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%
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$\bullet$ \quad #2 \hfill 
$\bullet$ \quad #3 }

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\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #2 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #3 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #4 }} % QCM avec cases à cocher%

\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\ 25 novembre 2016}}} %gauche
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%%%% fin macro %%%%

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%%%% fin macro %%%%

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#1\end{minipage}}}

\newcommand{\dem}{
 \medskip
  \par{\textsf{\textsc{{\small{\ding{106}\: démonstration}}}}}%
   \medskip}
  

   \newcommand{\preuve}{
 \medskip
  \par{\textsf{\textsc{{\small{\ding{106}\: preuve}}}}}%
   \medskip} 
    

\newcommand{\encadrer}[1]{
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\fbox{#1}}}

\hypersetup{
pdftitle={logarithme.}, 
pdfauthor={Arié Yallouz},   
pdfsubject={Fonction logarithme népérien.}, 
pdfkeywords={fonction ln, propriétés, dérivée, variation, cours, exercices.},
pdfcontacturl={http//yallouz.arie.free.fr/},
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baseurl={http://yallouz.arie.free.fr/tsti2d_cours/index_tsti2d_cours.php}
}

\begin{document}

\section*{\textsf {\textsc{\textbf{\blue{transformer les produits en somme}}}}}	
\addcontentsline{toc}{section}{Activité}	

Le but de cette activité est de déterminer les fonctions définies et dérivables	sur l'intervalle $] 0 ; + \infty [$ telles que, pour tous réels $a$ et $b$ strictements positifs : \[f(ab)=f(a)+f(b)\]

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip 

La courbe $\mathcal{C}_f$ tracée ci-dessous, est la courbe représentative d'une fonction $f$ définie et dérivable	sur l'intervalle $] 0 ; + \infty [$ telle que, pour tous réels $a$ et $b$ strictements positifs $f(ab)=f(a)+f(b)$.

\begin{center}
\psset{unit=.25cm}
\begin{pspicture}(-2,-9)(63,18)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{ln(x)/ln(2)}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-9)(62,18)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-2.25)(15.5,4.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](15.5,0){$x$} \uput[dl](0,4.5){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=800,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{.21}{15.5}{\f}
\psset{linestyle=dashed,linewidth=1pt, linecolor=prune}
\psline(2,0)(2,1)(0,1)  \psline(8,0)(8,3)(0,3)
\psdots[linecolor=prune,dotstyle=*,dotscale=.8](1,0)
\uput[dl](15.5,4.5){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}
\end{pspicture}
\end{center}	
On sait que $f(2)=1$ et $f(8)=3$

\begin{enumerate}
	\item Déterminer les valeurs exactes des images de  16; 32;  0,5; 0,125.
		\item Déterminer les antécédents par  $f$ de 2 et de 0,5.
	\item Déterminer $f\left(\sqrt{8}\right)$,  $f\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$
\end{enumerate} 


\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip
\begin{enumerate}

\item Supposons qu'il existe une fonction $f$ définie et dérivable sur $] 0 ; +\infty[$ telle que, pour tous réels $a$ et $b$ strictements positifs : \[f(ab)=f(a)+f(b)\]

\begin{enumerate}
\item Justifier que $f$ n'est pas définie en 0.
	\item Quelle égalité obtient-on lorsque $a = b =1$ ? En déduire la valeur de $f(1)$.
	\item Soit $x$ un réel strictement positif. Montrer que pour tout réel $y>0$, $f'(xy) =\dfrac{f'(y)}{x}$.
	
	En posant $k= f'(1)$, déduire que $f$ est la primive qui s'annule pour $x=1$ de la fonction $g$ définie sur $] 0 ; +\infty[$ par $g(x)=\dfrac{k}{x}$.
\end{enumerate}

\item Réciproquement, soit $g$ la fonction définie sur $] 0 ; +\infty[$ par $g(x)=\dfrac{k}{x}$  avec $k$ un réel fixé. 
\begin{enumerate}
\item Justifier que la fonction $g$ admet des primitives sur $] 0 ; +\infty[$.
	\item  Soit $f$ la primive qui s'annule pour $x=1$ de la fonction $g$  sur $] 0 ; +\infty[$. 
	
	Montrer que les fonctions  $ x \longmapsto f(x)$ et $ x \longmapsto f(ax)$ ont des dérivées égales.

En déduire alors, que pour tout réel $a>0$, $f(ax)=f(a)+f(x)$.
\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
 \pagebreak

\section{fonction logarithme népérien}


La fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0; +\infty[$ par $f(x)=\dfrac{1}{x}$ est dérivable donc continue. Elle admet donc des primitives sur cet intervalle

\subsection{définition}

\cadreR{%
La fonction logarithme népérien est la primitive sur $]0; +\infty[$ de la fonction $x \longmapsto \dfrac{1}{x}$ qui s'annule pour $x=1$.

Pour tout réel $x$ strictement positif $\ln x$ est le logarithme népérien de $x$.
}


\subsection{conséquences}

\begin{enumerate}
	\item La fonction $\ln$ est définie sur l'intervalle $]0;+\infty[$
	\item $\ln 1 = 0$
	\item La fonction $\ln$ est dérivable sur l'intervalle $]0;+\infty[$ et pour tout réel $x>0$, $\ln '(x)= \dfrac{1}{x}$
\end{enumerate}

\section{propriétés algébriques}

\subsection{propriété fondamentale} 

\cadreR{%
Pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs : \[ \ln(a \times b)=\ln(a) + \ln (b) \]
}

\medskip
 
\dem
 
 \medskip
 
 $a$ étant un réel strictement positif, on considère la fonction $f$ définie sur $]0; +\infty[$ par $f(x) = \ln (ax) -\ln x$
 
 $f$ est dérivable sur $]0; +\infty[$ comme somme et composée de fonctions dérivables.
 
