\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{times,mathptmx}
\DeclareSymbolFont{lmodern}{U}{euex}{m}{n}
\DeclareMathSymbol\infty \mathord{lmodern}{"31}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet} % ss
\usepackage{textcomp}
\usepackage{dsfont}
\usepackage[left=2cm,right=2cm,top=2cm,bottom=2.5cm]{geometry}
\usepackage{fancyhdr} 
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{26pt}
\setlength{\footskip}{18pt}
\renewcommand {\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand {\footrulewidth}{0pt}
\usepackage{lastpage}
%\usepackage{makeidx}
\usepackage{hyperxmp}
\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\pagestyle{fancy}
\usepackage{array}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{eqnarray}
\usepackage{multirow}
\usepackage{colortbl}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{mathtools} %pour l'alignement des termes d'une matrice
\usepackage{fltpoint}
\usepackage{pstricks,pst-all,pstricks-add,pst-tree,pst-3dplot}
\usepackage{ifthen}
\usepackage{calc}
\usepackage{esvect}
\usepackage{pifont}
% Mise en forme des algorithmes
\usepackage[french,boxed,titlenumbered,lined,longend]{algorithm2e}
  \SetKwIF {Si}{SinonSi}{Sinon}{si}{alors}{sinon\_si}{alors}{fin~si}
 \SetKwFor{Tq}{tant\_que~}{~faire~}{fin~tant\_que}
 \SetKwFor{PourCh}{pour\_chaque }{ faire }{fin pour\_chaque}
 \SetKwInput{Sortie}{Sortie}
\newcommand{\Algocmd}[1]{\textsf{\textsc{\textbf{#1}}}}\SetKwSty{Algocmd}
  \newcommand{\AlgCommentaire}[1]{\textsl{\small  #1}}  
%
\usepackage[np]{numprint}
 \setlength{\parindent}{0mm}
\usepackage [alwaysadjust]{paralist}
\setdefaultenum {1.}{a)}{}{}
\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
\newcommand{\Oij}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j} \right)$}
\newcommand{\Oijk}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j ,\vec k} \right)$}
\newcommand{\euro}{\texteuro{}}
\newcommand{\R}{\mathds {R}}
\newcommand{\N}{\mathds {N}}
\newcommand{\Z}{\mathds {Z}}
\newcommand{\Q}{\mathds {Q}}
\newcommand{\e}{\mathrm {e}}
\newcommand{\dd}{\mathrm {d}}
\newcommand{\fvalid}{\raisebox{1ex}{\rotatebox{180}{$\Rsh$}}} % flèche entrée pour prg casio
\DecimalMathComma


\newcommand{\QCM}[3]{ $\bullet$ \quad #1 \hfill 
$\bullet$ \quad #2 \hfill 
$\bullet$ \quad #3 }

\newcommand{\QCMc}[4]{   #1 \\ 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #2 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #3 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #4 }} % QCM avec cases à cocher%

% en-tête

\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\27 février 2017}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{calcul intégral}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} STI2D}}}%droit
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}

\setcounter{secnumdepth}{3}
\makeatletter
\renewcommand\section{\@startsection {section}{1}{\z@}%
                                   {-3.5ex \@plus -1ex \@minus -.2ex}%
                                   {2.3ex \@plus.2ex}%
                                  {\reset@font\bfseries\red\sffamily\scshape}} 
                                 
\renewcommand\subsection{\@startsection {subsection}{2}{\z@}%
                                   {-3.5ex \@plus -1ex \@minus -.2ex}%
                                   {2.3ex \@plus.2ex}%
                                   {\reset@font\bfseries\sffamily\scshape\blue}}                                   
\renewcommand\subsubsection{\@startsection {subsubsection}{3}{\z@}%
	{-3.5ex \@plus -1ex \@minus -.2ex}%
	{2.3ex \@plus .2ex}%
	{\reset@font\bfseries\sffamily\scshape\small}}
\makeatother
\setcounter{secnumdepth}{2}

\renewcommand\thesection{\Roman {section}}
\renewcommand\thesubsection{\arabic {subsection}}
%%%% debut macro %%%%
\makeatletter
\renewcommand\theequation{\thesection.\arabic{equation}}
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother
%%%% fin macro %%%%

\newcounter{nexo}           % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0}        % initialisation du numero

\newcommand{\exo}{
  \refstepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE \; \arabic{nexo}}}}}}}}
  
  \newcounter{nactivite}           % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nactivite}{0}        % initialisation du numero

\newcommand{\act}{
  \stepcounter{nactivite} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{\textsc{activité} \; \arabic{nactivite}}}}}}}}

%%%% debut macro %%%%
\makeatletter
\@addtoreset{nactivite}{section}
\makeatother
%%%% fin macro %%%%

\newrgbcolor{Rfond}{.995 0.945 .985}  
\newrgbcolor{Rougef}{.8 0.1 .2}
\newrgbcolor{Rbord}{.6 0.1 .4}

\newcommand{\cadreR}[1]{%
\psframebox[framesep=.8em,linecolor=black,linewidth=0.25pt,framearc=0.2,fillstyle=solid,fillcolor=Rfond]{\begin{minipage}{\linewidth-1.6em}%
#1\end{minipage}}}
\newcommand{\cadreB}[1]{%
\psframebox[framesep=.8em,linecolor=black,linewidth=0.25pt,framearc=0.2]{\begin{minipage}{\linewidth-1.6em}%
#1\end{minipage}}}

\newcommand{\dem}{
 \medskip
  \par{\textsf{\textsc{{\small{\ding{106}\: démonstration}}}}}%
   \medskip}
  

   \newcommand{\preuve}{
 \medskip
  \par{\textsf{\textsc{{\small{\ding{106}\: preuve}}}}}%
   \medskip} 
    

\newcommand{\encadrer}[1]{
{\setlength{\fboxsep}{2mm}
\fbox{#1}}}

   
\hypersetup{
pdftitle={calcul intégral.}, 
pdfauthor={Arié Yallouz},   
pdfsubject={Intégrale d'une fonction continue.}, 
pdfkeywords={Intégrale d'une fonction continue, primitives, valeur moyenne, cours, exercices.},
pdfcontacturl={http//yallouz.arie.free.fr/},
pdflang={fr},
baseurl={http://yallouz.arie.free.fr/tsti2d_cours/index_tsti2d_cours.php}
}

\begin{document}

\section{intégrale et aire}

\subsection{unité d'aire}

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}m{12cm} >{\raggedleft \arraybackslash}X@{}}
Soit \Oij un repère orthogonal du plan. 

L'unité d'aire, notée u.a, est l'aire du rectangle unitaire OIJK avec $\mathrm{I}(0;1)$, $\mathrm{J}(0;1)$ et $\mathrm{K}(1;1)$.
&
\psset{xunit=1.5cm,yunit=.75cm}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(2.5,1.5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{T2}{.82 .6 .75}
\newpsstyle{TCouleur}{linewidth=.5pt,fillstyle=vlines,hatchcolor=\pslinecolor,  hatchwidth=0.1\pslinewidth, hatchsep=1.5\pslinewidth}
\psframe[linecolor=T2,style=TCouleur](0,0)(1,1)
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-.5,-.5)(2.5,2.5)
\psaxes[ticks=none,linewidth=1pt,linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\rput(-0.2,-0.35){\footnotesize{0}}
\uput[dl](2.5,0){$x$}
\uput[dl](0,2.5){$y$}
\uput[d](.5,0){\red{$\vec i$}}
\uput[l](0,.5){\red{$\vec j$}}
\uput[dr](1,0){\footnotesize{I}}
\uput[ul](0,1){\footnotesize{J}}
\uput[ur](1,1){\footnotesize{K}}
\rput(.5,.5){\scriptsize{u.a.}}
\end{pspicture}
\end{tabularx}

\subsection{intégrale d'une fonction continue et positive}

\subsubsection{définition}

\cadreR{%
Soit $f$ une fonction définie, continue et positive sur un intervalle $[a;b]$ et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal \Oij .

L'intégrale de $f$ entre $a$ et $b$ est l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine  $\mathcal{D}_f$ compris entre la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$

Ce nombre est noté :  $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x$
}

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm, yunit=.75cm}
\begin{pspicture}(-2.4,-1.8)(3.8,3.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\newrgbcolor{mauve}{.92 .84 .98}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(49-8*x*(x^3-2*x^2-3*x+4))/27}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{-1.2}{2.4}{\f} \gsave
\psline(2.4,0)(-1.2,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=grisb] \grestore }
\psframe[linewidth=.25pt,fillstyle=vlines,hatchwidth=.1\pslinewidth, hatchsep=2\pslinewidth,hatchcolor=mauve,fillcolor=grisb,linecolor=prune,linestyle=dashed](0,0)(1,1)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{->}(0,0)(-2.4,-1.8)(3.8,3.5)
\psaxes[linewidth=1pt,linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](3.8,0){$x$} \uput[dl](0,3.5){$y$}
\rput(.5,-.3){\red{$\vec i$}} \uput[l](0,.5){\red{$\vec j$}}
\uput[d](1,0){\footnotesize{$I$}} \uput[l](0,1){\footnotesize{$J$}}  \uput[r](1,1){\footnotesize{$K$}} 
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-1.2,0)(-1.2,2.878)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](2.4,0)(2.4,2.451)
\uput[d](-1.2,0){\footnotesize{\prune $a$}}
\uput[d](2.4,0){\footnotesize{\prune $b$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-2}{3}{\f}
 \uput[ur](3,-1.8){\bleu $\mathcal{C}_f$}
  \rput(.5,.5){\bleu {1 u.a}}
\end{pspicture}
\end{center}

\textsf {\textsc{\small{remarques}}}

 \medskip
\begin{itemize}
 \item $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x$ se lit \og intégrale de $a$ à $b$ de $f(x)\dd x$ \fg{} ou encore   \og somme de $a$ à $b$ de $f(x)\dd x$ \fg .
 \item Les réels $a$ et $b$ sont appelés les bornes de l'intégrale $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x$.
\item La variable $x$ est dite \og muette \fg{}, elle n'intervient pas dans le résultat. C'est à dire qu'on peut la remplacer par n'importe quelle autre variable distincte des lettres $a$ et $b$ :$\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x =\displaystyle\int_{a}^{b}f(t)\dd t =\displaystyle\int_{a}^{b}f(u)\dd u$
\item $\displaystyle\int_{a}^{a}f(x)\dd x = 0$, car le domaine $\mathcal{D}_f$ est alors réduit à un segment.
 \end{itemize} 

\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemples}}}


\begin{minipage}{11cm}%
\begin{enumerate}
\item 

Calculons $\displaystyle\int_{-1}^{4} \left(-0,4x+3,6\right)\dd x$.

