Baccalauréat technologique 2018 MATHÉMATIQUES Série STI2D

sujet : France métropolitaine La Réunion septembre 2018

correction de l'exercice 3

Une société d'extraction de gravier reçoit une commande de 550 000 tonnes de gravier pour la construction d'un tronçon d'autoroute. Pour satisfaire cette commande, elle exploite un nouveau gisement de pierre.

Le responsable a recensé les masses journalières de gravier extraites de ce gisement au cours de son exploitation. La tendance observée et son expérience professionnelle le conduisent à modéliser la masse journalière de gravier extraite, exprimée en tonnes, par la fonction f définie sur l'intervalle $[0; 600]$ par : $f (x) = (0,2 x^{2} + 30 x) e^{- 0,01 x}$ où x désigne le temps écoulé en jours depuis le début de l'exploitation du gisement.

partie a

1. Démontrer que, pour tout x de l'intervalle $[0; 600]$ , $f' (x) = (- 0,002 x^{2} + 0,1 x + 30) e^{- 0,01 x}$ .
  La fonction f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : $f = u v$ d'où $f' = u' v + u v'$ avec pour tout réel x de l'intervalle $[0; 600]$ , ${\begin{array}{lcl} u (x) = 0,2 x^{2} + 30 x & ; & u' (x) = 0,4 x + 30 \\ v (x) = e^{- 0,01 x} & ; & v' (x) = - 0,01 e^{- 0,01 x} \end{array}$
  Soit pour tout réel x de l'intervalle $[0; 600]$ , $\begin{array}{rcl} f' (x) & = & (0,4 x + 30) e^{- 0,01 x} + (0,2 x^{2} + 30 x) \times (- 0,01 e^{- 0,01 x}) \\ = & (0,4 x + 30 - 0,002 x^{2} - 0,3 x) e^{- 0,01 x} \\ = & (- 0,002 x^{2} + 0,1 x + 30) e^{- 0,01 x} \end{array}$
  Ainsi, $f'$ est la fonction définie sur l'intervalle $[0; 600]$ par $f' (x) = (- 0,002 x^{2} + 0,1 x + 30) e^{- 0,01 x}$
2. Vérifier que, pour tout x de l'intervalle $[0; 600]$ , $f' (x) = 0,002 (- x + 150) (x + 100) e^{- 0,01 x}$ .
  Pour tout réel x, $0,002 (- x + 150) (x + 100) = 0,002 (- x^{2} - 100 x + 150 x + 15000) = - 0,002 x^{2} + 0,1 x + 30$
  Ainsi, pour tout x de l'intervalle $[0; 600]$ , $f' (x) = 0,002 (- x + 150) (x + 100) e^{- 0,01 x}$ .

Étudier le signe de $f' (x)$ sur l'intervalle $[0; 600]$ .
Pour tout réel x, $e^{- 0,01 x} > 0$ donc $f' (x)$ est du même signe que le polynôme du second degré : $- 0,002 x^{2} + 0,1 x + 30$ . Les racines du polynôme sont $x_{1} = 150$ et $x_{2} = = 100$ . Comme le coefficient de $x^{2}$ est négatif, nous pouvons en déduire le tableau du signe de $f' (x)$ sur l'intervalle $[0; 600]$ :
x 0 150 600
Signe de $f' (x)$ + $0_{|}^{|}$ −

Dresser le tableau de variations de f sur l'intervalle $[0; 600]$ .

Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée :

x	0		150		600
$f' (x)$		+	$0_{\|}^{\|}$	−
$f (x)$	0		$9000 e^{- 1,5}$		$90000 e^{- 6}$

En déduire au bout de combien de jours la masse journalière de gravier extraite sera maximale. Quelle est alors cette masse maximale, en tonnes ?
Le maximum de la fonction f est atteint pour $x = 150$ et $f (150) = 9000 e^{- 1,5} \approx 2008$
La masse journalière de gravier extraite sera maximale le 150^e jour d'exploitation. Cette masse est d'environ 2008 tonnes.

La courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous :
Après avoir atteint son maximum, la masse journalière de gravier extraite diminue. Déterminer graphiquement au bout de combien de jours elle deviendra alors inférieure à 1000 tonnes.
Répondre avec la précision permise par le graphique.
Avec la précision permise par le graphique, la masse journalière de gravier extraite deviendra inférieure à 1000 tonnes au bout de combien de 360 jours.

partie b

Un logiciel de calcul formel a permis d'obtenir les résultats suivants :

1	$f (x) = (0,2 * x ˄ 2 + 30 * x) * \exp (- 0,01 * x)$
	$(0,2 x^{2} + 30 x) \exp (- 0,01 x)$
2	intégrer $(f (x) x)$
	$(- 20 x^{2} - 7 000 x - 700 000) \exp (- 0,01 x)$
3	intégrer $(f (x) x 0600)$
	$- 12 100 000 \exp (- 6) + 700 000$
4	approcher(intégrer $(f (x) x 0600)$ )
	670 007,098 662

1. Que représente le résultat fourni par le logiciel en ligne 2 ?
  Le résultat fourni par le logiciel en ligne 2 est une expression d'une primitive de la fonction f.
2. Une valeur approchée de la masse totale de gravier extraite, en tonnes, entre le début de l'exploitation et le 600^e jour d'exploitation est donnée par : $I = \int_{0}^{600} f (x) d x$ .
  La commande pourra-t-elle être satisfaite au bout de 600 jours ?
  D'après le résultat fourni par le logiciel en ligne 4, la masse totale de gravier extraite sera supérieure à la commande de 550 000 tonnes.
Le responsable du chantier d'extraction estime que la commande sera satisfaite au bout de 400 jours.
Qu'en pensez-vous ? Justifier la réponse par un calcul.
$\begin{array}{rcl} \int_{0}^{400} f (x) d x & = & {[(- 20 x^{2} - 7 000 x - 700 000) e^{- 0,01 x}]}_{0}^{400} \\ = & - 6 700 000 e^{- 4} + 700 000 \\ \approx & 577 285 \end{array}$
Au bout de 400 jours, la masse totale de gravier extraite est d'environ 577 285 tonnes ce qui permettra de satisfaire la commande.

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