Baccalauréat technologique 2019 MATHÉMATIQUES Série STI2D

sujet : France métropolitaine, La Réunion 2019

correction de l'exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse.

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O; \vec{u}, \vec{v})$ .
On note $z_{A}$ l'affixe d'un point A appartenant au cercle de centre O et de rayon 4. La partie réelle de $z_{A}$ est positive et sa partie imaginaire est égale à 2.
Le nombre complexe $z_{A}$ a pour forme exponentielle :
Soit θ un argument du nombre complexe $z_{A}$ . Le point A appartient au cercle de centre O et de rayon 4 d'où $z_{A} = 4 (\cos θ + i \sin θ)$ .
Comme la partie réelle de $z_{A}$ est positive et sa partie imaginaire est égale à 2, on en déduit que : $\begin{matrix} {\begin{matrix} \cos θ ⩾ 0 \\ 4 \sin θ = 2 \end{matrix} & \Leftrightarrow & {\begin{matrix} \cos θ ⩾ 0 \\ \sin θ = \frac{1}{2} \end{matrix} & \Leftrightarrow & θ = \frac{π}{6} [2 π] \end{matrix}$ D'où $z_{A} = 4 e^{i \frac{π}{6}}$ .
a.   $4 e^{- i \frac{π}{6}}$
b.   $- 4 e^{i \frac{π}{6}}$
c.   $4 e^{i \frac{π}{6}}$
d.   $- 4 e^{- i \frac{π}{6}}$
Le nombre $- 3$ est solution de l'équation :
$\begin{matrix} \ln (e^{x}) = - 3 & \Leftrightarrow & x = - 3 \end{matrix}$
a.   $\ln (x) = - \ln (3)$
b.   $\ln (e^{x}) = - 3$
c.   $e^{\ln (x)} = 3$
d.   $e^{x} = 3$
On considère la fonction g définie sur l'intervalle $] - \frac{1}{2}; + \infty [$ par $g (x) = \frac{e^{x}}{2 x + 1}$ .
La fonction g est dérivable sur l'intervalle $] - \frac{1}{2}; + \infty [$ et sa fonction dérivée est définie sur $] - \frac{1}{2}; + \infty [$ par :
La fonction g est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables : $g = \frac{u}{v}$ avec $v \neq 0$ d'où $g' = \frac{u' v - u v'}{v^{2}}$ avec pour tout réel x de l'intervalle $] - \frac{1}{2}; + \infty [$ , ${\begin{array}{lcl} u (x) = e^{x} & ; & u' (x) = e^{x} \\ v (x) = 2 x + 1 & ; & v' (x) = 2 \end{array}$
Soit pour tout réel x de l'intervalle $] - \frac{1}{2}; + \infty [$ , $\begin{array}{rcl} g' (x) & = & \frac{e^{x} (2 x + 1) - 2 e^{x}}{{(2 x + 1)}^{2}} \\ = & \frac{(2 x + 1 - 2) e^{x}}{{(2 x + 1)}^{2}} \\ = & \frac{(2 x - 1) e^{x}}{{(2 x + 1)}^{2}} \end{array}$
a.   $g' (x) = \frac{e^{x}}{2}$
b.   $g' (x) = \frac{e^{x}}{{(2 x + 1)}^{2}}$
c.   $g' (x) = \frac{(2 x + 3) e^{x}}{{(2 x + 1)}^{2}}$
d.   aucune des réponses précédentes
On considère l'équation différentielle $y ″ + 4 y = 0$ , dans laquelle y est une fonction de la variable réelle x, définie et deux fois dérivable sur $ℝ$ .
Une fonction f, solution de cette équation différentielle, qui vérifie $f (0) = 1$ est définie sur $ℝ$ par :
Les solutions de l'équation différentielle $y ″ + 4 y = 0$ avec $ω = 2$ sont les fonctions f de la forme $f : x \mapsto k \cos (2 x) + k' \sin (2 x)$
Comme $f (0) = 1$ on en déduit que $k = 1$ .
Soit en choisissant $k' = 0$ , la fonction f définie pour tout réel x par $f (x) = \cos (2 x)$ est une solution de l'équation différentielle $y ″ + 4 y = 0$ qui vérifie $f (0) = 1$ .
a.   $f (x) = e^{2 x}$
b.   $f (x) = \cos (2 x)$
c.   $f (x) = \sin (2 x)$
d.   $f (x) = \cos (4 x)$

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