contrôle du 08 juin 2009

Exercice 1

Une usine fabrique des articles en grande quantité, dont certains sont défectueux à cause de deux défauts possibles, un défaut d'assemblage ou un défaut de dimension.

Une étude statistique a permis de constater que 12% des articles fabriqués sont défectueux, 8% des articles fabriqués ont un défaut d'assemblage et 6% des articles fabriqués ont un défaut de dimension.

On choisit au hasard un article et on note :
A l'évènement : «Un article prélevé au hasard présente un défaut d'assemblage » ;
B l'évènement : «Un article prélevé au hasard présente un défaut de dimension » ;
$\overline{A}$ et $\overline{B}$ les évènements contraires respectifs de A et B.

1. Grâce aux données de l'énoncé :

   1. Donner les probabilités $p\left(A\right)$ et $p\left(B\right)$.

   2. Traduire par une phrase l'évènement $A\cup B$. Donner la probabilité de l'évènement $A\cup B$.

2. Quelle est la probabilité de l'évènement  « un article prélevé au hasard ne présente aucun défaut » ?

3. Calculer la probabilité de l'évènement  « un article prélevé au hasard présente les deux défauts ».

4. Calculer la probabilité de l'évènement  « un article prélevé au hasard a au plus un seul défaut »

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Exercice 2

Soit f la fonction définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=-2x+15-{\displaystyle \frac{18}{x}}$.
Sa courbe représentative notée $C_f$ est tracée ci-dessous dans un repère orthogonal.
La tangente à la courbe $C_f$ au point B d'abscisse 3 est parallèle à l'axe des abscisses.

1. 1. Calculer $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)$. Interpréter graphiquement ce résultat.

   2. Montrer que la courbe $C_f$ admet pour asymptote la droite d'équation $y=-2x+15$. En déduire $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$.

2. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f.

   1. Par lecture graphique, donner la valeur de $f\prime \left(3\right)$.

   2. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

   3. Étudier les variations de f.

3. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse ${\displaystyle \frac{3}{2}}$. Tracer sur le graphique précédent la tangente T.

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