sujet : Antilles Guyane 2019

correction de l'exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.
ndiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante choisie.

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1. On considère une fonction f dont le tableau de variations et le tableau de signes sont donnés ci-dessous :

   x	$-\infty$		$-1$		0		1		$+\infty$
   f

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   x	$-\infty$		$-1$		1		2		$+\infty$
   Signe de $f\left(x\right)$		+	$\left|\right|$	+	$\left|\right|$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

   Une courbe susceptible de représenter la fonction f est :

   • La courbe a ne convient pas car sur l'intervalle $\left[-1;1\right]$ la fonction f est positive.

   • Les courbes b et d ne conviennent pas car la fonction f n'est pas défine en $-1$ et en 1.

   La courbe c est la seule courbe susceptible de représenter la fonction f.

   a.	b.
   c.	d.

2. On considère f et g deux fonctions définies sur $ℝ$ par : $f\left(x\right)=4x^3$ et $g\left(x\right)=x^2+x+2$.
   On note :

   • ${𝒞}_f$ et ${𝒞}_g$ les courbes représentatives respectives des fonctions f et g.
   • 𝒟 le domaine délimité par les courbes ${𝒞}_f$ et ${𝒞}_g$, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=1$.

   L'aire du domaine 𝒟, exprimée en unité d'aire, est égale à :

   La courbe ${𝒞}_g$ est au dessus de la courbe ${𝒞}_f$ par conséquent, l'aire du domaine 𝒟, exprimée en unité d'aire, est égale à ${\displaystyle {\int }_0^{1}g\left(x\right)-f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ :$$\begin{array}{rcl}{\displaystyle {\int }_0^1{x}^2+x+2-4x^3\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle {\left[{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+2x-x^4\right]}_0^1}\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}+2-1\\ & =& {\displaystyle \frac{11}{6}}\end{array}$$

   L'aire du domaine 𝒟 est égale à ${\displaystyle \frac{11}{6}}$ unités d'aire.

   a. ${\displaystyle \frac{31}{24}}$

   b. ${\displaystyle \frac{31}{12}}$

   c. ${\displaystyle \frac{15}{8}}$

   d. ${\displaystyle \frac{11}{6}}$

3. Le graphique ci-dessous donne la courbe représentative de la densité d'une variable aléatoire suivant une loi normale de paramètres μ et σ. L'aire du domaine grisé est environ égale à 0,68.

   À partir de ce graphique, on en déduit que :

   • La courbe représentative de la fonction densité de probabilité de la variable aléatoire suivant une loi normale admet pour axe de symétrie la droite d'équation $x=5$ donc $\mu =5$.

   • Si la variable aléatoire X suit la loi normale d'espérance μ et d'écart-type σ alors, $P\left(\mu -\sigma ⩽X⩽\mu +\sigma \right)\approx \mathrm{0,68}$. On en déduit d'après le graphique que $P\left(5-\sigma ⩽X⩽5+\sigma \right)=P\left(3⩽X⩽7\right)$. Soit $\sigma =2$.

   La variable aléatoire suit la loi normale de paramètes $\mu =5$ et $\sigma =2$.

   a. $\mu =2$ et $\sigma =5$

   b. $\mu =\mathrm{0,2}$ et $\sigma =5$

   c. $\mu =5$ et $\sigma =1$

   d. $\mu =5$ et $\sigma =2$

4. Soit a un nombre réel. La variable aléatoire X suit la loi uniforme sur $\left[3;a\right]$. On sait que $P\left(X<7\right)=\mathrm{0,8}$.

   La valeur de a est :

   La variable aléatoire X suit la loi uniforme sur $\left[3;a\right]$ d'où :$$\begin{array}{rcl}P\left(X<7\right)=\mathrm{0,8}& \iff & {\displaystyle \frac{7-3}{a-3}}=\mathrm{0,8}\\ & \iff & 4=\mathrm{0,8}\times \left(a-3\right)\\ & \iff & \mathrm{0,8}a=\mathrm{6,4}\\ & \iff & a=8\end{array}$$

   La variable aléatoire X suit la loi uniforme sur $\left[3;8\right]$.

   a. 0,72

   b. 9

   c. 8

   d. 8,2

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