La fonction affine $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)= -0,4x+3,6$ est continue et positive sur l'intervalle $[-1 ; 4]$

L'intégrale $\displaystyle\int_{-1}^{4} \left(-0,4x+3,6\right)\dd x$ est égale à l'aire du trapèze $ABCD$.
\begin{eqnarray*} \displaystyle\int_{-1}^{4} \left(-0,4x+3,6\right)\dd x  &=& \dfrac{\left( AD + BC\right)\times AB}{2}\\
 &=&\dfrac{\left( 4 + 2\right)\times 5}{2}\\
 &=&15 \\
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill\begin{minipage}{5.6cm} %
\begin{flushright}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(5,5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\newrgbcolor{mauve}{.92 .84 .98}
\def\f{-2*x/5+18/5}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{-1}{4}{\f} \gsave
\psline(4,0)(-1,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=grisb] \grestore }
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-1)(5,5)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1.99,-.99)(5,5)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{O}}
\uput[dl](5,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-2}{5}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-1, 0)(-1,4)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](4, 0)(4,2)
\uput[ul](-1,0){\footnotesize{\prune $A$}}
\uput[ur](4,0){\footnotesize{\prune $B$}}
\uput[ur](4,2){\footnotesize{\prune $C$}}
\uput[ul](-1,4){\footnotesize{\prune $D$}}
 \uput[u](1.5,3){\bleu $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)=\dfrac{6}{x^2-4x+7}$ dont la courbe $\mathcal{C}_f$ est représentée ci-dessous.  Déterminer un encadrement de l'intégrale  $\displaystyle\int_{-1}^{3} f(x) \dd x$.
\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-.25)(4,2.5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\newrgbcolor{jauneclair}{1 .97 .78}
\def\f{6/(x^2-4*x+7)}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=jauneclair,linewidth=0.75pt, linecolor=prune](-1,0)(-1,.75)(-.25,.75)(-.25,1)(0.25,1)(0.25,1.25)(.5,1.25)(.5,1.5)(1,1.5)(1,1.75)(1.25,1.75)(1.25,2)(2.75,2)(2.75,1.75)(3,1.75)(3,0)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=grisb,linewidth=0.75pt, linecolor=prune](-1,0)(-1,.5)(0,.5)(0,.75)(.5,.75)(.5,1)(.75,1)(.75,1.25)(1,1.25)(1,1.5)(1.5,1.5)(1.5,1.75)(2.5,1.75)(2.5,1.5)(3,1.5)(3,0)
\psset{unit=.5cm}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-1)(16,10)
\psset{unit=2cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1.5,-.25)(4,2.5)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{O}}
\uput[dl](4,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,2.5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1.5}{4}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-1, 0)(-1,.5)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](3, 0)(3,1.5)
 \uput[ul](4,1){\bleu $\mathcal{C}_f$}

\end{pspicture}
\end{center}

Sur l'intervalle $[-1 ; 3]$, la fonction $f$ est continue et positive. L'intégrale  $\displaystyle\int_{-1}^{3} f(x) \dd x$ est égale à l'aire, en unités d'aire, du domaine  $\mathcal{D}_f$ compris entre la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=-1$ et $x=3$.

On peut déterminer un encadrement de l'intégrale  $\displaystyle\int_{-1}^{3} f(x) \dd x$ à l'aide du quadrillage. D'où l'encadrement \[\dfrac{75}{16} \leqslant \displaystyle\int_{-1}^{3} f(x) \dd x \leqslant 6\]
Un encadrement plus précis est obtenu à partir de trapèzes. Les droites $(MN)$ , $(NV)$ et $(VU)$ étant les tangentes respectives à la courbe $\mathcal{C}_f$ aux points d'abscisses $-1$, 1 et 3.
\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-.25)(4,2.5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\newrgbcolor{jauneclair}{1 .97 .78}
\def\f{6/(x^2-4*x+7)}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=jauneclair,linewidth=0.75pt, linecolor=prune](-1,0)(-1,.5)(1,1.5)(2,2.25)(3,1.5)(3,0)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=grisb,linewidth=0.75pt, linecolor=prune](-1,0)(-1,.5)(0,.75)(1,1.5)(2,2)(3,1.5)(3,0)
\psset{unit=.5cm}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-1)(16,10)
\psset{unit=2cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1.5,-.25)(4,2.5)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{O}}
\uput[dl](4,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,2.5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1.5}{4}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-1, 0)(-1,.5)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](3, 0)(3,1.5)
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=prune](1,0)(1,1.5)
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=prune](2,0)(2,2.25)
 \uput[ul](4,1){\bleu $\mathcal{C}_f$}
 \uput[ul](-1,0){\footnotesize{\prune $L$}}
\uput[ul](-1,.5){\footnotesize{\prune $M$}}
\uput[dr](0,.75){\footnotesize{\prune $N$}}
\uput[ul](1,0){\footnotesize{\prune $P$}}
\uput[ul](1,1.5){\footnotesize{\prune $Q$}}
\uput[ul](2,2){\footnotesize{\prune $R$}}
\uput[ul](2,0){\footnotesize{\prune $S$}}
\uput[ur](3,0){\footnotesize{\prune $T$}}
\uput[ur](3,1.5){\footnotesize{\prune $U$}}
\uput[ur](2,2.25){\footnotesize{\prune $V$}}
\end{pspicture}
\end{center}

L'aire du domaine $\mathcal{D}_f$ est comprise entre la somme des aires des trapèzes $LMN\mathrm{O}$, $N\mathrm{O}PQ$, $PQRS$ et $RSTU$ et, la somme des aires des trapèzes $LMPQ$, $PQVS$ et $VSTU$. Soit \[0,625 +1,25 +1,75 +1,75 \leqslant \displaystyle\int_{-1}^{3} f(x) \dd x \leqslant 2 +1,875++1,875 \iff 5,375 \leqslant \displaystyle\int_{-1}^{3} f(x) \dd x \leqslant 5,75 \]

Remarque :
\begin{itemize}
\item À l'aide de la calculatrice, on trouve $\displaystyle\int_{-1}^{3} \left(\dfrac{6}{x^2-4x+7}\right) \dd x \approx 5,44$.
\item À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on obtient  $\displaystyle\int_{-1}^{3} \left(\dfrac{6}{x^2-4x+7}\right) \dd x = \pi \sqrt{3}$.
\end{itemize}
\end{enumerate}

\subsection{intégrale d'une fonction continue et négative}

Si $f$ est une fonction continue et négative sur un intervalle $[a;b]$ alors, la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[a;b]$ par $g=-f$ est une fonction continue et positive sur cet intervalle.

Par symétrie par rapport à l'axe des abscisses, l'aire du domaine $\mathcal{D}_f$ compris entre la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$ est égale à l'aire du domaine $\mathcal{D}_g$ compris entre la courbe $\mathcal{C}_g$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$.

\begin{center}
\psset{unit=1.6cm, yunit=.8cm}
\begin{pspicture}(-1.9,-3.5)(3.5,3.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\newrgbcolor{mauve}{.92 .84 .98}
\newrgbcolor{jauneclair}{1 .97 .78}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(49-8*x*(x^3-2*x^2-3*x+4))/27}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.5pt, linecolor=prune]{-1.2}{2.4}{\f} \gsave
\psline(2.4,0)(-1.2,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=jauneclair] \grestore }
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{-1.2}{2.4}{-\f} \gsave
\psline(2.4,0)(-1.2,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=grisb] \grestore }
\psframe[linewidth=.25pt,fillstyle=vlines,hatchwidth=.1\pslinewidth, hatchsep=2\pslinewidth,hatchcolor=mauve,fillcolor=grisb,linecolor=prune,linestyle=dashed](0,0)(1,1)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{->}(0,0)(-1.9,-3.5)(3.5,3.5)
\psaxes[linewidth=1pt,linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](3.5,0){$x$} \uput[dl](0,3.5){$y$}
\rput(.5,-.3){\red{$\vec i$}} \uput[l](0,.5){\red{$\vec j$}}
\uput[d](1,0){\footnotesize{$I$}} \uput[l](0,1){\footnotesize{$J$}}  \uput[r](1,1){\footnotesize{$K$}} 
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt](-1.2,-2.878)(-1.2,2.878)
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt](2.4,-2.451)(2.4,2.451)
\uput[dl](-1.2,0){\footnotesize{\prune $a$}}
\uput[dr](2.4,0){\footnotesize{\prune $b$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=prune]{-1.5}{2.7}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-1.5}{2.7}{-\f}
 \uput[ur](2.7,-1.7){\bleu $\mathcal{C}_f$}
 \uput[dr](2.7,1.7){\prune $\mathcal{C}_g$}
  \rput(.5,.5){\bleu {1 u.a}}
\end{pspicture}
\end{center}

\subsubsection{définition}

\cadreR{%
Soit $f$ une fonction définie, continue et négative sur un intervalle $[a;b]$ et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal \Oij .

L'intégrale de la fonction $f$ entre $a$ et $b$ est égale à l'opposé de l'aire $\mathcal{A}$, exprimée en unités d'aire, du domaine  $\mathcal{D}_f$ compris entre la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$:\[\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x=-\mathcal{A}\]
}

\subsection{lien entre intégrale et primitive}

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a;b]$. On peut définir une nouvelle fonction $F$ qui à tout réel $x$ de l'intervalle $[a;b]$, associe l'intégrale de $f$ entre $a$ et $x$ : $F(x)=\displaystyle\int_{a}^{x}f(t)\dd t$

\subsubsection{théorème  \; \normalfont{(\emph{admis})}} 

\cadreR{%
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a;b]$.

La fonction $F$ définie sur $[a;b]$ par $F(x)=\displaystyle\int_{a}^{x}f(t)\dd t$ est dérivable sur $[a;b]$ et a pour dérivée $f$.
}
\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}

 \medskip
\begin{minipage}{10.5cm}

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[-1 ; 4]$ par $f(x)= -\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}$. 

