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% Mise en forme des algorithmes
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%
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\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
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\newcommand{\Oijk}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j ,\vec k} \right)$}
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$\bullet$ \quad #2 \hfill 
$\bullet$ \quad #3 }

\newcommand{\QCMc}[4]{   #1 \\ 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #2 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #3 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #4 }} % QCM avec cases à cocher%

\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\ 17 0ctobre 2016}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{primitives}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} STI2D}}}%droit
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}
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\makeatletter
\renewcommand\section{\@startsection {section}{1}{\z@}%
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\renewcommand\thesection{\Roman {section}}
\renewcommand\thesubsection{\arabic {subsection}}
%%%% debut macro %%%%
\makeatletter
\renewcommand\theequation{\thesection.\arabic{equation}}
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother
%%%% fin macro %%%%

\newcounter{nexo}           % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0}        % initialisation du numero

\newcommand{\exo}{
  \refstepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE \; \arabic{nexo}}}}}}}}
  
  \newcounter{nactivite}           % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nactivite}{0}        % initialisation du numero

\newcommand{\act}{
  \stepcounter{nactivite} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{\textsc{activité} \; \arabic{nactivite}}}}}}}}

%%%% debut macro %%%%
\makeatletter
\@addtoreset{nactivite}{section}
\makeatother
%%%% fin macro %%%%

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\newcommand{\cadreR}[1]{%
\psframebox[framesep=.8em,linecolor=black,linewidth=0.25pt,framearc=0.2,fillstyle=solid,fillcolor=Rfond]{\begin{minipage}{\linewidth-1.6em}%
#1\end{minipage}}}
\newcommand{\cadreB}[1]{%
\psframebox[framesep=.8em,linecolor=black,linewidth=0.25pt,framearc=0.2]{\begin{minipage}{\linewidth-1.6em}%
#1\end{minipage}}}

\newcommand{\dem}{
 \medskip
  \par{\textsf{\textsc{{\small{\ding{106}\: démonstration}}}}}%
   \medskip}
  

   \newcommand{\preuve}{
 \medskip
  \par{\textsf{\textsc{{\small{\ding{106}\: preuve}}}}}%
   \medskip} 
    

\newcommand{\encadrer}[1]{
{\setlength{\fboxsep}{2mm}
\fbox{#1}}}

\hypersetup{
pdftitle={Limites.}, 
pdfauthor={Arié Yallouz},   
pdfsubject={Primitives.}, 
pdfkeywords={Primitives d'une fonction, cours, exercices.},
pdfcontacturl={http//yallouz.arie.free.fr/},
pdflang={fr},
baseurl={http://yallouz.arie.free.fr/tsti2d_cours/index_tsti2d_cours.php}
}

\begin{document}

%Dans ce chapitre, nous étudierons le problème suivant : 

%\emph{\'Etant donné la fonction $f$, trouver une fonction $F$ telle que $F' =f$}.
	
	\medskip
\section*{\textsf {\textsc{\textbf{\blue{activités}}}}}	
\addcontentsline{toc}{section}{Activités}	

	\medskip
	
\begin{enumerate}
	\item Soit $f$ et $g$ les fonctions définies sur $\R$ par $f(x) = -x^2 +3x-1$ et $g(x)= -2x+3$.
	
	Vérifier que $g$ est la dérivée de $f$. Trouver d'autres fonctions ayant $g$ pour dérivée.
	\item \`A l'aide du tableau des dérivées, trouver une fonction $F$ ayant pour dérivée la fonction $f$ donnée dans chacun des cas suivants :
	
	\medskip
	
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}>{\raggedright \arraybackslash}X}}
a)\quad $f(x)= \dfrac{1}{2}$ &  b)\quad $f(x)= x^3$ & c)\quad $f(x)= 3x-2$\\ 
d)\quad $f(x)= 2x^2 +x-1$\rule[-4mm]{0pt}{10mm} &  e)\quad $f(x)= \dfrac{3}{x^2}$ & f)\quad $f(x)= (2x-1)^2$\\ 
 \end{tabularx}
 \item La courbe ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction $f$  définie sur $\R$

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-12,-5)(12,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(x+1)*(8*x-17*ln(17)-24)/(20*(x^2+2*x+2))+.2*ln(x^2+2*x+2)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-12,-5)(12,6)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-6,-2.5)(6,3)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](5.8,0){$x$} \uput[l](0,3){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-6}{6}{\f}
\psdots[linecolor=prune,dotstyle=*,dotscale=.8](-1,0)(3,0)
\end{pspicture}
\end{center}
 
Parmi les cinq courbes suivantes, quelles sont celles susceptibles de représenter une fonction $F$ ayant pour dérivée la fonction $f$ ?

