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% Mise en forme des algorithmes
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%
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\setdefaultenum {1.}{a)}{}{}
\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
\newcommand{\Oij}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j} \right)$}
\newcommand{\Oijk}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j ,\vec k} \right)$}
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\newcommand{\QCM}[3]{ $\bullet$ \quad #1 \hfill 
$\bullet$ \quad #2 \hfill 
$\bullet$ \quad #3 }

\newcommand{\QCMc}[4]{   #1 \\ 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #2 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #3 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #4 }} % QCM avec cases à cocher%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\ 15 septembre 2016}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{dérivation, étude de fonctions}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} STI2D}}}%droit
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
% \lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}
\setcounter{secnumdepth}{3}
\makeatletter
\renewcommand\section{\@startsection {section}{1}{\z@}%
                                   {-3.5ex \@plus -1ex \@minus -.2ex}%
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\setcounter{secnumdepth}{2}

\renewcommand\thesection{\Roman {section}}
\renewcommand\thesubsection{\arabic {subsection}}
%%%% debut macro %%%%
\makeatletter
\renewcommand\theequation{\thesection.\arabic{equation}}
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother
%%%% fin macro %%%%

\newcounter{nexo}           % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0}        % initialisation du numero

\newcommand{\exo}{
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE \; \arabic{nexo}}}}}}}}
  
  \newcounter{nactivite}           % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nactivite}{0}        % initialisation du numero

\newcommand{\act}{
  \stepcounter{nactivite} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{\textsc{activité} \; \arabic{nactivite}}}}}}}}

%%%% debut macro %%%%
\makeatletter
\@addtoreset{nactivite}{section}
\makeatother
%%%% fin macro %%%%

\newrgbcolor{Rfond}{.995 0.945 .985}  
\newrgbcolor{Rougef}{.8 0.1 .2}
\newrgbcolor{Rbord}{.6 0.1 .4}

\newcommand{\cadreR}[1]{%
\psframebox[framesep=.8em,linecolor=black,linewidth=0.25pt,framearc=0.2,fillstyle=solid,fillcolor=Rfond]{\begin{minipage}{\linewidth-1.6em}%
#1\end{minipage}}}
\newcommand{\cadreB}[1]{%
\psframebox[framesep=.8em,linecolor=black,linewidth=0.25pt,framearc=0.2]{\begin{minipage}{\linewidth-1.6em}%
#1\end{minipage}}}

\newcommand{\dem}{
 \medskip
  \par{\textsf{\textsc{{\small{\ding{106}\: démonstration}}}}}%
   \medskip}
  

   \newcommand{\preuve}{
 \medskip
  \par{\textsf{\textsc{{\small{\ding{106}\: preuve}}}}}%
   \medskip} 
    

\newcommand{\encadrer}[1]{
{\setlength{\fboxsep}{2mm}
\fbox{#1}}}

\hypersetup{
pdftitle={Dérivation.}, 
pdfauthor={Arié Yallouz},   
pdfsubject={Dérivée, étude de fonctions.}, 
pdfkeywords={Dérivée, variation, tangente, cours, exercices.},
pdfcontacturl={http//yallouz.arie.free.fr/},
pdflang={fr},
baseurl={http://yallouz.arie.free.fr/tsti2d_cours/index_tsti2d_cours.php}
}
\begin{document}
	
\section{Tangente à une courbe} 
 

\begin{tabularx}{\linewidth} {@{}X@{\extracolsep{\fill}}m{6.5cm}@{}}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$, dérivable en $a$ où $a$ est un réel de $I$, et $C_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

La droite passant par le point $A\left( a ; f(a) \right)$ de la courbe $C_f$ et de coefficient directeur $f'(a)$ est appelée la tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse $a$.&
\begin{flushright}
\psset{unit=.6cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(8,5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(.5*x+1)*Euler^(1-x^2/16)}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-1,-1)(8,5)
\psaxes[ticks=none,linewidth=1pt,linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\rput(-0.2,-0.35){\footnotesize{0}}
\uput[d](7.8,0){$x$}
\uput[l](0,4.8){$y$}
\uput[d](.5,0){\red{$\vec i$}}
\uput[l](0,.5){\red{$\vec j$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-.75}{8}{\f}
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=prune](2,5)(7.5,-.5)
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=red](0,3)(4,3)(4,0)
\psdots[linecolor=prune,dotscale=.8](4,3)
\uput[d](4,0){\red{$a$}}
\uput[l](0,3){\red{$f(a)$}}
\uput[ur](4,3){\red{$A$}}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{tabularx}

