(x)$.
\begin{enumerate}
	\item Calculer la limite de la fonction $f$ en $0$. En donner une interprétation graphique.
	\item Calculer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. (\emph{Rappel :} $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$)
\end{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$, où $f'$ est la dérivée de la fonction $f$.
\item \begin{enumerate}
	\item Étudier le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs du réel $x$.
	\item Donner le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$.
	\end{enumerate}
\item En déduire que la fonction $F$ est strictement croissante.
	\item \begin{enumerate}
	\item Montrer que la fonction $G$ définie pour tout réel $x$ strictement positif par $G(x)=x\left(\ln(x) -1\right)$ est une primitive de la fonction logarithme népérien.
	\item En déduire l'expression de $F(x)$.
	\end{enumerate}
	
	\item Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{D}$ à la courbe $\mathcal{C}_F$ au point d'abscisse $3$.
	
	Tracer la droite $\mathcal{D}$ sur le graphique donné en annexe.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(24,26)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{.5*x^2-x*ln(x)+x+3/2}
\uput[u](11,26){\textsf{\small{\textsc{\textbf{annexe}}}}}
\uput[u](11,25){\textsf{\small{\emph{À rendre avec votre copie}}}}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-2,-1)(24,24)
\psset{xunit=2cm,yunit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-.5)(6,12)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}} \uput[dl](6,0){$x$} \uput[dl](0,12){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=800,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0.0001}{5.29831}{\f}
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune](0,2)(2.5,4.5)
\uput[d](5.5,12){\bleu{$\mathcal{C}_F$}}
\uput[u](1,3){\footnotesize{\bleu{$A$}}}\uput[ul](0,2){\footnotesize{\bleu{$B$}}}
\psdots[linecolor=bleu,dotscale=.8] (1,3)
\end{pspicture}
\end{center}

\pagebreak

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\chaptermark{\textsc{contrôle \no 8}}
\setcounter{nexo}{0}
\addcontentsline{toc}{section}{Contrôle du 31 mars 2017} 

\exo 

 \medskip 

La courbe $\mathcal{C}_f$ tracée ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$. 
	

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-11,-4)(12,10)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(x+4)*(748*x^2-2413*x+2992)/12306}
%\def\f{(x+4)*(772*x^2-2293*x+3088)/12306}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-11,-4)(12,10)
\psset{unit=1cm}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{-3}{4}{\f} \gsave
\psline(4,0)(-3,0)
\fill[fillstyle=hlines,hatchcolor=prune,hatchwidth=.25pt] \grestore }
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-3,0)(-3,1.37843)\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](4,0)(4,3.45047)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-5.5,-2)(6,5)
\uput[dl](6,0){$x$} \uput[dl](0,5){$y$}
\uput[dl](0,0){0}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-5,-2)(-2.5,3) \psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-3,1.75687)(-1,1.75687)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-4.77874}{4.49193}{\f}
\psdots[linewidth=1pt, linecolor=bleu, dotscale=.8](-4,0)(-2,1.75687)
\uput[dr](4.5,5){\small{\bleu{$\mathcal{C}_f$}}}
\uput[ul](-4,0){\small{\bleu{$A$}}}\uput[u](-2,1.75){\small{\bleu{$B$}}}\uput[l](-2.5,3){\small{\prune{$\mathcal{D}$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

Les points $A$ et $B$ sont deux points de la courbe $\mathcal{C}_f$.

La tangente à la courbe  $\mathcal{C}_f$ au point $B$ d'abscisse $\left(-2\right)$ est horizontale.

\begin{enumerate}
\item Résoudre graphiquement sur l'intervalle $[- 5 ; 1]$ l'inéquation $f'(x) \leqslant 0$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'équation de la tangente $\mathcal{D}$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$ de coordonnées $(-4 ; 0)$ en sachant que cette tangente passe par le point de coordonnées $(-3 ; 2)$.
		\item En déduire le nombre dérivé $f'(-4)$.
	\end{enumerate}
	\item  Soit $F$ une primitive de la fonction fonction $f$.
 \begin{enumerate}
 \item Donner le tableau de variation de la fonction $F$.
 \item Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $F$.
 
 En justifiant votre réponse, déterminer la courbe associée à la fonction $F$. 
 
