Baccalauréat technologique 2019 MATHÉMATIQUES Série STI2D

sujet : France métropolitaine, La Réunion 2019

correction de l'exercice 4

Dans cet exercice, les résultats sont à arrondir à $10^{- 3}$ près.
Les trois parties sont indépendantes.

partie a

Les téléphones portables intègrent des capteurs photographiques de plus en plus évolués.
Ces capteurs sont fragiles et ont une durée de vie limitée.
La durée de fonctionnement sans panne, exprimée en années, d'un capteur photographique est modélisée par une variable aléatoire D qui suit la loi normale de paramètres $μ = 4$ et $σ = 1,23$ .

Quelle est la durée moyenne de fonctionnement sans panne d'un capteur photographique ?
La variable aléatoire D suit la loi normale d'espérance $μ = 4$ donc la durée moyenne de fonctionnement sans panne d'un capteur photographique est de 4 ans.
Déterminer la probabilité $P (3,5 ⩽ D ⩽ 4,5)$ .
À l'aide de la calculatrice, $P (3,5 ⩽ D ⩽ 4,5) \approx 0,316$ .
Lors de l'achat d'un téléphone portable, la garantie pièces et main d'œuvre est de deux ans. Quelle est la probabilité que la durée de fonctionnement sans panne d'un capteur photographique soit inférieure à la durée de garantie ?
Selon le modèle de calculatrice utilisée, la réponse est immédiate ou $\begin{array}{rcl} P (D < 2) & = & P (D ⩽ 4) - P (2 ⩽ D ⩽ 4) \\ = & 0,5 - P (2 ⩽ D ⩽ 4) \approx 0,052 \end{array}$
La probabilité que la durée de fonctionnement sans panne d'un capteur photographique soit inférieure à la durée de garantie est 0,052.

partie b

Lorsqu'un téléphone portable devient défectueux et qu'il est encore sous garantie, le client peut le déposer dans un point de vente agréé pour réparation ou échange contre un appareil neuf.
On s'intéresse au temps d'attente, exprimé en jours, avant le retour de l'appareil, réparé ou échangé. Ce temps peut être modélisé par une variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle de paramètre $λ = 0,025$ .

1. Déterminer l'espérance $E (T)$ de la variable aléatoire T.
  L'espérance mathématique de la variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle de paramètre $λ = 0,025$ est : $E (T) = \frac{1}{0,025} = 40$
  $E (T) = 40$ .
2. Interpréter cette valeur dans le contexte.
  Le temps d'attente avant le retour de l'appareil est en moyenne de 40 jours.
Un téléphone portable, défectueux et encore sous garantie, a été déposé par un client dans un point de vente agréé.
1. Calculer la probabilité $P (T ⩽ 7)$ et interpréter ce résultat.
  $P (T ⩽ 7) = 1 - e^{- 0,025 \times 7} \approx 0,161$
  La probabilité qu'un client attende moins de 7 jours avant de récupérer son téléphone portable est 0,161.
2. Calculer la probabilité que le client doive attendre plus de 20 jours avant de récupérer son téléphone portable.
  $P (T ⩾ 20) = e^{- 0,025 \times 20} \approx 0,607$
  La probabilité qu'un client doive attendre plus de 20 jours avant de récupérer son téléphone portable est 0,607.

partie c

Un magazine spécialisé souhaite comparer l'efficacité des services après-vente (S.A.V.) pour les téléphones portables de deux marques A et B. Après une enquête auprès de clients, le magazine obtient les résultats suivants :

Marque de téléphone	Nombre de clients du S.A.V. ayant répondu à l'enquête	Nombre de clients indiquant avoir récupéré leur téléphone en moins de 20 jours
A	120	47
B	92	26

On admet que l'intervalle de confiance, au niveau de confiance 95 %, de la proportion de clients ayant récupéré en moins de 20 jours leur téléphone de marque A est $[0,304; 0,480]$ .
Déterminer l'intervalle de confiance, au niveau de confiance 95 %, de la proportion de clients ayant récupéré en moins de 20 jours leur téléphone de marque B.
La fréquence f de clients ayant récupéré en moins de 20 jours leur téléphone de marque B dans l'échantillon est $f = \frac{26}{92} = \frac{13}{46}$ .
L'intervalle de confiance, au niveau de confiance 95 %, de clients ayant récupéré en moins de 20 jours leur téléphone de marque B est : $I_{B} = [\frac{13}{46} - 1,96 \times \sqrt{\frac{\frac{13}{46} \times (1 - \frac{13}{46})}{92}}; \frac{13}{46} + 1,96 \times \sqrt{\frac{\frac{13}{46} \times (1 - \frac{13}{46})}{92}}] \approx [0,190; 0,375]$
L'intervalle de confiance, au niveau de confiance 95 %, de clients ayant récupéré en moins de 20 jours leur téléphone de marque B est : $[0,190; 0,375]$ .
Au vu des deux intervalles de confiance obtenus, le magazine peut-il indiquer à ses lecteurs qu'il y a une différence significative dans l'efficacité des deux S.A.V.? Justifier la réponse.
Les deux intervalles ne sont pas disjoints par conséquent, on ne peut pas conclure qu'il y a une différence significative dans l'efficacité des deux S.A.V.

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