 Pour tout réel $x>0$, \[f'(x) = a \times \dfrac{1}{ax} -\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{x} -\dfrac{1}{x} = 0\]
 
 La dérivée de la fonction $f$ est toujours nulle, donc $f$ est une fonction constante sur $]0; +\infty[$.
 
En particulier $f(1) = \ln a - \ln 1 = \ln a$, donc pour tout réel $x>0$, $f(x)=\ln a$.
 
Ainsi, pour tout réel $x>0$, $\ln (ax) -\ln x= \ln a$. 
 
 
Soit finalement pour tout réel $x>0$, $\ln (ax)= \ln a  +\ln x$
 
\subsection{autres règles de calcul}

\medskip 

\cadreR{%
Pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs et $n$ entier relatif :
\begin{enumerate}
	\item $\ln\left( \dfrac{1}{a} \right) = - \ln a$
	\item $\ln\left( \dfrac{a}{b} \right) =  \ln a- \ln b$
	\item $\ln\left( a^n \right) = n \ln a$
	\item $\ln\left( \sqrt{a} \right) = \dfrac{1}{2} \ln a$
\end{enumerate}
}

\medskip
 
\dem
 
 
\begin{enumerate}
	\item Soit $a>0$ alors $\dfrac{1}{a} > 0$. Or $a \times \dfrac{1}{a} = 1$ donc \[\ln \left( a \times \dfrac{1}{a} \right) = \ln 1 \Leftrightarrow \ln a + \ln \dfrac{1}{a} = 0 \Leftrightarrow  \ln \dfrac{1}{a} =-\ln a \]
	\item Soit $a>0$ et $b > 0$ 
	\[\ln \left( \dfrac{a}{b} \right) = \ln \left( a \times \dfrac{1}{b} \right) =  \ln a + \ln \dfrac{1}{b} = \ln a-\ln b \]
	
	\item Si $n= 0$, l'égalité est évidente : \[\ln \left( a ^0 \right) = \ln 1 = 0 = 0 \times \ln a\] 
	
	Soit $f$ la fonction  définie sur $]0; +\infty[$ par $f(x) = \ln \left( x^n \right) - n \ln x$ avec $n$ entier relatif non nul.
	
	$f$ est dérivable sur $]0; +\infty[$ comme somme et composée de fonctions dérivables. Pour tout réel $x>0$, \[f'(x) = \dfrac{1}{x^n} \times n \times x^{n-1} -\dfrac{n}{x} = \dfrac{n}{x} -\dfrac{n}{x} = 0\]
 
 La dérivée de la fonction $f$ est toujours nulle, donc $f$ est une fonction constante sur $]0; +\infty[$.
 
En particulier $f(1) = \ln 1^n - n \ln 1 = 0$, donc pour tout réel $x>0$, $f(x)= 0$. Soit $\ln \left(x^n \right) - n\ln x = 0$.
 
Ainsi, pour tout réel $x>0$ et pour tout entier $n$, $\ln \left( x^n \right) = n\ln x$. 
 \item Soit $a>0$ alors $\left( \sqrt{a} \right) ^2 =a$ donc \[\ln a = \ln  \left( \sqrt{a} \right) ^2  =  2 \ln  \sqrt {a}  \]
	
	\end{enumerate}

\section{étude de la fonction logarithme népérien}

\subsection{variation}

\cadreR{%
La fonction logarithme népérien est continue et strictement croissante sur $]0; +\infty[$ .
}
\medskip
 
\dem
 
 \medskip
 
 La fonction $\ln$ est dérivable sur $]0; +\infty[$ donc continue sur cet intervalle.
 
 La dérivée de la fonction $\ln$ est la fonction définie sur $]0; +\infty[$ par $\ln '(x)= \dfrac{1}{x}$. Or si $x > 0$ alors, $\dfrac{1}{x} > 0$.
 
La dérivée de la fonction $\ln$ est strictement positive, donc la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0; +\infty[$.
 
\subsubsection{propriétés}
 
 On déduit de ce théorème les propriétés suivantes :
 
 \medskip 

\cadreR{%
Pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs :
\begin{itemize}
	\item[] $\ln a = \ln b$ si, et seulement si, $a=b$
	\item[] $\ln a > \ln b$ si, et seulement si, $a>b$
\end{itemize}
}

 \medskip 
 
Puisque  $\ln 1 = 0$ :
 \medskip 

\cadreR{%
Pour tout réel $x$ strictement positif :
\begin{itemize}
	\item[] $\ln x = 0$ si, et seulement si, $x=1$
	\item[] $\ln x > 0$ si, et seulement si, $x>1$
		\item[] $\ln x < 0$ si, et seulement si, $0<x<1$
\end{itemize}
}

\bigskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}


Résoudre dans $\R$ l'équation $\ln (5 -x^2)=0$ 

L'équation est définie pour $5 -x^2 >0$. Soit pour $x \in \left] - \sqrt{5} ; \sqrt{5} \right[$

Pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left] - \sqrt{5} ; \sqrt{5} \right[$, \[ \ln (5 -x^2)=0 \Leftrightarrow 5 -x^2= 1 \Leftrightarrow x^2= 4 \]

L'équation $x^2= 4$ admet deux solutions $-2$ et $2$. Or ces deux solutions sont dans l'intervalle  $\left] - \sqrt{5} ; \sqrt{5} \right[$. 

L'ensemble des solutions de l'équation $\ln (5 -x^2)=0$ est $S=\{-2 ; 2\}$

\subsection{limites}
 
 \subsubsection{\'Etude de la limite en $+\infty$}

	
	Soit $A$ un réel strictement positif. 
	
	Comme $\ln 2 >0$, nous pouvons choisir un entier  $n$ tel que $n > \dfrac{A}{\ln 2}$. Soit 
	\[ n \ln 2 > A \Leftrightarrow \ln 2 ^n > A \]
	
	Puisque la fonction $\ln$ est strictement croissante, pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left[ 2^n ; +\infty \right[$ : \[ \ln x > \ln 2 ^n > A \]
	
	Ainsi, $\ln x$ peut être rendu aussi grand que l'on veut à condition de choisir $x$ suffisamment grand. D'où

\medskip	
	
\cadreR{%
	La fonction $\ln$ a pour limite $+\infty$ en $+\infty$ : $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \ln x =+\infty $.
	}
	
 \subsubsection{\'Etude de la limite en $0$}
	
	
	Pour tout réel $x>0$, $\ln x = - \ln \left( \dfrac{1}{x} \right)$.
	