Si $x$ est un réel de l'intervalle $[-1 ; 4]$, la fonction $F$ définie par 

$F(x)=\displaystyle\int_{-1}^{x} f(t)\dd t$ est égale à l'aire du trapèze colorié.

On a donc $F(x)= \dfrac{(3+(-0,5x+2,5))\times (x+1)}{2}=-\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{5x}{2}+\dfrac{11}{4}$

La fonction $F$ est dérivable sur $[-1 ; 4]$ et $F'(x)=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{5}{2}=f(x)$.
\end{minipage}\hfill\begin{minipage}{\linewidth-10.5cm}
\begin{flushright}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-.5)(4.5,3.5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\newrgbcolor{mauve}{.92 .84 .98}
\def\f{-.5*x+2.5}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{-1}{2.5}{\f} \gsave
\psline(2.5,0)(-1,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=grisb] \grestore }
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1.5,-.5)(4.5,3.5)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{O}}

\uput[d](2.5,0){\prune{$x$}}

\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1}{4}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt](-1, 0)(-1,3)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt](2.5, 0)(2.5,1.25)
 \uput[u](4,.5){\footnotesize{\bleu{$\mathcal{C}_f$}}}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{minipage}

\section{intégrale d'une fonction continue}

\subsection{définition}

\cadreR{%
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a;b]$ et $F$ une primitive de la fonction $f$ sur $[a;b]$.

L'intégrale de $f$ entre $a$ à $b$ est le nombre réel égal à $F(b)-F(a)$ :
\[\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x = F(b)-F(a)\]
}

\medskip

\textsf {\textsc{\small{remarques}}}

\medskip

\begin{itemize}
\item La différence  $F(b)-F(a)$ se note $\mathopen{\Bigl[}F(x)\mathclose{\Bigr]}_{a}^{b}$ ; ainsi  $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x = \Bigl[F(x)\Bigr]_{a}^{b}= F(b)-F(a)$.
\item Le choix de la primitive $F$ n'influe pas sur la valeur de l'intégrale. 
	
	En effet, si $G$ est une autre primitive de $f$ sur $I$, il existe un réel $k$ tel que $G(x) = F(x) +k$ d'où 	\[G(b) - G(a) = \left(F(b) +k \right)-\left(F(a)+k \right)=F(b)-F(a)\]		
	\item Si $f$ est une fonction continue et positive sur un intervalle $\left[ a ; b \right]$ alors l'intégrale 	$\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x=F(b)-F(a)$ est l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine compris entre la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$.
\end{itemize}

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}
\[\begin{split} 
\displaystyle\int_{1}^{\e} \left(x-\dfrac{1}{x}+\dfrac{\e}{x^2}\right) \dd x & = \left[\dfrac{x^2}{2}-\ln(x) -\dfrac{\e}{x}\right]_{1}^{\e} \\
&=\left(\dfrac{\e^2}{2}-\ln(\e) -\dfrac{\e}{\e}\right)-\left(\dfrac{1^2}{2}-\ln(1) -\dfrac{\e}{1}\right) \\
&=\dfrac{\e^2}{2}+\e-\dfrac{5}{2} \\
\end{split}
\]

\subsection{premières propriétés}
	
\cadreR{%
	Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ de $\R$. Pour tout réel $a$ appartenant à $I$. 
	\[\displaystyle\int_{a}^{a}f(x)\dd x =0\]
	}

\medskip
	
	Preuve :
	
	Soit $F$ une primitive de $f$ sur $I$.
	\[\displaystyle\int_{a}^{a}f(x)\dd x =F(a)-F(a)=0\]
	
	
		\cadreR{%
	Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ de $\R$, $a$ et $b$ deux réels appartenant à $I$. 
	\[\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x =-\displaystyle\int_{b}^{a}f(x)\dd x\]
}
	
\medskip
	
		Preuve :
	
	Soit $F$ une primitive de $f$ sur $I$.
	\[\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x =F(b)-F(a) \qquad \text{et} \qquad \displaystyle\int_{b}^{a}f(x)\dd x =F(a)-F(b)\]

\section{propriétés de l'intégrale}
		
\subsection{positivité}

\cadreR{%
	Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$, $a$ et $b$ deux réels appartenant à $I$.

 Si $a \leqslant b$ et $f \geqslant 0$ sur l'intervalle $[a;b]$, alors $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x \geqslant 0$.
	
}
		
\dem
	
	Soit $F$ une primitive de $f$ sur $I$. Pour tout réel $x$ de l'intervalle $I$, $F'(x)=f(x)$.
	
	Or  $f \geqslant 0$ sur l'intervalle $[a;b]$ donc $F$ est croissante sur $[a;b]$. Par conséquent, si $a \leqslant b$, alors  $F(a) \leqslant F(b)$.
	
	On en déduit que $ F(b) -  F(a) \geqslant 0$ et $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x \geqslant 0$.
	
	\medskip
	
		\textbf{Attention la réciproque est fausse :}
		
		 Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=-x^2+3x+1$
		 \[\begin{split} 
\displaystyle\int_{-2}^{3} \left( -x^2+3x+1\right) \; \dd x & = \left[-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{3}{2} x^2+x\right]_{-2}^{3} \\
&=\left(-9 +\dfrac{27}{2} +3 \right)-\left(\dfrac{8}{3} +6 -2 \right)=\dfrac{5}{6}\\
\end{split}
\]
Ainsi  $\displaystyle\int_{-2}^{3} f(x) \dd x \geqslant 0$ mais $f(-1) = -3$.
		 
\medskip		 
	
	On démontre de manière analogue la propriété suivante :
	
\medskip
		 
\cadreB{
	Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$, $a$ et $b$ deux réels appartenant à $I$.
	
	Si $a \leqslant b$ et $f \leqslant 0$ sur l'intervalle $[a;b]$, alors $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x \leqslant 0$.	
}	

		\subsection{linéarité}
		
			\cadreR{%
	Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$ de $\R$. Pour tous réels $a$ et $b$ appartenant à $I$, et pour tout réel $\alpha$ 
	\[\displaystyle\int_{a}^{b}\left({f(x)+g(x)}\right)\dd x = \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x + \displaystyle\int_{a}^{b}g(x)\dd x \qquad\text{ et }\qquad \displaystyle\int_{a}^{b} \alpha f(x)\dd x =\alpha \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x \]
}

\dem
 
\begin{enumerate}
	\item 	Si $F$ et $G$ sont deux primitives respectives des fonctions $f$ et $g$ sur $I$, alors $F+G$ est une primitive sur $I$ de la fonction $f+g$. \[\begin{split} 
\displaystyle\int_{a}^{b}\left({f(x)+g(x)}\right)\dd x & = \left(F(b)+G(b)\right)  -\left(F(a)+G(a)\right)\\
&=\left(F(b)-F(a)\right)  +\left(G(b)-G(a)\right)\\
&= \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x + \displaystyle\int_{a}^{b}g(x)\dd x\\
\end{split}
\]
\item Soit $F$ une primitive de $f$ sur $I$ et $\alpha$ un réel. \[\begin{split} 
\displaystyle\int_{a}^{b} kf(t)\dd t &=\alpha F(b)-\alpha F(a)\\
&=\alpha \left(F(b)-F(a)\right)\\
&= \alpha \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x \\
\end{split}
\]
\end{enumerate}

\subsection{relation de Chasles}
	
\cadreR{%
	Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ de $\R$. Pour tous réels $a$, $b$ et $c$ appartenant à $I$ 
	\[\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x = \displaystyle\int_{a}^{c}f(x)\dd x + \displaystyle\int_{c}^{b}f(x)\dd x\]
}

\dem
 
 Soit $F$ une primitive de $f$ sur $I$. Pour tous réels $a$, $b$ et $c$ appartenant à $I$ 
	\[\begin{split} 
\displaystyle\int_{a}^{c} f(x)\dd x + \displaystyle\int_{c}^{b} f(x)\dd x&=\left(F(c)-F(a)\right)+\left(F(b)-F(c)\right)\\
&=F(b)-F(a)\\
&= \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x \\
\end{split}
\]


\begin{minipage}{10cm}
\textsf {\textsc{\small{interprétation graphique :}}}

\medskip
Dans le cas où $f$ est une fonction continue et positive sur $[a;b]$. 

L'aire du domaine compris entre la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$ est égale à la somme des aires du domaine compris entre la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=c$ et du domaine compris entre la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=c$ et $x=b$.
\end{minipage}\hfill\begin{minipage}{\linewidth-10.5cm}
\begin{flushright}
\psset{unit=.75cm}
\begin{pspicture}(-2.4,-.8)(6.6,3.6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\newrgbcolor{mauve}{.92 .84 .98}
\newrgbcolor{jauneclair}{1 .97 .78}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{12/(x^2-4*x+8)}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.5pt, linecolor=prune]{-2}{3.5}{\f} \gsave
\psline(3.5,0)(-2,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=jauneclair] \grestore }
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.5pt, linecolor=prune]{3.5}{5.3}{\f} \gsave
\psline(5.3,0)(3.5,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=grisb] \grestore }
\psframe[linewidth=.25pt,fillstyle=vlines,hatchwidth=.1\pslinewidth, hatchsep=2\pslinewidth,hatchcolor=mauve,fillcolor=grisb,linecolor=prune,linestyle=dashed](0,0)(1,1)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{->}(0,0)(-2.4,-.8)(6.6,3.6)
\psaxes[linewidth=1pt,linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](6.6,0){$x$} \uput[dl](0,3.5){$y$}
\rput(.5,-.3){\red{$\vec i$}} \uput[l](0,.5){\red{$\vec j$}}
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune](-2,0)(-2,.6)
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt](3.5,0)(3.5,1.92)
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune](5.3,0)(5.3,.806)
\uput[d](-2,0){\footnotesize{\prune $a$}}
\uput[d](3.5,0){\footnotesize{\prune $c$}}
\uput[d](5.3,0){\footnotesize{\prune $b$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-2.4}{6.6}{\f}
 \uput[ul](7,.45){\footnotesize{\bleu{$\mathcal{C}_f$}}}
  \rput(.5,.5){\footnotesize{\bleu{1 u.a}}}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{minipage}

\subsection{ordre}
 
\cadreR{%
Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$, $a$ et $b$ deux réels appartenant à $I$ tels que $a \leqslant b$. 