\cadreR{%
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$, dérivable en $a$ où $a$ est un réel de $I$, et $C_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

L'équation réduite de la tangente à la courbe $C_f$ au point $A$ d'abscisse $a$ est : 
 \[y=f'(a)\times(x-a)+f(a)\]
}

\section{Dérivées des fonctions de référence}

  \renewcommand{\arraystretch}{1.2}
  {\rowcolors{1}{Rfond}{Rfond}  
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering\arraybackslash}X|}c|}	\hline
$f$ définie sur \ldots & $f(x)$ &	$f'(x)$ &	$f$ dérivable sur \ldots \\ \hline
$\R$  & $k$ & 0 &	$\R$ \\ \hline
$\R$  & $ax+b$ & $a$ &	$\R$ \\ \hline
$\R$  \rule[-2mm]{0pt}{6mm} & $x^n$ & $n x^{n-1}$ &	$\R$ pour $n$ entier $n \geqslant 2$  \\ \hline
$\R^*$ \rule[-4mm]{0pt}{1cm} & $\dfrac{1}{x}$ & $-\dfrac{1}{x^2}$ &	$\R^*$ \\ \hline
$\R^*$ \rule[-4mm]{0pt}{1cm} & $\dfrac{1}{x^n}$ & $-\dfrac{n}{x^{n+1}}$ &	$\R^*$  pour $n$ entier $n \geqslant 1$  \\ \hline
$[0;+\infty[$ \rule[-4mm]{0pt}{1cm} & $\sqrt{x}$ & $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ &	$]0;+\infty[$ \\ \hline
$\R$ \rule[-4mm]{0pt}{1cm} & $\cos x$ & $-\sin x$ &	$\R$ \\ \hline
$\R$ \rule[-4mm]{0pt}{1cm} & $\sin x$ & $\cos x$ &	$\R$ \\ \hline
\end{tabularx}
}
\section{Dérivées et opérations}

$u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ :

\medskip

{\rowcolors{1}{Rfond}{Rfond}  
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}|>{{\footnotesize{\textbullet}}~}X@{\extracolsep{\fill}} >{{\footnotesize{\textbullet}}~}X@{\extracolsep{\fill}} >{{\footnotesize{\textbullet}}~}X@{}|}\hline
\rule[-4mm]{0pt}{1cm}  $\left( u +v \right)' = u' + v'$ & $\left( ku \right)' = k \times u' $ & $\left( u v \right)' = u'v + uv'$ \\ \hline
\end{tabularx}
}

\medskip

{\rowcolors{1}{Rfond}{Rfond}  
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}|>{{\footnotesize{\textbullet}}~}X@{\extracolsep{\fill}}  >{{\footnotesize{\textbullet}}~}X@{}|}\hline
\rule[-4mm]{0pt}{1cm}  $\left( u ^2 \right)' = 2 u u'$ & Si $n$ est un entier non nul,  $\left( u ^n \right)' = n u^{n-1} u'$\\ \hline
\end{tabularx}
}

\medskip

Si la fonction $v$ ne s'annule pas sur l'intervalle $I$ (si $v(x) \ne 0$ sur $I$)

\medskip

{\rowcolors{1}{Rfond}{Rfond}  
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}|>{{\footnotesize{\textbullet}}~}X@{\extracolsep{\fill}}  >{{\footnotesize{\textbullet}}~}X@{}|}\hline
\rule[-4mm]{0pt}{1cm}  $\left( \dfrac{1}{v} \right)' =-\dfrac{v'}{v^2}$ & $\left( \dfrac{u}{v} \right)' = \dfrac{u' v - u v'}{v^2}$\\ \hline
\end{tabularx}
}