\medskip

\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-5)(9,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{.025*(8*x-17*ln(17)-24)*ln(x^2+2*x+2)+1.41152}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-3)(9,3)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-3,-3)(9,3)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\uput[d](9,0){\footnotesize{$x$}} \uput[l](0,3){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=600,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3}{9}{\f}
\rput(3,-4){\footnotesize{Courbe $C_1$}}
\end{pspicture}
\hfill
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-5)(5,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{.05*(8*x-17*ln(17)+24)*ln(x^2+2*x+2)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-3)(5,3)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-3,-3)(5,3)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\uput[d](5,0){\footnotesize{$x$}} \uput[l](0,3){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=335,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-2.7}{5}{\f}
\rput(1,-4){\footnotesize{Courbe $C_2$}}
\end{pspicture}
\hfill
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-5)(9,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{20*ln(x^2-6*x+10)/(x^2+11.04)-2}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-3)(9,3)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-3,-3)(9,3)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\uput[d](9,0){\footnotesize{$x$}} \uput[l](0,3){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=600,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3}{9}{\f}
\rput(3,-4){\footnotesize{Courbe $C_3$}}
\end{pspicture}


\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-5)(10,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{-.025*(8*x-17*ln(17)-24)*ln(x^2+2*x+2)-2.41152}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-4,-3)(10,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-4,-3)(10,4)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\uput[d](10,0){\footnotesize{$x$}} \uput[l](0,4){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=685,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-4}{9.7}{\f}
\rput(3,-4){\footnotesize{Courbe $C_4$}}
\end{pspicture}
\hfill
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-5)(10,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{.025*(8*x-17*ln(17)-24)*ln(x^2+2*x+2)+3.41152}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-4,-3)(10,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-4,-3)(10,4)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\uput[d](10,0){\footnotesize{$x$}} \uput[l](0,4){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=685,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-4}{9.7}{\f}
\rput(3,-4){\footnotesize{Courbe $C_5$}}
\end{pspicture}

\end{enumerate}

\pagebreak

\section{primitives}

\subsection{définition}

\medskip 

\cadreR{
$f$ est une fonction définie sur un intervalle $I$.

Une primitive de $f$ sur $I$ est une fonction $F$ dérivable sur $I$ et telle que pour tout réel $x$ de $I$, $F'(x)=f(x)$.
}

\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

$f$ est la fonction définie sur $\R$ par $f(x)= 5-3x$

Les fonctions $F$ et $G$ définies sur $\R$ par $F(x)= -\dfrac{3}{2}x^2+5x$ et  $G(x)= -\dfrac{3}{2}x^2+5x-\sqrt{2}$ sont des primitives de $f$ sur $\R$.

De façon générale, toute fonction $G$ définie sur $\R$ par $G(x) = -\dfrac{3}{2}x^2+5x +c$ , où $c$ est un réel, est une primitive de $f$ sur $\R$.

\subsection{ensemble des primitives d'une fonction}

\medskip 

\cadreR{
Si $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$, alors les primitives de $f$ sur $I$ sont les fonctions $G$ définies pour tout réel $x$ de $I$ par $G(x)=F(x)+k$ où $k$ est un réel.
}

\medskip
 
 \dem
 
 \medskip
 
 \begin{itemize}
	\item Soit $F$ une primitive de la fonction $f$ sur $I$ et $G$ une fonction définie pour tout réel $x$ de $I$ par $G(x)=F(x)+k$ où $k$ est un réel.
	
	Alors, $G'(x)=F'(x)+0=f(x)$ donc $G$ est aussi une primitive de $f$ sur $I$.
	
	\item Soient $G$ et $F$ deux primitives de $f$ sur $I$ montrons qu'il existe un réel $k$ tel que pour tout réel $x$ de $I$, $G(x)=F(x)+k$.
	
	On considère la fonction $H$ définie sur $I$ par $H(x)=G(x) -F(x)$ alors, \[ H'(x) = G'(x) -F'(x)  = f(x) - f(x)  = 0 	\]
	
	$H'$ est la fonction nulle sur $I$ ce qui signifie que $H$ est une fonction constante sur $I$.
	
