Baccalauréat technologique 2017 MATHÉMATIQUES Série STI2D

sujet : Polynésie 2017

correction de l'exercice 4

Dans un parc régional, on étudie une espèce de renards. Cette population était de 1240 renards à la fin de l'année 2016.
On modélise par $u_{n}$ le nombre de renards dans le parc régional à la fin de l'année $2016 + n$ . On a donc $u_{0} = 1240$ .
On estime à 15 % par an la baisse du nombre $u_{n}$ .
On suppose que cette évolution restera identique pour les années à venir.

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à l'unité.

partie a

Montrer qu'à la fin de l'année 2017, la population de renards sera de 1054.
$1240 \times (1 - \frac{15}{100}) = 1054$
À la fin de l'année 2017, la population de renards sera de 1054.
1. Donner la valeur de $u_{1}$ puis calculer $u_{2}$ .
  $u_{1} = 1054$ et, $u_{2} = 1054 \times 0,85 = 895,9$ .
2. Exprimer $u_{n + 1}$ en fonction de $u_{n}$ .
  Pour tout entier naturel n on a : $\begin{array}{rcl} u_{n + 1} = u_{n} \times (1 - \frac{15}{100}) & \Leftrightarrow & u_{n + 1} & = & 0,85 & \times & u_{n} \end{array}$
  Pour tout entier naturel n on a $u_{n + 1} = 0,85 \times u_{n}$ .
3. En déduire la nature de la suite $(u_{n})$ et préciser ses éléments caractéristiques.
  La suite $(u_{n})$ est définie par $u_{0} = 1240$ et, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = 0,85 \times u_{n}$ donc :
  $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison $q = 0,85$ et de premier terme $u_{0} = 1240$ .
Déterminer une estimation du nombre de renards présents dans le parc régional à la fin de l'année 2020.
$(u_{n})$ est une suite géométrique de raison $q = 0,85$ et de premier terme $u_{0} = 1240$ donc pour tout entier naturel n, $u_{n} = 1240 \times {0,85}^{n}$ .
$u_{4} = 1240 \times {0,85}^{4} \approx 647,3$
Selon ce modèle, à la fin de l'année 2020, il y aura environ 647 renards présents dans le parc régional.
Déterminer la limite de la suite $(u_{n})$ . Comment interpréter ce résultat ?
$0 < 0,85 < 1$ donc $\lim_{n \to + \infty} {0,85}^{n} = 0$ d'où, $\lim_{n \to + \infty} 1240 \times {0,85}^{n} = 0$ . Soit $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 0$ .
La suite $(u_{n})$ converge vers 0 donc à partir d'un certain nombre d'années, il n'y aura plus de renards présents dans le parc régional.
Des scientifiques considèrent que l'espèce des renards présents dans le parc sera en situation d'extinction à partir du moment où le nombre de renards deviendra strictement inférieur à 100.
À partir de quelle année l'espèce de renards présents dans le parc sera-t-elle en situation d'extinction ?
On cherche à déterminer le plus petit entier n solution de l'inéquation $u_{n} < 100$ : $\begin{array}{rcll} 1240 \times {0,85}^{n} < 100 & \Leftrightarrow & {0,85}^{n} < \frac{100}{1240} \\ \Leftrightarrow & \ln ({0,85}^{n}) < \ln \frac{5}{62} & La fonction \ln est strictement croissante \\ \Leftrightarrow & n \times \ln 0,85 < \ln \frac{5}{62} & Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier n, \ln a^{n} = n \ln a \\ \Leftrightarrow & n > \frac{\ln \frac{5}{62}}{\ln 0,85} & \ln 0,85 < 0 \end{array}$
Comme $\frac{\ln \frac{5}{62}}{\ln 0,85} \approx 15,5$ alors, le plus petit entier n solution de l'inéquation $u_{n} < 100$ est $n = 16$ .
L'espèce de renards présents dans le parc sera en situation d'extinction à partir de 2032.

partie b

Afin de préserver l'espèce, on décide d'introduire à chaque année 30 renards à partir de la fin de l'année 2017.
On note $v_{n}$ le nombre de renards présents dans le parc à la fin de l'année $2016 + n$ .
On estime à 15 % par an la baisse du nombre $v_{n}$ .
On a $v_{0} = 1240$ .

Calculer $v_{1}$ .
$v_{1} = 1240 \times 0,85 + 30 = 1084$ .
Dans cette question, toute trace de réponse cohérente sera prise en compte.
On admet que pour tout entier naturel n on a $v_{n} = 200 + 1040 \times {0,85}^{n}$ .
Que pensez-vous de l'affirmation suivante : « Le nombre de renards va diminuer et se stabiliser vers 200 ».
- Étudions le sens de variation de la suite $(v_{n})$
  Pour tout entier $n ⩾ 1$ : $\begin{array}{rcl} v_{n + 1} - v_{n} & = & (200 + 1040 \times {0,85}^{n + 1}) - (200 + 1040 \times {0,85}^{n}) \\ = & 1040 \times {0,85}^{n + 1} - 1040 \times {0,85}^{n} \\ = & 1040 \times {0,85}^{n} \times (0,85 - 1) \\ = & - 156 \times {0,85}^{n} \end{array}$
  Comme pour tout entier naturel n, on a ${0,85}^{n} > 0$ on en déduit que pour tout entier n, $v_{n + 1} - v_{n} < 0$ donc la suite $(v_{n})$ est strictement décroissante.
- Étudions la limite de la suite $(v_{n})$
  $0 < 0,85 < 1$ donc $\lim_{n \to + \infty} {0,85}^{n} = 0$ d'où, $\lim_{n \to + \infty} 200 + 1040 \times {0,85}^{n} = 200$ . Soit $\lim_{n \to + \infty} v_{n} = 200$ .
La suite $(v_{n})$ est strictement décroissante et converge vers 200 donc l'affirmation : « Le nombre de renards va diminuer et se stabiliser vers 200 » est vraie.

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