 En déduire une valeur approchée, à l'unité d'aire près, de l'aire du domaine hachuré.
		
\begin{center}	
\psset{unit=.45cm}
\begin{pspicture}(-6,-8)(5,8)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
%\def\f{(-15*x^3-53*x^2+296*x+512)/112}
\def\f{(5*x^4+20*x^3-30*x^2+80*x-573)/609}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-6)(5,8)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-6,-6)(5,8)
\uput[dl](0,0){\tiny{0}}\uput[dl](5,0){\scriptsize{$x$}}\uput[dl](0,8){\scriptsize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-6}{5}{\f}
\rput(-.5,-7){Courbe $C_1$}
\end{pspicture}\hfill\psset{unit=.45cm}
\begin{pspicture}(-6,-8)(5,8)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\def\f{(x*(187*x^3+193*x^2-3330*x+11968)+6714)/12306}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-6)(5,8)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-6,-6)(5,8)
\uput[dl](0,0){\tiny{0}}\uput[dl](5,0){\scriptsize{$x$}}\uput[dl](0,8){\scriptsize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-6}{4.6681}{\f}
\rput(-.5,-7){Courbe $C_2$}
\end{pspicture}\hfill\psset{unit=.45cm}
\begin{pspicture}(-6,-8)(5,8)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\def\f{2-(x*(187*x^3+193*x^2-3330*x+11968)+6714)/12306}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-6)(5,8)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-6,-6)(5,8)
\uput[dl](0,0){\tiny{0}}\uput[dl](5,0){\scriptsize{$x$}}\uput[dl](0,8){\scriptsize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-6}{4.6681}{\f}
\rput(-.5,-7){Courbe $C_3$}
\end{pspicture}
\end{center}
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip

 \exo 

 \medskip 

Le plan est rapporté à un repère orthonormal $\left( {{\mathrm{O}};\vec u,\vec v} \right)$ d'unité graphique 2 cm.

\begin{enumerate}

\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation : $\mathrm{i} z=-\sqrt{3}+\mathrm{i}$, exprimer la solution sous la forme algébrique.
\item Soient $A$, $B$ et $C$ les points dont les affixes respectives sont $z_{A} = 2\e^{ \mathrm{i}\frac{\pi}{3}}$,  $z_{B}=-z_{A}$ et  $z_{C}={z_{A}}^2$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer une écriture exponentielle  de $z_{B}$ et $z_{C}$.
\item Donner l'écriture algébrique de $z_{A}$, $z_{B}$ et $z_{C}$.
\item Placer les points $A$, $B$ et $C$ dans le plan complexe.
\item Montrer que le triangle $ABC$ est un triangle rectangle.
\end{enumerate}
\item Soit $D$ le point d'affixe $z_{D}=\dfrac{8}{z_{A}}$.

Montrer que $z_{D}=-z_{C}$. En déduire la nature du quadrilatère $ACBD$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
 \exo
 
 \medskip 

\textsf{\textbf{{\textsc{partie a :}}}  Étude d'une fonction}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par la relation $f(x) =  \e^{-0,5x} + x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $f$ en $+ \infty$ et  en $- \infty$.
\item \begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ et étudier son signe sur $\R$.
\item En déduire le tableau des variations de la fonction $f$ sur $\R$.
\end{enumerate}

\item  Déterminer à partir du tableau des variations le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 2$.

 Donner une valeur arrondie à $10^{-2}$ près de chaque solution.

\item Donner une équation de la tangente $T$ à la courbe $C_f$ représentative de la fonction $f$ au point $A$ d'abscisse 0.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf{\textbf{{\textsc{partie b :}}} Calcul d'aire}

\medskip

La courbe $C_f$ est représentée en annexe avec la droite $T$. On admet que la courbe $C_f$ se situe \og au-dessus \fg{} de la droite $T$.

L'objectif de cette partie est de déterminer par un calcul l'aire $\mathcal{A}$ comprise entre la courbe $C_f$, la droite $T$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 4$.

\begin{enumerate}
\item Hachurer sur le dessin, en annexe, l'aire $\mathcal{A}$ que l'on veut déterminer.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une primitive de la fonction $g$ définie pour tout réel $x$, par $g(x) = \e^{-0,5x} + \dfrac{x}{2} -1$.
		
		\item Justifier que l'aire $\mathcal{A}$ recherchée vaut, en unité d'aire : $\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^{4} g(x)\dd x$.
		