	Ainsi, pour tout réel $x$ de $I$, $H(x)=k$ où $k$ est un réel. Soit $G(x) -F(x)=k$ donc $G(x)=F(x)+k$.
\end{itemize}
 
\subsection{primitive vérifiant une condition}

\medskip 

\cadreR{
Soit $f$ une fonction admettant des primitives sur un intervalle $I$.
Soit $x_0$ un réel de l'intervalle $I$ et $y_0$ un réel quelconque.

Il existe une \emph{unique} primitive $F$ de $f$ sur $I$ telle que $F(x_0)=y_0$.
}

\medskip
 
 \dem
 
\medskip 
 
Si $G$ est une primitive de $f$ sur $I$, alors toute primitive $F$ de $f$ sur $I$ est définie par $F(x) = G(x) + k$ avec $k$ réel.

La condition $F(x_0)=y_0$ s'écrit $G(x_0) + k = y_0$ d'où $k = y_0-G(x_0)$. 

Il existe donc une seule primitive $F$ de $f$ sur $I$ telle que $F(x_0)=y_0$, définie par $F(x) = G(x) + y_0-G(x_0)$.

\medskip
 
 \subsubsection{interprétation graphique}
 
\medskip 

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}m{10.5cm} >{\raggedleft \arraybackslash}X@{}}
Si on connaît la courbe $\mathcal{C}$ représentative d'une primitive de $f$ sur $I$,  alors les courbes des primitives de $f$ sur $I$ se déduisent de $\mathcal{C}$ par une translation de vecteur $k\vec{j}$ où $k$ est un réel.

\medskip

Un point $M(x_0;y_0)$ étant donné, il n'existe qu'une seule courbe $\mathcal{C}_F$ de la famille passant par ce point.
&\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture*}(-3,-4.5)(11,5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{mauveClair}{.95 .9 .95}
\def\f{(x^2-4)*Euler^(-.3*x-1.2)}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-3,-4.5)(10,5)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{O}}
\uput[d](10,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,4.8){\footnotesize{$y$}}
\psaxes[ticks=none,linewidth=1pt,labels=none,linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](.5,0){\red \scriptsize{$\vec{i}$}}
\uput[l](0,0.5){\red \scriptsize{$\vec{j}$}}
\psset{linewidth=.75pt, linecolor=bleu}
\multido{\n=-3+1}{7}{%
\psplot[algebraic=true,plotpoints=540]{-3}{10}{\f+ \n}}
\psplot[algebraic=true,linewidth=1.25pt, linecolor=prune, plotpoints=540]{-3}{10}{\f}
\uput[r](9.8,1.4){\prune{\footnotesize{$\mathcal{C}_F$}}}
\psline[linewidth=.25pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=red](0,1.41)(5,1.41)(5,0)
\uput[d](5,0){\red{\footnotesize{$x_0$}}}
\uput[l](0,1.4){\red{\footnotesize{$y_0$}}}
\uput[u](5,1.4){\red{\footnotesize{$M$}}}
\end{pspicture*} \\
 \end{tabularx} 
 

\section{calculs de primitives}

Nous admettons la propriété suivante :

Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur $I$.

\medskip

Les opérations sur les fonctions dérivables et la définition d'une primitive conduisent aux résultats suivants :

\begin{itemize}
	\item Si $F$ et $G$ sont des primitives des fonctions $f$ et $g$ sur un intervalle $I$, alors $F+G$ est une primitive de $f+g$ sur $I$.
	\item Si $F$ est une primitives de la fonction $f$ sur un intervalle $I$ et $k$ un réel,  alors $kF$ est une primitive de $kf$ sur $I$.
\end{itemize}