Si pour tout réel $x$ appartenant à $\left[ a ; b \right]$, $f(x) \leqslant g(x)$, alors $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x \leqslant \displaystyle\int_{a}^{b}g(x)\dd x $	
}

\dem
 
Si pour tout réel $x$ appartenant à $\left[ a ; b \right]$, $f(x) \leqslant g(x)$, alors $f(x) - g(x) \leqslant 0$. Comme $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur $\left[ a ; b \right]$, la fonction $f-g$ est continue sur $\left[ a ; b \right]$.

Par conséquent, si  $a \leqslant b$ et $f-g \leqslant 0$ alors 	\[
\displaystyle\int_{a}^{b} (f-g)(x)\dd x \leqslant 0 \Leftrightarrow \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\dd x -  \displaystyle\int_{a}^{b} g(x)\dd x \leqslant 0
\]

\medskip
	
		\textbf{Attention la réciproque est fausse :}
		
		 Considérons les fonctions $f$ et $g$  définies sur $\R$ par $f(x)=4-x^2$ et $g(x)=x^2+x-2$.
		 \[\begin{split} 
\displaystyle\int_{-4}^{3} \left(4-x^2\right) \dd x & = \left[ 4x-\dfrac{x^3}{3}\right]_{-4}^{3} \\
&=\left(12-\dfrac{27}{3}\right)-\left(-16+\dfrac{64}{3}\right)  \\
&=-\dfrac{7}{3}\\
\displaystyle\int_{-4}^{3}\left( x^2+x-2\right) \dd x & = \left[ \dfrac{x^2}{3} + \dfrac{x^2}{2}-2x\right]_{-4}^{3} \\
&=\left(\dfrac{27}{3}+\dfrac{9}{2}-6\right)-\left(-\dfrac{64}{3}+\dfrac{16}{2}+8\right)\\
&=\dfrac{77}{6}
\end{split}
\]
\begin{minipage}{10cm}
Ainsi,  $\displaystyle\int_{-4}^{3} f(x) \dd x \leqslant \displaystyle\int_{-4}^{3} g(x) \dd x$ mais nous ne pouvons pas conclure que sur l'intervalle $[-4;3]$, $f(x) \leqslant g(x)$ comme on peut le constater sur le graphique ci-contre.
\end{minipage}\hfill\begin{minipage}{\linewidth-11cm}
\begin{flushright}
\psset{xunit=.5cm,yunit=.15cm}
\begin{pspicture}(-4.9,-14)(5,14)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\def\f{4-x^2}
\def\g{x^2+x-2}
\psline[linewidth=0.5pt, linecolor=red,linestyle=dashed](-4,-12)(-4,10)
\psline[linewidth=0.5pt, linecolor=red,linestyle=dashed](3,-5)(3,10)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=4]{->}(0,0)(-4.9,-14)(5,15)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](5,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,15){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-4.25}{4.25}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{-4.53}{3.53}{\g}
\uput[u](5,-14){\bleu $\mathcal{C}_{f}$}
\uput[dr](3.3,12){\prune $\mathcal{C}_{g}$}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{minipage}

		 
\section{intégrale et moyenne}

\subsection{inégalités de la moyenne}

\cadreR{%
Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $\left[ a ; b \right]$ de $\R$ ($a < b$ ). Soit $m$ et $M$ deux réels.

Si pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $\left[ a ; b \right]$, $m \leqslant f(x) \leqslant M$, alors :
\[m \times (b-a) \leqslant \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x \leqslant M \times (b-a)\] 
}

\dem
 
Les fonctions définies sur $\left[ a ; b \right]$ par $x \longmapsto m$ et $x \longmapsto M$ sont constantes donc continues.

Si pour tout réel $x$ appartenant à $\left[ a ; b \right]$ ($a < b$ ), $m \leqslant f(x) \leqslant M$, alors d'après la propriété de l'intégration d'une inégalité :
	\[\begin{split} 
\displaystyle\int_{a}^{b} m \;\dd x \leqslant \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\dd x \leqslant  \displaystyle\int_{a}^{b} M \;\dd x &\Leftrightarrow m\displaystyle\int_{a}^{b}  \dd x \leqslant \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\dd x \leqslant  M\displaystyle\int_{a}^{b} \dd x\\
&\Leftrightarrow m \times (b-a) \leqslant \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x \leqslant M \times (b-a)
\end{split}
\]

\medskip

\begin{minipage}{10cm}
\textsf {\textsc{\small{interprétation graphique :}}}

\medskip

Dans le cas où $f$ est une  fonction  continue et positive sur $[a;b]$

\medskip

L'aire du domaine compris entre la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$ est comprise entre les aires des rectangles $R_1$ et $R_2$ :

$R_1$ de côtés $m$ et $b-a$ ;

$R_2$ de côtés $M$ et $b-a$.
\end{minipage}\hfill\begin{minipage}{\linewidth-10.5cm}
\begin{flushright}
\psset{xunit=1cm,yunit=2cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-.25)(4.5,1.7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(4*x^3-5*x^2-16*x-11)*Euler^(-4-.5*x)+1}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{-1}{3.5}{\f} \gsave
\psline(3.5,0)(-1,0)(-1,.879)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=grisb] \grestore }
\psframe[linewidth=.5pt,linecolor=prune,fillstyle=vlines,hatchcolor=prune,hatchwidth=0.25pt,hatchsep=5pt](-1,0)(3.5,1.138)
\psframe[linewidth=.5pt,linecolor=prune,fillstyle=hlines,hatchcolor=prune,hatchwidth=0.25pt,hatchsep=5pt](-1,0)(3.5,.689)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-1.5,-.25)(4.5,1.7)
\psset{xunit=1cm,yunit=.5cm}
\psaxes[linewidth=1pt,linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\rput(.5,-.25){\red{$\vec i$}} \uput[l](0,.5){\red{$\vec j$}}
\psset{xunit=1cm,yunit=2cm}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](4.3,0){\footnotesize{$x$}} \uput[l](0,1.6){\footnotesize{$y$}}
\uput[d](-1,0){\red{\footnotesize{$a$}}} \uput[d](3.5,0){\red{\footnotesize{$b$}}} 
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-1.5}{4.5}{\f}
\uput[ul](4.5,1.3){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{C}_f$}}}
 \uput[l](0,.75){\bleu{\scriptsize{\textit{\textbf{m}}}}}
  \uput[l](0,1.25){\bleu{\scriptsize{\textit{\textbf{M}}}}}
    \uput[l](3,.4){\prune{\footnotesize{ $\mathbf{R_1}$}}}
        \uput[l](1.9,.9){\prune{\footnotesize{ $\mathbf{R_2}$}}}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{minipage}
 
\subsection{valeur moyenne}

\cadreR{%
Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $\left[ a ; b \right]$ de $\R$ ($a < b$ ).

On appelle valeur moyenne de $f$ sur $\left[ a ; b \right]$ le réel $\mu = \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\dd x$ 
}

\medskip

\begin{minipage}{10cm}
\textsf {\textsc{\small{interprétation graphique :}}}

\medskip

Dans le cas où $f$ est une  fonction  continue et positive sur $[a;b]$

\medskip

L'aire du domaine compris entre la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$ est égale à l'aire du rectangle de côtés $\mu$ et $b-a$.
\end{minipage}\hfill\begin{minipage}{\linewidth-10.5cm}
\begin{flushright}
\psset{xunit=.8cm,yunit=2cm}
\begin{pspicture}(-2,-.5)(5.5,1.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{1.5-(x^3-2*x^2-3*x+10)*Euler^(-2.3-.25*x)}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{-1}{4}{\f} \gsave
\psline(4,0)(-1,0)(-1,.879)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=grisb] \grestore }
\psframe[linewidth=.5pt,linecolor=prune,fillstyle=vlines,hatchcolor=prune,hatchwidth=0.25pt,hatchsep=5pt](-1,0)(4,.833573)
\psdot[linewidth=2pt,linecolor=prune,dotstyle=x](0,.833573)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-2,-.5)(5.5,1.5)
\psset{xunit=1cm,yunit=.5cm}
\psaxes[linewidth=1pt,linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\rput(.5,-.25){\red{$\vec i$}} \uput[l](0,.5){\red{$\vec j$}}
\psset{xunit=.8cm,yunit=2cm}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](5.3,0){\footnotesize{$x$}} \uput[l](0,1.4){\footnotesize{$y$}}
\uput[d](-1,0){\red{\footnotesize{$a$}}} \uput[d](4,0){\red{\footnotesize{$b$}}} 
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-1.8}{5}{\f}
\uput[r](4.8,-.4){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{C}_f$}}}
 \uput[l](0,.9){\prune{\footnotesize{$\mu$}}}
\end{pspicture} 
\end{flushright}
\end{minipage}
 
\newpage

\addcontentsline{toc}{section}{Exercices}

\exo

\medskip

\begin{enumerate}
\item La courbe $\mathcal{C}_f$ est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie sur $\R$.  

Déterminer un encadrement de l'intégrale  $\displaystyle\int_{-1}^{3} f(x) \dd x$.
\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-.25)(4,2.5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\newrgbcolor{jauneclair}{1 .97 .78}
\def\f{6/(x^2-4*x+7)}
%\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=jauneclair,linewidth=0.75pt, linecolor=prune](-1,0)(-1,.75)(-.25,.75)(-.25,1)(0.25,1)(0.25,1.25)(.5,1.25)(.5,1.5)(1,1.5)(1,1.75)(1.25,1.75)(1.25,2)(2.75,2)(2.75,1.75)(3,1.75)(3,0)
%\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=grisb,linewidth=0.75pt, linecolor=prune](-1,0)(-1,.5)(0,.5)(0,.75)(.5,.75)(.5,1)(.75,1)(.75,1.25)(1,1.25)(1,1.5)(1.5,1.5)(1.5,1.75)(2.5,1.75)(2.5,1.5)(3,1.5)(3,0)
\psset{unit=.5cm}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-1)(16,10)
\psset{unit=2cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1.5,-.25)(4,2.5)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{O}}
\uput[dl](4,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,2.5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1.5}{4}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-1, 0)(-1,.5)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](3, 0)(3,1.5)
 \uput[ul](4,1){\bleu $\mathcal{C}_f$}

\end{pspicture}
\end{center}


\item La fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ par $f(x)=\dfrac{6}{x^2-4x+7}$.  

À l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement au centième près, de l'intégrale  $\displaystyle\int_{-1}^{3} f(x) \dd x$.
\end{enumerate}


\bigskip
\exo

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij d'unité graphique 1~cm. $a$ et $b$ sont deux réels tels que $a <b$.

