sujet : Antilles Guyane 2019

correction de l'exercice 2

L'énergie houlomotrice est obtenue par exploitation de la force des vagues. Il existe différents dispositifs pour produire de l'électricité à partir de cette énergie. Les installations houlomotrices doivent être capables de résister à des conditions extrêmes, ce qui explique que le coût actuel de production d'électricité par énergie houlomotrice est élevé.
On estime qu'en 2018 le coût de production d'un kilowattheure (kWh) par énergie houlomotrice était de 24 centimes d'euros. C'est nettement plus que le coût de production d'un kilowattheure par énergie nucléaire, qui était de 6 centimes d'euros en 2018.
On admet qu'à partir de 2018 les progrès technologiques permettront une baisse de 5 % par an du coût de production d'un kilowattheure par énergie houlomotrice.

Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.

partie a

Pour tout entier naturel n, on note $c_n$ le coût de production, en centime d'euro, d'un kilowattheure d'électricité produite par énergie houlomotrice pour l'année $2018+n$.
Ainsi, $c_0=24$.

1. 1. Calculer $c_1$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

      Le coefficient multiplicateur associé à une diminution de 5 % est égal à 0,95. $$c_1=24\times \mathrm{0,95}=\mathrm{22,8}$$

      Ainsi, $c_1=\mathrm{22,8}$. Le coût de production d'un kilowattheure d'électricité produite par énergie houlomotrice pour l'année 2019 est de 22,8 centimes d'euro.

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   2. Déterminer la nature de la suite $\left(c_n\right)$ et donner ses éléments caractéristiques.

      Pour tout entier naturel n, $c_{n+1}=\mathrm{0,95}{c}_n$ donc la suite $\left(c_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q=\mathrm{0,95}$ dont le premier terme est $c_0=24$.

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   3. Pour tout entier natureln, exprimer $c_n$ en fonction de n.

      $\left(c_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q=\mathrm{0,95}$ et de premier terme $c_0=24$ alors, pour tout entier naturel n, $c_n=24\times {\mathrm{0,95}}^n$.

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2. Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation ${\mathrm{0,95}}^n<\mathrm{0,25}$.

   $$\begin{array}{rcll}{\mathrm{0,95}}^n<\mathrm{0,25}& \iff & \ln \left({\mathrm{0,95}}^n\right)<\ln \left(\mathrm{0,25}\right)& \text{La fonction }\ln \text{ est strictement croissante}\\ & \iff & n\times \ln \left(\mathrm{0,95}\right)<\ln \left(\mathrm{0,25}\right)& \text{Pour tout réel }a\text{ strictement positif et pour tout entier }n\text{, }\ln a^n=n\ln a\\ & \iff & n>{\displaystyle \frac{\ln \left(\mathrm{0,25}\right)}{\ln \left(\mathrm{0,95}\right)}}& \ln \left(\mathrm{0,95}\right)<0\end{array}$$

   Or ${\displaystyle \frac{\ln \left(\mathrm{0,25}\right)}{\ln \left(\mathrm{0,95}\right)}}\approx \mathrm{27,03}$ donc le plus petit entier n solution de l'inéquation ${\mathrm{0,95}}^n<\mathrm{0,25}$ est $n=28$.

   Les solutions entières de l'inéquation ${\mathrm{0,95}}^n<\mathrm{0,25}$ sont les entiers $n⩾28$.

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3. Dans cette question, on admet que le coût de production d'un kilowattheure par énergie nucléaire reste constant et égal à 6 centimes d'euros.
   Déterminer l'année à partir de laquelle le coût d'un kilowattheure produit par énergie houlomotrice deviendra inférieur au coût d'un kilowattheure produit par énergie nucléaire.

   On cherche le plus petit entier n solution de l'inéquation $$24\times {\mathrm{0,95}}^n<6\iff {\mathrm{0,95}}^n<\mathrm{0,25}$$

   Soit $n=28$. C'est à partir de 2046 que le coût d'un kilowattheure produit par énergie houlomotrice deviendra inférieur au coût d'un kilowattheure produit par énergie nucléaire.