	Or $\displaystyle \lim_{x\to 0^+} \dfrac{1}{x} =+\infty $ et $\displaystyle \lim_{X\to +\infty} \ln X =+\infty $ donc par composition des limites  $\displaystyle \lim_{x\to 0^+} - \ln \left( \dfrac{1}{x} \right)  =-\infty $. D'où
	
\medskip
	
\cadreR{%
	La fonction $\ln$ a pour limite $-\infty$ en $0$ : $\displaystyle \lim_{x\to 0} \ln x =-\infty $.
	
	L'axe des ordonnées est asymptote à la courbe d'équation $y= \ln x$	
}

\subsection{le nombre $\e$}

La fonction $\ln$ est continue et strictement croissante sur $]0; +\infty[$  et pour tout réel $x> 1$, $\ln x \in ] 0 ; + \infty [$. 

D'après le théorème de la valeur intermédiaire, l'équation $\ln x = 1$ admet une solution unique notée $\e$.

\subsubsection{définition}
	
\cadreR{%
Le nombre $\e$ est le nombre dont le logarithme népérien est égal à 1 : $\ln \e =1$.
}

\subsubsection{application}

Pour tout entier relatif $n$, \[ \ln \e^n = n \ln \e = n \]

\cadreR{%
Pour tout entier relatif $n$,  $\e^n$ est le réel solution de l'équation $\ln x = n$.
}

\subsection{courbe représentative}


\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}m{8.5cm} >{\raggedleft \arraybackslash}X@{}}

\emph{Tangentes remarquables} :

\medskip

La tangente à la courbe représentative de la fonction $\ln$ au point $(1;0)$ a pour équation : \[ y= x-1 \]

\medskip

La tangente à la courbe représentative de la fonction $\ln$ au point $(\e ; 1)$ a pour équation : \[ y= \dfrac {1}{\e} (x-\e) +1 \Leftrightarrow y= \dfrac {1}{\e} x\]
&
\psset{unit=1.6cm}
\begin{pspicture}(-.2,-2.1)(4.8,1.8)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{mauveClair}{.95 .9 .95}
\def\f{ln(x)}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.2,-2.1)(4.8,1.8)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{O}}
\uput[d](4.8,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,1.8){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{.12}{4.8}{\f}
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune](-.2, -1.2)(2.5,1.5)
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune](0, 0)(4,1.47152)
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=prune](0,1)(2.71828,1)(2.71828,0)
\uput[d](2.71828,0){\prune{$\e$}}
\uput[l](4.9,1.7){\bleu{\footnotesize{$y = \ln x$}}}
\end{pspicture} \\
 \end{tabularx} 
 
\subsection{limites importantes}

\cadreR{%
$\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \dfrac {\ln x}{x} =0$ \: et \: $\displaystyle \lim_{x\to 0} x \ln x  =0$.
}
	
\medskip
 
\dem
 
 \medskip
 
\begin{enumerate}
	\item \emph{Un résultat préliminaire} : Montrons que pour tout réel $x \geqslant 1$, $\ln x \leqslant x$
	
	Soit $f$ la fonction définie sur $[1 ; +\infty [$ par $f(x)= \ln x -x$. $f$ est dérivable et pour tout réel $x \geqslant 1$, 
	\[f'(x)= \dfrac{1}{x} -1 \Leftrightarrow f'(x)= \dfrac{1-x}{x} \]
	
	Or,  pour tout réel $x \geqslant 1$, $\dfrac{1-x}{x} \leqslant 0$, donc $f$ est décroissante.
	
	D'autre part, $f(1)= -1$, donc pour tout réel $x \geqslant 1$, $f(x) \leqslant f(1) \leqslant 0 $.
	
	Ainsi, pour tout réel $x \geqslant 1$,  $\ln x \leqslant x$.
	
	\emph{Remarque} : lorsque $0 < x < 1$, $\ln x <0$ donc $\ln x < x$
	
	\medskip
	
	\cadreB{
Pour tout réel  $x > 0$, $\ln x \leqslant x$. 

Graphiquement, la courbe représentative de la fonction $\ln$ est au dessous de la droite d'équation $y=x$
}
	
	\medskip
	
	\item Limite en $+\infty$ de $\dfrac{\ln x}{x}$
	 
	Nous avons établi que pour tout réel $X \geqslant 1$,  $\ln X \leqslant X$. 
	
	Pour tout réel $x \geqslant 1$, $\sqrt{x} \geqslant 1$ et  $\ln \sqrt{x} \geqslant 0$. 	Donc pour tout réel $x \geqslant 1$, 
	\[0 \leqslant \ln \sqrt{x} \leqslant \sqrt{x} \Leftrightarrow 0 \leqslant \dfrac{1}{2} \ln x \leqslant \sqrt{x} \Leftrightarrow 0 \leqslant  \ln x \leqslant 2 \sqrt{x} \Leftrightarrow 0 \leqslant \dfrac {\ln x}{x} \leqslant \dfrac {2 \sqrt{x}}{x}\]
	
	Or $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \dfrac {2 \sqrt{x}}{x} =0 $ donc d'après le théorème des gendarmes , $\boxed {\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \dfrac {\ln x}{x} =0}$
	
		
	\emph{Conséquence} :
	
	Pour tout réel $x>0$ et pour tout entier $n \geqslant 2$,  $\dfrac {\ln x}{x^n} = \dfrac {\ln x}{x} \times \dfrac {1}{x^{n-1}}$
	
	Or, $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \dfrac {\ln x}{x} =0$ et $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \dfrac {1}{x^{n-1}} =0$ donc par produit des limites $\boxed {\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \dfrac {\ln x}{x^n} =0}$
	
	\item Limite en $0$ de $x \ln x$ 
	
	Le théorème sur la limite d'un produit de permet pas de calculer $\displaystyle \lim_{x\to 0} x \ln x$.
	