Dans chaque cas, on considère une fonction $f$ définie et positive sur l'intervalle $[a;b]$.

$\mathcal{C}_f$ désigne la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère \Oij et $\mathcal{D}_f$ le domaine compris entre la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$.

\medskip

\textsf {\textsc{\small{fonction constante :}}}

\medskip

Soit $c$ un réel positif. $f$ est la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=c$.
	
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}m{11cm} >{\raggedleft \arraybackslash}X@{}}
\begin{enumerate}
	\item Exprimer en fonction de $a$ et de $b$ l'aire en $\text{cm}^2$ du domaine $\mathcal{D}_f$.
	\item On considère la fonction $F$ qui à tout réel $x$ de l'intervalle $[a;b]$, associe l'aire $\mathcal{A}_x$ du domaine  hachuré.
	\begin{enumerate}
	\item Donner une expression de $F$ en fonction de $x$.
	\item Calculer $F'(x)$ où $F'$ est la dérivée de la fonction $F$ sur $[a;b]$
	\item Calculer $F(b) - F(a)$. Que constate-t-on ?
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}
&
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(11,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psframe[linewidth=.25pt,linecolor=grisb,fillstyle=solid,fillcolor=grisb](2.4,0)(8.6,3.6)
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-1)(11,5)
\psset{unit=1cm}
\psframe[linewidth=.25pt,linecolor=grisb,fillstyle=vlines,hatchcolor=prune,hatchwidth=0.25pt,hatchsep=5pt](1.2,0)(2.4,1.8)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-.5,-.5)(5.5,2.5)
\psaxes[linewidth=1pt,linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\rput(.5,-.25){\red{$\vec i$}} \uput[l](0,.5){\red{$\vec j$}}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](1.2,0){\red{\footnotesize{$a$}}} \uput[d](4.3,0){\red{\footnotesize{$b$}}} 
\uput[d](2.4,0){\footnotesize{\prune{$x$}}} 
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](1.2,0)(1.2,1.8)
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt](2.4,0)(2.4,1.8)
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](4.3,0)(4.3,1.8)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=bleu](-.5,1.8)(5.5,1.8)
\uput[u](5,1.8){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{C}_f$}}}
  \uput[ul](0,1.8){\bleu{\footnotesize{$c$}}}
    \uput[ur](2.6,.6){\prune{\footnotesize{$\mathcal{D}_f$}}}
\end{pspicture}
 \end{tabularx}
 
\medskip

\textsf {\textsc{\small{fonction affine :}}}

\medskip

$f$ est une fonction affine définie sur $\R$ par $f(x)=mx+p$ où $m$ et $p$ sont des réels fixés avec $m$ non nul. $f$ est supposée positive sur $[a;b]$.
	
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}m{11cm} >{\raggedleft \arraybackslash}X@{}}
\begin{enumerate}
	\item Exprimer en fonction de $a$ et de $b$ l'aire en $\text{cm}^2$ du domaine $\mathcal{D}_f$.
	\item On considère la fonction $F$ qui à tout réel $x$ de l'intervalle $[a;b]$, associe l'aire $\mathcal{A}_x$ du domaine  hachuré.
	\begin{enumerate}
	\item Donner une expression de $F$ en fonction de $x$.
	\item Calculer $F'(x)$ où $F'$ est la dérivée de la fonction $F$ sur $[a;b]$
	\item Calculer $F(b) - F(a)$. Que constate-t-on ?
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}
&
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(11,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\pspolygon[linewidth=.25pt,linecolor=grisb,fillstyle=solid,fillcolor=grisb](2.4,0)(2.4,2.16)(8.6,4.64)(8.6,0)
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-1)(11,6)
\psset{unit=1cm}
\pspolygon[linewidth=.25pt,linecolor=grisb,fillstyle=vlines,hatchcolor=prune,hatchwidth=0.25pt,hatchsep=5pt](1.2,0)(1.2,1.08)(2.4,1.56)(2.4,0)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-.5,-.5)(5.5,3)
\psaxes[linewidth=1pt,linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\rput(.5,-.25){\red{$\vec i$}} \uput[l](0,.5){\red{$\vec j$}}
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](1.2,0){\red{\footnotesize{$a$}}} \uput[d](4.3,0){\red{\footnotesize{$b$}}} 
\uput[d](2.4,0){\footnotesize{\prune{$x$}}}
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](1.2,0)(1.2,1.08)
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt](2.4,0)(2.4,1.56)(0,1.56)
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](4.3,0)(4.3,2.32) 
\psline[linewidth=1pt,linecolor=bleu](-.5,.4)(5.5,2.8)
\uput[ul](5,2.5){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{C}_f$}}}
\uput[ur](2.6,.6){\prune{\footnotesize{$\mathcal{D}_f$}}}
\end{pspicture}
 \end{tabularx} 

\bigskip

\exo

 \medskip 

La courbe $\mathcal{C}_f$ tracée ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$. 

La tangente $T$  à la courbe  $\mathcal{C}_f$ au point $A$ passe par le point de coordonnées $(4 ; 3)$.

On note $f'$ la dérivée de la fonction fonction $f$ et $F$ une primitive de la fonction fonction $f$.
	
	\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-5,-3.5)(7,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.85 .85 .9}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(x+1)^2*(5-x)/12}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{-1}{5}{\f} \gsave
\psline(4,0)(1,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=grisb,addfillstyle=vlines,hatchcolor=bleu,hatchwidth=0.5pt] \grestore }
\psset{unit=.5cm}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-10,-7)(14,8)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-5,-3.5)(7,4)
\uput[dl](7,0){$x$} \uput[dl](0,4){$y$}
\uput[dl](0,0){0}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-3.391}{5.885}{\f}
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=prune]{<->}(2,2.67)(4,2.67)
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=prune]{<->}(3.7,3.9)(6.1,-3.3)
\uput[ur](5,0){\bleu{$A$}}
\psdot[linecolor=bleu,dotscale=.8](5,0)
\uput[dr](-4,4){\small{\bleu{$C_{f}$}}}
\uput[dr](4,4){\small{\prune{$T$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

	\begin{enumerate}
	\item  Déterminer $f'(3)$ et $f'(5)$.
		\item Donner le tableau de variations de la fonction $F$.
		\item Donner un encadrement de l'intégrale $\displaystyle\int_{-1}^{5}  f(x)  \:\dd x$.
		\item Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f'$ et une autre celle de la fonction $F$. 
\begin{enumerate}
		\item Déterminer la courbe associée à la fonction $f'$ et celle qui est associée à  la fonction $F$. 

\begin{center}
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-6,-6)(12,4)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-6)(12,4)
\psset{unit=.8cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-3)(6,2)
\uput[dl](6,0){$x$} \uput[dl](0,2){$y$}
\uput[dl](0,0){0}
\def\g{.25*(3-x)*(x+1)}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1pt, linecolor=prune]{-3}{5}{\g}
\uput[ur](2.5,.5){\small{\prune{$C_1$}}}
\end{pspicture}\hfill
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-6,-4)(12,6)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-4)(12,6)
\psset{xunit=.8cm,yunit=.4cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=2]{->}(0,0)(-3,-4)(6,6)
\uput[dl](6,0){$x$} \uput[dl](0,6){$y$}
\uput[dl](0,0){0}
\def\g{(x-3)^2*(-1-x)/8}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1pt, linecolor=prune]{-2.55}{5.26}{\g}
\uput[ur](5,-3){\small{\prune{$C_2$}}}
\end{pspicture}

\medskip

\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-8,-7)(16,6)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-8,-7)(16,6)
\psset{xunit=.8cm,yunit=.4cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=2]{->}(0,0)(-4,-7)(8,6)
\uput[dl](8,0){$x$} \uput[dl](0,6){$y$}
\uput[dl](0,0){0}
\def\g{(4*x^3+18*x^2+20*x-x^4-233)/48}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1pt, linecolor=prune]{-3.11}{7.17}{\g}
\uput[ur](7,-5){\small{\prune{$C_3$}}}
\end{pspicture}
\end{center}
\item En déduire la valeur exacte de l'aire du domaine colorié. 
\end{enumerate}	
\end{enumerate}	

 \bigskip 
 
 \exo

 \medskip 

Calculer la valeur exacte de chacune des intégrales suivantes :

\begin{enumerate}
\item $A =\displaystyle \int_{-1}^{2} \left( x^2-3x+1 \right) \:\dd x$
\item $B =\displaystyle \int_{2}^{6} \left( \dfrac{x^2}{2}-\dfrac{2}{x^2}-1 \right) \:\dd x$
\item $C =\displaystyle\int_{-2}^{1}  2 \e^{2x+1}  \:\dd x$
\item $D =\displaystyle \int_{0}^{\ln 2}  2\e^x \times \left(\e^x+1\right) \:\dd x$
\item $E =\displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^{2}   \dfrac{\ln x}{x}  \:\dd x$ 
\item $F =\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}   \cos t  \:\dd t$ 
\item $G =\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}   \sin t  \:\dd t$ 
\item $H =\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}   \sin \left(2t +\pi \right) \:\dd t$ 
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'intégrale $\displaystyle\int_{-2}^{2} \e^x - \e^{-x} \:\dd x$. 
\item Peut-on en déduire que la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x) = \e^x - \e^{-x}$ est constante sur l'intervalle $[-2;2]$ ?
\end{enumerate}
	
 \bigskip 
  
 \exo

 \medskip 

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0;9]$ par $f(x)= 3x -\dfrac{x^2}{3}$ et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal. 