\section{Dérivée et variations d'une fonction}

\subsection{Théorème 1}

\cadreR{%
Soit $f$ une fonction dérivable et monotone sur un intervalle $I$ de $\R$.

\begin{itemize}
	\item Si $f$ est constante sur $I$, alors pour tout réel $x$ appartenant à $I$, $f'(x)=0$.
	\item Si $f$ est croissante sur $I$, alors pour tout réel $x$ appartenant à $I$, $f'(x)\geqslant 0$.
		\item Si $f$ est décroissante sur $I$, alors pour tout réel $x$ appartenant à $I$, $f'(x)\leqslant 0$.
\end{itemize}
}

\medskip

Le théorème suivant, permet de déterminer les variations d'une fonction sur un intervalle suivant le signe de sa dérivée.

\subsection{Théorème 2}

\cadreR{%
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\R$ et $f'$ la dérivée de $f$ sur $I$.

\begin{itemize}
	\item Si $f'$ est nulle sur $I$, alors $f$ est constante sur $I$.
	\item Si $f'$ est strictement positive sur $I$, sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s'annule, alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
	\item Si $f'$ est strictement négative sur $I$, sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s'annule, alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.
\end{itemize}
}

\subsection{Théorème 3}

\cadreR{%
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle ouvert $I$ de $\R$ et $x_0$ un réel appartenant à $I$.

\begin{enumerate}
	\item Si $f$ admet un extremum local en $x_0$, alors $f'(x_0)=0$.
	\item Si la dérivée $f'$ s'annule en $x_0$ \textbf{en changeant de signe}, alors $f$ admet un extremum local en $x_0$.
\end{enumerate}
}

\bigskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0)(8,3)
\psframe(8,3) \psline(0,1.4)(8,1.4) \psline(0,2.2)(8,2.2)\psline(1.5,0)(1.5,3) 
\rput(0.75,2.6){$x$} \rput(1.8,2.6){$a$} \rput(4.7,2.6){$x_0$} \rput(7.6,2.6){$b$}
\rput (0.75,1.8){$f'(x)$} \rput(3.25,1.8){$-$} \rput(4.7,1.8){\footnotesize{$\underset{|}{\overset{|}{0}}$}}\rput(6.2,1.8){$+$}
\rput(0.75,0.7){$f(x)$} \rput(4.7,0.2){\footnotesize{\emph {minimum}}}
\psline{->}(1.8,1.2)(4,0.2)  \psline{->}(5.4,0.2)(7.6,1.2)
\end{pspicture}
\hfill
\begin{pspicture}(0,0)(8,3)
\psframe(8,3) \psline(0,1.4)(8,1.4) \psline(0,2.2)(8,2.2)\psline(1.5,0)(1.5,3) 
\rput(0.75,2.6){$x$} \rput(1.8,2.6){$a$} \rput(4.7,2.6){$x_0$} \rput(7.6,2.6){$b$}
\rput (0.75,1.8){$f'(x)$} \rput(3.25,1.8){$+$} \rput(4.7,1.8){\footnotesize{$\underset{|}{\overset{|}{0}}$}}\rput(6.2,1.8){$-$}
\rput(0.75,0.7){$f(x)$} \rput(4.7,1.2){\footnotesize{\emph {maximum}}}
\psline{->}(1.8,0.2)(4,1.2)  \psline{->}(5.4,1.2)(7.6,0.2)
\end{pspicture}

\medskip

\textsf{\textsc{remarques}}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Dans la proposition 2. du théorème 3 l'hypothèse \textbf{en changeant de signe} est importante.


\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}m{13.5cm} >{\raggedleft \arraybackslash}X@{}}
Considérons la fonction cube définie sur $\R$ par $f(x) = x^3$ qui a pour dérivée la fonction $f'$ définie sur $\R$ par $f'(x)= 3 x^2$.

$f'(0) =0$ et pour tout réel $x$ non nul, $f'(x)>0$.

La fonction cube est strictement croissante sur $\R$ et n'admet pas d'extremum en 0.
&
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(1.5,1.5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x^3}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-1,-1)(1.5,1.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](1.5,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,1.5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1}{1.14}{\f}
\end{pspicture}
\end{tabularx} 

\item  Une fonction peut admettre un extremum local en $x_0$ sans être nécessairement dérivable.

