Soit f la fonction définie pour tout réel x appartenant à l'intervalle par .
On note sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère.
Déterminer les coordonnées des points d'intersection éventuels de la courbe avec l'axe des abscisses.
Les abscisses des points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses sont les solutions de l'équation . Soit les réels tels que .
Cherchons les solutions de l'équation du second degré avec , et .
Le discriminant du trinôme est d'où :
donc l'équation a deux solutions :
Or donc
la courbe coupe l'axe des abscisses en un seul point de coordonnées
On note la dérivée de la fonction f.
Montrer que pour tout réel x appartenant à l'intervalle , .
f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables. d'où avec pour tout réel :
Soit pour tout réel x strictement positif,
Ainsi, la dérivée de la fonction f est la fonction définie sur l'intervalle par .
Donner le tableau des variations de f.
Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.
Comme sur l'intervalle le quotient est du même signe que , nous pouvons établir le tableau du signe de la dérivée ainsi que les variations de la fonction f :
x | 0 | 2 | ||||
+ | − | |||||
calcul du maximum
Étudier la convexité de la fonction f.
La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde définie sur l'intervalle par :
Ainsi, la dérivée seconde de la fonction f est la fonction définie sur l'intervalle par . Sur cet intervalle, est du même signe que
x | 0 | 3 | |||
Signe de | − | + | |||
Convexité de f | f est concave | f est convexe |
La fonction f est concave sur l'intervalle et convexe sur l'intervalle .
La courbe représentative de la fonction f a-t-elle un point d'inflexion ?
La dérivée seconde s'annule en changeant de signe pour donc :
la courbe admet un point d'inflexion d'abscisse 3.
Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Montrer que l'équation admet une solution unique α dans l'intervalle . À l'aide de la calculatrice, donner la valeur arrondie à 10− 2 près, de α.
Sur l'intervalle , donc la fonction est continue et strictement décroissante. D'autre part,
Sur l'intervalle , la fonction est continue, strictement décroissante et alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle , alors pour tout réel k compris entre et , l'équation admet une solution unique α située dans l'intervalle .
l'équation admet une unique solution . À l'aide de la calculatrice, on trouve
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