 \begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(20,8)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x*(9-x)/3}
\psset{xunit=1cm, yunit =.5cm}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{0}{6.75}{\f} \gsave
\psline(6.75,0)(0,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=grisb] \grestore }
\psset{unit=.5cm}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(20,8)
\psset{xunit=1cm, yunit =.5cm}
\pspolygon[linewidth=.75pt, linecolor=prune,fillstyle=vlines,hatchcolor=prune,hatchwidth=.25pt,hatchsep=6pt,fillcolor=grisb](0,0)(6.75,5.0625)(6.75,0)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=2]{->}(0,0)(10,8)
\uput[dl](10,0){$x$} \uput[dl](0,8){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=300,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{9}{\f}
\uput[ur](9,0){\small{\bleu{$C_{f}$}}}
\uput[d](6.75,0){\small{\prune{$a$}}}
\uput[u](6.75,5.1){\small{\bleu{$M$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

L'objet de cet exercice est de déterminer l'abscisse $a$ du point $M$ de la parabole $\mathcal{C}_f$ telle que l'aire du triangle hachuré soit égale à la moitié de l'aire du domaine délimité par la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=0$  et  $x = a$.

\begin{enumerate}
	\item Quelle est l'ordonnée du point $M$ de la parabole $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $a$ ? En déduire l'aire $T$ en fonction de $a$ du triangle hachuré.
	\item Exprimer l'aire $A$ en fonction de $a$ du domaine délimité par la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=0$  et  $x = a$.
	\item Déterminer $a$ pour que $A=2T$.
\end{enumerate}

 \bigskip 


\exo

 \medskip 


La courbe $\mathcal{C}_{f}$  tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthogonal est la courbe représentative d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$.

La droite $T$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse 0.
 
\medskip
 
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-4)(12,5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.85 .85 .9}
\def\f{4*x*EXP(-.4*x)}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{0}{5}{\f} \gsave
\psline(5,0)(0,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=grisb,addfillstyle=hlines,hatchcolor=bleu,hatchwidth=0.5pt] \grestore }
\psset{unit=.5cm}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-3,-8)(24,10)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1.5,-4)(12,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}} \uput[dl](12,0){$x$} \uput[dl](0,5){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=600,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-.743}{12}{\f}
\uput[ul](12,0.5){\bleu{$\mathcal{C}_{f}$}}
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=prune](-1,-4)(1.25,5)
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=bleu](5,0)(5,2.706)
\uput[dr](1.5,5){\prune{$T$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}} - Lecture graphique}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Par lecture graphique, déterminer $f'(0)$.
\item Soit $F$ une primitive de $f$. Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumii}{\textsf {\textsc{proposition \theenumii :}}}
\item Sur l'intervalle $[5 ; + \infty[$, la fonction $F$ est croissante. 
\item $F(-1) \leqslant F(0)$.
\item $12 \leqslant F(5) - F(0) \leqslant 18$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}} - Calcul d'aire}

\medskip

La fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ par $f(x) = 4x\e^{-0,4x}$.  


\begin{enumerate}
 \item On cherche une primitive $F$ de la fonction $f$ de la forme $F(x) = (ax+b)\e^{-0,4x}$ avec $a$ et $b$ deux nombres réels.
 \begin{enumerate}
 \item Montrer que $a$ et $b$ sont solutions du système d'équations suivant : $\left\{\begin{array}{r c l}
-0,4 a&=&4\\
a -0,4b&=&0\\
\end{array}\right.$ 	
 \item Calculer $a$ et $b$ et donner l'expression de $F(x)$.
	\end{enumerate}  
\item  On note $A$ l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine colorié sur le graphique.
  Déterminer la valeur exacte de $A$.	
 
\end{enumerate}

 \bigskip 

\exo

 \medskip 


La courbe $\mathcal{C}_f$ tracée ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$. 

La tangente $T$  à la courbe  $\mathcal{C}_f$ au point $C(6 ; 0)$ passe par le point de coordonnées $(5 ; 2)$
	
	\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,-3.5)(8,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{2*(6-x)*(x^2+3*x+9)/63}
\def\g{12-2*x}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{0}{6}{\f} \gsave
\psline(0,0)
\fill[fillstyle=hlines,hatchcolor=bleu,hatchwidth=.25pt] \grestore }
\psset{unit=.5cm}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-8,-7)(16,8)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-4,-3.5)(8,4)
\uput[dl](8,0){$x$} \uput[dl](0,4){$y$}
\uput[dl](0,0){0}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3.93552}{7.30749}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt, linecolor=prune]{4.5}{7.5}{\g}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-1.8,1.55556)(-0.2,1.55556)\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](2.2,2.57143)(3.8,2.57143)
\uput[d](-1,1.5){\bleu{$A$}}\uput[u](3,2.5){\bleu{$B$}}\uput[ur](6,0){\bleu{$C$}}
\psdots[linecolor=bleu,dotscale=.8](-1,1.55556)(3,2.57143)(6,0)
\uput[dr](-3.5,4){\small{\bleu{$C_{f}$}}}
\uput[ur](7.5,-3){\small{\prune{$T$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

On note $f'$ la dérivée de la fonction fonction $f$ et $F$ une primitive de la fonction fonction $f$.

À partir du graphique et des renseignements fournis, répondre aux questions suivantes :
	\begin{enumerate}
	\item Déterminer $f'(-1)$ et $f'(6)$.
		\item Donner le tableau de variations de la fonction $F$. 
		\item Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la dérivée $f'$ et une autre de la primitive $F$. 
		
		Déterminer la courbe associée à la fonction $f'$ et celle qui est associée à  la fonction $F$. 
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}>{\centering\arraybackslash}X>{\centering}m{5cm}>{\centering\arraybackslash}X}
\psset{xunit=.45cm,yunit=.36cm}
\begin{pspicture}(-2,-6)(10,10)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-6)(10,10)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-2,-6)(10,10)
\uput[dl](10,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,10){\footnotesize{$y$}}
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\def\f{5*x^2/8-23*x/4+8}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-.335585}{9.53559}{\f}
\end{pspicture}&
\psset{xunit=.45cm,yunit=.48cm}
\begin{pspicture}(-4,-8)(6,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-4,-8)(6,4)
\psset{xunit=.45cm,yunit=1.92cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2]{->}(0,0)(-4,-2)(6,1)
\uput[dl](6,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,1){\footnotesize{$y$}}
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\def\f{2*(3-x)*(x+1)/21}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-4}{6}{\f}
\end{pspicture}&
\psset{xunit=.45cm,yunit=.36cm}
\begin{pspicture}(-2,-6)(10,10)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-6)(10,10)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-2,-6)(10,10)
\uput[dl](10,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,10){\footnotesize{$y$}}
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\def\f{(4*x^3+18*x^2+216*x-x^4-504)/126}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{-1.24935}{9.0064}{\f}
\end{pspicture}\\
Courbe $C_1$ & Courbe $C_2$ & Courbe $C_3$\\ 
\end{tabularx}

\medskip

\item Donner une valeur approchée (en unité d'aire) de l'aire du domaine hachuré.
\end{enumerate}	


 \bigskip 

\exo \hfill (\emph{D'après sujet bac Antilles Guyane 2015})

 \medskip 


\begin{center}
\emph{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.}
\end{center}


Dans cet exercice, $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $]0 ; + \infty[$ par : \[f(x) = ax + b\ln (x) + 1\] où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.

$C_f$ est la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthonormé.

Les points $A$ et $E$ sont deux points de la courbe $C_f$.

Le point $A$ a pour coordonnées $(1 ; 2)$ et le point $E$ a pour abscisse 4.

La tangente à $C_f$ au point $E$ est horizontale.

\begin{center}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(26,22)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x-4*ln(x)+1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-2,-2)(26,22)
\psset{unit=1cm}
\pscustom[fillstyle=vlines,hatchwidth=.5pt,hatchcolor=prune,linewidth=.25pt,linecolor=bleu]{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=20]{1}{2}{\f}
\psline(2,0)(1,0)}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-1,-1)(13,11)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](13,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,11){\footnotesize{$y$}}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](1,0)(1,2)\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](2,0)(2,.227)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(2.2,-.5452)(5.8,-.5452)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0.0838}{13}{\f}
\psdots[linecolor=prune,dotscale=.8](1,0)(1,2)(2,.227)(2,0)(4,-.5452)
\uput[ur](1,2){\footnotesize{\bleu $A$}} \uput[ul](1,0){\footnotesize{\bleu $B$}} \uput[dr](2,0){\footnotesize{\bleu $C$}} 
\uput[ur](2,0.22){\footnotesize{\bleu $D$}} \uput[d](4,-.55){\footnotesize{\bleu $E$}} \uput[ul](12.6,3.4){\bleu $C_f$} 
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Déterminer $f(1)$ et $f'(4)$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.
\item Calculer $f'(x)$ puis exprimer $f'(4)$ en fonction de $a$ et $b$.
\item Déterminer les valeurs de $a$ et $b$.
 \end{enumerate}
 
\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip
 
Soit la fonction $f$ définie sur $]0 ; + \infty[$ par : \[f(x) = x - 4\ln (x) + 1\]
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to 0}  f(x)$ en justifiant la réponse. Donner une interprétation graphique du résultat.
\item  Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}  f(x)$ en justifiant la réponse (on pourra factoriser l'expression de $f(x)$ par $x$).
\item  Calculer la dérivée $f'$ de $f$. En déduire le tableau des variations de $f$.
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie c}}}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}X>{\raggedleft}m{4cm}@{}}
Une entreprise fabrique des pièces de carrosserie de voiture.


La forme d'une pièce est donnée sur la figure ci-contre et correspond à la zone hachurée sur le graphique précédent.

On souhaite déterminer la mesure de l'aire de la pièce en unité d'aire.

Le point $D$ est le point de la courbe $C_f$ d'abscisse 2.

Les points $B$ et $C$ ont pour coordonnées respectives $(1 ; 0)$ et $(2 ; 0)$.
&
\psset{unit=.6cm}
\begin{pspicture}(1,-1)(5,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x-4*ln(x)+1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](1,-1)(5,5)
\psset{unit=1.2cm}
\pscustom[fillstyle=vlines,hatchwidth=.5pt,hatchcolor=prune,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=20]{1}{2}{\f}
\psline(2,0)(1,0)(1,2)}
\uput[ul](1,2){\footnotesize{\bleu $A$}} \uput[dl](1,0){\footnotesize{\bleu $B$}} \uput[dr](2,0){\footnotesize{\bleu $C$}} 
\uput[ur](2,0.22){\footnotesize{\bleu $D$}}
\end{pspicture}
\end{tabularx}


Soit la fonction $G$ définie sur $]0 ; + \infty[$ par : \[G(x) = x\ln (x) - x.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer la dérivée $G'$ de $G$.
\item En déduire une primitive $F$ de la fonction $f$ donnée dans la partie B sur $]0 ; + \infty[$.
\item Déterminer la valeur exacte de l'aire de la pièce en unité d'aire ; puis en donner une valeur arrondie à $10^{-2}$.
\end{enumerate} 


 \bigskip 

\exo \hfill (\emph{D'après sujet bac Nouvelle Calédonie 2015})

 \medskip 


Une entreprise fabriquant des planches de surf conçoit un nouveau modèle d'aileron. Cet aileron est composé de deux parties :
\begin{itemize}
\item la partie supérieure ou \og boîtier \fg{} permettant de fixer l'aileron à la planche,
\item la partie inférieure destinée à être immergée dans l'eau.
\end{itemize}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(.4,0)(3,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{4/x+4*ln(x)-4}
\pscustom[fillstyle=vlines,hatchwidth=.5pt,hatchcolor=prune,linewidth=.25pt,linecolor=prune]{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=20]{.45}{3}{\f}\gsave
\psline(3,1.72778)(.45,1.69486)\grestore}
\pspolygon[linewidth=0.75pt,linecolor=bleu](1.3,1.7)(1.3,2.5)(1,2.5)(1,2.7)(1.8,2.7)(1.8,2.5)(1.5,2.5)(1.5,1.7)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=300,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{0.45}{3}{\f}
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=bleu](3,1.72778)(.45,1.69486)
\end{pspicture}
\end{center}

Pour estimer la quantité de matière nécessaire à la fabrication de la partie inférieure de l'aileron, l'entreprise souhaite connaître le mieux possible l'aire A du domaine hachuré.

