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%
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\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
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$\bullet$ \quad #2 \hfill 
$\bullet$ \quad #3 }

\newcommand{\QCMc}[4]{   #1 \\ 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #2 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #3 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #4 }} % QCM avec cases à cocher%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\{20 avril 2017}}}}
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{lois de probabilité à densité}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{T\textsuperscript{le} STI2D}}}%droit
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\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
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\makeatletter
\renewcommand\section{\@startsection {section}{1}{\z@}%
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%%%% debut macro %%%%
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%%%% fin macro %%%%

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%%%% fin macro %%%%

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\newcommand{\cadreR}[1]{%
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#1\end{minipage}}}

\newcommand{\dem}{
 \medskip
  \par{\textsf{\textsc{{\small{\ding{106}\: démonstration}}}}}%
   \medskip}
  

   \newcommand{\preuve}{
 \medskip
  \par{\textsf{\textsc{{\small{\ding{106}\: preuve}}}}}%
   \medskip} 
    

\newcommand{\encadrer}[1]{
{\setlength{\fboxsep}{2mm}
\fbox{#1}}}

\hypersetup{
pdftitle={Variables aléatoires continues}, 
pdfauthor={Arié Yallouz},   
pdfsubject={lois de probabilité à densité}, 
pdfkeywords={Densité de probabilité, loi uniforme, loi exponentielle, loi normale, cours, exercices.},
pdfcontacturl={http//yallouz.arie.free.fr/},
pdflang={fr},
baseurl={http://yallouz.arie.free.fr/tsti2d_cours/index_tsti2d_cours.php}
}

\begin{document}

\section{introduction}

Dans différents domaines on est amené à étudier des variables aléatoires pouvant prendre théoriquement toute valeur réelle d'un intervalle $I$ de $\R$. Ces variables aléatoires sont dites continues.

C'est le cas, par exemple, de la durée du temps d'attente aux consultations d'un hôpital fictif.

\begin{center}
{\footnotesize{\begin{tabularx}{.9\linewidth}{|m{2.5cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}	\hline
Temps d'attente 

(en minutes) & $[0;10[$ & $[10;20[$ & $[20;30[$ & $[30;40[$ & $[40;50[$ & $[50;60[$ & $[60;70[$ & $[70;80[$ & $[80;90]$\\ \hline
Fréquences  &  0,064 & 0,152 & 0,192 & 0,192 & 0,166 & 0,123 & 0,074 & 0,032 & 0,005\\ \hline
\end{tabularx}}}
\end{center}

La série statistique à caractère quantitatif continu est représentée par un histogramme constitué d'une juxtaposition de rectangles dont les aires sont proportionnelles aux fréquences.  

\begin{center}
\psset{unit=.35cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(20,9)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\rput(9,-2){\footnotesize{Histogramme}}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-1)(20,9)
\psframe[linewidth=.5pt,linecolor=bleu,fillstyle=solid,fillcolor=bleuclair](17,6)(19,8)
\rput(18,7){\footnotesize{\bleu{$0,05$}}}
\psset{xunit=4.2cm,yunit=14cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=.5,Dy=.05,comma]{->}(0,0)(1.6667,.225)
\psset{xunit=1.4cm,yunit=14cm}
\savedata{\donnees}[{{.25,.064},{.75,.152},{1.25,.192},{1.75,.192},{2.25,.166},{2.75,.123},{3.25,.074},{3.75,.032},{4.25,.005}}]
\listplot[plotstyle=bar,barwidth=2,linewidth=.5pt, linecolor=bleu,fillstyle=solid,fillcolor=bleuclair]{\donnees}

\end{pspicture} \hfill
\psset{unit=.35cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(20,9)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\rput(9,-2){\footnotesize{Polygone des fréquences cumulées}}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-1)(20,9)
\psset{xunit=4.2cm,yunit=2.8cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=.5,Dy=.25,comma]{->}(0,0)(1.6667,1.125)
\savedata{\donnees}[{{0,0},{.1667,.064},{.3333,.216},{.5,.408},{.6667,.6},{.8333,.766},{1,.889},{1.1667,.963},{1.333,.995},{1.5,1}}]
\listplot[linecolor=prune,linewidth=1pt]{\donnees} 
\listplot[plotstyle=dots,linecolor=bleu,dotscale=.75]{\donnees} 
\end{pspicture}
\end{center}


On modélise la situation à l'aide d'une variable aléatoire $X$ mesurant la durée en heure du temps d'attente aux consultations de cet hôpital avec  $X \in [0 ; 1,5]$.

Pour une telle variable aléatoire, les évènements étudiés sont ceux qui correspondent à des intervalles du type $X \in [0; 0,3]$, $0,5\leqslant X \leqslant 1$ ou $X > 0,5 $.

Le calcul de la probabilité $P\left( X=0,345\right)$  que le temps d'attente soit exactement de 20 minutes et 42 secondes n'a pas de sens.

Dans le cas d'une variable aléatoire continue le polygone des fréquences cumulées croissantes est remplacé par la courbe représentative de la fonction de répartition $F$ permettant de calculer des probabilités.

On suppose que la fonction $F$ est définie sur l'intervalle $[0 ; 1,5]$ par $F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\dd t$ où $f$ est la fonction définie sur $[0 ; 1,5]$ par $f(t)=\dfrac{64 t^3}{27}-\dfrac{64 t^2}{9}+\dfrac{16 t}{3}$. On dit que  $f$ est la fonction de densité de probabilité de la variable aléatoire $X$.

\begin{center}
\psset{unit=.35cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(20,11)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\def\f{(64*x^3-192*x^2+144*x)/27}
\rput(9,-2){\footnotesize{Fonction de densité}}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-1)(20,11)
\psset{xunit=4.2cm,yunit=2.8cm}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{0}{.6}{\f} \gsave
\psline[linewidth=0.5pt, linecolor=prune](.6,0)(0,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=bleuclair] \grestore }
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=.5,Dy=.25,comma]{->}(0,0)(1.6667,1.375)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=300,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{1.5}{\f}
\uput[dl](1.6667,0){\footnotesize{$t$}}
\psset{linecolor=prune}
\rput(.35,.5){\rnode{A}{\prune{\scriptsize{$F(x)$}}}}
\rput(1.2,1.05){\rnode{B}{\prune{\scriptsize{$P\left( X \leqslant x \right)=F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\dd t$}}}}
\ncline{<-}{A}{B}
\psline[linewidth=0.75pt, linecolor=prune](.6,0)(.6,1.152)
\uput[d](.6,0){\footnotesize{\prune{$x$}}}
\end{pspicture} \hfill
\psset{unit=.35cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(20,11)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\def\f{8*x^2*(2*x^2-8*x+9)/27}
\rput(9,-2){\footnotesize{Fonction de répartition}}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-1)(20,11)
\psset{xunit=4.2cm,yunit=3.5cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=.5,Dy=.2,comma]{->}(0,0)(1.6667,1.1)
\uput[dl](1.6667,0){\footnotesize{$t$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=300,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{0}{1.5}{\f}
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune,linestyle=dashed](.6,0)(.6,.5248)(0,.5248)
\uput[d](.6,0){\footnotesize{\prune{$x$}}}
\uput[l](0,.5248){\footnotesize{\prune{$F(x)$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

Ainsi, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0 ; 1,5]$, $F(x)$ est l'aire du domaine compris entre la courbe représentative de la fonction de densité $f$, les axes du repère et la droite d'équation $t=x$.

On en déduit que :

\begin{itemize}
\item $P\left( X \leqslant 0,3 \right)= F(0,3)=\displaystyle\int_{0}^{0,3}f(t)\dd t=0,1808$.
\item $P\left( 0,5\leqslant X \leqslant 1 \right)= F(1)-F(0,5)=\displaystyle\int_{0,5}^{1}f(t)\dd t=\dfrac{13}{27}$.
\item $P\left(  X > 0,5 \right)=1- P\left( X \leqslant 0,5 \right)=1- F(0,5)=1-\displaystyle\int_{0}^{0,5}f(t)\dd t=\dfrac{16}{27}$.
\end{itemize}

\section{densité de probabilité et loi de probabilité}

\subsection{variable aléatoire continue} 

Une variable aléatoire pouvant prendre toute valeur d'un intervalle $I$ de $\R$ est dite continue.

\subsection{fonction de densité} 

\cadreR{%
Soit $I$ un intervalle de $\R$. On appelle fonction de densité de probabilité sur $I$ toute fonction $f$ définie, continue et positive sur $I$ telle que l'intégrale de $f$ sur $I$ soit égale à 1.
}

\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}

\medskip	

Vérifions que la fonction $f$ définie pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0 ; 1,5]$ par $f(t)=\dfrac{64 t^3}{27}-\dfrac{64 t^2}{9}+\dfrac{16 t}{3}$ est une fonction de densité de probabilité sur $[0 ; 1,5]$.

\begin{itemize}
\item La fonction $f$ est dérivable sur $[0 ; 1,5]$ donc continue.
\item Pour tout réel $t$, $\dfrac{64 t^3}{27}-\dfrac{64 t^2}{9}+\dfrac{16 t}{3}=\dfrac{16t \left(4 t^2-12 t+9\right)}{27}=\dfrac{16t \left(2 t-3\right)^2}{27}$.

Par conséquent, la fonction $f$ est positive sur l'intervalle $[0 ; 1,5]$.
\item Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur sur $[0 ; 1,5]$ par $F(t)=\dfrac{16 t^4}{27}-\dfrac{64 t^3}{27}+\dfrac{8 t^2}{3}$ d'où \[ \displaystyle\int_{0}^{1,5}f(t)\dd t = F(1,5)-F(0)=1\]
\end{itemize}

Ainsi,  $f$ est une fonction de densité de probabilité sur $[0 ; 1,5]$

\subsection{loi de probabilité} 

\cadreR{%
Soit $f$ une fonction de densité de probabilité sur un intervalle $I$.

On dit que la variable aléatoire $X$ suit la loi de probabilité de densité $f$ sur l'intervalle $I$ lorsque, pour tout intervalle $[a;b]$ inclus dans $I$, la probabilité de l'événement $X \in [a;b]$ est :\[P\left(X \in [a;b]\right)=P\left(a \leqslant X \leqslant b\right)= \displaystyle\int_{a}^{b}f(t)\dd t\]
}	

\medskip

\textsf {\textsc{\small{remarque}}}

\medskip
$P\left(a \leqslant X \leqslant b\right)$ est la mesure, en unités d'aire, de l'aire du domaine compris entre la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative de la fonction $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$.

On a représenté ci-dessous la courbe représentative de la fonction de densité étudiée dans l'exemple précédent.

\begin{center}
\psset{unit=.35cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(20,11)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\def\f{(64*x^3-192*x^2+144*x)/27}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-1)(20,11)
\psset{xunit=4.2cm,yunit=2.8cm}
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\psplot[algebraic=true,plotpoints=50,linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{0.3}{.8}{\f} \gsave
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\psplot[algebraic=true,plotpoints=300,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{1.5}{\f}
\psset{linewidth=0.75pt, linecolor=prune}
\psline(.3,0)(.3,1.02)\psline(.8,0)(.8,.929)
\rput(.55,.5){\prune{\scriptsize{$P\left(a \leqslant X \leqslant b\right)$}}}
\uput[d](.3,0){\footnotesize{\prune{$a$}}}\uput[d](.8,0){\footnotesize{\prune{$b$}}}
\end{pspicture}
\end{center}
On observe sur cet exemple, que la fonction $f$ prend des valeurs supérieures à 1 sur l'intervalle $[0 ; 1,5]$ : c'est possible car $f(x)$ n'est pas une probabilité, c'est une densité de probabilité.

\subsubsection{propriétés} 

Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi de probabilité de densité $f$ sur un intervalle $I$.

Pour tous réels $a$ et $b$ appartenant à $I$

\begin{enumerate}
\item $P\left( X = a\right)=\displaystyle\int_{a}^{a}f(t)\dd t=0$
\item $P\left(a \leqslant X \leqslant b\right)=P\left(a < X \leqslant b\right)=P\left(a \leqslant X < b\right)=P\left(a < X < b\right)$
\item $P\left( X \geqslant a\right)=P\left( X > a\right)=1-P\left( X \leqslant a\right)$
\end{enumerate}

\subsection{espérance mathématique} 

\cadreR{%
Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi de probabilité de densité $f$ sur l'intervalle $[a ; b]$, alors l'espérance mathématique de $X$ est le réel \[E(X)= \displaystyle\int_{a}^{b} t \times f(t)\dd t\]
}	

\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}

\medskip	

Calculons l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ mesurant la durée en heure du temps d'attente aux consultations dont la fonction de densité $f$ est définie sur $[0 ; 1,5]$ par $f(t)=\dfrac{64 t^3}{27}-\dfrac{64 t^2}{9}+\dfrac{16 t}{3}$. \[\begin{split} E(X) &= \displaystyle\int_{0}^{1,5} \dfrac{64 t^4}{27}-\dfrac{64 t^3}{9}+\dfrac{16 t^2}{3} \dd t\\
&= \left[ { \dfrac{64 t^5}{135}-\dfrac{16 t^4}{9}+\dfrac{16 t^3}{9}}\right]_{0}^{1,5}\\
&=3,6-9+6\\
&=0,6\\
\end{split}\] 
Le temps d'attente moyen aux consultations est de 0,6 h soit 36 minutes. 


