Baccalauréat technologique 2014 MATHÉMATIQUES Série STI2D

sujet : France métropolitaine 2014

correction de l'exercice 4

Au cours de son évolution, une tornade se déplace dans un corridor de quelques centaines de mètres de large sur quelques kilomètres de long.

Document 1

L'échelle de Fujita est une échelle servant à classer les tornades par ordre de gravité, en fonction des dégâts qu'elles occasionnent. Une partie de cette échelle est présentée dans le tableau ci-dessous.

Catégorie	Vitesse des vents en km.h^-1	Dégâts occasionnés
F0	60 à 120	Dégâts légers : dégâts sur cheminées, arbres, fenêtres,…
F1	120 à 180	Dégâts modérés : automobiles renversées, arbres déracinés,…
F2	180 à 250	Dégâts importants : toits arrachés, hangars et dépendances démolis, …
F3	250 à 330	Dégâts considérables : murs extérieurs et toits projetés, maisons et bâtiments de métal effondrés, forêts abattues, …
F4	330 à 420	Dégâts dévastateurs : murs effondrés, objets en acier ou en béton projetés comme des missiles, …
F5	420 à 510	Dégâts incroyables : maisons rasées ou projetées sur de grandes distances, murs extérieurs et toits arrachés sur de gros bâtiments, …

Document 2

À partir des mesures relevées lors d'observations de phénomènes semblables, des météorologues ont admis la règle suivante : « la vitesse des vents dans les tornades diminue régulièrement de 10 % toutes les 5 minutes » .
On appelle « durée de vie » d'une tornade le temps nécessaire, depuis sa formation, pour que la vitesse des vents devienne inférieure à 120 km.h^-1.

Lors de la formation d'une tornade, on a mesuré la vitesse des vents par un radar météorologique et on a trouvé une vitesse initiale de 420 km.h^-1.

L'objectif de ce problème est d'estimer la durée de vie de cette tornade.
Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à 10 km.h^-1.

1. Cinq minutes après la mesure initiale, la vitesse des vents est de 378 km.h^-1. Vérifier que ce résultat correspond à la règle admise. À quelle catégorie appartient la tornade à ce moment là ?
  - méthode 1
    Le coefficient multiplicateur associé au pourcentage d'évolution de la vitesse des vents au bout de 5 minutes est : $\frac{378}{420} = 0,9$ Soit une baisse de 10 %.
    Cinq minutes après la mesure initiale la vitesse des vents a diminué de 10% ce qui correspond à la règle admise. À ce moment là, la tornade appartient à la catégorie F4.
  - méthode 2
    La vitesse initiale des vents dans la tornade est de 420 km.h^-1, après diminution de 10 %, la vitesse des vents est : $420 \times 0,9 = 378$
    La vitesse des vents de 378 km.h^-1 cinq minutes après la mesure initiale correspond à la règle admise. À ce moment là, la tornade appartient à la catégorie F4.
2. Vérifier que, quinze minutes après la mesure initiale, cette tornade occasionne des dégâts classés comme « dégâts considérables ».
  Après trois diminutions successives de 10 %, la vitesse des vents est : $420 \times {0,9}^{3} = 306,18$
  Quinze minutes après la mesure initiale, la tornade appartient à la catégorie F3.
Pour déterminer la durée de vie de cette tornade, un étudiant propose de modéliser le phénomène par une suite géométrique de raison q. Il commence à élaborer l'algorithme ci-dessous.
variables
- n : un nombre entier naturel
- v : un nombre réel
- q : un nombre réel
initialisation
- Affecter à n la valeur 0
- Affecter à v la valeur 420
- Affecter à q la valeur 0,9
traitement
- Tant que ........................................
  - ................................................
  - ................................................
- Fin Tant que
sortie :
- Afficher $5 \times n$
1. Justifier la valeur 0,9 dans la phrase « Affecter à q la valeur 0,9 » .
  Notons $v_{n}$ la vitesse des vents, en km.h^-1, n périodes de 5 minutes après la mesure initiale.
  La vitesse des vents dans les tornades diminue régulièrement de 10 % toutes les 5 minutes d'où : $v_{n + 1} = v_{n} \times (1 - \frac{10}{100}) = 0,9 v_{n}$
  Pour tout entier n, $v_{n + 1} = 0,9 v_{n}$ . Donc $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison $q = 0,9$ .
2. Donner le premier terme et la raison de la suite géométrique proposée par l'étudiant.
  La vitesse des vents initiale est de 420 km.h^-1 donc $v_{0} = 420$ .
  Ainsi, $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison $q = 0,9$ et de premier terme $v_{0} = 420$ .
3. Dans l'algorithme ci-dessus, des pointillés indiquent des parties manquantes.
  Recopier la partie relative au traitement et la compléter pour que l'étudiant puisse déterminer la durée de vie de cette tornade.
  variables
  - n : un nombre entier naturel
  - v : un nombre réel
  - q : un nombre réel
  initialisation
  - Affecter à n la valeur 0
  - Affecter à v la valeur 420
  - Affecter à q la valeur 0,9
  traitement
  - Tant que v⩾120
    - Affecter à v la valeur $v \times q$
    - Affecter à n la valeur $n + 1$
  - Fin Tant que
  sortie :
  - Afficher $5 \times n$
4. Expliquer l'instruction « Afficher $5 \times n$ » proposée par l'étudiant.
  n est le nombre de périodes de 5 minutes après la mesure initiale, $5 \times n$ est la durée de vie en minutes de la tornade.
On désigne par $(v_{n})$ la suite géométrique proposée par l'étudiant.
Exprimer $v_{n}$ en fonction de n.
$(v_{n})$ est une suite géométrique de raison $q = 0,9$ et de premier terme $v_{0} = 420$ donc pour tout entier n, $v_{n} = 420 \times {0,9}^{n}$ .
Déterminer la durée de vie de cette tornade au sens défini dans le document 2.
Le nombre de périodes de 5 minutes est le plus petit entier n solution de l'inéquation $\begin{matrix} 420 \times {0,9}^{n} < 120 & \Leftrightarrow & {0,9}^{n} < \frac{120}{420} \\ \Leftrightarrow & \ln ({0,9}^{n}) < \ln \frac{2}{7} & La fonction \ln est strictement croissante \\ \Leftrightarrow & n \ln 0,9 < \ln \frac{2}{7} & Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier n, \ln a^{n} = n \ln a \\ \Leftrightarrow & n > \frac{\ln \frac{2}{7}}{\ln 0,9} & \ln 0,9 < 0 \end{matrix}$
Comme $\frac{\ln \frac{2}{7}}{\ln 0,9} \approx 11,9$ , le plus petit entier que $n > \frac{\ln \frac{2}{7}}{\ln 0,9}$ est 12. Soit une durée de vie de $12 \times 5 = 60$ minutes
La durée de vie de cette tornade est d'une heure.

[ Accueil ]

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.