\subsection{primitives des fonctions usuelles}
  \renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$f$ est définie sur $I$ par \ldots & une primitive $F$ est donnée par &	validité\\ \hline
$f(x)=a$ ($a$ est un réel) & $F(x)=ax$  &	sur $\R$ \\ \hline
$f(x)=x^n$ ($n$ est un entier naturel)\rule[-4mm]{0pt}{1cm} & $F(x)=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$  &	sur $\R$ \\ \hline
$f(x)=\dfrac{1}{x}$ \rule[-4mm]{0pt}{1cm} & \emph{\red prochain cours}  &	sur $]0;+\infty[$ \\ \hline
$f(x)=\dfrac{1}{x^2}$ \rule[-4mm]{0pt}{1cm} & $F(x)=-\dfrac{1}{x}$  &	sur $]-\infty;0[$ ou sur $]0;+\infty[$ \\ \hline
$f(x)=\dfrac{1}{x^n}$ ($n$ entier,  $n>1$)\rule[-4mm]{0pt}{1cm} & $F(x)=-\dfrac{1}{(n-1)x^{n-1}}$  &	sur $]-\infty;0[$ ou sur $]0;+\infty[$ \\ \hline
$f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ \rule[-4mm]{0pt}{1cm} & $F(x)=2\sqrt{x}$  &	sur $]0;+\infty[$ \\ \hline
$f(x)=\cos (x)$ \rule[-4mm]{0pt}{1cm} & $F(x)=\sin (x)$  &	sur $\R$ \\ \hline
$f(x)=\cos (ax+b)$ ($a\ne 0$)\rule[-4mm]{0pt}{1cm} & $F(x)=\dfrac{1}{a}\sin (ax+b)$  &	sur $\R$ \\ \hline
$f(x)=\sin (x)$ \rule[-4mm]{0pt}{1cm} & $F(x)=-\cos (x)$  &	sur $\R$ \\ \hline
$f(x)=\sin (ax+b)$ ($a\ne 0$)\rule[-4mm]{0pt}{1cm} & $F(x)=-\dfrac{1}{a}\cos (ax+b)$  &	sur $\R$ \\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemples}}}
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $t$ par $f(t)=-3 \cos\left(2t +\dfrac{\pi}{3}\right)$.

Les primitives de la fonction $f$ sont les fonctions $F$ définies sur $\R$ par $F(t)=-\dfrac{3}{2}\sin\left(2t +\dfrac{\pi}{3}\right)+c$ où $c$ est un réel quelconque.

\item Déterminer la primitive $F$ de la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=2x^2-x+\dfrac{3}{x^2}-1$ telle que $F(1)=\dfrac{5}{6}$.

\begin{itemize}
\item Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0;+\infty[$ par \[F(x)=\dfrac{2}{3}x^3-\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{3}{x}-x+c\] où $c$ est un réel à déterminer.
\item Comme $F(1)=\dfrac{5}{6}$, on en déduit que :\[\begin{split}\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{2}-3-1+c=\dfrac{5}{6} &\iff -\dfrac{23}{6}+c=\dfrac{5}{6}\\
& \iff c=-3\end{split}\]
\end{itemize}

Ainsi, la primitive $F$ de la fonction $f$ est définie sur $]0;+\infty[$ par $F(x)=\dfrac{2}{3}x^3-\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{3}{x}-x-3$
\end{enumerate} 

 
\subsection{primitives des formes usuelles}

$u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$.

On obtient le tableau suivant à partir de la dérivation d'une fonction composée.

\medskip

  \renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
conditions & fonction $f$ & une primitive $F$ est donnée par \\ \hline
$n$ entier,  $n>0$  \rule[-4mm]{0pt}{1cm} & $f =u'u^n$ & $F=\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$  \\  \hline
$u$ ne s'annule pas sur $I$\rule[-4mm]{0pt}{1cm} & $f=\dfrac{u'}{u^2}$  &	$F=-\dfrac{1}{u}$ \\ \hline
$u$ ne s'annule pas sur $I$

$n$ entier,  $n>1$ & $f=\dfrac{u'}{u^n}$  &	$F=-\dfrac{1}{(n-1)u^{n-1}}$ \\ \hline
$u$ strictement positive sur $I$  \rule[-4mm]{0pt}{1cm} & $f=\dfrac{u'}{\sqrt{u}}$ & $F=2\sqrt{u}$  \\ \hline
& $f=u'\cos (u)$  \rule[-4mm]{0pt}{1cm}  & $F=\sin (u)$  \\ \hline
& $f=u'\sin (u)$  \rule[-4mm]{0pt}{1cm}  & $F=-\cos (u)$  \\ \hline
\end{tabularx}


\bigskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

 Déterminer la primitive $F$ de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{4x+2}{(x^2+x+1)^2}$ telle que $F(-1)=0$.

Le carré au dénominateur incite à mettre en évidence  la forme $\dfrac{u'}{u^2}$.