\section{loi uniforme} 

\subsection{définition}

\cadreR{%
Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a<b$. 

On dit qu'une variable aléatoire $X$ suit une loi uniforme sur l'intervalle $\left[a;b\right]$ si la densité de probabilité de $X$ est la fonction constante $f$ définie sur $\left[a;b\right]$ par $f(x)=\dfrac{1}{b-a}$.
} 

\medskip

\textsf {\textsc{\small{remarque}}}

\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-1,-.5)(8,3)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-.5,-.5)(8,3)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=bleu](1.5,2)(6.5,2)
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune,linestyle=dashed](1.5,0)(1.5,2)(0,2)  
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune,linestyle=dashed](6.5,0)(6.5,2) 
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}} \uput[d](1.5,0){\footnotesize{\prune{$a$}}}  \uput[d](6.5,0){\footnotesize{\prune{$b$}}}\uput[l](0,2){\footnotesize{\prune{$\dfrac{1}{b-a}$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

La fonction $f$ définie sur $\left[a;b\right]$ par $f(x)=\dfrac{1}{b-a}$ est une densité de probabilité sur $\left[a;b\right]$ :
\begin{itemize}
\item $f$ est continue et positive sur $\left[a;b\right]$.
\item $\displaystyle\int_{a}^{b} \dfrac{1}{b-a} \dd x = \left[ { \dfrac{x}{b-a}}\right]_{a}^{b}=\dfrac{b}{b-a}-\dfrac{a}{b-a}=1$.
\end{itemize}

\subsection{propriété} 

\cadreR{%
$X$ est une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur l'intervalle $\left[a;b\right]$.

Pour tout intervalle $\left[c;d\right]$ inclus dans $\left[a;b\right]$, $P\left( c \leqslant X \leqslant d \right)=\dfrac{d-c}{b-a}$.
}

\dem

\[\begin{split} P\left( c \leqslant X \leqslant d \right) &= \displaystyle\int_{c}^{d} \dfrac{1}{b-a} \dd x =  \left[ \dfrac{x}{b-a}\right]_{c}^{d}\\
&=\dfrac{d}{b-a}-\dfrac{c}{b-a}=\dfrac{d-c}{b-a}\\
\end{split}\] 

\subsection{espérance mathématique} 

\cadreR{%
Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a<b$. 

L'espérance mathématique d'une variable aléatoire  $X$ suivant une loi uniforme sur l'intervalle $\left[a;b\right]$ est le réel \[E(X)=\dfrac{a+b}{2}\]
}	

\dem

Par définition : \[\begin{split} E(X) &= \displaystyle\int_{a}^{b} x \times \dfrac{1}{b-a} \dd x =  \left[ \dfrac{x^2}{2\left({b-a}\right)}\right]_{a}^{b}\\
&=\dfrac{b^2-a^2}{2\left({b-a}\right)}=\dfrac{\left({b-a}\right)\left({b+a}\right)}{2\left({b-a}\right)}=\dfrac{a+b}{2}\\
\end{split}\] 

\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

Le temps d'attente $T$, en minutes, auprès du standard téléphonique du service après vente d'une entreprise suit la loi uniforme sur l'intervalle $\left[0,5;9,5\right]$.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que le temps d'attente soit inférieur à 2 minutes ?
\item Quelle est la probabilité que le temps d'attente soit supérieur à 3 minutes ?
\item Quelle est le temps d'attente moyen auprès du standard téléphonique ?
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\small{Solution}}

\medskip

La variable aléatoire $T$ suit la loi uniforme sur l'intervalle $\left[0,5;9,5\right]$, donc la densité de probabilité est la fonction $f$ définie sur $\left[0,5;9,5\right]$ par $f(t)=\dfrac{1}{9,5-0,5}=\dfrac{1}{9}$.

\medskip

Le temps d'attente $T$, en minutes, auprès du standard téléphonique du service après vente d'une entreprise suit la loi uniforme sur l'intervalle $\left[0,5;9,5\right]$.

\begin{enumerate}
\item La probabilité que le temps d'attente soit inférieur à 2 minutes est $P\left( X \leqslant 2 \right)=\dfrac{2-0,5}{9}=\dfrac{1}{6}$.
\item La probabilité que le temps d'attente soit supérieur à 3 minutes est $P\left( X \geqslant 3 \right)=\dfrac{9,5-3}{9}=\dfrac{13}{18}$.
\item L'espérance mathématique de $T$ est $E(T)=\dfrac{0,5+9,5}{2}=5$.

Le temps d'attente moyen auprès du standard téléphonique est de 5 minutes.
\end{enumerate}

\section{loi exponentielle}

\subsection{définition}

\cadreR{%
Soit $\lambda$ un nombre réel strictement positif. 

On dit qu'une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\left[ 0 ; +\infty \right[$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$  si la densité de probabilité de $X$ est la fonction $f$ définie sur  $\left[ 0 ; +\infty \right[$ par $f(x)= \lambda \e^{-\lambda x}$.
} 

\medskip

\textsf {\textsc{\small{remarque}}}

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=15cm}
\begin{pspicture}(-.3,-.015)(10,.35)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\newrgbcolor{mauve}{.92 .84 .98}
\def\f{.3*EXP(-.3*x)}
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=0.25pt, linecolor=bleu]{2}{6}{\f} \gsave
\psline(6,0)(2,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=mauve] \grestore }
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](2,0)(2,.164643)  
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](6,0)(6,.04959)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-.3,-.015)(10,.35)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}} \uput[dl](10,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,.35){\footnotesize{$y$}} 

\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{10}{\f} 
\uput[d](2,0){\footnotesize{\prune{$a$}}}  \uput[d](6,0){\footnotesize{\prune{$b$}}}\uput[l](0,.3){\footnotesize{$\lambda$}}\rput(4,.028){\bf{\footnotesize{$P\left( a \leqslant X \leqslant b \right)$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

La variable aléatoire $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$ si, pour tout intervalle fermé $I = \left[a;b\right]$ inclus dans  $\left[ 0 ; +\infty \right[$, la probabilité de l'évènement \og $X \in I$ \fg{} est l'aire du domaine $\left\{ M \left( x ; y \right) ; x \in I \text{ et } 0 \leqslant y \leqslant f(x) \right\}$, où $f$ est la fonction définie sur  $\left[ 0 ; +\infty \right[$ par $f(x)= \lambda \e^{-\lambda x}$.


\subsection{propriétés} 

\cadreR{%
Soit $X$ est une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$.

\begin{enumerate}
\item Pour tout intervalle $I = \left[a;b\right]$ avec $0 \leqslant a \leqslant b$ , $P\left( a \leqslant X \leqslant b \right)=\e^{-\lambda a} - \e^{-\lambda b}$.
\item Pour tout réel $a \geqslant 0$, $P\left( X \leqslant a \right) = P\left( X < a \right) =1- \e^{-\lambda a}$.
\item Pour tout réel $a \geqslant 0$, $P\left( X \geqslant a \right) = P\left( X > a \right)=1- P\left( X \leqslant a \right) = \e^{-\lambda a}$.
\end{enumerate}
}

\dem

$X$ est une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$,  $a$ et $b$ deux réels tels que $0 \leqslant a \leqslant b$
\begin{enumerate}
\item $ P\left( a \leqslant X \leqslant b \right) = \displaystyle\int_{a}^{b}  \lambda \e^{-\lambda x} \dd x =  \left[  - \e^{-\lambda x}\right]_{a}^{b} =\e^{-\lambda a} - \e^{-\lambda b}$.
\item $P\left( X \leqslant a \right) = P\left( 0 \leqslant X \leqslant a \right) =\e^{-\lambda \times 0} - \e^{-\lambda a} =1- \e^{-\lambda a}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textsc{\small{remarque}}}

L'aire, en unité d'aire, du domaine compris entre l'axe des abscisses et la courbe $\mathcal{C}_f$ de la fonction de densité de la loi exponentielle est égale à 1 :
\[\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \displaystyle\int_{0}^{x}  \lambda \e^{-\lambda t} \dd t= \lim_{x\to +\infty}P\left( X \leqslant x \right)=\lim_{x\to +\infty}1- \e^{-\lambda x}=1\]

\subsection{espérance mathématique} 

\cadreR{%
L'espérance mathématique d'une variable aléatoire  $X$ suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$ est le réel \[E(X)=\dfrac{1}{\lambda}\]
}	

\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

La durée de vie en heures, d'une ampoule led est une variable aléatoire $D$, qui suit la loi exponentielle de paramètre 0,00005.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que la durée de vie d'une ampoule soit inférieure à \np{20000} heures ?
\item Quelle est la probabilité que la durée de vie d'une ampoule soit comprise entre \np{20000} et \np{30000} heures ?
\item Quelle est la durée de vie moyenne d'une ampoule ?
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\small{Solution}}

La durée de vie en heures $D$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda=0,00005$.

\begin{enumerate}
\item La probabilité que la durée de vie d'une ampoule soit inférieure à \np{20000} heures est :\[P\left( D \leqslant 20000 \right) =1- \e^{-0,00005 \times 20000} =1- \e^{-1}\approx 0,632 \] 
\item La probabilité que la durée de vie d'une ampoule soit comprise entre \np{20000} et \np{30000} heures est :\[P\left( 20000 \leqslant D \leqslant 30000 \right) =\e^{-0,00005 \times 20000}- \e^{-0,00005 \times 30000} = \e^{-1}-\e^{-1.5}\approx 0,145 \] 
\item La durée de vie moyenne d'une ampoule est $\dfrac{1}{0,00005}=20000$ heures.
\end{enumerate}

\medskip

    \section{loi normale} 
   
   \subsection{vers une approximation de la loi binomiale}	 
   
    \subsubsection{rappel}
    
\cadreB{Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ notée $\mathcal{B}(n;p)$. 
    
    L'espérance mathématique est $E(X)=np$ ; l'écart-type est $\sigma(X) =\sqrt{np(1-p)}$.} 
    
    \subsubsection{la fonction de Gauss}	
    

 Soit $\left( X_{n}\right)$ une suite de variables aléatoires  suivant une loi binomiale de paramètres $n$ et de même probabilité $p$. 
  
 On s'intéresse à la loi de probabilité de la variable aléatoire  $Z_{n}=\dfrac{X_{n}-E\left(X_{n}\right)}{\sigma_{n}}=\dfrac{X_{n}-np}{\sqrt{np(1-p)}}$. 
 
La variable aléatoire $Z_{n}$ prend les valeurs suivantes :\[z_{k}=\dfrac{k-np}{\sqrt{np(1-p)}} \quad \text{où } k \text{ est un entier naturel tel que } 0 \leqslant k \leqslant n\]
Pour tout entier naturel $k$ compris entre 0 et $n$ on a :\[P\left( Z_{n}=z_{k}\right)=P\left( \dfrac{X_{n}-np}{\sqrt{np(1-p)}}=\dfrac{k-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)=P\left( X_{n}=k\right)=p_{k}\]
Ainsi, quand $X_{n}$ prend la valeur $k$ avec la probabilité $p_{k}$, alors $Z_{n}$ prend la valeur $\dfrac{k-np}{\sqrt{np(1-p)}}$ avec la même probabilité $p_{k}$.

On a représenté graphiquement ci-dessous, pour  $X_{n} \in \left[ E\left(X_{n}\right)-3\sigma_{n} ; E\left(X_{n}\right)+3\sigma_{n} \right]$, les lois de probabilité de $X_{n}$ et de $Z_{n}$ pour $n=36$ et $n=400$ avec $p=0,2$.


La loi de probabilité de $Z_{n}$ est représentée à l'aide d'un histogramme. 