	Pour tout réel $x>0$, nous avons : \[x \ln x = \dfrac {1}{\dfrac {1}{x}} \times \left(- \ln \dfrac {1}{x} \right)= \dfrac {- \ln \dfrac {1}{x}}{\dfrac {1}{x}}\]
	
		Or $\displaystyle \lim_{x\to 0^+} \dfrac{1}{x} =+\infty $ et $\displaystyle \lim_{X\to +\infty} \dfrac {-\ln X}{X} =0$ donc par composition des limites  $\boxed{ \displaystyle \lim_{x\to 0} x \ln x  =0}$
\end{enumerate}


\section{étude d'une fonction $\ln (u)$}

\subsection{définition}

\cadreR{%
Soit $u$ une fonction définie et strictement positive sur un intervalle $I$. 

La composée de la fonction $u$ suivie de la fonction $\ln$ est notée $\ln (u)$.
}

\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $] 1; + \infty[$ par $f(x) = \ln \left( x^2 -1 \right)$.

$f$ est la composée de la fonction $u$ définie sur l'intervalle $] 1; + \infty[$ par $u(x)=  x^2 -1$  suivie de la fonction $\ln$.

\subsection{limites}

Pour étudier une limite d'une fonction $\ln (u)$, on utilise le théorème sur la limite d'une fonction composée.

\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $] 1; + \infty[$ par $f(x) = \ln \left( x^2 -1 \right)$.

\begin{enumerate}
	\item $\displaystyle \lim_{x\to 1^+} x^2 -1 =0 $ et $\displaystyle \lim_{X\to 0} \ln X = - \infty$ donc par composition des limites  $\boxed{ \displaystyle \lim_{x\to 1} \ln \left( x^2 -1 \right) = - \infty}$
	\item $\displaystyle \lim_{x\to + \infty} x^2 -1 =+ \infty$ et $\displaystyle \lim_{X\to + \infty} \ln X = + \infty$ donc par composition des limites  $\boxed{ \displaystyle \lim_{x\to + \infty} \ln \left( x^2 -1 \right) = + \infty}$
\end{enumerate}

\subsection{variations}

\cadreR{%
Soit $u$ une fonction définie et strictement positive sur un intervalle $I$. 

Les fonctions $u$ et $\ln (u)$ ont les mêmes variations sur $I$.
}
\medskip
 
\dem
 
 \medskip
 
Pour tout réel $x \in I$, $u(x)>0$. Or la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0 ; + \infty[$. 

D'après le théorème sur les variations des fonctions composées, $u$ et $\ln (u)$ ont les mêmes variations sur $I$.

\subsection{dérivée}

\cadreR{%
Soit $u$ une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$. 

La fonction $\ln (u)$ est dérivable sur $I$ et $\left( \ln u \right) ' =\dfrac{u'}{u}$.
}
\medskip
 
\dem
 
 \medskip
 
La fonction $u$ est dérivable sur $I$ et pour tout réel $x \in I$, $u(x)>0$. Or la fonction $\ln$ est dérivable sur $]0 ; + \infty[$. Donc la fonction composée $f = \ln u$ est dérivable sur $I$.

D'après la formule de dérivation d'une fonction composée  \[ f' = \ln' (u) \times u' \quad \text{soit} \quad f' = \dfrac{1}{u} \times u' = \dfrac{u'}{u}\] 

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $] 1; + \infty[$ par $f(x) = \ln \left( x^2 -1 \right)$.

La fonction $u$ définie sur $] 1; + \infty[$ par $u(x) = x^2 -1$ est dérivable et strictement positive sur $] 1; + \infty[$ ; $u'(x)= 2x$.

$f$ est dérivable sur $] 1; + \infty[$ et pour tout réel $x>1$, $f'(x) =  \dfrac{2x}{x^2-1}$


\subsubsection{primitives}

\cadreR{%
Si $u$ est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$. 

Une primitive de $\dfrac{u'}{u}$ sur $I$ est $\ln u$.
}

\newpage

\addcontentsline{toc}{section}{Exercices}

\exo

\medskip

Simplifier l'écriture des nombres suivants :

\medskip

  \renewcommand{\arraystretch}{1.5}
		\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{}>{\raggedright \arraybackslash}X}} 
		$A=\ln(16)-7\ln(2)+ 4\ln(32)+3\ln\left(\dfrac{1}{8}\right)$ & $B=3\ln(125)-2\ln(25)+6\ln\left(\dfrac{1}{5}\right)$ \\
		$ C = 2\ln \sqrt{8}-3\ln\left(\dfrac{1}{4}\right)$ & $D =\dfrac{\ln \left( \sqrt {3} -1 \right) + \ln \left( \sqrt {3} +1 \right)}{2}$\\
		$E=\ln\left( \sin{\dfrac{\pi}{3}} +\sin{\dfrac{\pi}{4}}\right)+\ln\left( \sin{\dfrac{\pi}{3}} -\sin{\dfrac{\pi}{4}}\right)$	 & $F=7\ln\left(2\sin{\dfrac{\pi}{3}}\right)+5\ln(9)-\ln \left( 6 \sin{\dfrac{\pi}{3}} \right)$ \\
		$G =  \dfrac{\ln 5-\ln 10}{2\ln \left(\sqrt{2}\right)}$ & $H= \dfrac{\ln 36}{\ln 3+\ln 2} $  \\	
		$I= \dfrac{\dfrac{1}{3}\ln 9-4\ln \sqrt{3}-\ln \dfrac{1}{3}}{\ln 3}$ &  $ J = \dfrac{\ln(12)-\ln(9)}{\ln\left(\cfrac{1}{27}\right)+\ln(64)}$ \\
	\end{tabularx}