 $f(x)=2\times\dfrac{2x+1}{(x^2+x+1)^2}$ soit  $f=2\times\dfrac{u'}{u^2}$ avec pour tout réel $x$, $u(x) =x^2+x+1$ et $u'(x)=2x+1$.
 
Une primitive de $f$ sur $\R$ est $F= -2 \times \dfrac{1}{u}+c$ où $c$ est un réel à déterminer. Soit pour tout réel $x$, \[F(x)= \frac{-2}{x^2+x+1}+c\]

Or $F(-1)=0 \Leftrightarrow -2 + c = 0 \Leftrightarrow  c = 2$. Ainsi, la primitive $F$ de la fonction $f$ sur $\R$ est la fonction définie par : \[F(x)= \dfrac{-2}{x^2+x+1}+2\]

\newpage

\addcontentsline{toc}{section}{Exercices} 

\exo 

\medskip 

\begin{enumerate}
	\item Dans chacun des cas suivants, déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ définie sur $\R$
\begin{enumerate}	
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}>{\raggedright \arraybackslash}X}}
\item $f(x)=3x^2+ \dfrac{1}{2}$ & \item $f(x)= x^3-4x+\sqrt{2}$ & \item $f(x)= \dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x}{3}+1$\\ 
 \end{tabularx}
 \end{enumerate}
 \item Dans chacun des cas suivants, déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ définie sur $]0; +\infty[$
\begin{enumerate}	
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}>{\raggedright \arraybackslash}X}}
\item $f(x)=3x+ \dfrac{3}{x^2}$ &  \item $f(x)= \dfrac{x^3-2x^2+1}{x^2}$ & \item $f(x)=\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}$\\ 
 \end{tabularx} 
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

 \medskip 

Dans chacun des cas suivants, calculer la primitive $F$ de la fonction $f$ qui vérifie la condition donnée.
	\begin{enumerate}
	\item $f$  est définie sur $\R$   par $f(x)=x^2-5x-1$\:  et\: $F\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{2}$.
	\item $f$  est définie sur $\R$   par $f(x)=3x^2-5x+\dfrac{1}{2}$\:  et\: $F(1)=0$.	
	\item $f$  est définie sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x)=x-\dfrac{1}{x^2}+1$\:  et\: $F\left(1\right)=2$.	
	\item $f$  est définie sur $]0;+\infty[$   par $f(x)=x^3+\dfrac{2}{x^2}$\:  et\:  $F(1)=-\dfrac{1}{4}$.	
\item $f$  est définie sur $\left]0 ; +\infty\right[$ par  $f(x)=2x^3-1-\dfrac{1}{x^2}$  et $F(1)=1$.	
\end{enumerate}

\bigskip 

\exo

\medskip
 
Soit $F$ et $G$ les fonctions définies sur $]-1;+\infty[$  par : $F(x)=\dfrac{x^2+x+1}{x+1}$ et $G(x)=x-2+\dfrac{1}{x+1}$

Montrer que $F$ et $G$ sont deux primitives sur $]-1;+\infty[$ d'une même fonction $f$ que l'on précisera.

\bigskip 
 
\exo

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur $\left]\dfrac{1}{2}; +\infty\right[$ par $f(x)=\dfrac{2x^2-4x}{(2x^2+x-1)^2}$
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $G$ définie sur $\left]\dfrac{1}{2}; +\infty\right[$ par $G(x)=\dfrac{2x^2}{2x^2+x-1}$ est une primitive de la fonction $f$.
	\item 
\begin{enumerate}
	
	\item Déterminer la primitive $F$ de $f$ sur $\left]\dfrac{1}{2}; +\infty\right[$ telle que $F(1)=0$
\item \'Etudier les variations de la fonction $F$.
\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction $F$ au point d'abscisse 1.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
 \bigskip 

\exo

 \medskip 

\begin{enumerate}	
\item Dans chacun des cas suivants, déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$. 
\begin{enumerate}
	\item $f$ est définie sur $\left]\dfrac{1}{2}; +\infty\right[$ par $f(x)=\dfrac{3}{(2x-1)^3}$.
	\item $f$ est définie sur $\R$ par $f(x)=(x+1)(x^2+2x-3)^3$.
	\item $f$ est définie sur $\left]1; +\infty\right[$ par $f(x)=\dfrac{x}{(x^2-1)^2}$.	
\end{enumerate}
\item Dans chacun des cas suivants, calculer la primitive $F$ de la fonction $f$ qui vérifie la condition donnée.
\begin{enumerate}
\item $f$  est définie sur  $\left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[$   par $f(x)=\dfrac{4}{(1-2x)^2}$\:  et\: $F\left(\dfrac{3}{2}\right)=-\dfrac{1}{2}$.
\item $f$  est définie sur $\R$   par $f(t)=\sin\left(2t\right)$ \:  et\: $F\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=0$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