L'aire de chaque rectangle centré sur la valeur $z_k$ est égale à la probabilité $P\left( Z_{n}=z_{k}\right)=p_{k}$, il s'ensuit que chaque rectangle a pour dimensions  $\sigma_{n}\times P\left( X_{n}=k\right)$ et $\dfrac{1}{\sigma_{n}}$.
\begin{center}
\psset{xunit=3.3mm, yunit=25cm}
\begin{pspicture}(-3,-.06)(20,.18)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\rput(10,-.032){\footnotesize{Loi binomiale de paramètres $n=36$ et $p=0,2$}}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=3, Dy=0.02,comma]{->}(0,0)(20,.18)
\psBinomial[linewidth=.5pt,linecolor=bleu,markZeros,fillstyle=solid, fillcolor=bleu,barwidth=0.1]{0,15,36}{0.2}% 
\end{pspicture}
\hfill
\psset{xunit=1.2cm, yunit=10cm}
\begin{pspicture*}(-3.1,-.15)(3.2,.45)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\rput(.1,-.08){\footnotesize{Loi de probabilité de $Z_{36}=\dfrac{X_{36}-7,2}{2,4}$}}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt, Dy=0.1,comma]{->}(0,0)(-3,0)(3.2,.45)
\psBinomialN[linewidth=.5pt,linecolor=bleu,markZeros]{36}{0.2}% 
\psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=prune]{-3}{3}
% \psBinomialN[linecolor=prune,linewidth=.75pt,showpoints=false ,plotstyle=curve,dotscale=.75]{36}{0.2}% 
\savedata{\donnees}[{{-3,0.000779},{-2.583,0.00701},{-2.167,0.030667},{-1.75,0.08689},{-1.333,0.17921},{-0.917,0.286736},{-0.5,0.370368},{-0.083,0.396823},{0.333,0.359621},{0.75,0.279705},{1.167,0.188801},{1.583,0.111564},{2,0.058106},{2.417,0.026818},{2.833,0.011015},{3.25,0.004039}}]
\listplot[linewidth=1pt,showpoints=true,linecolor=red,dotscale=.75,plotstyle=LineToXAxis,linestyle=dotted,dotsep=2pt]{\donnees} 
\psbrace[ref=tC,rot=90,braceWidth=.5pt,linecolor=red,braceWidthInner=2.5pt,braceWidthOuter=2.5pt,nodesepB=1pt](-1.54,0)(-1.125,0){\red{\footnotesize{$\frac{1}{2,4}$}}}
\rput[l]{90}(-1.3,.19){\red{\footnotesize{$2,4\times P\left( X_{36}=4\right)$}}}
\end{pspicture*}



\psset{xunit=1.16mm, yunit=85cm}
\begin{pspicture}(42,-.0176)(110,.054)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\rput(80,-.009){\footnotesize{Loi binomiale de paramètres $n=400$ et $p=0,2$}}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Ox=50,Dx=5, Dy=0.005,comma]{->}(50,0)(110,.054)
\psBinomial[linewidth=.5pt,linecolor=bleu,markZeros,fillstyle=solid, fillcolor=bleu,barwidth=0.2]{56,104,400}{0.2}% 
\end{pspicture}
\hfill
\psset{xunit=1.2cm, yunit=10cm}
\begin{pspicture*}(-3.1,-.15)(3.2,.459)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\rput(.1,-.08){\footnotesize{Loi de probabilité de $Z_{400}=\dfrac{X_{400}-80}{8}$}}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt, Dy=0.1,comma]{->}(0,0)(-3,0)(3.2,.459)
\psBinomialN[linewidth=.25pt,linecolor=bleu,markZeros]{400}{0.2}%
 \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=prune]{-3}{3}
\savedata{\donnees}[{{-3,0.00340},{-2.875,0.00514},{-2.75,0.00759},{-2.625,0.01100},{-2.5,0.01563},{-2.375,0.02179},{-2.25,0.02978},{-2.125,0.03994},{-2,0.05258},{-1.875,0.06795},{-1.75,0.08622},{-1.625,0.10746},{-1.5,0.13156},{-1.375,0.15825},{-1.25,0.18708},{-1.125,0.21738},{-1,0.24832},{-0.875,0.27894},{-0.75,0.30815},{-0.625,0.33486},{-0.5,0.35799},{-0.375,0.37659},{-0.25,0.38986},{-0.125,0.39726},{0,0.39851},{0.125,0.39359},{0.25,0.38279},{0.375,0.36665},{0.5,0.34591},{0.625,0.32149},{0.75,0.29439},{0.875,0.26563},{1,0.23620},{1.125,0.20701},{1.25,0.17883},{1.375,0.15230},{1.5,0.12788},{1.625,0.10588},{1.75,0.08645},{1.875,0.06962},{2,0.05529},{2.125,0.04332},{2.25,0.03349},{2.375,0.02554},{2.5,0.01922},{2.625,0.01427},{2.75,0.01046},{2.875,0.00756},{3,0.00540}}]
\listplot[showpoints=true,linecolor=red,dotscale=.5,plotstyle=dots]{\donnees} 
\end{pspicture*}
\end{center}

La \og courbe en cloche \fg{} est la courbe représentative de la fonction de Gauss définie pour tout réel $x$ par \[f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\e^{-\frac{x^2}{2}}\]	


Quand $n$ est de plus en plus grand, les aires des rectangles deviennent de plus en plus proches des aires correspondantes limitées par la courbe représentant la fonction la fonction de Gauss  : \[P\left( a \leqslant Z_{n} \leqslant b \right)\approx\displaystyle\int_{a}^{b}\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\e^{-\frac{x^2}{2}}\dd x\] 

   \subsection{loi normale centrée réduite}
   
   \subsubsection{définition}
   
   \cadreR{%
Dire qu'une variable aléatoire $X$ suit la loi normale centrée réduite notée $\mathcal{N}\left( 0 ; 1\right)$ signifie que sa densité de probabilité est la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\e^{-\frac{x^2}{2}}$.
} 
\subsubsection{courbe représentative}

\begin{minipage}{.5\linewidth}
Pour tout réel $x$, $f(-x)=f(x)$, la courbe représentative de la densité $f$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{.5\linewidth}
\begin{flushright}
\psset{xunit=1cm, yunit=8cm}
\begin{pspicture}(-4,-.02)(4,.43)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt, Dy=0.1,comma]{->}(0,0)(-3.99,0)(4,.45)
 \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=prune]{-3.99}{4}
 \psset{linewidth=.5pt,linecolor=bleu}
 \pnode(0,.4){A}
 \rput(2.5,.45){\ovalnode{B}{\bleu{\scriptsize{$f(0)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\approx 0,4$}}}} 
 \ncarc[arcangle=-12]{->}{B}{A}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{minipage}

\subsubsection{espérance et écart-type de la loi normale centrée réduite}

\cadreR{%
Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}\left( 0 ; 1\right)$ on a : $E(X)=0$ et $\sigma(X)=1$.
} 

\subsubsection{propriété}

\begin{minipage}{.5\linewidth}
La courbe de la fonction de densité de la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}\left( 0 ; 1\right)$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, donc les mesures des aires égales aux probabilités $P\left( X \leqslant 0\right)$ et $P\left( X \geqslant 0\right)$ sont égales, d'où  $P\left( X \leqslant 0\right) = P\left( X \geqslant 0\right)$.

Comme $P\left( X \leqslant 0\right) + P\left( X > 0\right) = 1$, on en déduit que \[P\left( X \leqslant 0\right) = P\left( X \geqslant 0\right)=\dfrac{1}{2}\]
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{.5\linewidth}
\begin{flushright}
\psset{xunit=1cm, yunit=8cm}
\begin{pspicture}(-4,-.1)(4,.45)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\pscustom{
\psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=.25pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-3.99}{0} \gsave
\psline[linewidth=0.25pt, linecolor=bleu](0,0)(-3.99,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=bleuclair] \grestore }
\pscustom{
\psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=.25pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{0}{4}\gsave
\psline(4,0)(0,0)
\fill[fillstyle=vlines,hatchcolor=prune,hatchwidth=0.5pt] \grestore }
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt, Dy=0.1,comma]{->}(0,0)(-3.99,0)(4,.45)
 \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-3.99}{4}
 \pnode(-1,.15){A}\pnode(1,.15){B}
 \rput[tl](-3,.25){\rnode{G}{\bleu{\scriptsize{$P\left( X \leqslant 0\right)$}}}} 
 \rput[tr](3,.25){\rnode{D}{\prune{\scriptsize{$P\left( X \geqslant 0\right)$}}}} 
  \ncline[linewidth=.5pt,linecolor=bleu]{->}{G}{A}\ncline[linewidth=.5pt,linecolor=prune]{->}{D}{B}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{minipage}

\cadreR{%
Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}\left( 0 ; 1\right)$ on a : $P\left( X \leqslant 0\right) = P\left( X \geqslant 0\right)=\dfrac{1}{2}$.
}
\subsubsection{intervalle associé à une probabilité donnée}

\begin{minipage}{.7\linewidth}
\cadreR{%
Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}\left( 0 ; 1\right)$.

Pour tout réel $\alpha \in ] 0 ; 1 [$ il existe un unique réel positif $u_{\alpha}$ tel que  : $P\left( -u_{\alpha}\leqslant  X \leqslant u_{\alpha} \right)=1-\alpha$.
}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{.25\linewidth}
\begin{flushright}
\psset{xunit=.6cm, yunit=4.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-.05)(3,.45)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\pscustom{
\psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=.25pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-1.3}{1.3} \gsave
\psline[linewidth=0.25pt, linecolor=bleu](1.3,0)(-1.3,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=bleuclair] \grestore }
 \rput(0,.15){\psframebox*[framearc=.3]{\prune{\scriptsize{$1-\alpha$}}}}
 \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.5pt,ticks=y,yticksize=-2pt 2pt,labels=none,Dy=0.1]{->}(0,0)(-3,-.02)(3,.45)
 \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-3}{3}
  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](-1.3,0)(-1.3,.171)  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](1.3,0)(1.3,.171)
  \uput[d](-1.3,0){\prune{\scriptsize{$-\alpha$}}}\uput[d](1.3,0){\prune{\scriptsize{$\alpha$}}}\uput[dl](0,0){\tiny{$0$}}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{minipage}

\medskip

On retient en particulier : 

\medskip

\psframebox[linewidth=0.25pt,framearc=0.1]{
\begin{minipage}{.7\linewidth}
Si $X$ est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}\left( 0 ; 1\right)$ alors :
 \[P\left( -1,96 \leqslant X \leqslant 1,96\right) \approx 0,95\]
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{.3\linewidth}
\begin{flushright}
\psset{xunit=.6cm, yunit=4.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-.05)(3,.45)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\pscustom{
\psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=.25pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-1.96}{1.96} \gsave
\psline[linewidth=0.25pt, linecolor=bleu](1.96,0)(-1.96,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=bleuclair] \grestore }
   \rput(0,.15){\psframebox*[framearc=.3]{\prune{\bf{\scriptsize{\phantom{0,95}}}}}}
 \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.5pt,ticksize=-2pt 2pt, Dy=0.1,labels=x,comma]{->}(0,0)(-3,0)(3,.45)
 \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-3}{3}
  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](-1.96,0)(-1.96,.058)  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](1.96,0)(1.96,.058)
 \rput(0,.15){\prune{\bf{\scriptsize{0,95}}}}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{minipage}
}
\subsubsection{calculs}

Il n'est pas possible de déterminer les primitives de la fonction de densité de la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}\left( 0 ; 1\right)$ à l'aide de fonctions usuelles. 

On peut néanmoins  calculer des valeurs approchées des intégrales $\displaystyle\int_{a}^{b}\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\e^{-\frac{x^2}{2}}\dd x$ par des méthodes numériques, disponibles dans les calculatrices et permettant d'obtenir directement des valeurs approchées de certaines probabilités liées à la loi normale.
 