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}m{13.5cm} >{\raggedleft \arraybackslash}X@{}}
Considérons la fonction valeur absolue $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = |x|$.

$f$ est définie sur $\R$ par : $f(x) = \left \{
\begin{array}{r l}
   x & \text{ si }  x\geqslant 0  \\
  -x &  \text{ si }  x < 0
\end{array}
\right.$. 

$f$ admet un minimum  $f (0) = 0$  or $f$ n'est pas dérivable en 0.
&
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-2.5,-.5)(2.5,3.5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{abs(x)}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-2.5,-1)(2.5,3)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](2.5,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,3){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=3,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-2.5}{2.5}{\f}
\psdots[linecolor=prune,dotscale=.8] (0,0)
\end{pspicture}
\end{tabularx} 
\end{enumerate}


\addcontentsline{toc}{subsection}{exemple} 

\textsf {\textsc{\small{exemple : étude d'une fonction}}}

Soit $f$ la fonction définie sur  $\R$ par $f(x)=1-\displaystyle\frac{4x-3}{x^2+1}$.

\begin{enumerate}
 \item \'Etude des limites.
 
 \[\displaystyle \lim_{x\to -\infty}\displaystyle\frac{4x-3}{x^2+1}=\displaystyle \lim_{x\to -\infty}\displaystyle\frac{4x}{x^2}=\displaystyle \lim_{x\to -\infty}\displaystyle\frac{4}{x}=0 \text{ d'où }\displaystyle \lim_{x\to -\infty}1-\displaystyle\frac{4x-3}{x^2+1}=1\] 
 
 Par conséquent, $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)=1$. De même, $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=1.$
 
 \medskip
 
 \item Calcul de la dérivée $f' (x)$.
	
	Sur $\R$ la fonction $f$ est dérivable comme somme et quotient de deux fonctions dérivables. 
	
	$f = 1 - \dfrac{u}{v}$ d'où $f'= -\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$. Avec  pour tout réel $x$,  \[ \begin{array}{lcl} 
	u(x) = 4x-3 & \text{ d'où } & u'(x) = 4 \\
	v(x) = x^2+1 & \text{ d'où } & v'(x) = 2x \\
	\end{array}
\]
Soit pour tout réel $x$, \[ \begin{split} 
f'(x) &= -\dfrac{4(x^2+1)-2x(4x-3)}{(x^2+1)^2} \\
 &= -\dfrac{4x^2+4-8x^2+6x}{(x^2+1)^2} \\
 &= \dfrac{4x^2-6x-4}{(x^2+1)^2} \\
 	\end{split}
 	\]
 	
 \textcolor{red} {Ainsi, $f'$ est la fonction définie sur $\R$ par $f'(x)=\dfrac{4x^2-6x-4}{(x^2+1)^2}$} 
 
 \item \'Etude des variations de la fonction $f$
 
 Les variations de la fonction $f$ se déduisent du signe de sa dérivée.
 
 \'Etudions le signe de $f'(x)=\dfrac{4x^2-6x-4}{(x^2+1)^2}$ :
 
 Pour tout réel $x$, $(x^2+1)^2 >0$. Par conséquent, $f'(x)$ est du même signe que le polynôme du second degré $4x^2-6x-4$ avec $a=4$, $b=-6$ et $c=-4$.
 
 Le discriminant du trinôme est $\Delta= b^2 -4ac$ Soit \[ \Delta = \left( -6 \right)^2 - 4 \times 4 \times \left( -4 \right) = 100 \]
 Comme $\Delta >0$, le trinôme admet deux racines :
 \[ \begin{array}{lcl} 
	\phantom{\text{et }}x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} & \text{ Soit } & x_1 = \dfrac{6-10}{8} = -\dfrac{1}{2} \\[3mm]
	\text{et }x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} & \text{ Soit } & x_2 = \dfrac{6+10}{8} = 2 \\
	\end{array}
\]
Un polynôme du second degré est du signe de $a$ sauf  pour les valeurs comprises entre les racines. 