 \bigskip 
 
\exo

\medskip

Démontrer les propriétés suivantes : 

\begin{enumerate}
	\item Pour tout réel $x > 1$, $\ln \left(x^2 +x -2 \right) = \ln \left(x+2 \right)+\ln \left(x-1\right)$
	\item Pour tout réel $x$ strictement positif, $\ln \left(x+1 \right) = \ln x +\ln \left(1+ \dfrac{1}{x}\right)$
		\item Pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]-2 ; 2[$, $\ln \sqrt{2-x} +  \ln \sqrt{2+x}= \dfrac{1}{2}\ln \left(4-x^2 \right)$
\end{enumerate}

\bigskip


\exo

\medskip

Résoudre les équations suivantes après avoir précisé l'ensemble des valeurs du réel $x$ pour lesquelles l'équation est définie.

\begin{enumerate}
\item $\ln \left(1-2x\right)=\ln \left(x+2\right)+\ln 3$
\item $\ln \left(1-x^2\right)=\ln \left(2x-1\right)$
\item $\ln \left( {x - 2} \right) + \ln \left( x + 3 \right) = \ln \left( {3x + 2} \right)$
\item $\ln \sqrt{2x-2} = \ln \left( 4-x \right) -\dfrac{1}{2}\ln x$
\end{enumerate}

 \bigskip 
 
 \exo

\medskip

Résoudre les inéquations suivantes :

\begin{enumerate}
\item $\ln \left(x-2\right)\leqslant \ln \left(2x+1\right)$
\item $\ln \left(3x+2\right) \geqslant \ln \left(x^2+\dfrac{1}{4}\right)$
\item $\ln \left(1+\dfrac{2}{x} \right) \leqslant \ln x$
\end{enumerate}

 \bigskip 
 
\exo

\medskip

Simplifier l'écriture des nombres suivants :

$A=\ln \left( \e^3 \right) + \left( \e^2 \right)$ ; \hfill 	$B=\dfrac{\ln\e}{\ln\left(\e^2\right)}-\ln\left(\dfrac{1}{\e}\right)$ ; \hfill $C = \ln \left(4 \e^2 \right) + \ln\left( \dfrac{2}{ \sqrt {\e}} \right)$ ; \hfill  $D =\dfrac{\ln\left(\dfrac{1}{\e^3}\right)}{\ln 3}\times \dfrac{\ln 9}{\e^2}$
	
\bigskip

\exo

 \medskip 
  
\begin{enumerate}
	\item Résoudre les équations suivantes :
	
			\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{}>{\raggedright \arraybackslash}X} m{4cm}}	
	a) \: $\ln \dfrac{x+2}{x} =1$ ; & b) \: $\ln \dfrac{x-1}{2x+1} =-1$  ; & c) \: $2 \left(\ln x \right) ^2  + 3\ln x =2$ \\	
	\end{tabularx}
	
	\item Résoudre les inéquations suivantes :
	
			\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{@{}>{\raggedright \arraybackslash}X} m{4cm}}	
	a) \: $\ln \dfrac{x}{x+1} \leqslant -1$ ; & b) \: $\ln \left(2x+1 \right) - \ln \left(x-1\right) \leqslant 1$  ; & c) \: $\left(\ln x \right) ^2  -\ln x \leqslant 6$ \\	
	\end{tabularx} 
\end{enumerate}

 \bigskip 
 
\exo

 \medskip 

Dans chacun des cas suivants, déterminer le plus petit entier $n$ solution de l'inéquation :

a) \: $1,05^n \geqslant 1,5$ ; \hfill b) \: $0,92^n \leqslant 0,75$ ; \hfill c) \: $\left( 1+ \dfrac{3}{100}\right)^n \geqslant 2$ ; \hfill d) \: $0,2 \geqslant \left( 1- \dfrac{9}{100}\right) ^n $

 \bigskip 
 
\exo

 \medskip 
 
\begin{enumerate}
	\item Actuellement, le taux du livret A d'épargne est égal à 0,75\%. 
	
	En supposant que ce taux reste inchangé sur le long terme, au bout de combien d'années, un capital placé sur le livret A  aura-t-il augmenté d'au moins 75\% ?
	\item Le gouvernement d'un pays envisage de baisser l'impôt de 2\% par an. Au bout de combien d'années, l'impôt aura-t-il baissé de 20\% ? 
		\item D'une année sur l'autre, un produit perd 5\% de sa valeur. Au bout de combien d'années ce produit aura-t-il a perdu plus de 40\% de sa valeur initiale ?
		\item En 2014, la population mondiale était d'environ 7,25 milliards de personnes. Avec un taux de croissance annuel de 1,14\% , en quelle année la population mondiale dépassera-t-elle 9 milliards ?
	\end{enumerate}

 \bigskip 

 \exo

 \medskip 
  
  Dans chacun des cas suivants, calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$ définie sur $]0 ; + \infty[$  :
	
	a) \: $f(x) = x \ln x - x$ ; \hfill b) \: $f(x) = \ln \left(\dfrac{1}{x}\right)$ ; \hfill c) \: $f(x) = \dfrac{1}{\ln x}$ ; \hfill d) \: $f(x)=  \ln \sqrt{x}$ ; \hfill e) \: $f(x)= \left(\ln x \right) ^2  + \ln \left( x^2 \right)$ 
	
 \bigskip  
 
 \exo

 \medskip 
  
  Dans chacun des cas suivants, étudier les limites aux bornes de son ensemble de définition de la fonction $f$ définie sur $]0 ; + \infty[$  :
	
	a) \: $f(x) = 3x +2 - \ln x$ ; \hfill b) \: $f(x) = \dfrac{2x +\ln x}{x}$ ; \hfill c) \: $f(x) = \dfrac{2\ln x -1}{x}$ ; \hfill d) \: $f(x)=  \dfrac{1}{x} - \ln x$  
	