\medskip

Du fait de la symétrie de la courbe de la fonction de densité de la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}\left( 0 ; 1\right)$, pour calculer $P\left( X \leqslant a \right)$ ou $P\left( X \geqslant a \right)$, on peut utiliser la méthode suivante :

\medskip

{\footnotesize{\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}	\hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex}\textsf{\textbf{Probabilité}} &$P\left( X \leqslant a \right)$ avec $a<0$ & $P\left( X \leqslant a \right)$ avec $a>0$ & $P\left( X \geqslant a \right)$ avec $a<0$ & $P\left( X \geqslant a \right)$ avec $a>0$\\ \hline
\textsf{\textbf{Graphique}} &\psset{xunit=.5cm, yunit=4cm}
\begin{pspicture}(-3,-.15)(3,.46)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\pscustom{
\psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=.25pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-3}{-1} \gsave
\psline[linewidth=0.25pt, linecolor=prune](-1,0)(-3,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=bleuclair] \grestore} 
 \psaxes[linewidth=.5pt,labels=none,ticks=y,yticksize=-2pt 2pt, Dy=0.1]{->}(0,0)(-3,-.05)(3,.45)
 \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-3}{3}
  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](-1,0)(-1,.24)
  \uput[d](-1,0){\prune{\scriptsize{$a$}}}\uput[dl](0,0){\tiny{$0$}}
  \rput(0,-.1){\prune{\scriptsize{$a<0$}}}
\end{pspicture}  & \psset{xunit=.5cm, yunit=4cm}
\begin{pspicture}(-3,-.15)(3,.46)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\pscustom{
\psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=.25pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-3}{1} \gsave
\psline[linewidth=0.25pt, linecolor=prune](1,0)(-3,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=bleuclair] \grestore} 
  \psaxes[linewidth=.5pt,labels=none,ticks=y,yticksize=-2pt 2pt, Dy=0.1]{->}(0,0)(-3,-.05)(3,.45)
 \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200,linecolor=bleu]{-3}{3}
  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](1,0)(1,.24)
  \uput[d](1,0){\prune{\scriptsize{$a$}}}\uput[dl](0,0){\tiny{$0$}}
  \rput(0,-.1){\prune{\scriptsize{$a>0$}}}
\end{pspicture} & 
\psset{xunit=.5cm, yunit=4cm}
\begin{pspicture}(-3,-.15)(3,.46)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\pscustom{
\psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=.25pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-1}{3} \gsave
\psline[linewidth=0.25pt, linecolor=prune](3,0)(-1,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=bleuclair] \grestore} 
  \psaxes[linewidth=.5pt,labels=none,ticks=y,yticksize=-2pt 2pt, Dy=0.1]{->}(0,0)(-3,-.05)(3,.45)
 \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200,linecolor=bleu]{-3}{3}
  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](-1,0)(-1,.24)
  \uput[d](-1,0){\prune{\scriptsize{$a$}}}\uput[dl](0,0){\tiny{$0$}}
  \rput(0,-.1){\prune{\scriptsize{$a<0$}}}
\end{pspicture} &
 \psset{xunit=.5cm, yunit=4cm}
\begin{pspicture}(-3,-.15)(3,.46)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\pscustom{
\psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=.25pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{1}{3} \gsave
\psline[linewidth=0.25pt, linecolor=prune](3,0)(1,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=bleuclair] \grestore} 
  \psaxes[linewidth=.5pt,labels=none,ticks=y,yticksize=-2pt 2pt, Dy=0.1]{->}(0,0)(-3,-.05)(3,.45)
 \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200,linecolor=bleu]{-3}{3}
  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](1,0)(1,.24)
  \uput[d](1,0){\prune{\scriptsize{$a$}}}\uput[dl](0,0){\tiny{$0$}}
  \rput(0,-.1){\prune{\scriptsize{$a>0$}}}
\end{pspicture}\\\hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex}\textsf{\textbf{Calcul}} &$0,5-P\left( a< X < 0 \right)$ & $0,5+P\left( 0 <  X \leqslant a \right)$ & $0,5+P\left( a \leqslant  X < 0  \right)$ & $0,5-P\left( 0< X <a \right)$\\ \hline
\end{tabularx}}}

   \subsection{loi normale}
   
   \subsubsection{définition}

\cadreR{%
Soit $\mu$ un réel et $\sigma$ un réel strictement positif. Dire qu'une variable aléatoire $X$ suit la loi normale d'espérance  $\mu$ et d'écart-type $\sigma$, signifie que la variable aléatoire $\dfrac{X-\mu}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}\left( 0 ; 1\right)$.

On note : $X$ suit la loi normale $\mathcal{N}\left( \mu ; \sigma\right)$.
}

\medskip

\textsf {\textsc{\small{remarques :}}}

\medskip

\begin{itemize}
\item Si $X$ suit la loi normale $\mathcal{N}\left( \mu ; \sigma\right)$ alors sa variance $V(X)=\sigma^{2}$.
\item La densité associée à une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale $\mathcal{N}\left( \mu ; \sigma\right)$ est la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\e^{\frac{1}{2}\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right)^2}$.

\begin{minipage}{.55\linewidth}\item L'espérance $\mu$ de la loi normale $\mathcal{N}\left( \mu ; \sigma\right)$ est un paramètre de position : la courbe représentative de la fonction de densité admet pour axe de symétrie la droite d'équation $x=\mu$.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{.4\linewidth}
\begin{flushright} 
\psset{xunit=.6cm, yunit=5cm}
\begin{pspicture}(-5,-.1)(6,.45)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{vert}{0.06 0.43 .08}
 \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.5pt,labels=none,ticks=y,yticksize=-2pt 2pt, Dy=0.1]{->}(0,0)(-5,-.02)(6,.45)
 \psGauss[sigma=1, mue=-1.58, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=vert]{-5}{2}
  \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-3.5}{3.5}
   \psGauss[sigma=1, mue=2.75, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=prune]{-1}{6}
  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=vert,linestyle=dashed](-1.58,0)(-1.58,.45)  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune,linestyle=dashed](2.75,0)(2.75,.45)
\uput[d](-1.58,0){\vert{\scriptsize{$\mu=-15,8$}}}\uput[d](2.75,0){\prune{\scriptsize{$\mu=27,5$}}}\uput[dl](0,0){\scriptsize{$0$}}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{minipage}

\begin{minipage}{.55\linewidth}\item L'écart-type $\sigma >0$ de la loi normale $\mathcal{N}\left( \mu ; \sigma\right)$ est un paramètre de dispersion : plus $\sigma$ est élevé, plus les réalisations de $X$ sont dispersées autour de $\mu$.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{.4\linewidth}
\begin{flushright} 
\psset{xunit=.6cm, yunit=4cm}
\begin{pspicture}(-5.5,-.05)(5.5,.6)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{vert}{0.06 0.43 .08}
 \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.5pt,labels=none,ticks=y,yticksize=-2pt 2pt, Dy=0.1]{->}(-3.5,0)(-5.5,-.02)(5.5,.6)
 \psGauss[sigma=2.5, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=vert]{-5.5}{5.5}
  \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-3.5}{3.5}
   \psGauss[sigma=.693, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=prune]{-3}{3}
  \psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed](0,0)(0,.6)
\uput[l](5.5,.1){\vert{\scriptsize{$\sigma=2,5$}}}\uput[r](.4,.5){\prune{\scriptsize{$\sigma=0,693$}}}\uput[r](1.2,.2){\bleu{\scriptsize{$\sigma=1$}}}\uput[dl](-3.5,0){\scriptsize{$0$}}\uput[d](0,0){\scriptsize{$\mu$}}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{minipage}
\end{itemize}

 \subsubsection{intervalles de fluctuation d'une loi normale}
 
 \psframebox[linewidth=0.25pt,framearc=0.1]{
\begin{minipage}{\linewidth}
Si la  variable aléatoire $X$ suit la loi normale $\mathcal{N}\left( \mu ; \sigma\right)$ alors :

\begin{itemize}
\item $P\left( \mu -\sigma \leqslant X \leqslant \mu+\sigma\right) \approx 0,683$.
\item $P\left( \mu -2\sigma \leqslant X \leqslant \mu+2\sigma\right) \approx 0,954$.
\item $P\left( \mu -3\sigma \leqslant X \leqslant \mu+3\sigma\right) \approx 0,997$.
\end{itemize}

\psset{xunit=.75cm, yunit=5cm}
\begin{pspicture}(-3.5,-.2)(3.5,.5)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\pscustom{
\psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=.25pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-1}{1} \gsave
\psline[linewidth=0.25pt, linecolor=bleu](1,0)(-1,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=bleuclair] \grestore }
   \rput(0,.15){\psframebox*[framearc=.3]{\prune{\scriptsize{68,3\%}}}}
 \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.5pt,labels=none,ticks=y,yticksize=-2pt 2pt, Dy=0.1]{->}(-2.5,0)(-3.5,-.05)(3.5,.5)
 \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-3.5}{3.5}
 \psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed](0,0)(0,.45)
  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](-1,0)(-1,.241)  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](1,0)(1,.241)
  \uput[dl](-2.5,0){\scriptsize{$0$}}\uput[d](0,0){\scriptsize{$\mu$}}\uput[d](-1,0){\prune{\tiny{$\mu-\sigma$}}}\uput[d](1,0){\prune{\tiny{$\mu+\sigma$}}}
   \rput(0,-.15){\footnotesize{$X\in \left[ \mu-\sigma ; \mu+\sigma \right]$}}
\end{pspicture}\hfill\psset{xunit=.75cm, yunit=5cm}
\begin{pspicture}(-3.5,-.2)(3.5,.5)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\pscustom{
\psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=.25pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-2}{2} \gsave
\psline[linewidth=0.25pt, linecolor=bleu](2,0)(-2,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=bleuclair] \grestore }
   \rput(0,.15){\psframebox*[framearc=.3]{\prune{\scriptsize{95,4\%}}}}
 \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.5pt,labels=none,ticks=y,yticksize=-2pt 2pt, Dy=0.1]{->}(-2.5,0)(-3.5,-.05)(3.5,.5)
 \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-3.5}{3.5}
 \psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed](0,0)(0,.45)
  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](-2,0)(-2,.0539)  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](2,0)(2,.0539)
  \uput[dl](-2.5,0){\scriptsize{$0$}}\uput[d](0,0){\scriptsize{$\mu$}}\uput[d](-2,0){\prune{\tiny{$\mu-2\sigma$}}}\uput[d](2,0){\prune{\tiny{$\mu+2\sigma$}}}
  \rput(0,-.15){\footnotesize{$X\in \left[ \mu-2\sigma ; \mu+2\sigma \right]$}}
\end{pspicture}
\hfill\psset{xunit=.75cm, yunit=5cm}
\begin{pspicture}(-3.5,-.2)(3.5,.5)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\pscustom{
\psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=.25pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-3}{3} \gsave
\psline[linewidth=0.25pt, linecolor=bleu](3,0)(-3,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=bleuclair] \grestore }
   \rput(0,.15){\psframebox*[framearc=.3]{\prune{\scriptsize{99,7\%}}}}
 \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.5pt,labels=none,ticks=y,yticksize=-2pt 2pt, Dy=0.1]{->}(-2.5,0)(-3.5,-.05)(3.5,.5)
 \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-3.5}{3.5}
 \psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed](0,0)(0,.45)
  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](-3,0)(-3,.004)  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](3,0)(3,.004)
  \uput[dr](-2.5,0){\scriptsize{$0$}}\uput[d](0,0){\scriptsize{$\mu$}}\uput[d](-3,0){\prune{\tiny{$\mu-3\sigma$}}}\uput[d](3,0){\prune{\tiny{$\mu+3\sigma$}}}
  \rput(0,-.15){\footnotesize{$X\in \left[ \mu-3\sigma ; \mu+3\sigma \right]$}}
\end{pspicture}
\end{minipage}
}

\subsubsection{loi normale et calculatrices}

Soit  $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale $\mathcal{N}\left( \mu ; \sigma\right)$. Les calculatrices disposent de commandes permettant de calculer :
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}X X}
\item $P\left( a \leqslant X \leqslant b\right)$ & \item Le réel $k$ tel que $P\left(  X \leqslant k\right) = \alpha$ avec $\alpha \in ]0 ;1[$\\
\end{tabularx}
\end{enumerate}

Commandes spécifiques des calculatrices :

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{2}{>{\sffamily}X|}} \cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{} & \multicolumn{1}{c|}{\normalsize{Sur TI 83}} & \multicolumn{1}{c|}{Sur Casio} \\ \hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex}\textsf {Menu} & \footnotesize{\psframebox*[framearc=.3,fillcolor=blue!75]{\white{\scriptsize{2nde}}} puis sur la touche \rnode{A}{\psframebox*[framearc=.3,fillcolor=lightgray!40]{var}} \nput[labelsep=2pt]{90}{A}{\blue\tiny{{distrib}}}} &  \footnotesize{\psframebox*[framearc=.3,fillcolor=gray]{\white{\scriptsize{OPTN}}} puis \psframebox{\tiny{STAT}} \psframebox{\tiny{DIST}} \psframebox{\tiny{NORM}}}\\ \hline
$P\left( a \leqslant X \leqslant b\right)$ &  \footnotesize{\texttt{normalFrep}$(a,b,\mu,\sigma)$  ou \texttt{normalCdf}$(a,b,\mu,\sigma)$\par borninf : $a$ ; bornsup : $b$  puis, renseigner $\mu$ et $\sigma$} & \footnotesize{\psframebox{\tiny{Ncd}} \texttt{normCD($a$,$b$,$\sigma$,$\mu$)} \par Lower : $a$ ; Upper : $b$ puis, renseigner $\sigma$ et $\mu$}\\ \hline 
$P\left(  X \leqslant k\right) = \alpha$ &  \footnotesize{\texttt{FracNormale}$(\alpha,\mu,\sigma)$ ou \texttt{invNorm}$(\alpha,\mu,\sigma)$ \par aire : $\alpha$  puis, renseigner $\mu$ et $\sigma$}&  \footnotesize{\psframebox{\tiny{InvN}} \texttt{InvNormCD}$(\alpha,\sigma,\mu)$ \par Area : $\alpha$  puis, renseigner $\sigma$ et $\mu$}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

{\footnotesize{La variable $X$ suit la loi normale $\mathcal{N}\left(125; 4,5 \right)$ d'espérance $\mu=125$ et d'écart-type $\sigma= 4,5$. 