Nous pouvons déduire le tableau du  signe de $f'(x)$ suivant les valeurs du réel $x$ ainsi que les variations de la fonction $f$ :
		  
		  \begin{center}
\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(16.5,4)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(16.5,4) \psline(2,0)(2,4) \psline(0,3)(16.5,3)\psline(0,2)(16.5,2) 
\rput(1,3.5){$x$}\rput(2.5,3.5){$- \infty$} \rput(7,3.5){$-\dfrac{1}{2}$} \rput(11.5,3.5){$2$}\rput(16,3.5){$+ \infty$}
\rput(1,2.5){$f'(x)$} \rput(4.75,2.5){$+$} \pnode(7,3){m1}\pnode(7,2){m2}
\ncline [arrows=-,linewidth=.5pt]{m1}{m2}\ncput*{0}\rput(9.25,2.5){$-$} \pnode(11.5,3){n1}\pnode(11.5,2){n2}\ncline [arrows=-,linewidth=.5pt]{n1}{n2}\ncput*{0}\rput(13.75,2.5){$+$}
\rput(1,1){$f(x)$} \rput(2.5,.3){\rnode{A}{$1$}} \rput(7,1.7){\rnode{B}{$5$}} \rput(11.5,.3){\rnode{C}{{$0$}}} \rput(16,1.7){\rnode{D}{$1$}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B}  \ncline{B}{C}\ncline{C}{D}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\newpage

\addcontentsline{toc}{section}{Exercices} 

\exo

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\left]-\dfrac{3}{2};+\infty \right[$ par $f(x)= 8x^2-2x -\dfrac{9}{2x+3}$. On note $C_f$ sa courbe  représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal.

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}	
	\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to -\frac{3}{2}^+} f(x)$, qu'en déduit-on pour la courbe $C_f$ ?	
	\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
\end{enumerate}
\item On note $f'$ la  dérivée de la fonction $f$. Montrer que $f'(x) = \dfrac{8x\left( 8x^2 +23x +15 \right) }{\left(2x+3\right)^2}$.
\item Étudier les variations de la fonction $f$.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

 \medskip 

La courbe $C_f$  ci-dessous  représente une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$. On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. On sait que : 
\begin{itemize}
	\item la courbe coupe l'axe des abscisses au point $A$ et la tangente à la courbe au point $A$ passe par le point de coordonnées $(0 ; -2)$ ;
	\item la courbe admet au point $B$ d'abscisse 1 une tangente parallèle à l'axe des abscisses ;
	\item la courbe admet pour asymptote l'axe des abscisses.
\end{itemize}

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-6,-5)(20,8)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{-2*(x+1)*EXP(-.5*x-.5)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-5)(20,8)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-2.5)(10,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](10,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,4){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-2.13429}{10}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-2.25,2.5)(0.25,-2.5)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](0.2,-1.47152)(1.8,-1.47152)
\psdots[linecolor=bleu](-1,0)(1,-1.47152)
\uput[ur](-1,0){\bleu{$A$}} \uput[d](1,-1.47152){\bleu{$B$}}
\uput[dl](-2,4){\bleu{$C_f$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item À partir du graphique et des renseignements fournis : 
		\begin{enumerate}	
	\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$.	
	\item Déterminer  $f'(-1)$ et $f'(1)$.
\end{enumerate}

\item  Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f'$ . Déterminer laquelle.