		\item En déduire la valeur exacte puis l'arrondi à $10^{- 2}$ de $\mathcal{A}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

 \begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-10,-2)(12,16)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{EXP(-.5*x)+x}
\def\g{x/2+1}
\rput(1,14){\textsf{\textbf{{\textsc{annexe}}}}}
\rput(1,13){\textsf{à rendre avec la copie}}
\psgrid[griddots=10,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-10,-2)(12,12)
\psset{unit=1cm,yunit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-5,-1)(6,6)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}\uput[dl](6,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,6){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-4.74977}{5.94893}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt, linecolor=prune]{-3}{6}{\g}
\uput[dl](6,5.5){\bleu{$C_f$}}\uput[dr](0,1){\bleu{$A$}} \uput[l](6,3.5){\prune{$T$}}
\end{pspicture}
\end{center}


\pagebreak

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\chaptermark{\textsc{contrôle \no 9}}
\setcounter{nexo}{0}
\addcontentsline{toc}{section}{Contrôle du 12 mai 2017} 

\begin{center}
\emph{Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à $10^{-3}$ près}
\end{center}

\exo

 \medskip 

On considère que la durée de vie $T$ d'un appareil, exprimée en années, est une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre \mbox{$\lambda = 0,125$}.

\begin{enumerate}
\item Calculer l'espérance $E(T)$ de la variable aléatoire $T$. Interpréter ce résultat.
\item Calculer la probabilité que cet appareil ait une durée de vie inférieure à 8 ans
\item Calculer la probabilité que cet appareil ait une durée de vie supérieure à 10 ans
\item Calculer la probabilité que cet appareil ait une durée de vie comprise entre 6 ans et 10 ans
\end{enumerate}

\exo %\hfill (\emph{D'après sujet bac Antilles Guyane 2015})

 \medskip 

Une machine permet le conditionnement d'un jus de fruit dans des bouteilles. La quantité de jus injecté dans une bouteille par la machine, exprimée en ml (millilitre), est modélisée avec une variable aléatoire réelle $X$. On admet que celle-ci suit une loi normale de moyenne $\mu = 500$ et d'écart-type $\sigma = 2$.

\medskip

 \textsf{\textbf{{\textsc{partie a}}}}

\medskip

On prélève une bouteille au hasard en fin de chaîne de remplissage.

\begin{enumerate}
\item Déterminer $P(X \leqslant 496)$. 
\item  Déterminer la probabilité que la bouteille ait un contenu compris entre 497 et 500 millilitres.
\item  Comment choisir la valeur de $\alpha$ afin que $P(500 - \alpha \leqslant X \leqslant  500 + \alpha)$ soit approximativement égale à 0,95 à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}
 
\bigskip


\exo

 \medskip 


Une entreprise fabrique, en grande quantité, des batteries Lithium-ion pour smartphone. 

\medskip

 \textsf{\textsc{\textbf{partie a}}}

\medskip

Le nombre de cycles de charge d'une batterie est appelé durée de vie de la batterie.

La durée de vie des batteries Lithium-ion mises en vente par cette entreprise est modélisée par la variable aléatoire $X$ suivant la loi normale de moyenne $\mu=600$ et d'écart-type $\sigma=74,6$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La fonction densité associée à $X$ est représentée sur un seul de trois graphiques ci-dessous.

Quel est ce graphique ? Expliquer le choix.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}}
\psset{unit=.45cm}
\begin{pspicture}(6,-.8)(17,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{b2}{.43 0 .88}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\psgrid[gridwidth=.75pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0,griddots=5](6,0)(17,6)
\psset{xunit=0.09mm,yunit=450cm}
\pscustom{
\psGauss[sigma=74.6, mue=600, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{525.4}{674.6} \gsave
\psline(674.6,0)(525.4,0)
\fill[fillstyle=hlines,hatchcolor=b2,hatchwidth=.25pt,hatchsep=6pt] \grestore }
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](674.6,.00324)(674.6,0)\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](525.4,.00324)(525.4,0)
\psaxes[linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Ox=300,Dx=100,yAxis=false]{->}(300,0)(850,0.006)
\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}
\def\m{600}% moyenne 
\def\s{74.6}% écart type
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{300}{850}{\f}
\rput(600,.0025){\psframebox*{\prune{\scriptsize{0,683}}}}
\end{pspicture}&
\psset{unit=.45cm}
\begin{pspicture}(6,-.8)(17,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{b2}{.43 0 .88}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\psgrid[gridwidth=.75pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0,griddots=5](6,0)(17,6)
\psset{xunit=0.09mm,yunit=450cm}
\pscustom{
\psGauss[sigma=110, mue=600, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{490}{710} \gsave
\psline(710,0)(490,0)
\fill[fillstyle=hlines,hatchcolor=b2,hatchwidth=.25pt,hatchsep=6pt] \grestore }
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](710,.00219)(710,0)\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](490,.00219)(490,0)
\psaxes[linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Ox=300,Dx=100,yAxis=false]{->}(300,0)(850,0.006)
\psGauss[sigma=111, mue=600, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{300}{850}
\rput(600,.0015){\psframebox*{\prune{\scriptsize{0,683}}}}
\end{pspicture}&
\psset{unit=.45cm}
\begin{pspicture}(6,-.8)(17,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{b2}{.43 0 .88}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\psgrid[gridwidth=.75pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0,griddots=5](6,0)(17,6)
\psset{xunit=0.09mm,yunit=450cm}
\pscustom{
\psGauss[sigma=70, mue=550, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{480}{620} \gsave
\psline(620,0)(480,0)
\fill[fillstyle=hlines,hatchcolor=b2,hatchwidth=.25pt,hatchsep=6pt] \grestore }
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](620,.00345)(620,0)\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](480,.00345)(480,0)
\psaxes[linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Ox=300,Dx=100,yAxis=false]{->}(300,0)(850,0.006)
\psGauss[sigma=70, mue=550, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{300}{850}
\rput(550,.0025){\psframebox*{\prune{\scriptsize{0,683}}}}
\end{pspicture}\\
\textsf{\footnotesize{Graphique 1}} & \textsf{\footnotesize{Graphique 2}} & \textsf{\footnotesize{Graphique 3}}\\
\end{tabularx}
\item 
\begin{enumerate}
\item Déterminer $P\left( 550 \leqslant X \leqslant 1000 \right)$.
\item Quelle est la probabilité que la durée de vie d'une batterie soit inférieure à 500 cycles de charge ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
	\medskip