Les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près. 

\begin{enumerate}
\item Déterminer les probabilités suivantes :

$P(122 \leqslant X \leqslant 128 )$ ;  \hfill $P(  X \leqslant 120 )$ ;  \hfill $P(  X \geqslant 130,4 )$ ; \hfill $P(  X \geqslant 118,7 )$.

\item Déterminer le réel $a$ tel que $P\left( X \leqslant a \right) =0,871$. 
\item Déterminer le réel $b$ tel que $P\left(  X \geqslant b \right) =0,02$. 
\item Déterminer un intervalle $I$ de centre 125 tel que $P\left( X\in I\right)= 0,81$.
\end{enumerate}
}}
\begin{enumerate}
\item\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice on trouve $P(122 \leqslant X \leqslant 128 )\approx 0,495$.

\begin{minipage}{.7\linewidth}
\item \[\begin{array}{lcl}
  P(  X \leqslant 120 ) &=& P(  X \leqslant 125 ) - P(120 < X \leqslant 125 )\\
&=&0,5-P(120 < X \leqslant 125 )\\
&\approx & 0,133 \\
\end{array}\]
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{.3\linewidth}
 \begin{flushright}
\psset{xunit=.5cm, yunit=4cm}
\begin{pspicture}(-3,-.1)(3,.45)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\pscustom{
\psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=.25pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-3}{-1.11} \gsave
\psline[linewidth=0.25pt, linecolor=prune](-1.11,0)(-3,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=bleuclair] \grestore} 
 \psaxes[linewidth=.5pt,labels=none,ticks=none, yAxis=false]{->}(0,0)(-3,0)(3,.45)
 \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-3}{3}
  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](-1.11,0)(-1.11,.215)
  \psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed](0,0)(0,.45)
 \psline[linewidth=.5pt,linecolor=bleu]{->}(0,.42)(-3,.42)
  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune]{<->}(0,.107)(-1.11,.107)
  \uput[d](-1.11,0){\prune{\tiny{$120$}}}\uput[d](0,0){\tiny{$125$}}\uput[u](-1.5,.4){\bleu{\tiny{$0,5$}}}
\end{pspicture}
 \end{flushright}
\end{minipage}

\begin{minipage}{.7\linewidth}
\item \[\begin{array}{lcl}
  P(  X \geqslant 130,4 ) &=& P(  X \geqslant 125 ) - P(125 \leqslant X < 130,4 )\\
&=&0,5-P(125 \leqslant X < 130,4 )\\
&\approx & 0,115 \\
\end{array}\]
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{.3\linewidth}
 \begin{flushright}
\psset{xunit=.5cm, yunit=4cm}
\begin{pspicture}(-3,-.1)(3,.45)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\pscustom{
\psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=.25pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{1.2}{3} \gsave
\psline[linewidth=0.25pt, linecolor=prune](3,0)(1.2,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=bleuclair] \grestore} 
 \psaxes[linewidth=.5pt,labels=none,ticks=none, yAxis=false]{->}(0,0)(-3,0)(3,.45)
 \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-3}{3}
  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](1.2,0)(1.2,.194)
  \psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed](0,0)(0,.45)
 \psline[linewidth=.5pt,linecolor=bleu]{->}(0,.42)(3,.42)
 \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune]{<->}(0,.097)(1.2,.097)
  \uput[d](1.2,0){\prune{\tiny{$130,4$}}}\uput[d](0,0){\tiny{$125$}}\uput[u](1.5,.4){\bleu{\tiny{$0,5$}}}
\end{pspicture}
 \end{flushright}
\end{minipage}

\begin{minipage}{.7\linewidth}
\item \[\begin{array}{lcl}
  P(  X \geqslant 118,7 ) &=& P(118,7 \leqslant X \leqslant 125 )+P(  X > 125 ) \\
&=&0,5+ P(118,7 \leqslant X \leqslant 125 )\\
&\approx & 0,919 \\
\end{array}\]
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{.3\linewidth}
 \begin{flushright}
\psset{xunit=.5cm, yunit=4cm}
\begin{pspicture}(-3,0)(3,.5)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\pscustom{
\psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=.25pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-1.4}{3} \gsave
\psline[linewidth=0.25pt, linecolor=prune](3,0)(-1.4,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=bleuclair] \grestore} 
 \psaxes[linewidth=.5pt,labels=none,ticks=none, yAxis=false]{->}(0,0)(-3,0)(3,.45)
 \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-3}{3}
  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](-1.4,0)(-1.4,.149)
  \psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed](0,0)(0,.45)
 \psline[linewidth=.5pt,linecolor=bleu]{->}(0,.42)(3,.42)
 \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune]{<->}(0,.075)(-1.4,.075)
  \uput[d](-1.4,0){\prune{\tiny{$118,7$}}}\uput[d](0,0){\tiny{$125$}}\uput[u](1.5,.4){\bleu{\tiny{$0,5$}}}
\end{pspicture}
 \end{flushright}
\end{minipage}
\end{enumerate}
\item Avec la calculatrice, $P\left( X \leqslant a \right) =0,871$ pour $a\approx 130,09$. 
\item La calculatrice permet de résoudre l'équation $P\left(  X \leqslant k\right) = \alpha$ avec $\alpha \in ] 0 ; 1[$. Or \[P\left(  X \geqslant b \right) =0,02 \iff 1-P\left(  X < b \right) =0,02 \iff P\left(  X < b \right) =0,98\]

Soit en utilisant la calculatrice $b\approx 134,242$.
\item Un intervalle $I$ de centre 125 est de la forme $[ 125 - a ; 125 + a ]$ où $a$ est un réel positif.

On cherche donc le réel $a$ tel que $P\left( 125 - a \leqslant X \leqslant 125 + a \right)= 0,81$.

\begin{minipage}{.65\linewidth}
La courbe de la fonction de densité de la loi normale  $\mathcal{N}\left( 125 ; 4,5\right)$ est symétrique par rapport à la droite d'équation $x=125$.

On en déduit que : \[\begin{split}P\left( 125 - a \leqslant X \leqslant 125 + a \right)= 0,81 &\iff 1-2 \times P\left(  X < 125 - a \right) =0,81\\ &\iff P\left(  X < 125 - a \right) =\dfrac{1-0,81}{2}=0,095\end{split}\]
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{.35\linewidth}
 \begin{flushright}
\psset{xunit=.65cm, yunit=6cm}
\begin{pspicture}(-3,-.1)(3,.45)
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\pscustom{
\psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=.25pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-1.31}{1.31} \gsave
\psline[linewidth=0.25pt, linecolor=prune](1.31,0)(-1.31,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=bleuclair] \grestore} 
\pscustom{
\psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=.25pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-3}{-1.31}\gsave
\psline(-1.31,0)(-3,0)
\fill[fillstyle=vlines,hatchcolor=prune,hatchwidth=0.5pt] \grestore }
\pscustom{
\psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=.25pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{1.31}{3}\gsave
\psline(3,0)(1.31,0)
\fill[fillstyle=hlines,hatchcolor=prune,hatchwidth=0.5pt] \grestore }
\rput(0,.169){\psframebox*[framearc=.3]{\prune{\scriptsize{81\%}}}}
 \psaxes[linewidth=.5pt,labels=none,ticks=none, yAxis=false]{->}(0,0)(-3,0)(3,.45)
 \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1pt,plotpoints=200, linecolor=bleu]{-3}{3}
  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](-1.31,0)(-1.31,.169)\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](1.31,0)(1.31,.169)
  \psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed](0,0)(0,.45)
  \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune]{->}(-1.31,.169)(-3,.169) \psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune]{->}(1.31,.169)(3,.169)
  \uput[d](-1.31,0){\prune{\tiny{$125-a$}}}\uput[d](0,0){\tiny{$125$}} \uput[d](1.31,0){\prune{\tiny{$125+a$}}}
  \uput[u](-2.15,.16){\prune{\tiny{$9,5\%$}}}\uput[u](2.15,.16){\prune{\tiny{$9,5\%$}}}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{minipage}


Soit en utilisant la calculatrice $125-a\approx 119,102$ d'où $a\approx 8,898$ et $125+a\approx 130,898$.

Donc $I=[ 119,102 ; 130,898 ]$ (ou avec les bornes de l'intervalle arrondies à $10^{-1}$ près, $I=[ 119,1 ; 130,9 ]$)
\end{enumerate}
 
 \section {application à la prise de décision}
 
 



 \subsection{intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\%}

 On s'intéresse à un caractère de proportion $p$ connue au sein d'une population. On prélève au hasard et avec remise un échantillon de taille $n$ sur lequel on observe une fréquence $f$ du caractère étudié.

La variable aléatoire $X_n$ qui à chaque échantillon aléatoire de taille $n$ associe le nombre d'individus ayant le caractère étudié suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n;p)$. La fréquence $F_n$  du caractère est $F_n=\dfrac{X_n}{n}$.

Lorsque $n\geqslant 30$, $n p \geqslant 5$ et $n(1-p) \geqslant 5$, on admet que $X_n$ suit approximativement la loi normale d'espérance $\mu = np$ et d'écart-type $\sigma = \sqrt{np\left(1-p\right)}$.

On a alors, \[P\left( \mu -1,96\sigma \leqslant X_n \leqslant \mu +1,96 \sigma\right) \approx 0,95 \iff P\left( {p -1,96\times \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}}  \leqslant \dfrac{X_n}{n} \leqslant {p +1,96\times \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}} \right) \approx 0,95\] 

\cadreR{%
Si $n\geqslant 30$, $n p \geqslant 5$ et $n(1-p) \geqslant 5$, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\% de la variable aléatoire $F_n$, l'intervalle :  \[I_{n} =\left[ {p -1,96\times \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}} ; {p +1,96\times \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}} \right].\]
}
%
%\subsubsection{interprétation}
%
%L'intervalle $I_n$ contient la fréquence $F_n$ avec une probabilité proche de de 0,95 pourvu que $n$ soit suffisamment grand.
%

\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

En première partie de soirée une série a attiré près de 5,7 millions de téléspectateurs soit 28\% de part d'audience.

On interroge 120 personnes ayant regardé la télévision en première partie de soirée. 

Avec $p=0,28$ et $n=120$ on a $np=33,6$ et $n(1-p)=86,4$, les critères d'approximation étant vérifiés, un intervalle de fluctuation asymptotique à 95 \% de  la fréquence $f$ des téléspectateurs qui ont regardé cette série est :\[I_{120} =\left[ {0,28 -1,96\times \sqrt{\dfrac{0,28\times0,72}{120}}} ; {0,28 +1,96\times \sqrt{\dfrac{0,28\times0,72}{120}}} \right]\]
Soit en arrondissant les bornes de l'intervalle à $10^{-3}$ près, $I_{120} \approx \left[ 0,199 ; 0,361\right]$.

\subsection{décision à partir de la fréquence d'un échantillon}

Quand les critères d'approximation sont vérifiés, l'intervalle de fluctuation asymptotique $I_{n}$ permet de déterminer des seuils de décision :

\begin{itemize}
\item pour accepter ou rejeter l'hypothèse selon laquelle $p$ est la proportion d'un caractère dans la population ;
\item pour déterminer si un échantillon issu de la population est représentatif. 
\end{itemize}

\medskip

\cadreB{%
On formule l'hypothèse que la proportion d'un caractère dans la population est $p$. 

On prélève dans la population un échantillon de taille $n$ et on note $f$ la fréquence observée du caractère étudié.