  \bigskip 
  
  \exo

 \medskip 
 
Soit $f$ la fonction définie sur $]0 ; + \infty[$  par $f(x)=  \dfrac{1}{x} + \ln x$
	
\begin{enumerate}
	\item \'Etudier les limites de $f$ en 0 et en $+\infty$.
		\item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$.
			\item \'Etudier les variations de $f$.
\end{enumerate}

\bigskip 
 
\exo

 \medskip 

\textsc{\textbf{\textsf{partie a}}}

\medskip

Soit $g$  la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par  $g(x)=1-x^2-\ln(x)$.

\begin{enumerate}
	\item Calculer la dérivée de la fonction $g$ et étudier son signe. En déduire les variations de la fonction $g$.
	\item Calculer $g(1)$. En déduire le signe de $g(x)$  pour $x$ appartenant à l'intervalle $]0;+\infty[$.
\end{enumerate}

\medskip

\textsc{\textbf{\textsf{partie b}}}

\medskip

Soit $f$  la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{\ln(x)}{2x}-\dfrac{x}{2}+1$. On note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

\begin{enumerate}
	\item 
\begin{enumerate}
	\item Calculer la limite de $f$ en $0$. Interpréter graphiquement ce résultat.
	\item Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$.
	\item Montrer que la droite $D$ d'équation $y=-\dfrac{x}{2}+1$ est asymptote à la courbe $C_f$ en $+ \infty$.
	\item Calculer les coordonnées du point $A$, intersection de la droite $D$ et de la courbe $C_f$.
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
	\item Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0;+\infty[$,  $f'(x)=\dfrac{g(x)}{2x^2}$.
	\item En déduire le signe de  $f'(x)$ puis les variations de la fonction $f$.
\end{enumerate}
 \item Tracer la droite $D$ et la courbe $C_f$ dans le repère ci-dessous.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-12)(30,4)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-2,-12)(30,4)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[linewidth=.75pt,ticksize=-4pt 0]{->}(0,0)(-1,-6)(15,2)
\uput[dl](0,0){0}
\uput[dl](15,0){$x$} \uput[dl](0,2){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip 
	
 \exo

 \medskip 

Soit $f$  la fonction définie sur $\left] {0; + \infty } \right[$  par $f(x)= \dfrac{{\ln x}}{{x^2 }}$. On note $C_{f}$  sa courbe représentative.

\begin{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
	\item \'Etudier les limites de $f$ aux bornes son intervalle de définition.
	\item La courbe  $C_{f}$ admet-elle des asymptotes ?
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
	\item Montrer que  $f'\left( x \right) = \dfrac{{1 - 2\ln x}}{{x^3 }}$
	\item \'Etudier les variations de la fonction $f$.
\end{enumerate}
\item Donner une équation de la tangente $T$ à la courbe $C_{f}$ au point d'abscisse 1.
\end{enumerate}

\bigskip 

\exo \hfill (\emph{D'après sujet bac France Métropolitaine, La Réunion septembre 2015})

 \medskip 


\emph{Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près.}

\medskip

Un smartphone est équipé d'une batterie Li-ion qui débite en usage normal un courant d'intensité moyenne $I$ de 0,03 ampère (A).

La capacité $C$ de cette batterie, exprimée en ampères-heures (Ah), est la quantité maximale d'électricité qu'elle peut emmagasiner.

On dit que la batterie a effectué un cycle de charge lorsque la quantité d'électricité absorbée, éventuellement en plusieurs fois, est égale à sa capacité.

Lors des 300 premiers cycles de charge de la batterie, sa capacité reste égale à 1,8 Ah.

\begin{enumerate}
\item L'autonomie $T$ de ce smartphone, en heures, est fonction de la capacité $C$ de sa batterie et de l'intensité moyenne $I$ du courant qu'elle débite en usage normal.

On estime que $T=0,7\times\dfrac{C}{I}$.

Calculer l'autonomie $T$, en heures, de ce smartphone au cours de l'un des 300 premiers cycles de charge.
\item On considère qu'après 300 cycles de charge, l'autonomie de la batterie diminue de 1\% à chaque nouveau cycle de charge.

Pour tout entier naturel $n$, on note $T_n$ l'autonomie, en heures, de la batterie au bout de \og $300 + n$ \fg{} cycles de charge.

On admet que $T_0=42$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $T_1$ et $T_2$. Interpréter les résultats.
\item Exprimer $T_{n+1}$ en fonction de $T_n$.
\item Justifier que $T_n = 42 \times 0,99^n$.
\end{enumerate}
\item Un utilisateur souhaite déterminer à partir de combien de cycles de charge l'autonomie de la batterie aura diminué de moitié par rapport à son état initial.
\begin{enumerate}
\item On propose l'algorithme suivant pour déterminer le nombre de cycles de charge correspondant.
\begin{center}	
\fbox{\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\textbf{Variables}
\begin{itemize}
\item[] $n$ : nombre entier naturel
\item[] $T$ : nombre réel
\item[] $q$ : nombre réel
\end{itemize}
\textbf{Initialisation}
\begin{itemize}
\item[] $n$ prend la valeur 0
\item[] $T$ prend la valeur 42
\item[] $q$ prend la valeur 0,99
\end{itemize}
\textbf{Traitement}
\begin{itemize}
\item[] Tant que \ldots
\item[] \begin{itemize}
\item[] $T$ prend la valeur \ldots
\item[] $n$ prend la valeur \ldots
\end{itemize}
\item[] Fin Tant que
\end{itemize}
\textbf{Sortie}
\begin{itemize}
\item[] Afficher $n+300$
\end{itemize}
\end{minipage}}
\end{center}

Recopier et compléter la partie relative au traitement.

\item Déterminer à partir de combien de cycles de charge l'autonomie de la batterie aura diminué de moitié par rapport à son état initial.
\end{enumerate}
\item Lorsque l'autonomie de la batterie devient inférieure à 5 heures, on estime qu'elle ne permet plus un usage normal du smartphone. Le nombre de cycles de charge correspondant est alors appelé durée de vie de la batterie.