 \textsf{\textsc{\textbf{partie b}}}

\medskip

Le service commercial affirme que 91\% des batteries proposées à la vente ont une durée de vie supérieure à 500 cycles de charge.

Pour vérifier cette affirmation, un laboratoire indépendant a reconstitué la vie de 100 batteries en simulant des cycles de charge et de décharge pour déterminer leur durée de vie en fonction de différents facteurs.

Sur ce lot, on a constaté que 13 batteries ont eu une durée de vie inférieure à 500 cycles de charge.  

\medskip

 Le résultat de ce test remet-il en question l'affirmation du service commercial ?
 
\pagebreak

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\chaptermark{\textsc{contrôle \no 10}}
\setcounter{nexo}{0}
\addcontentsline{toc}{section}{Contrôle du 22 mai 2017} 

\exo

 \medskip 

Une entreprise fabrique par moulage des paraboles pour réception satellitaire en matériau composite. Ce matériau est disposé dans un moule à une température de 140\degres~C (degrés Celsius), puis pressé.

On pose $t = 0$ à l'instant où la parabole est retirée du moule. Elle a alors une température de 140 \degres~C. 

On la dépose à l'air libre à la température ambiante de 20\degres~C afin qu'elle refroidisse.

On note $f(t)$ la température de la parabole, en degrés Celsius à l'instant $t$, exprimée en secondes.

\medskip

D'après la loi de refroidissement de Newton, la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ d'expression $f(t)$ est solution de l'équation différentielle 
\[(E):\quad  y' + 0,004 y = 0,08\]
où l'inconnue $y$ est une fonction de la variable $t$, définie et dérivable sur $[0~;~+ \infty[$.

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}} : Résolution d'une équation différentielle}

\medskip


\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$.
\item On rappelle que $f(0) = 140$. En déduire l'expression de $f(t)$ pour $t \in [0~;~+ \infty[$.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}} :  Étude d'une fonction}

\medskip

Dans cette partie, on admet que $f(t) = 120\e^{- 0,004t} + 20$ pour $t \in  [0~;~ + \infty[$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
		\item Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}		
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la dérivée $f'$ de la fonction $f$.
		\item En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}		
\item Au cours du refroidissement, il arrive que la parabole doive subir des rectifications et des contrôles. Ceux-ci ne peuvent être effectués que lorsque la température de la parabole est inférieure à 30 \degres~C.

Quel est le temps nécessaire pour atteindre une température inférieure à 30 \degres~C ?


\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle $(E)$ : $y'' + 4y = 0$, où $y$ désigne une fonction de la variable réelle $x$.
\item Déterminer la solution particulière  $f$ de $(E)$ telle que $f(0)=\sqrt{3}$ et $f'(0)=2$. 
\item Montrer que la fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ par $f(x)=2\cos\left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right)$.
\item Résoudre sur l'intervalle $\left[ 0 ; 2\pi\right]$ l'équation $f(x)=1$.
\end{enumerate}

\newpage

\thispagestyle{empty}

\hfill

\newpage
\end{document}