 \bigskip 
 
\exo

\medskip

 \begin{enumerate}
\item Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(t)=6\cos\left( 3t +\dfrac{\pi}{6}\right)$.
\item La fonction $F$  définie sur $\R$ par $F(t)=-2\sin\left(2t\right)$ est-elle une primitive de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(t)=2\sin\left( 2t -\dfrac{\pi}{2}\right)$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

 \medskip 

On a tracé ci-dessous, dans le plan muni d'un repère orthogonal, les courbes $C_f$ et $C_g$ représentatives de deux fonctions $f$ et $g$ définies et dérivables sur $\R$.

La droite $D$ est tangente à la courbe $C_f$  au point $A(-1;0)$ et passe par le point de coordonnées $\left(-3;1\right)$ .

\begin{center}
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-20,-6)(20,9)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{rouge}{.86 0 0}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{1-4/(x^2+3)}
\def\g{8*x/(x^2+3)^2}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-20,-6)(20,9)
\psset{xunit=1.6cm, yunit=3.2cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=.5,labels=x]{->}(0,0)(-5,-0.75)(5,1.125)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[l](0,.51){\footnotesize{$\dfrac{1}{2}$}}
\uput[d](4.9,0){$x$} \uput[l](-0.05,1.05){$y$}
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=rouge](-1.5,-.5)(-.5,-.5)
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=rouge](-.5,-.33333)(.5,-.33333)
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=rouge](.5,.5)(1.5,.5)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=rouge](-3,1)(.5,-.75)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-5}{5}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{-5}{5}{\g}
\uput[ul](-3,.98){\rouge $D$}
\uput[ur](-1,0){\bleu \footnotesize{$A$}}\uput[dr](0,-.3333){\bleu \footnotesize{$C$}}\uput[ul](1,0){\bleu \footnotesize{$B$}}\uput[ur](4.5,.85){\bleu $C_f$}
\uput[d](-1,-.5){\prune \footnotesize{$E$}}\uput[u](1,.5){\prune \footnotesize{$F$}}\uput[r](4.5,.13){\prune $C_g$}
\psdots[dotstyle=*,dotscale=.8, linecolor=rouge](-1,0)(1,0)
\end{pspicture}
\end{center}


\begin{enumerate}
	\item Par lecture graphique :	
\begin{enumerate}
	\item Déterminer $g'(-1)$ et $f'(-1)$.	
	\item Une des deux fonctions est la dérivée de l'autre, déterminez laquelle en justifiant votre choix.	
\end{enumerate}
\item $g$ est la fonction définie sur $\R$  par $g(x)=\dfrac{8x}{\left(x^2+3\right)^2}$.
\begin{enumerate}
	\item Déterminer une primitive de la fonction $g$.	
	\item En déduire que $f$ est la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=1-\dfrac{4}{x^2+3}$.	
\end{enumerate}
\item Calculer la limite de $f$ en $- \infty$ et en $+ \infty$. Interpréter graphiquement ces résultats. 
\item Étudier les variations de la fonction $f$.
\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe $C_f$ au point $B$. La tracer sur le graphique précédent.
\end{enumerate}

 \bigskip 

\exo

 \medskip 
 
 La courbe $\mathcal{C}_F$ suivante, est la courbe représentative d'une primitive $F$ sur $\R$ d'une fonction $f$.
 
 \begin{center}
 \psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-7,-3)(11,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{2/(x^2-2*x+2)-1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-7,-3)(11,4)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3.5,-1.5)(5.5,2)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\uput[d](5.5,0){\footnotesize{$x$}} \uput[l](0,2){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=900,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3.5}{5.5}{\f}
\uput[d](5.5,-1){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{C}_F$}}}
\psline[linewidth=.75pt,linecolor=prune](0.25,1)(1.75,1)
\end{pspicture}
\end{center}
 

\begin{enumerate}
	\item Une des trois courbes ci-dessous est la courbe représentative de la fonction $f$. Déterminer laquelle.
	