Déterminer la durée de vie de cette batterie.
\end{enumerate}
	
\bigskip 

\exo

 \medskip 

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ telle que pour tout réel $x$ de cet intervalle $f(x) = (1 + \ln x)(2-\ln x)$  
et dont la courbe représentative $C_f$  est donnée ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-8)(30,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(1+ln(x))*(2-ln(x))}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(0,-8)(30,6)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=-0.05 0.05,yticksize=-0.05 0.05]{->}(0,0)(0,-4)(15,3)
\uput[d](14.8,0){$x$} \uput[l](0,2.7){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{0.135}{15}{\f}
\end{pspicture}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation $f(x) = 0$. Les valeurs exactes sont demandées. 
		\item Montrer que le signe de $f(x)$ est donné pour tout réel de l'intervalle $]0~;~ + \infty[$ par le tableau suivant : 
\begin{center}
\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(13,2.2)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(13,2.2) \psline(0,1.2)(13,1.2) \psline(3,0)(3,2.2) \psline(3.4,1.2)(3.4,0)\psline(3.6,1.2)(3.6,0)
\rput(1.5,1.7){$x$} \rput(3.5,1.7){$0$}\rput(6.5,1.7){$\dfrac{1}{\e}$} \rput(9.5,1.7){$\e^2$} \rput(12.5,1.7){$+\infty$}
\rput(1.5,.6){Signe de $f(x)$}  \rput(5,.6){$-$} \rput(8,.6){$+$} \rput(11,.6){$-$}
\rput(6.5,1.2){\rnode{A}{}} \rput(6.5,0){\rnode{B}{}} \rput(9.5,1.2){\rnode{C}{}} \rput(9.5,0){\rnode{D}{}} 
\psset{nodesep=0pt,arrows=-,linewidth=.5pt}
\ncline{A}{B} \ncput*{0} \ncline{C}{D} \ncput*{0}
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate} 
	\item Calculer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+ \infty$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$ et vérifier que $f'(x) = \dfrac{1 - 2\ln x}{x}$		pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
		\item \'Etudier les variations de $f$. On précisera la valeur exacte du maximum de $f$ et la valeur exacte de $x$ pour laquelle il est atteint.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 1 et la tracer sur le graphique.
\item 
\begin{enumerate}
	\item Donner le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 2$.
	\item Résoudre dans $\R$ l'équation $\left(1+X\right)\left(2-X\right)=2$.
	\item En déduire les solutions de l'équation $f(x) = 2$.
\end{enumerate}
\end{enumerate} 

 \bigskip 

\exo

 \medskip 

Dans chacun des cas suivants, calculer la primitive $F$ de la fonction $f$ qui vérifie la condition donnée.

	\begin{enumerate}
	\item $f$  est définie sur $]0;+\infty[$   par $f(x)=1-\dfrac{1}{x^2}$\:  et\:  $F(1)=2$.	
	\item $f$  est définie sur $]0;+\infty[$   par $f(x)=1-\dfrac{1}{x}$\:  et\:  $F(1)=2$.
		\item $f$  est définie sur $]0;+\infty[$   par $f(x)=3x^2-\dfrac{2}{x}$\:  et\: $F(1)=-1$ .
	\item $f$  est définie sur  $]0;+\infty[$   par $f(x)=\dfrac{2 \ln(x)}{x}$\:  et\: $F(\e)=0$ .
		\item $f$  est définie sur $\left]0;+\infty\right[$ par $f(x)=\dfrac{x^2+x-2}{x^2}$\:  et\:  $F(1)=2$.		
\end{enumerate}

 \bigskip 
 
\exo

 \medskip 

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $\left]0; +\infty\right[$ dont on donne la représentation graphique $C_f$ dans le repère ci-dessous.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-4)(20,10)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.85 .85 .9}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(ln(x))^2-2*ln(x)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-4)(20,10)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-0.5,-2)(10,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](9.8,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,4.8){\footnotesize{$y$}}
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune, linestyle= dashed](2.718282,0)(2.718282,-1)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{.234}{10}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-.5,3)(2,-2)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](1.7,-1)(3.8,-1)
\uput[d](2.718,0){\footnotesize{$\e$}}
\uput[d](0.6,5){\bleu $C_f$}
\uput[u](2.1,-2){\prune $T$}
\psdots[linecolor=bleu,dotscale=.8,dotstyle=*](1,0)
\uput[ur](1,0){\bleu \footnotesize{$A$}}
\psdots[linecolor=bleu,dotscale=.8,dotstyle=*](2.718282,-1)
\uput[d](2.718282,-1){\bleu \footnotesize{$B$}}
\psdots[linecolor=bleu,dotscale=.8,dotstyle=*](7.389,0)
\uput[u](7.389,0){\bleu \footnotesize{$C$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{\textsf{partie a}}}

\medskip 

Dans cette partie , on admet que :
\begin{itemize}
\item  la courbe $C_f$ coupe l'axe des abscisses en deux points $A$ et $C$ ;
\item la droite $T$ est tangente  en $A$ à la courbe $C_f$ ;
\item la courbe $C_f$ admet une tangente horizontale au point $B$ d'abscisse $\e$.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Avec la précision permise par le graphique, donner les valeurs de $f(1)$, $f'(1)$, et $f'(\e )$, où $f'$ est la fonction dérivée de $f$ sur $\left]0; +\infty\right[$.
\item Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f'$ et une autre d'une primitive $F$ de la fonction $f$. Déterminer la courbe associée à la fonction $f'$ et celle qui est associée à  la fonction $F$. 