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4. Dans cette question, on estime que le coût de production d'un kilowattheure par énergie nucléaire va augmenter tous les ans d'un centime d'euro. On souhaite alors déterminer l'année à partir de laquelle le coût d'un kilowattheure produit par énergie houlomotrice deviendra inférieur au coût d'un kilowattheure produit par énergie nucléaire.

   1. Recopier et compléter l'algorithme suivant afin que la valeur de la variable N en sortie d'algorithme permette de répondre au problème.

      $C\leftarrow 24$
      $D\leftarrow 6$
      $N\leftarrow 2018$

      Tant que $C⩾D$
      $C\leftarrow \mathrm{0,95}\times C$
      $D\leftarrow D+1$
      $N\leftarrow N+1$
      Fin Tant que

   2. Répondre au problème posé. Aucune justification n'est demandée.

      On peut programmer l'algorithme sur la calculatrice ou l'exécuter pas à pas. Dans le tableau ci-dessous, les valeurs de C sont arrondies au dixième.

      Test $C⩾D$	VRAI	VRAI	VRAI	VRAI	VRAI	VRAI	VRAI	VRAI	VRAI	VRAI	FAUX
      Valeur de C	24	22,8	21,7	20,6	19,5	18,6	17,6	16,8	15,9	15,1	14,4
      Valeur de D	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
      Valeur de N	2018	2019	2020	2021	2022	2023	2024	2025	2026	2027	2028

      C'est à partir de 2028 que le coût d'un kilowattheure produit par énergie houlomotrice deviendra inférieur au coût d'un kilowattheure produit par énergie nucléaire.

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partie b

On admet que la durée de vie d'un composant électronique d'une installation houlomotrice, exprimée en année, est une variable aléatoire X qui suit la loi exponentielle dont le paramètre est $\lambda =\mathrm{0,04}$.

1. Déterminer la durée de vie moyenne de ce composant électronique.

   L'espérance mathématique de la variable aléatoire X qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda =\mathrm{0,04}$ est :$E\left(X\right)={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,04}}}=25$

   La durée de vie moyenne du composant électronique est de 25 ans.

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2. On considère la fonction f définie sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=\mathrm{0,04}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,04}x}$.

   1. Déterminer une primitive F de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$.

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ on pose $u\left(x\right)=-\mathrm{0,04}x$ alors, $u\prime \left(x\right)=-\mathrm{0,04}$. Ainsi, $f\left(x\right)=-u\prime \left(x\right)\times {\mathrm{e}}^{u\left(x\right)}$ d'où $F\left(x\right)=-{\mathrm{e}}^{u\left(x\right)}$.

      Une primitive de la fonction f est la fonction F définie sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par $F\left(x\right)=-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,04}x}$.

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   2. On rappelle que, pour tout nombre réel t de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ : $P\left(X⩽t\right)={\displaystyle {\int }_0^{t}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.
      Démontrer que $P\left(X⩽t\right)=1-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,04}t}$.

      $$\begin{array}{rcl}P\left(X⩽t\right)& =& {\displaystyle {\int }_0^{t}f\left(x\right)\mathrm{d}x}\\ & =& F\left(t\right)-F\left(0\right)\\ & =& -{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,04}t}-\left(-{\mathrm{e}}^0\right)\\ & =& -{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,04}t}+1\end{array}$$

      Ainsi, $P\left(X⩽t\right)=1-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,04}t}$.

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3. 1. Calculer $P\left(X>15\right)$. Donner le résultat arrondi à ${10}^{-3}$.

      $$\begin{array}{rcl}P\left(X>15\right)& =& 1-P\left(X⩽15\right)\\ & =& 1-\left(1-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,04}\times 15}\right)\\ & =& {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,6}}\end{array}$$

      $P\left(X>15\right)={\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,6}}\approx \mathrm{0,549}$.

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   2. Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.

      La probabilité que le composant électronique ait une durée de vie supérieure à 15 ans est 0,549.

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