Pour modéliser le profil latéral de la partie inférieure on se place dans un repère
orthonormé avec une échelle de 1 carreau pour 10 cm et on se propose d'utiliser, pour
des abscisses comprises entre 0,45 et 3, la courbe $C_f$ représentative de la
fonction $f$ définie sur $]0 ; +\infty[ $ par : $f(x) = \dfrac{a}{x} + b + 4\ln(x)$ où $a$ et $b$ sont des 
constantes réelles qui restent à déterminer.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(4.5,3.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{4/x+4*ln(x)-3}

\multido{\n=0+1}{5}{\psline[linestyle=dotted](\n,0)(\n,3.5)}
\multido{\n=0+1}{4}{\psline[linestyle=dotted](0,\n)(4.5,\n)}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(4.5,3.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[d](.45,0){\footnotesize{0,45}}\uput[dl](4.5,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,3.5){\footnotesize{$y$}}
\pscustom[fillstyle=vlines,hatchwidth=.5pt,hatchcolor=prune,linewidth=.25pt,linecolor=prune]{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=20]{.45}{3}{\f}\gsave
\psline(3,2.72778)(.45,2.69486)\grestore}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{0.45}{3}{\f}
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=bleu](3,2.72778)(.45,2.69486)
\psline[linewidth=.75pt,linecolor=prune,linestyle=dashed](.45,0)(.45,2.69486)
\psline[linewidth=.75pt,linecolor=prune,linestyle=dashed](3,0)(3,2.72778)
\uput[r](2.2,1.8){\bleu $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Évaluer l'aire A en nombre entier de carreaux en expliquant votre démarche.
\item Déterminer graphiquement les valeurs de $f(1)$ et de $f'(1)$.
\item Vérifier que le choix de $a = 4$ et $b = - 3$ répond au problème posé.
\item Soit la fonction $F$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par $F(x) = (4x + 4) \ln(x) - 7x$.

Montrer que $F$ est une primitive de $f$.
\item Déterminer en $\mathrm{cm}^2$ près une valeur approchée de l'aire A.
\end{enumerate}


 \bigskip 

\exo \hfill (\emph{D'après sujet bac Antilles Guyane 2016})

 \medskip 


Sur le graphique ci-dessous, $\mathcal{C}$ est la courbe représentative, dans le repère orthonormé $\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j} \right)$, d'une fonction $f$ définie sur $\R$.

 \begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(30,12)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{(x-1)*EXP(2.5-x)}
\def\g{-.5*x+2.75}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-3)(30,12)
\psset{unit=2cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.75,-.75)(7.5,3)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}\uput[dl](7.5,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,3){\footnotesize{$y$}}
\psaxes[labels=none,linewidth=1.5pt,linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](.5,0){\red{$\vec i$}} \uput[l](0,.5){\red{$\vec j$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{.85521}{7.5}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt, linecolor=prune]{-.5}{7}{\g}
\psdot[linecolor=bleu](2.5,1.5)
\uput[u](1.2,1){\bleu{$\mathcal{C}$}}\uput[ur](2.5,1.5){\bleu{$A$}}\uput[ur](1,2.25){\prune{$T$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textsf{\textbf{\textsc{partie a - }} Étude graphique}

\medskip 

La droite $T$ est tangente à $\mathcal{C}$ au point $A(2,5 ; 1,5)$ et d'ordonnée à l'origine 2,75.


L'axe des abscisses est asymptote horizontale à $\mathcal{C}$ au voisinage de $+ \infty$.

Déterminer graphiquement et indiquer sur votre copie :

\begin{enumerate}
\item $f(1)$ ;
\item $f'(2,5)$ ;
\item Une équation de la tangente $T$ ;
\item $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)$.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf{\textbf{\textsc{partie b - }} Modélisation}

\medskip 

On admet qu'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que pour tout réel $x$, $f(x) = (ax + b)\e^{-x+2,5}$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$.
\item Exprimer en fonction des réels $a$ et $b$ les nombres suivants $f(1)$ ; $f'(2,5)$.
\item Déduire des questions précédentes un système d'équations vérifiées par $a$ et $b$.
\item Résoudre ce système et en déduire l'expression de $f(x)$ en fonction de $x$.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf{\textbf{\textsc{partie c - }} Étude algébrique}

\medskip 

On admet que pour tout réel $x$,  $f(x) =(x-1)\e^{-x+2,5}$.

\begin{enumerate}
\item  Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$.
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $x$,  $f(x) = \e^{2,5}\left(\dfrac{x}{\e^x} - \dfrac{1}{\e^x} \right)$.
\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$
\end{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$.
\item Étudier le signe de $f'$ et en déduire le tableau des variations de la fonction $f$ en faisant figurer les limites trouvées précédemment.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf{\textbf{\textsc{partie d - }} Application}

\medskip 

\parbox{0.75\linewidth}{On souhaite déterminer l'aire $S$ en unité d'aire de la surface d'une des faces principales du boîtier plastique de l'appareil auditif schématisé ci-contre.

Une modélisation mathématique a permis de représenter cette surface.}
\hfill \parbox{0.2\linewidth}{
\begin{flushright}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(.3,.3)(2,2.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\def\f{(x-1)*EXP(2.5-x)}
\def\g{-2*x^2 + 12*x - 16}
\psset{linewidth=1.25pt, linecolor=bleu}
\ThreeDput[normal=1 0 0](-.2,-.2,0){
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{1.02}{2.74}{\f}
\pnode(1.02,.087859){A}
}
\ThreeDput[normal=1 0 0](0,0,0){
\pscustom[linewidth=1.25pt, linecolor=bleu,fillstyle=solid,fillcolor=grisb]{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100]{1}{2.5}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100]{2.5}{2}{\g}
\psline(2,0)(1,0)}
\pnode(1,0){B}}
\ncline{A}{B}
\end{pspicture}
\end{flushright}
}

Dans le plan muni du repère orthonormé $\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j} \right)$ cette surface correspond à la partie du plan limitée par :
\begin{itemize}
\item l'axe des abscisses ;
\item les droites d'équations $x = 1$ et $x = 2,5$ ;
\item la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ étudiée précédemment ;
\item la courbe représentative $\mathcal{C}_g$ de la fonction $g$ définie par : \[\text{pour tout réel }x ,\; g(x) = -2x^2 + 12x - 16.\]
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Sur l'annexe fournie, hachurer la surface décrite précédemment.
\end{enumerate}
Pour déterminer l'aire $S$ de cette surface, on décompose le calcul en deux parties.
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item Calculer la valeur exacte de l'intégrale suivante :  $I=\displaystyle\int_2 ^{2,5} g(x) \dd x$.
\item on souhaite calculer la valeur exacte de l'intégrale suivante : $J=\displaystyle\int_1 ^{2,5} f(x) \dd x$ où $f$ est la fonction dont une expression est donnée dans la partie C.
\begin{enumerate}
\item Vérifier qu'une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $\R$ est la fonction définie par : \[\text{pour tout réel }x ,\;  F(x) = -x\e^{-x+2,5}.\]
\item En déduire la valeur exacte de l'intégrale $J$.
\end{enumerate}
\item Déterminer la valeur exacte de l'aire $S$ en unité d'aire.
\item En déduire la valeur arrondie à $10^{-2}$ de l'aire $S$ en unité d'aire.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(30,16)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{(x-1)*EXP(2.5-x)}
\def\g{-2*x^2 + 12*x - 16}
\rput(13.5,15){\textsf{\textbf{\textsc{annexe}}}}
\rput(13.5,14){\textsf{\emph{À rendre avec la copie}}}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-3)(30,12)
\psset{unit=2cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.75,-.75)(7.5,3)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}\uput[dl](7.5,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,3){\footnotesize{$y$}}
\psaxes[labels=none,linewidth=1.5pt,linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](.5,0){\red{$\vec i$}} \uput[l](0,.5){\red{$\vec j$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{.85521}{7.5}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{1.8274}{4.1726}{\g}
\psdot[linecolor=bleu](2.5,1.5)
\uput[u](1.2,1){\bleu{$\mathcal{C}$}}\uput[ul](2.5,1.5){\bleu{$A$}}\uput[ur](3.5,1.5){\prune{$\mathcal{C}_g$}}
\end{pspicture}
\end{center}

 \bigskip 

\exo \hfill (\emph{D'après sujet bac France Métropolitaine, La Réunion septembre 2015})

 \medskip 


\emph{\og Avec une centaine de décès en moyenne par an, le monoxyde de carbone (CO) est la première cause de mortalité accidentelle par intoxication en France. [\ldots] Pourtant certains symptômes annonciateurs d'une intoxication au monoxyde de carbone existent. Maux de tête, nausées et vomissements sont notamment les premiers signes qui doivent alerter. Bien identifiés, ils permettent de réagir rapidement et d'éviter le pire.\fg}

\begin{flushright}
Source Ministère des Affaires Sociales et de la Santé. (octobre 2012)
\end{flushright}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{document 1}}}

\medskip

\fbox{\begin{minipage}{\linewidth}
La société COalerte fabrique un modèle de détecteurs qui enregistre en temps réel la concentration de monoxyde de carbone en parties par million (ppm).