\psset{unit=.475cm}
\begin{pspicture}(-1,-4)(10,3.5)
\rput(4.5,3){\textsf{{\footnotesize{Courbe $C_1$}}}}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{2*ln(x)-(ln(x))^2}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-4)(10,2)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-1,-4)(10,2)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{.28}{10}{\f}
\uput[dl](0,0){\scriptsize{O}}
\uput[d](9.8,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,1.7){\footnotesize{$y$}}
\end{pspicture}\hfill
\psset{unit=.475cm}
\begin{pspicture}(-1,-5)(10,2.5)
\rput(4.5,2){\textsf{{\footnotesize{Courbe $C_2$}}}}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{(2*ln(x)-2)/x}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-5)(10,1)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-1,-5)(10,1)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{.6}{10}{\f}
\uput[dl](0,0){\scriptsize{O}}
\uput[d](9.8,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,.7){\footnotesize{$y$}}
\end{pspicture}\hfill
\psset{unit=.475cm}
\begin{pspicture}(-1,-3)(10,4.5)
\rput(4.5,4){\textsf{{\footnotesize{Courbe $C_3$}}}}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{x*((ln(x))^2-4*ln(x)+4)-Euler}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-3)(10,3)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-1,-3)(10,3)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{.001}{10}{\f}
\uput[dl](0,0){\scriptsize{O}}
\uput[d](9.8,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,2.7){\footnotesize{$y$}}
\end{pspicture}\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsc{\textsf{partie b}}}

\medskip
 
Dans cette partie, on admet que la fonction $f$ représentée ci-dessus est définie pour tout réel $x$ appartenant à $]0;+\infty[$ par  $f(x)=\left( \ln (x) \right) ^2-2\ln (x)$

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $f(x) = 0$.
\item 
\begin{enumerate}
	\item \'Etudier la limite de $f$ en $+ \infty$.
	\item Justifier que l'axe des ordonnées est asymptote à la courbe représentative de $f$.
\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$.
		\item \'Etudier les variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
	\item Soit $F$ la primitive de la fonction $f$ telle que $F(\e) = - \e$. Donner une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction $F$ au point d'abscisse $\e$.
	\end{enumerate}

\bigskip 

\exo

 \medskip 
 
 Soit $f$  la fonction définie sur $\left] {0; + \infty } \right[$  par $f(x)= \ln \left( x^2 \right) - \sqrt{x}$.
 \begin{enumerate}
 \item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$.
 \item \'Etudier les variations de $f$. On précisera la valeur exacte du maximum de $f$.
 \item  Existe-t-il un entier $M$ tel que pour tout réel $x \geqslant M$, $\ln \left( x^2 \right) \geqslant \sqrt{x}$ ?
 \end{enumerate}

 \bigskip
  
\exo

 \medskip 

\textsf {\small{\textbf{\textsc{partie a}}}}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\left]-1 ; +\infty \right[$ par  $f(x)=\dfrac{x-1}{x+1}$
\begin{enumerate}
	\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
	\item On note $f'$  la dérivée de la fonction $f$ . Calculer $f'(x)$.
	\item \'Etudier le signe de $f$ sur l'intervalle $\left]-1 ; +\infty \right[$. 
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\small{\textbf{\textsc{partie b}}}}

\medskip
  
Soit $g$ la fonction définie par $g(x)=\ln\left[f(x)\right]$ et $C_g$ sa représentation graphique.
\begin{enumerate}
	\item Déterminer l'intervalle $I$ de définition de $g$.
	\item Calculer les limites de $g$ en $+\infty$ et en 1.
	
	En déduire les asymptotes à la courbe $C_g$ en précisant une équation pour chacune d'elles.
	\item Exprimer $g'(x)$. En déduire le tableau de variations de $g$.
	\item Donner une équation de la tangente à la courbe $C_g$ au point d'abscisse 2.
	\item Ci-dessous, la courbe représentative de la fonction $f$  dans un repère orthonormal a été tracée. Tracer la courbe $C_g$  dans le même repère.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-10)(20,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(x-1)/(x+1)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-10)(20,4)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1.5,-5)(10,2)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](10,0){$x$} \uput[dl](0,2){$y$}
\uput[u](9.8,.8){\textcolor{bleu}{\small $C_{f}$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-.66666}{10}{\f}
\end{pspicture}
\end{center}	

  \bigskip
 
\exo

\medskip

Dans chacun des cas suivants, calculer la primitive $F$ de la fonction $f$ qui vérifie la condition donnée.
 
\begin{enumerate}
		\item $f$  est définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{x}{x^2+\e}$\:  et\:  $F(0)=\dfrac{1}{2}$.	
	\item $f$  est définie sur $ \left] \dfrac{2}{3}; + \infty  \right[$ par $f\left( x \right) =  -\displaystyle \frac{2}{{3x - 2}}$\:  et\:  $F(1)=\dfrac{1}{3}$.
	\item $f$  est définie sur $\R$  par $\displaystyle f\left( x \right) = \frac{{x - 1}}{{x^2  - 2x + 2}}$\:  et\:  $F(0)=\ln 2$.
	\item $f$  est définie sur $ \left] -1; + \infty \right[$ par $f(x)=\dfrac{x+3}{x+1}$\:  et\:  $F(1)=\ln4$.
\end{enumerate}

 \bigskip 
  
\exo

 \medskip 
 
 Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\left]0 ; \pi \right[$ par $f(t)=\dfrac{\cos (t)}{\sin (t)}$. On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.
\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de la fonction $f$ aux bornes de son intervalle de définition.

En déduire les asymptotes à la courbe $C_f$ en précisant une équation pour chacune d'elles.
\item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$.
\begin{enumerate}
		\item Calculer la dérivée $f'(t)$.
		\item \'Etudier les variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $C_f$  au point $A$ d'abscisse $\dfrac{\pi}{2}$.
\item Soit $F$ la primitive de la fonction $f$ telle que  $F\left( \dfrac{\pi}{6} \right)=0$.
\begin{enumerate}
	\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction $F$ au point d'abscisse $\dfrac{\pi}{6}$.
	\item \'Etudier les variations de la fonction $F$.
	\item Calculer $F(t)$.
	\item En déduire la valeur exacte du maximum de la fonction $F$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}