Lorsque  $n\geqslant 30$, $n p \geqslant 5$  et $n(1-p) \geqslant 5$ on pose : \[I_{n} =\left[ {p -1,96\times \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}} ; {p +1,96\times \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}} \right].\]
\begin{itemize}
\item Si la fréquence observée $f$ n'appartient pas à l'intervalle $I_{n}$, alors on rejette l'hypothèse selon laquelle $p$ est la proportion du caractère étudié dans la population avec un risque d'erreur de 5 \%.
\item Si la fréquence observée $f$ appartient à l'intervalle $I_{n}$, alors l'hypothèse selon laquelle $p$ est la proportion du caractère étudié dans la population est acceptée.
\end{itemize}
}

\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

Dans un forum on a constaté que 42 personnes sur 120 ont regardé la série dont la part d'audience a été estimée à 28\%. Ce résultat remet-il en question l'estimation de la part d'audience de la série ?

La fréquence observée de la part d'audience dans l'échantillon de taille 120 est : $f= \dfrac{42}{120}=0,35$.

L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 \% de la part d'audience de la série dans les échantillons de taille 120 est $I_{120} = \left[ 0,199 ; 0,361\right]$.


Comme $0,35 \in \left[ 0,199 ; 0,361\right]$, l'estimation d'une part d'audience de 28 \% pour la série n'est pas remise en cause.

\subsection{intervalle de confiance}

On cherche à estimer avec un certain niveau de confiance, la proportion $p$ \textbf{inconnue} d'un caractère au sein d'une population à partir d'un échantillon de taille $n$. 

\subsubsection{définition}

\cadreR{%
Soit $f$ la fréquence observée d'un caractère dans un échantillon de taille $n$.

Sous les conditions d'approximation $n\geqslant 30$, $n p \geqslant 5$  et $n(1-p) \geqslant 5$, l'intervalle de confiance au niveau de confiance 95 \% de la proportion inconnue $p$ dans la population est l'intervalle \[I =\left[ {f -1,96\times \sqrt{\dfrac{f(1-f)}{n}}} ; {f +1,96\times \sqrt{\dfrac{f(1-f)}{n}}} \right].\] 
}

\subsubsection{remarques}

\begin{itemize}
\item En pratique, les conditions de validité de la formule peuvent être vérifiées à posteriori.
\item La différence entre deux fréquences $f_1$ et $f_2$ observées sur deux échantillons est considérée comme significative quand les intervalles de confiance correspondants sont disjoints.

Dans ce cas, on considère que les deux proportions $p_1$ et $p_2$ sont différentes. Dans le cas contraire, on ne peut pas conclure.
\end{itemize}

\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

On interroge au hasard 100 clients ayant effectué des achats à la sortie d'une grande surface. Le temps d'attente aux caisses a été jugé raisonnable par 52 personnes interrogées.

Peut-on considérer que plus de la moitié des clients de cette grande surface estiment que le temps d'attente aux caisses est raisonnable ?

Soit $f=\dfrac{52}{100}=0,52$ la fréquence des clients qui estiment que le temps d'attente aux caisses est raisonnable. 

L'intervalle de confiance au niveau de confiance 95\% de la proportion des clients qui estiment que le temps d'attente aux caisses est raisonnable est :
\[I= \left[ {0,52-1,96\times \sqrt{\dfrac{0,52\times 0,48}{100}}} ; {0,52+1,96\times \sqrt{\dfrac{0,52\times 0,48}{100}}} \right]\approx\left[ 0,42 ; 0,62\right]\]

On a : $n=100$,  $0,42 \leqslant p \leqslant 0,62$,  $100\times 0,42 \leqslant np \leqslant 0,62$ et $100\times \left(1-0,62\right) \leqslant n\left( 1- p\right) \leqslant 100\times\left(1-0,42\right)$.

Soit $n\geqslant 30$, $42 \leqslant np \leqslant 62$ et  $38 \leqslant n\left( 1- p\right) \leqslant 58$. Les conditions d'utilisation d'un intervalle de confiance au niveau de confiance 95 \% sont vérifiées.

Un intervalle de confiance au niveau de confiance 95 \% de la proportion de clients  qui estiment que le temps d'attente aux caisses est raisonnable est $\left[ 0,42 ; 0,62\right]$.

La borne inférieure de l'intervalle de confiance est 0,42, il est donc possible que moins de 50\% des clients trouvent que le temps d'attente aux caisses est raisonnable.

 

 
\newpage

\addcontentsline{toc}{section}{Exercices}
 
 \exo

 \medskip
 
 Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle  $\left[47;55\right]$ par $f(x)=\begin{cases} \dfrac{x}{4}-\dfrac{47}{4} & \text{si } 47 \leqslant x <48 \\ -\dfrac{x}{28}+\dfrac{55}{28} & \text{si } 48 \leqslant x \leqslant 55\end{cases}$ .
 
\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(10,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{bleuclair}{0.86 0.88 .98}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{x/4}
\def\g{2/7-x/28}
\rput(4,-2){\footnotesize{Courbe représentative de la fonction $f$}}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-1)(10,6)
\pspolygon[linewidth=0.75pt, linecolor=prune,fillstyle=solid,fillcolor=bleuclair](2.4,0)(2.4,3.2)(3.8,2.4)(3.8,0)
\psset{xunit=.5cm,yunit=8cm}
\psaxes[yAxis=false,labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=8,Ox=47]{->}(0,0)(-2,0)(10,.375)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{1}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{1}{8}{\g}
\uput[dl](1,.28){\scriptsize{$y=\dfrac{x}{4}-\dfrac{47}{4}$}}
\uput[dr](5,.2){\scriptsize{$y=-\dfrac{x}{28}+\dfrac{55}{28}$}}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est une fonction de densité de probabilité sur l'intervalle  $\left[47;55\right]$.
\item La fonction $f$ est la densité de probabilité de la variable aléatoire $C$ mesurant la capacité en ml du volume d'eau de parfum contenue dans un flacon pris au hasard dans la production d'une entreprise. 

On a $C \in [47 ; 55]$.
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité de l'évènement $C \in [49,4 ; 50,8]$.
\item Quelle est la probabilité que le flacon contienne moins de 50 ml d'eau de parfum ?
\item Calculer l'espérance mathématique de la variable $C$. Interpréter le résultat. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip 

\exo

 \medskip 

\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur exacte de l'intégrale $I=\displaystyle\int_{0}^{2} \dfrac{\e^{0,5x}}{2}  \:\dd x$.
\item En déduire que la fonction $f$ définie sur  $[0;2]$ par $f(x) =\dfrac{\e^{0,5x}}{2\e - 2} $ est une fonction de densité  sur $[0;2]$. 
\item Soit $X$ la variable aléatoire de densité de probabilité  $f$. La probabilité $P( X \geqslant 1,2 )$ est-elle supérieure à 0,5 ? 
\end{enumerate}

\bigskip 

\exo

\medskip 

Dans un supermarché, le  temps d'attente $X$ à la caisse, exprimé en minutes, suit la loi uniforme sur l'intervalle $[1;11]$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer la fonction de densité de probabilité  $f$  de la la loi de $X$.
\item Quelle est la probabilité que le temps d'attente soit compris entre trois  et cinq minutes ?
\item Quelle est la probabilité qu'un client attende plus de huit  minutes à la caisse ? 
\item Préciser le temps d'attente moyen à la caisse. 
\end{enumerate}

\bigskip

\exo
 
 \medskip
 
 Dans la journée, un métro passe toutes les 6 minutes à la station 14.
 
 Soit $X$ le temps d'attente d'une personne à cette station. On suppose que $X$ suit la loi uniforme sur $[0 ; 6]$. 
 
 Quelle est la probabilité que cette personne attende entre 3 et 5 minutes ?
 
\bigskip

\exo
 
 \medskip
 
 Soit $[AB]$ un segment de longueur 8 cm. On choisit au hasard un point $M$ sur le segment $[AB]$ et on note $D$ la variable aléatoire donnant la distance $AM$ en cm.
 
\begin{enumerate}
 \item Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire $D$ ?
 \item Calculer la probabilité que le point $M$ :
 \begin{enumerate}
 \item soit le milieu $I$ du segment $[AB]$ ;
 \item soit à une distance inférieure à 3 cm du point $A$ ;
 \item soit plus près du point $B$ que du milieu $I$.
 \end{enumerate}
 \end{enumerate}

 \bigskip

\exo \hfill (\emph{D'après sujet bac France Métropolitaine, La Réunion septembre 2015})

 \medskip 


Un sismologue déclare en janvier 2014 : \og Le risque d'un séisme majeur le long de la faille de
San Andreas, en Californie, dans les vingt prochaines années est supérieur à 70\,\% \fg.

\medskip

On s'intéresse au temps, exprimé en années, écoulé entre deux séismes majeurs le long de
cette faille en Californie. On admet que ce temps est une variable aléatoire $X$ qui suit une loi
exponentielle de paramètre $\lambda$.

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{document 1}}}

\medskip

\fbox{\begin{minipage}{\linewidth}
La faille de San Andreas, en Californie : séismes majeurs de magnitude supérieure
ou égale à 5.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{Ville}	& \textbf{Année} &\textbf{Magnitude}\\ \hline\hline
Comté d'Orange	& 1769	& 6\\ \hline
San Diego 		&1800	& 6,5\\ \hline
San Francisco 	&1808 	&6\\ \hline
Fort Tejon 		&1857 	&8,3\\ \hline
Monts Santa Cruz&1865 	&6,5\\ \hline
Hayward 		&1868 	&6,9\\ \hline
San Francisco 	&1906 	&8,2\\ \hline
Santa Barbara 	&1925 	&6,3\\ \hline
Santa Barbara 	&1927 	&7,3\\ \hline
Long Beach 		&1933 	&6,3\\ \hline
Comté de Kern 	&1952 	&7,7\\ \hline
San Francisco 	&1957 	&5,3\\ \hline
San Fernando 	&1971 	&6,6\\ \hline
LomaPrieta 		&1989 	&7,1\\ \hline
Parkfield 		&2004 	&6,0\\ \hline
Los Angeles 	&2008 	&5,5\\ \hline
Mexicali 		&2010 	&7,2\\ \hline
Napa 			&2014 	&6,0\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{minipage}
}
\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{document 2}}}

\medskip

\fbox{\begin{minipage}{\linewidth}

\textbf{Rappels sur la loi exponentielle}
\begin{itemize}
\item $\lambda$ est un nombre réel strictement positif.
 
 Une variable aléatoire suit \textbf{la loi exponentielle de paramètre} $\lambda$ si sa densité
de probabilité est définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(x) = \lambda\e^{-\lambda x}$.
\item L'espérance d'une variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre
$\lambda$ est $E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$.
\end{itemize}

\end{minipage}
}
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour illustrer la situation un élève utilise un tableur.
\begin{center}
\scalebox{.8}{
{\footnotesize{
\newrgbcolor{gris1}{.87 .89 .97}
\newrgbcolor{gris2}{.41 .49 .59}
\begin{tabularx}{1.25\linewidth}{|>{\columncolor{gris1}}c|c|*{18}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
\rowcolor{gris1} &A &B &C &D &E &\multicolumn{1}{c|}{\cellcolor{gris2}\white{\bf{F}}} &G &H &I &J &K &L &M &N &O &P &Q &R &S &T\\ \hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex}1& Année& 1769& 1800 &1808 &1857 &1865 &1868 &1906 &1925 &1927 &1933 &1952 &1957 &1971 &1989 &2004 &2008 &2010 &2014& Total\\ \hline
\rule[-2ex]{0pt}{6ex}2&\cellcolor{gris2}& &31 &8 &49 &8 &3 &38 &19 &2 &6 &19 &5 &14 &18 &15 &4 &2 &4 &245\\ \hline
\end{tabularx}}}
}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Proposer un titre pour la cellule A2 grisée.
		\item Quelle formule a saisi l'élève dans la cellule C2 afin de compléter ce tableau jusqu'à la colonne S par \og recopie automatique vers la droite \fg{} ?
 	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer en années la moyenne $m$, arrondie à $10^{-2}$ près, du temps écoulé entre
deux séismes majeurs le long de la faille de San Andreas en Californie.
		\item Justifier qu'une approximation du paramètre $\lambda$ de la loi exponentielle suivie par la variable aléatoire $X$ est \np{0,0694}.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P(X \leqslant 20)$ à $10^{-2}$ près.
		\item L'affirmation du sismologue paraît-elle cohérente avec cette modélisation par
une loi exponentielle?
	\end{enumerate}
\item  Le dernier séisme majeur a eu lieu en 2014 à Napa.
Calculer la probabilité qu'il n'y ait pas d'autres séismes majeurs le long de la faille de
San Andreas, en Californie, avant 2050. On arrondira à $10^{-2}$ près.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation $1 - \e^{\np{-0,0694}t} = 0,95$.
		\item Interpréter ce résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 \bigskip
 
\exo \hfill (\emph{D'après sujet bac France métropolitaine, La Réunion 2016})

 \medskip 

\emph{Les parties A et B sont indépendantes.}

Un pont levant enjambant un canal peu fréquenté est constitué d'un tablier qui, une fois relevé, permet le passage de bateaux de différentes tailles.