	\medskip
	
	\psset{unit=.45cm}
\begin{pspicture}(-6,-4)(5,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{(-4*x)/(x^2+1)^2}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-3)(5,3)
\psset{unit=.9cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-1.5)(2.5,1.5)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\uput[d](2.5,0){\footnotesize{$x$}} \uput[l](0,1.5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=600,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{-3}{2.5}{\f}
\rput(-.25,-2){\footnotesize{Courbe $C_1$}}
\end{pspicture}
\hfill
\psset{unit=.45cm}
\begin{pspicture}(-4,-4)(7,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{(4-4*x)/(x^2-2*x+2)^2}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-4,-3)(7,3)
\psset{unit=.9cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-2,-1.5)(3.5,1.5)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\uput[d](3.5,0){\footnotesize{$x$}} \uput[l](0,1.5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=600,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{-2}{3.5}{\f}
\rput(.75,-2){\footnotesize{Courbe $C_2$}}
\end{pspicture}
\hfill
\psset{unit=.45cm}
\begin{pspicture}(-2,-4)(9,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{(8-4*x)/(x^2-4*x+5)^2}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-3)(9,3)
\psset{unit=.9cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1,-1.5)(4.5,1.5)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\uput[d](4.5,0){\footnotesize{$x$}} \uput[l](0,1.5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=600,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{-1}{4.5}{\f}
\rput(1.75,-2){\footnotesize{Courbe $C_3$}}
\end{pspicture}

	\item La fonction $G$ définie sur $\R$  par $G(x)=\dfrac{2}{x^2-2x+2}$ est une primitive de la fonction $f$.
	
\begin{enumerate}
	\item Donner l'expression de $F(x)$.
	\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_F$ au point $A$ d'abscisse 2. La tracer sur le graphique précédent.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

 \bigskip 
 
\exo

 \medskip 


Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$. On sait que $f(2)=-4$ et que le signe de la fonction $f$  est donné par le tableau suivant :

	\medskip
	
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(11.5,2) 
\psframe(11.5,2) \psline(0,1.2)(11.5,1.2)\psline(2.5,0)(2.5,2) \psline[linewidth=.5pt](2.9,0)(2.9,1.2) \psline[linewidth=.5pt](3.1,0)(3.1,1.2)
\rput(1.25,1.6){$x$} \rput(3,1.6){$0$} \rput(7,1.6){$4$}  \rput(11,1.6){$+\infty$}
\rput(1.25,0.6){signe de $f(x)$} \rput(5,0.6){$-$} \pnode(7,1.2){a1}\pnode(7,0){a2}\ncline [arrows=-,linewidth=.5pt]{a1}{a2}\ncput*{0} \rput(9,0.6){$+$} 	
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textsf{\textbf{{\textsc{partie a}}}}

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Soit $F$ la primitive de la fonction fonction $f$  sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ telle que $F(4)= \dfrac{1}{2}$. 
		
		On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $F$.

	\begin{enumerate}
			\item Donner le tableau de variations de la fonction $F$. 
	\item On suppose que la courbe $\mathcal{C}$ passe par le point $A(2;3)$. 
	
	Donner une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point $A$.
\end{enumerate}
		
			\item Tracer la courbe représentative d'une fonction qui  satisfait les conditions obtenues à la question précédente, dans un repère orthonormé du plan. (\emph{Unités graphiques 1 cm sur chaque axe})
		 
Placer le point $A$ ainsi que le point d'abscisse 4 et tracer les tangentes à la courbe en ces points.

	 
	\end{enumerate}

\medskip

\textsf{\textbf{{\textsc{partie b}}}}

\medskip

$f$ est la fonction définie sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ par $f(x)=1-\dfrac{12}{x^2}-\dfrac{16}{x^3}$
\begin{enumerate}
	\item 
\begin{enumerate}
	\item Calculer la primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ telle que $F(4)= \dfrac{1}{2}$.
	\item Vérifier que la tangente à la courbe représentative de la fonction $F$ au point d'abscisse 2 a pour équation $y=-4x+11$.
\end{enumerate}
\item Déterminer  $\displaystyle\lim_{x\to 0} F(x)$. Interpréter graphiquement le résultat.
\item
\begin{enumerate}
	\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x\to +\infty} F(x)$.
	\item Montrer que la courbe représentative de la fonction $F$ admet pour asymptote la droite d'équation \mbox{$y=x-7$}.
\end{enumerate}	
\end{enumerate}

\end{document}