Un tel détecteur produit un signal d'alarme respectant les modalités fixées par la norme européenne EN 50 291 ci-dessous.

Il déclenche un signal d'alarme :

\begin{itemize}
\item si la concentration est supérieure à 30 ppm pendant au moins 120 minutes ;
\item si la concentration est supérieure à 50 ppm pendant au moins 60 minutes ;
\item si la concentration est supérieure à 100 ppm pendant au moins 10 minutes ;
\item si la concentration est supérieure à 300 ppm pendant au moins 3 minutes.
\end{itemize}
\end{minipage}
}

\bigskip
\fbox{\begin{minipage}{\linewidth}
 
\textsf {\textbf{\textsc{document 2}}}

\medskip

\begin{center}

\textbf{Symptômes et effets sur la santé du monoxyde de carbone}

\begin{pspicture}(0,-1)(11.5,10)
\newrgbcolor{violetF}{0.29 0 .51}
\newrgbcolor{violetC}{0.67 0.58 1}
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=gradient,gradbegin=lightgray,gradend=darkgray,gradmidpoint=0](2.6,-.5)(2.9,-.3)(2.9,8)(2.9,8)(3,8)(3.3,8.2)(2.3,9.7)(2,9.5)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=gradient,gradbegin=violetC,gradend=violetF,gradmidpoint=0,gradlines=1000](1.4,-.5)(2.6,-.5)(2.6,8)(3,8)(2,9.5)(1,8)(1.4,8)(1.4,-.5)
\rput{90}(0.3,4.5){\textsf {\textbf{Niveaux croissants de CO}}}
\rput{90}(.8,4.5){\textsf {\textbf{dans l'air ambiant (en ppm)}}}
\psset{yunit=1.25cm}
\multido{\n=0+1}{8}{\psline[linewidth=.5pt](2.9,\n)(3.7,\n)}
\multido{\n=0+1}{3}{\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=white](1.4,\n)(1.7,\n)\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=white](2.3,\n)(2.6,\n)}
\multido{\n=3+1}{3}{\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=white](1.4,\n)(1.65,\n)\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=white](2.35,\n)(2.6,\n)}
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=white](1.4,6)(1.6,6)\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=white](2.4,6)(2.6,6)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=white](1.5,7)(1.6,7)\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=white](2.4,7)(2.5,7)
\rput(2,0){\textbf{\white{10}}}\rput(2,1){\textbf{\white{20}}}\rput(2,2){\textbf{\white{40}}}\rput(2,3){\textbf{\white{100}}}\rput(2,4){\textbf{\white{200}}}\rput(2,5){\textbf{\white{400}}}\rput(2,6){\textbf{\white{1000}}}\rput(2,7){\textbf{\white{2000}}}
\uput[r](3.8,0){Pas de symptôme}
\uput[r](3.8,1.3){\violetF{Troubles du rythme cardiaque ressentis}}
\uput[r](3.8,1){\violetF{chez les personnes les plus sensibles,}}
\uput[r](3.8,.7){\violetF{souffrant de coronaropathie}}
\uput[r](3.8,2){Céphalées et nausées chez les enfants}
\uput[r](3.8,3.15){\violetF{Céphalées occasionnelles,}}
\uput[r](3.8,2.85){\violetF{souffle court lors d'un exercice}}
\uput[r](3.8,4.15){Céphalées, vertiges, baisse de l'acuité visuelle,}
\uput[r](3.8,3.85){irritabilité chez l'adulte et syncope chez l'enfant}
\uput[r](3.8,5.15){\violetF{Céphalées, confusion, évanouissements}}
\uput[r](3.8,4.85){\violetF{chez l'adulte}}
\uput[r](3.8,6){Coma, convulsions}
\uput[r](3.8,7){\violetF{Décès rapide}}
\end{pspicture}

Source : Commission européenne 2014.
\end{center}
\end{minipage}
}

\medskip

Un laboratoire d'essais procède à des tests sur un détecteur produit par la société COalerte en simulant un accident qui provoque une concentration anormale de monoxyde de carbone dans une pièce.

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Le laboratoire relève la concentration de monoxyde de carbone en fonction du temps, exprimé
en heures. Les enregistrements effectués sur une période de 8 heures se traduisent
par la représentation graphique ci-dessous.

\begin{center}
\psset{xunit=0.035cm,yunit=0.105cm}
\begin{pspicture}(-15,-5)(435,85)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{2.2+10*x/3*EXP(-x/60)}
\multido{\n=30+30}{14}{\psline[linestyle=dotted,dotsep=2pt](\n,-5)(\n,85)}
\multido{\n=10+10}{8}{\psline[linestyle=dotted,dotsep=2pt](-15,\n)(435,\n)}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=30,Dy=10]{->}(0,0)(-15,-5)(435,85)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{0}{435}{\f}
\uput[dl](435,-5){\footnotesize{\sf Temps en minutes}}
\uput[dr](0,85){\footnotesize{\sf Concentration de monoxyde de carbone en ppm}}
\psline[linestyle=dashed](9.824,0)(9.824,30)\psline[linestyle=dashed](20.02,0)(20.02,50)
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Estimer au bout de combien de temps devrait retentir un signal d'alarme.
\item Une personne présente dans la pièce depuis le début d'un tel accident risquerait-elle
de présenter des symptômes ? Si oui, lesquels ?
\end{enumerate}

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Dans cette partie, tous les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près.

La concentration de monoxyde de carbone exprimée en ppm dans la pièce en fonction du
temps, exprimé en heures, est modélisée par la fonction $f$ définie sur $[0 ; 8]$ par

\[f(t) = 2,2 + 200t\e^{-t}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la concentration de monoxyde de carbone en ppm dans la pièce :
	\begin{enumerate}
		\item au moment de l'accident ;
		\item 30 minutes après.
	\end{enumerate}
\item À l'aide du graphique de la partie A, conjecturer les variations de la concentration de
monoxyde de carbone dans la pièce en fonction du temps.
\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ; 8]$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0 ; 8]$, $f'(t) = 200(1 - t)\e^{-t}$.
		\item Étudier le signe de $f'(t)$ sur l'intervalle $[0 ; 8]$.
		\item Valider ou invalider la conjecture émise à la question 2.
	\end{enumerate}
\item On note $F$ la fonction définie sur l'intervalle $[0 ; 8]$ par $F(t) = 2,2 t - 200(t + 1)\e^{-t}$. On admet que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ; 8]$.
	\begin{enumerate}
		\item On rappelle que la valeur moyenne d'une fonction continue sur un intervalle
$[a~;b]$ est le nombre réel défini par : $\dfrac{1}{b-a} \displaystyle\int_a^b  f(t)\dd t$.
		
Calculer la valeur moyenne de la concentration de monoxyde de carbone lors
des 8 heures qui ont suivi l'accident.
		\item Pour des raisons de sécurité, le ministère du travail fixe un seuil pour la concentration moyenne de monoxyde de carbone. Ce seuil est de $50$~ppm pour une période
de 8 heures.
		
La sécurité des personnes présentes dans la pièce aurait-elle été remise en cause
lors de l'accident simulé ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

 \bigskip 

\exo \hfill (\emph{D'après sujet bac Polynésie 2016})

 \medskip 


\textsf{\textbf{{\textsc{partie a :}}}  Lecture graphique}

\medskip

On considère la courbe $C$ associée à une fonction $f$ représentée en annexe 2 avec la droite $T$, tangente à la courbe $C$ au point d'abscisse 0.

\begin{enumerate}
\item Résoudre graphiquement sur l'intervalle $[- 1 ; 1,5]$ et avec la précision permise par le dessin les deux inéquations suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item $f(x) \geqslant 1$.
		\item $f'(x) \geqslant 0$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'équation de la tangente $T$ à la courbe $C$ au point de coordonnées $(0 ; 1)$ en sachant que cette tangente passe par le point de coordonnées $(2 ; 7)$.
		\item En déduire le nombre dérivé $f'(0)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textsf{\textbf{{\textsc{partie b :}}} Étude de la fonction  $f$}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par la relation $f(x) =  \e^{-2x} + 5x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer, en la justifiant, la limite de $f$ en $+ \infty$.

On admet pour la suite que la limite de $f$ en $- \infty$ est $+ \infty$.
\item Calculer $f'(x)$ et étudier son signe sur $\R$.
\item En déduire le tableau des variations de la fonction $f$ sur $\R$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer à partir du tableau des variations le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 2$.
		\item Donner une valeur arrondie à $10^{-2}$ près de chaque solution.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textsf{\textbf{{\textsc{partie c :}}} Calcul d'aire}

\medskip

On admet :

\begin{itemize}
\item que la courbe $C$ de la partie A est la représentation de la fonction $f$ définie dans la partie B ;
\item que la courbe $C$ se situe \og au-dessus \fg{} de la droite tangente $T$ sur $\R$.
\end{itemize}

L'objectif de cette partie est de déterminer par un calcul l'aire $\mathcal{A}$ comprise entre la courbe $C$, la droite $T$ et les droites verticales d'équations $x = 0$ et $x = 1,5$.

\begin{enumerate}
\item Hachurer sur le dessin, en annexe 2, l'aire $\mathcal{A}$ que l'on veut déterminer.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une primitive de la fonction $g$ définie sur $\R$ par :\[\text{pour tout réel }\:x,\: g(x) = \e^{-2x} + 2x - 1.\]
		
		\item Justifier que l'aire $\mathcal{A}$ recherchée vaut, en unité d'aire : $\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^{1,5} g(x)\dd x$.
		
		\item En déduire la valeur exacte puis l'arrondi à $10^{- 2}$ de $\mathcal{A}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

 \begin{center}
\psset{unit=.75cm}
\begin{pspicture}(-8,-1)(11,19)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{EXP(-2*x)+5*x}
\def\g{3*x+1}
\rput(1.5,18.6){\textsf{\textbf{{\textsc{annexe 2}}}}}
\rput(1.5,18){\textsf{à rendre avec la copie}}
\psgrid[griddots=10,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-8,-1)(11,17)
\psset{unit=3cm,yunit=1.5cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=.5,comma=true]{->}(0,0)(-2,-.5)(2.75,8.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}\uput[dl](2.75,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,8.5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-1.364}{1.693}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt, linecolor=prune]{-.5}{2.5}{\g}
\uput[dl](-1.25,6){\bleu{$C$}}\uput[dl](2,6.5){\prune{$T$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{document}