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-.5,0)(6.75,5.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\psset{linewidth=1pt, linecolor=bleu}
\psline(-.5,.2)(.75,.2)(.75,0)(5.5,0)(5.5,.2)(6.75,.2)
\pspolygon*(.75,0)(.75,.25)(1,.25)(1,4)(1.25,4)(1.25,.25)(1.5,.25)(1.5,0)
\pspolygon*(4.75,0)(4.75,.25)(5,.25)(5,4)(5.25,4)(5.25,.25)(5.5,.25)(5.5,0)
\psline(.8,3.5)(1.2,4.5)(1.4,4.5)(1.25,4)(1.1,4.25)(1.4,4.5)(1.4,3.4)
\psline(5.45,3.5)(5.05,4.5)(4.85,4.5)(5,4)(5.15,4.25)(4.85,4.5)(4.85,3.4)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=grisb](-.5,.8)(.95,1)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=grisb](1.3,3.2)(4.95,3.4)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=grisb](5.3,.8)(6.75,1)
\uput[u](3.125,4.5){Position haute}
\footnotesize{
\uput[u](3.125,3.4){tablier du pont}
\uput[u](0.225,1){route}
\uput[u](6.025,1){route}
\uput[u](3.125,0){chenal maritime}
}
\end{pspicture} \hfill
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-.5,0)(6.75,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\psset{linewidth=1pt, linecolor=bleu}
\psline(-.5,.2)(.75,.2)(.75,0)(5.5,0)(5.5,.2)(6.75,.2)
\pspolygon*(.75,0)(.75,.25)(1,.25)(1,4)(1.25,4)(1.25,.25)(1.5,.25)(1.5,0)
\pspolygon*(4.75,0)(4.75,.25)(5,.25)(5,4)(5.25,4)(5.25,.25)(5.5,.25)(5.5,0)
\psline(.8,3.5)(1.2,4.5)(1.4,4.5)(1.25,4)(1.1,4.25)(1.4,4.5)(1.4,1)
\psline(5.45,3.5)(5.05,4.5)(4.85,4.5)(5,4)(5.15,4.25)(4.85,4.5)(4.85,1)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=grisb](-.5,.8)(.95,1)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=grisb](1.3,.8)(4.95,1)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=grisb](5.3,.8)(6.75,1)
\uput[u](3.125,4.5){Position basse}
\footnotesize{
\uput[u](3.125,1){tablier du pont}
\uput[u](0.225,1){route}
\uput[u](6.025,1){route}
\uput[u](3.125,0){chenal maritime}
}
\end{pspicture}

\begin{center}
 \fbox{\begin{minipage}{.6\linewidth}
 Hauteur du tablier en position haute : 7 mètres
 
 Longueur du tablier : 30 mètres
 
 Temps de montée du tablier : 2 minutes
 
 Temps en position haute du tablier (hors incident) : 8 minutes
 
 Temps de descente du tablier : 2 minutes
 \end{minipage}}
\end{center}

\medskip

\textsf{\textbf{\textsc{partie a - }} Sur la route}


\medskip

Un automobiliste se présente devant le pont. Le tablier du pont est en position haute. On s'intéresse ici au temps d'attente $D$, exprimé en minutes, de l'automobiliste avant qu'il puisse franchir le canal, pont baissé (hors incident).

\begin{enumerate}
\item Combien de temps l'automobiliste attend-il au minimum ? au maximum ?
\item On admet que le temps d'attente, en minutes, de l'automobiliste pour franchir le pont est une variable aléatoire $D$ qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $[2 ; 10]$.

Déterminer l'espérance $E(D)$ de la variable aléatoire $D$ et interpréter le résultat dans le contexte.
\item Calculer la probabilité que le temps d'attente de l'automobiliste ne dépasse pas 5 minutes.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf{\textbf{\textsc{partie b - }}  Sur l'eau}

\medskip

\emph{Dans cette partie les résultats demandés seront arrondis à $10^{-2}$ près.}

\medskip

Lorsqu'un bateau est passé, le tablier du pont revient en position basse. Le temps, exprimé en heures, avant que le bateau suivant se présente devant le pont est une variable aléatoire $T$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,05$. Ce temps est appelé temps de latence.

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'espérance $E(T)$ de la variable aléatoire $T$ et interpréter le résultat dans le contexte.
\item On considère la fonction $f$ définie sur $[0 ; +\infty[$ par $f(x) = 0,05 \e^{-0,05 x}$.

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $F$ définie sur $[0 ; +\infty[$  par $F(x) = -\e^{-0,05 x}$ est une primitive de $f$.
		\item On rappelle que pour tout nombre réel $t$  de $[0 ; +\infty[$ , $P\left(T \leqslant t\right) = \displaystyle\int_0 ^t f(x) \dd x$.

Démontrer que $P\left(T \leqslant t\right)  = 1 - \e^{-0,05 t}$.
	\end{enumerate} 
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que le temps de latence soit inférieur à une demi-journée, soit 12 heures.
		\item  Calculer la probabilité que le temps de latence soit supérieur à un jour.
		\item  Calculer $P\left(12\leqslant T \leqslant 24\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


 \bigskip 

\exo \hfill (\emph{D'après sujet bac Antilles Guyane 2014})

 \medskip 

Dans cet exercice, on s'intéresse à deux types A et B de téléviseurs à écran plat. 

Les réponses aux questions 1. a., 1. b. et 1. c. seront arrondies au centième.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La durée de fonctionnement, exprimée en heures, d'un téléviseur du type A, avant que survienne la première panne, est modélisée par une variable aléatoire $X$ suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 2 \times 10^{-5}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que la première panne survienne avant la \np{32000}\up{e} heure de fonctionnement. 
		\item On s'intéresse à un téléviseur de type A fonctionnant chaque jour pendant 4 heures. Calculer la probabilité que la première panne d'écran ne survienne pas avant 10 ans.
		 
\emph{On prendra $1$ année = $365$ jours}. 
		\item Calculer la probabilité que la première panne survienne après \np{10000}~heures et avant \np{40000}~heures de fonctionnement. 
		\item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ et en donner une interprétation.
	\end{enumerate} 
\item La durée de fonctionnement avant la première panne d'un téléviseur de type B est modélisée par une variable aléatoire $Y$ suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda'$. 

Une étude statistique a permis d'évaluer $P(Y \leqslant \np{32000}) = 0,8$. 

Calculer la valeur arrondie à $10^{-5}$ de $\lambda'$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
 \exo

 \medskip 

Dans une entreprise de vente par correspondance, une étude statistique a montré que 40 \% des clients ont choisi l'option \og Livraison Express \fg{}. 

On prélève au hasard et de manière indépendante 600 bons de commande. 

On note $X$ la variable aléatoire qui associe le nombre de bons  portant la mention  \og Livraison Express \fg{}. 

\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi probabilité de $X$. Quelle est son espérance mathématique ?
\item On admet que l'on peut approcher la loi de la variable aléatoire $\dfrac{X-240}{12}$ par la loi normale centrée réduite. On note $Z$ une variable aléatoire suivant  la loi normale centrée réduite.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $P(225 \leqslant X \leqslant 270 )=P(-1,25 \leqslant Z \leqslant 2,5 )$.

Quelle est la probabilité, arrondie à  $10^{-3}$ près, que le nombre de bons portant la mention  \og Livraison Express \fg{} soit compris entre 225 et 270 ?
\item Déterminer la probabilité qu'au moins 276  bons portent la mention  \og Livraison Express \fg{}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\begin{center}
\emph{Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à $10^{-3}$ près}
\end{center}

Un produit est conditionné en paquets dont la masse théorique est de 250 grammes.

\medskip

 \textsf{\textsc{\textbf{partie a}}}

\medskip 

La machine en charge du remplissage automatique des paquets est régulièrement calibrée. 

On considère que la durée $T$ de fonctionnement, exprimée en heures, entre deux calibrages, est une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre \mbox{$\lambda = 0,005$}.

\begin{enumerate}
\item Calculer l'espérance $E(T)$ de la variable aléatoire $T$. Interpréter ce résultat.
\item Déterminer $P( T \geqslant 200)$.
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textsc{\textbf{partie b}}}

\medskip

On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à chaque paquet pris au hasard, associe sa masse exprimée en grammes. On considère que $X$ suit la loi normale de moyenne $\mu = 250$ et d'écart type $\sigma = 2,7$.

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité $P(245 \leqslant X \leqslant 260)$. 
\item Le contrôle de conformité mis en place rejette tout paquet dont la masse est inférieure à 245 grammes.
 
Quelle est la probabilité qu'un paquet pris au hasard ne soit pas conforme ?
\end{enumerate}

 \bigskip 
 
\exo

\begin{center} 
\emph{Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à  $10^{- 3}$}
\end{center}

La compagnie aérienne Truc-Air utilise pour ses vols moyen-courriers des avions pouvant transporter 200 passagers.

Suite à une étude qui a permis d'établir que 10\% des clients qui ont réservé un vol ne se présentent pas à l'embarquement, la direction commerciale a décidé de pratiquer le \og surbooking\fg{}.

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip


La compagnie accepte pour un vol donné, 210 réservations.

On note $X$ la variable aléatoire qui associe le nombre de passagers qui se présentent à l'embarquement.

\begin{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
  \item Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$ ?
  \item Déterminer la probabilité $P\left( X\leqslant 200\right)$.
  \end{enumerate}
  \item On choisit d'approcher la loi binomiale de $X$ par une loi normale d'espérance $\mu = E(X)$ et d'écart-type $\sigma = \sigma(X)$. Soit $Y$ l'approximation normale de $X$.
  \begin{enumerate}
  \item Déterminer $P\left( Y\leqslant 200\right)$.
  \item Déterminer un intervalle $I$ de centre 189 tel que $P\left( Y\in I\right)\approx 0,95$.
  \end{enumerate}
 
  \item La compagnie prend-elle un risque important en acceptant 210 réservations pour ce vol ? 
  \end{enumerate} 
  
  \medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

La compagnie accepte pour un vol donné $n$ réservations.

On note $X_{n}$ le nombre de passagers qui se présentent à l'embarquement. La variable aléatoire $X_{n}$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}\left( n ; 0,9 \right)$. 

On cherche à déterminer le nombre maximal de réservations pour que la probabilité de l'évènement \og \mbox{$ X_{n} \leqslant 200$}\fg{} soit supérieure à 0,95.

On admet que la loi de probabilité de $X_{n}$ peut être approchée par une loi normale d'espérance $\mu = E(X_{n})=0,9 n$ et d'écart-type $\sigma = \sigma(X_{n})=0,3 \sqrt{n}$.
\begin{enumerate}
    
  \item On considère la variable aléatoire $Z_{n}= \dfrac{X_{n}-0,9n}{0,3 \sqrt{n}}$ qui suit la loi normale centrée réduite.
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que $X_{n} \leqslant 200$ équivaut à $Z_{n} \leqslant \dfrac{200-0,9n}{0,3 \sqrt{n}}$.
  \item Déterminer à l'aide de la calculatrice, la valeur arrondie à $10^{-3}$ près, du réel $k$ tel que \mbox{$P\left( Z_{n}\leqslant k\right) \geqslant 0,95$}.
  \item En déduire que $n$ est solution de l'inéquation $0,9 n+0,4935 \sqrt{n}-200 \leqslant 0$.
   \end{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
  
  \item On pose $x= \sqrt{n}$ avec $x \geqslant 0$. Résoudre dans $\R^+$, l'inéquation $0,9 x^2+0,4935 x-200 \leqslant 0$.
  \item En acceptant le risque maximum de 5\% de voir plus de 200 passagers se présenter à l'embarquement, quel est le nombre maximal de réservations que cette compagnie peut prendre pour ce vol ?
   \end{enumerate}   
  \end{enumerate}  

\bigskip
 
  \exo  

\medskip
 
Une entreprise fabrique en grande quantité des tubes en aluminium. 

La longueur des tubes est exprimée en millimètres. Un tube est dit \og conforme pour la longueur \fg{} lorsque celle-ci appartient à l'intervalle $[245~;~255]$. 
 
\begin{center} 
\emph{Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à  $10^{- 3}$}
\end{center}

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Dans cette partie, on considère que  5\,\% des tubes ne sont pas conformes pour la longueur. 

On prélève au hasard 50 tubes dans le stock. Le stock est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 50  tubes.

