contrôle du 08 juin 2009

Corrigé de l'exercice 2

Soit f la fonction définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=-2x+15-{\displaystyle \frac{18}{x}}$.
Sa courbe représentative notée $C_f$ est tracée ci-dessous dans un repère orthogonal. La tangente à la courbe $C_f$ au point B d'abscisse 3 est parallèle à l'axe des abscisses.

1. 1. Calculer $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)$. Interpréter graphiquement ce résultat.

      $\underset{x\to 0}{\lim }-2x+15=15$ et $\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{18}{x}}=+\infty$ ($x>0$ ) alors par somme, $\underset{x\to 0}{\lim }-2x+15-{\displaystyle \frac{18}{x}}=-\infty$.

      Ainsi, $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$, donc la courbe $C_f$ a pour asymptote l'axe des ordonnées.

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   2. Montrer que la courbe $C_f$ admet pour asymptote la droite d'équation $y=-2x+15$. En déduire $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$.

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ :$f\left(x\right)-\left(-2x+15\right)=-{\displaystyle \frac{18}{x}}$. Or $\underset{x\to +\infty }{\lim }-{\displaystyle \frac{18}{x}}=0$.

      Ainsi $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)-\left(-2x+15\right)=0$ donc la droite d'équation $y=-2x+15$, est asymptote à la courbe $C_f$ en $+\infty$.

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      Comme $\underset{x\to +\infty }{\lim }-2x+15=-\infty$ on en déduit que $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$.

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   3. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

2. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f.

   1. Par lecture graphique, donner la valeur de $f\prime \left(3\right)$.

      La tangente à la courbe $C_f$ au point B d'abscisse 3 est parallèle à l'axe des abscisses alors $f\prime \left(3\right)=0$ .

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   2. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

      Sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, la fonction f est dérivable comme somme de fonctions dérivables : $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(x\right)& =& -2-\left(-{\displaystyle \frac{18}{x^2}}\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{-2x^2+18}{x^2}}\end{array}$$

      Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-2x^2+18}{x^2}}$.

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   3. Étudier les variations de f.

      Les variations de f se déduisent du signe de la dérivée $f\prime$.

      Pour tout réel $x>0$, $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{-2x^2+18}{x^2}}& =& {\displaystyle \frac{2\left(9-x^2\right)}{x^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{2\left(3-x\right)\left(3+x\right)}{x^2}}\end{array}$$

      Sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ : $x^2>0$ ; $x+3>0$ donc $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2\left(3-x\right)\left(x+3\right)}{x^2}}$ est du même signe que $3-x$

      Nous pouvons déduire le tableau du signe de $f\prime \left(x\right)$ suivant les valeurs du réel x  ainsi que les variations de f :

      x	0				3		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$				+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      $f\left(x\right)$			$-\infty$		3		$-\infty$

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      Calcul du maximum : $$f\left(3\right)=-2\times 3+15-{\displaystyle \frac{18}{3}}=3$$

3. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse ${\displaystyle \frac{3}{2}}$. Tracer sur le graphique précédent la tangente T.

   Une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point B d'abscisse ${\displaystyle \frac{3}{2}}$ est :$$y=f\prime \left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)\times \left(x-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)+f\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)$$

   Or $$\begin{array}{ccc}f\prime \left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)={\displaystyle \frac{-2\times {\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^2+18}{{\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^2}}=6& \text{et}& f\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)=-2\times {\displaystyle \frac{3}{2}}+15-18\times {\displaystyle \frac{2}{3}}=0\end{array}$$

   D'où $$\begin{array}{ccc}y=6\times \left(x-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)& \iff & y=6x-9\end{array}$$

   La tangente T à la courbe $C_f$ au point au point d'abscisse ${\displaystyle \frac{3}{2}}$ a pour équation $y=y=6x-9$.

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   La tangente T passe par le point $A\left({\displaystyle \frac{3}{2}};0\right)$ et le point de coordonnées $\left(1;-3\right)$

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