\begin{tabular*}{\linewidth}{@{\extracolsep{\fill}} c c c}
\psset{unit=.3cm} 
\begin{pspicture}(-6,-10)(10,2)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\def\f{-(x-1)^2*EXP(-.5*x-.5)/2}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{rouge}{.8 0 0}
\newrgbcolor{vert}{.06 .37 .22}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-10)(10,2)
\psset{unit=.6cm} 
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-5)(5,1)
\uput[dl](0,0){\tiny{0}}\uput[dl](5,0){\tiny{$x$}}
\uput[dl](0,1){\tiny{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=vert]{-1.67275}{5}{\f}
\end{pspicture}
&
\psset{unit=.3cm} 
\begin{pspicture}(-6,-10)(10,2)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\def\f{(x-1)*EXP(-.5*x-.5)}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{rouge}{.8 0 0}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-10)(10,2)
\psset{unit=.6cm} 
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-5)(5,1)
\uput[dl](0,0){\tiny{0}}\uput[dl](5,0){\tiny{$x$}}
\uput[dl](0,1){\tiny{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=prune]{-2.013}{5}{\f}
\end{pspicture}
&
\psset{unit=.3cm} 
\begin{pspicture}(-8,-4)(8,8)
\def\f{(x-1)*2^x}
\newrgbcolor{rouge}{.8 0 0}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-8,-4)(8,8)
\psset{unit=.6cm} 
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-4,-2)(4,4)
\uput[dl](0,0){\tiny{0}}\uput[dl](4,0){\tiny{$x$}}
\uput[dl](0,4){\tiny{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=rouge]{-4}{2}{\f}
\end{pspicture}\\
\footnotesize{courbe $C_1$} & \footnotesize{courbe $C_2$}&\footnotesize{courbe $C_3$} \\
\end{tabular*} 
\end{enumerate}

\bigskip 

\exo

\medskip

Soit $f$  la fonction définie sur $\R$ par : $f(x)=\dfrac{x^2-x+4}{x^2+3}$. On note $C_f$  sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}	
	\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$.	
	\item La courbe représentative de la fonction $f$ admet-elle des asymptotes ?
\end{enumerate}
		\item Calculer la dérivée de la fonction $f$.
	\item Étudier les variations de $f$.
	\item Donner une équation de la tangente $T$ à la courbe $C_f$  au point d'abscisse $1$.
\end{enumerate}

\bigskip 

\exo

 \medskip 

La courbe $\mathcal{C}_f$ ci-dessous représente une fonction $f$ strictement positive et dérivable sur $\R$. 

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-14,-1)(16,10)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{16/(x^2-2*x+5)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-14,-1)(16,10)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-7,-0.5)(8,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}
\uput[dl](8,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-7}{8}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](.1,4)(1.9,4)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt, linecolor=prune]{1.5}{4.5}{5-x}
\psdots[dotscale=.8,linecolor=bleu](1,4)(3,2)
\uput[r](-7,0.5){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}
\uput[ul](2,4){\footnotesize{\prune{$d_1$}}}
\uput[l](4.5,.5){\footnotesize{\prune{$d_2$}}}
\uput[u](1,4){\footnotesize{\bleu{$A$}}} \uput[ur](3,2){\footnotesize{\bleu{$B$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

On sait que :
\begin{itemize}
\item la courbe admet pour asymptote l'axe des abscisses en $-\infty$ et en $+\infty$.
	\item Les droites $d_1$ et $d_2$ sont tangentes à la courbe aux points $A$ et $B$ d'abscisses respectives 1 et 3 ;
	\item La tangente $T$ à la courbe au point d'abscisse $-1$ a pour équation $y=x+3$.
\end{itemize}

On note $f'$  la dérivée de la fonction $f$. 


\begin{enumerate}
\item Tracer la droite $T$ puis, déterminer $f(-1)$ et $f'(-1)$.
	\item À partir du graphique et des renseignements fournis, déterminer  $f'(1)$ et $f'(3)$.
\item  Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=\displaystyle\frac{1}{f(x)}$. 
\begin{enumerate}
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} g(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x)$.
\item Donner le tableau des variations de la fonction $g$.
\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction $g$ au point d'abscisse $-1$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\bigskip 

 
 \exo
 
 \medskip
 
 Soit $f$ la fonction définie $\left]-\dfrac{1}{2} ; + \infty\right[$ par $f(x) =\dfrac{2x^3-3x^2-2x-1}{ 2x+1}$. On note $f'$ sa dérivée.
 \begin{enumerate}
 \item \'Etudier les limites de la fonction $f$ aux bornes de son intervalle de définition. Que peut-on en déduire pour la courbe $C_f$ ?	
	  \item Calculer $f'(x)$.
 \item Donner le tableau des variations de la fonction $f$.
 \item Déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$.
 
 \`A l'aide de la calculatrice, donner la valeur arrondie à $10^{-3}$ près,  des solutions de l'équation $f(x)=0$.
 \end{enumerate}
 
 
\end{document}