\medskip
 
On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de 50 tubes, associe le nombre de tubes qui ne sont pas conformes pour la longueur.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. 
\item Calculer la probabilité $P(X = 3)$. Interpréter le résultat.
\item Calculer la probabilité que dans un tel prélèvement deux tubes au moins ne sont pas conformes pour la longueur. 
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

On désigne par $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque tube pris au hasard dans la production d'une journée, associe sa longueur.


On admet que la variable aléatoire $Y$ suit la loi normale de moyenne 250 et d'écart type 2,5.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité qu'un tube prélevé au hasard dans la production d'une journée soit conforme pour la longueur. 

\item Le contrôle de conformité mis en place rejette les tubes dont la longueur est inférieure à 245 millimètres.

Quelle est la probabilité pour qu'un tube prélevé au hasard dans la production d'une journée soit rejeté par le contrôle de conformité ?
\end{enumerate}

\bigskip

\exo \hfill (\emph{D'après sujet bac Antilles Guyane 2016})

 \medskip 

\emph{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante. Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à $10^{-3}$ près.}

Un manufacturier de pneumatiques produit des pneus d'avions en grande quantité. 

Il s'engage à livrer des produits spécifiques aux avionneurs de masse maximum
garantie de 124 kg. Ces pneus doivent supporter une charge nominale de 10 tonnes, des vitesses pouvant aller jusqu'à $420\; \text{km.h}^{-1}$ et des températures instables allant de $-40\; ^{\circ}\text{C}$ (en altitude) à $250\; ^{\circ}\text{C}$ (au moment du décollage).

\medskip

\textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip 

On note $M$ la variable aléatoire qui, à chaque pneu prélevé au hasard dans la production, associe sa masse en kilogramme. On admet que la variable aléatoire $M$
suit la loi normale de moyenne $\mu = 121,37$ et d'écart type $\sigma = 0,42$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité qu'un pneu prélevé au hasard ait une masse en kg comprise entre 120,95 et 121,79.
\item Déterminer la probabilité qu'un pneu prélevé au hasard ait une masse en kg supérieure à 122,63.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip 

Un pneu trop lourd entraîne une augmentation de la consommation du kérosène.

Lorsque la masse d'un pneu reçu par une compagnie aérienne dépasse 121,9 kg cela entraîne des pénalités financières pour le manufacturier.

Sur la chaîne de fabrication, on prélève de façon aléatoire un échantillon de 36 pneus et on constate que 2 d'entre eux ont une masse qui dépasse 121,9 kg.


\begin{enumerate}
 \item Quelle est la fréquence des pneus dans l'échantillon prélevé dont la masse dépasse 121,9 kg ?
 \item Déterminer l'intervalle de confiance avec un niveau de confiance de 95\;\% de la proportion de pneus dont la masse dépasse 121,9 kg dans la production.

\emph{On rappelle que lorsqu'une fréquence $f$ est mesurée dans un échantillon de taille $n$, l'intervalle de confiance à 95\;\% de la proportion dans la population est donné par :}\[I=\left[f - 1,96\sqrt{\dfrac{f(1 - f)}{n}} ; f + 1,96\sqrt{\dfrac{f(1 - f)}{n}}\right]\]
\item Donner une interprétation du résultat précédent.
 \end{enumerate} 

 \bigskip 

\exo \hfill (\emph{D'après sujet bac France métropolitaine, La Réunion septembre 2016})

 \medskip 

\emph{Dans cet exercice, toutes les probabilités demandées seront arrondies à $10^{-3}$.}

Une usine métallurgique fabrique des boîtes de conserve pour des entreprises spécialisées dans le conditionnement industriel de légumes.

La probabilité qu'une boîte prélevée au hasard soit non conforme est 0,04.

Un lot de 200 boîtes choisies au hasard est livré à une entreprise spécialisée dans le conditionnement des légumes. Le nombre de boîtes fabriquées par cette usine métallurgique est assez important pour pouvoir assimiler un tel prélèvement à un tirage avec remise de 200 boîtes.

\medskip

\textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

La variable aléatoire $X$ désigne le nombre de boîtes non conformes dans un tel lot.

\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
\item Déterminer la probabilité qu'un tel lot contienne exactement quatre boîtes non conformes.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

On décide d'approcher la loi binomiale suivie par $X$ par la loi normale d'espérance $\mu = 8$ et d'écart type $\sigma = 2,77$.

\begin{enumerate}
\item Justifier le choix de ces paramètres.
\item À l'aide de la loi normale ainsi définie :
\begin{enumerate}
\item calculer $P(6 \leqslant X \leqslant 10)$ et interpréter le résultat trouvé ;
\item déterminer une approximation de la probabilité qu'il y ait au maximum 4 boîtes non conformes.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textsf{\textbf{\textsc{partie c}}}

\medskip 

Dans le lot livré de 200 boîtes, on compte 11 boîtes non conformes. Le fabricant des boîtes est averti. Doit-il s'inquiéter ?

\emph{On pourra utiliser un intervalle de fluctuation.}


 \bigskip 

\exo \hfill (\emph{D'après sujet bac Nouvelle Calédonie 2016})

 \medskip 

Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante. Dans l'ensemble de l'exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près.

Une usine fabrique des batteries au lithium-ion pour des vélos électriques. Le cahier des charges indique qu'une batterie mesure 15 cm de large.

Lors de la fabrication, on modélise la largeur des batteries par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale de moyenne $\mu = 15$ et d'écart-type $\sigma = 0,02$. L'objectif de cet exercice est d'analyser la qualité de la production dans cette usine.

\medskip

\textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip 

Une batterie est jugée conforme lorsque sa largeur, exprimée en centimètres, appartient à l'intervalle $[14,95 ; 15,05]$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité qu'une batterie prélevée au hasard dans la production soit non conforme.
\end{enumerate}
L'usine vend ses batteries au lithium-ion par lots de \np{2000} aux fabricants de vélos électriques. En moyenne, chaque lot de \np{2000} batteries en contient 24 non conformes.

On note $p$ la probabilité qu'une batterie soit non conforme. On prélève au hasard \np{2000} batteries dans la production. La production est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise.

On modélise le nombre de batteries non conformes dans un lot de \np{2000} par une variable aléatoire $Y$.
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item Quelle loi suit la variable aléatoire $Y$ ? Préciser ses paramètres.
\item Calculer la probabilité qu'il y ait au moins $30$ batteries non conformes dans un lot de \np{2000} batteries.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip 

Dans le cadre d'un fonctionnement correct des machines de la chaîne de production, on admet que la proportion $p$ de batteries non conformes est 1,2\,\%.

Le responsable de l'usine affirme qu'il ne vend pas de lot de \np{2000}~batteries qui en contienne plus de $40$ non conformes. Quelle est la fiabilité de cette affirmation ? Justifier.

\bigskip

\exo

\begin{center}

\emph{Sauf mention contraire, les résultats seront donnés sous forme décimale arrondis à $10^{-4}$ près.}

\end{center}
 
Une usine fabrique en grande quantité des lames de parquet en chêne.

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip
 
On prélève au hasard 40 lames dans le stock, pour vérification. On admet que la probabilité qu'une lame prélevée au hasard dans ce stock ait un défaut est égale à 0,1. 

Le stock est suffisamment important pour assimiler le lot de 40 lames à un tirage avec remise de 40 lames. 
 
On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de 40 lames dans ce stock, associe le nombre de lames ayant un défaut.
 
\begin{enumerate}
	\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
	\item Calculer l'espérance mathématique $E(X)$. Interpréter le résultat. 
	\item Déterminer la probabilité de trouver quatre lames qui ont un défaut. 
	\item Déterminer la probabilité qu'au moins deux lames ont un défaut. 
\end{enumerate}	
	 
\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

 Pour satisfaire la commande d'un client, on prélève au hasard dans le stock 400 lames.
 
 On admet que la loi de la variable aléatoire $Z$ qui, à tout prélèvement de 400 lames dans ce stock, associe le nombre de lames ayant un défaut peut être approchée par la loi normale de moyenne 40 et d'écart type 6. 
 
 \begin{enumerate}
 \item 	Déterminer, la probabilité que dans un prélèvement de 400 lames, il y ait plus de 50 lames ayant un défaut. 
		\item Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95 \% de la proportion de lames ayant un défaut. 		
		En déduire le nombre de lames ayant un défaut que le client peut trouver avec une probabilité proche de 0,95.
		
		\end{enumerate} 

\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{partie c}}}

\medskip
 
Le fabriquant souhaite évaluer la proportion inconnue $p$ de clients satisfaits par son produit. Pour cela, il effectue un sondage auprès d'un échantillon de 200 clients. Sa clientèle est suffisamment importante pour considérer que cet échantillon résulte d'un tirage aléatoire avec remise.
 
Lors de ce sondage, 156  clients se sont déclarés satisfaits par son produit.  
 
\begin{enumerate}
\item Donner une estimation ponctuelle $f$ de la proportion $p$ de clients satisfaits. 
\item Déterminer un intervalle de confiance centré sur $f$ de la proportion $p$ avec le coefficient de confiance 95 \%. Arrondir les bornes de l'intervalle à $10^{- 2}$. 
\item Ce fabriquant peut-il être certain que plus de 70\% de sa clientèle est satisfaite par son produit ? 
\end{enumerate}


 \bigskip 

\exo \hfill (\emph{D'après sujet bac France métropolitaine, La Réunion 2015})

 \medskip 


\emph{Dans l'ensemble de l'exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-4}$ près.}

\medskip

L'usine OCEFRAIS embouteille des jus de fruits. L'étiquette de la bouteille indique 1,5 litre de jus de fruits. Le volume de la bouteille est de 1,55 litre.

À l'embouteillage, le volume de jus de fruits versé dans une bouteille est une variable aléatoire
$X$ qui suit la loi normale de moyenne $\mu = 1,5$ et d'écart-type $\sigma = 0,015$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item L'une des trois figures donne la courbe représentative $C_f$ de la densité $f$ de cette loi normale. Indiquer sur la copie le numéro de la figure correspondante en expliquant votre choix.
		
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-.2,-1.5)(11,3)
\rput(5.4,-1){Figure 1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{1/(.015*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-.5)/.015)^2)/2)}
\psgrid[gridwidth=.5pt,griddots=10,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(11,3)
\psset{xunit=5cm,yunit=0.1cm,comma=true}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=.2,Dy=10]{-}(0,0)(-.04,-2)(2.2,30)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=5000,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{0}{2.2}{\f}
\end{pspicture}

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-.2,-1.5)(11,3)
\rput(5.4,-1){Figure 2}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{1/(.015*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-1)/.015)^2)/2)}
\psgrid[gridwidth=.5pt,griddots=10,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(11,3)
\psset{xunit=5cm,yunit=0.1cm,comma=true}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=.2,Dy=10]{-}(0,0)(-.04,-2)(2.2,30)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=5000,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{0}{2.2}{\f}
\end{pspicture}

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-.2,-1)(11,3)
\rput(5.4,-1){Figure 3}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{1/(.015*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-1.5)/.015)^2)/2)}
\psgrid[gridwidth=.5pt,griddots=10,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(11,3)
\psset{xunit=5cm,yunit=0.1cm,comma=true}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=.2,Dy=10]{-}(0,0)(-.04,-2)(2.2,30)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=5000,linewidth=1pt, linecolor=bleu]{0}{2.2}{\f}
\end{pspicture}

\end{center}

\medskip

		\item Déterminer $P(1,485 \leqslant X \leqslant 1,515)$.
	\end{enumerate}
\item On choisit au hasard une bouteille de jus de fruits.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité que cette bouteille contienne exactement 1,48 litre de jus de fruits ?
		\item Calculer la probabilité que cette bouteille contienne entre 1,46 litre et 1,54 litre de jus de fruits.
		\item Quelle est la probabilité que cette bouteille déborde sur la chaîne d'embouteillage ?
		
On rappelle que toutes les bouteilles utilisées ont un volume de $1,55$ litre.
	\end{enumerate}
\item Une bouteille est dite conforme si elle contient entre 1,46 litre et 1,54 litre de jus de fruits.

Selon l'usine OCEFRAIS, la probabilité qu'une bouteille soit non conforme est  0,0077.

Un supermarché achète un lot de \np{10000} bouteilles.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% de la fréquence observée de bouteilles non conformes dans un tel lot.
		\item Dans le lot de \np{10000} bouteilles, on a compté 90 bouteilles non conformes. Le gérant du supermarché trouve le nombre de bouteilles non conformes anormalement élevé.
		
L'usine OCEFRAIS a-t-elle des raisons de s'inquiéter?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

  \end{document}