Baccalauréat technologique 2014 MATHÉMATIQUES Série STI2D

sujet : Antilles Guyane 2014

exercice 1 ( 5 points )

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante choisie.

Soit x un réel quelconque, $e^{- 4 x}$ est égal à :
a. $e^{x} \times e^{- 4}$
b. $- e^{4 x}$
c. $x \times e^{- 4}$
d. $\frac{1}{e^{4 x}}$
L'intégrale $\int_{\ln 2}^{\ln 3} e^{2 x} d x$ est égale à :
a. 5
b. 10
c. 2,5
d. 1
$(u_{n})$ est la suite géométrique de premier terme $u_{0} = 5$ et de raison 0,98. $(v_{n})$ est la suite géométrique de premier terme $v_{0} = 2,8$ et de raison 1,02.
Le plus petit entier n vérifiant $u_{n} ⩽ v_{n}$ est :
a. 14
b. 15
c. 16
d. 17
$(u_{n})$ est la suite géométrique de premier terme $u_{0} = 1$ et de raison $\frac{5}{3}$ . On donne l'algorithme suivant :
variables :
n, u
initialisation :
u prend la valeur 1
n prend la valeur 0
traitement :
Tant que $u < 1000$
n prend la valeur $n + 1$
u prend la valeur $u \times \frac{5}{3}$
Fin du Tant que
Sortie :
Afficher n
Cet algorithme affiche en sortie :
1. La valeur de $u_{1001}$
2. la plus grande valeur de n vérifiant $u_{n} < 1000$
3. la plus petite valeur de n vérifiant $u_{n} ⩾ 1000$
4. la plus petite valeur de $u_{n}$ vérifiant $u_{n} ⩾ 1000$
Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f (x) = 2 \cos (\frac{4}{3} x - \frac{π}{6})$ . La fonction f est une solution de l'équation différentielle :
a. $y ″ + y = 0$
b. $16 y ″ - 9 y = 0$
c. $9 y ″ + 16 y = 0$
d. $9 y ″ - 16 y = 0$

EXERCICE 2 ( 4 points )

Dans cet exercice, on s'intéresse à deux types A et B de téléviseurs à écran plat.
Les réponses aux questions 1. a., 1. b. et 1. c. seront arrondies au centième.

La durée de fonctionnement, exprimée en heures, d'un téléviseur du type A, avant que survienne la première panne, est modélisée par une variable aléatoire X suivant la loi exponentielle de paramètre $λ = 2 \times 10^{- 5}$ .
1. Calculer la probabilité que la première panne survienne avant la 32000^e heure de fonctionnement.
2. On s'intéresse à un téléviseur de type A fonctionnant chaque jour pendant 4 heures.
  Calculer la probabilité que la première panne d'écran ne survienne pas avant 10 ans. (On prendra 1 année = 365 jours.)
3. Calculer la probabilité que la première panne survienne après 10000 heures et avant 40000 heures de fonctionnement.
4. Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire X et en donner une interprétation.
La durée de fonctionnement avant la première panne d'un téléviseur de type B est modélisée par une variable aléatoire Y suivant la loi exponentielle de paramètre λ'.
Une étude statistique a permis d'évaluer $P (Y ⩽ 32 000) = 0,8$ .
Calculer la valeur arrondie à $10^{- 5}$ de λ'.

exercice 3 ( 5 points )

Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.

Le plan est rapporté à un repère orthonormal $(O; \vec{u}, \vec{v})$ d'unités 5 cm.
On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\frac{π}{2}$ .
Soit z le nombre complexe de module 2 et d'argument $\frac{π}{3}$ , $\bar{z}$ est le nombre complexe conjugué de z.

partie a

Donner les écritures algébriques de z, de $\bar{z}$ et de $\frac{1}{2} \bar{z}$ .
On considère le nombre complexe $p = \frac{2 + \bar{z}}{2 - \bar{z}}$ .
1. Montrer que $p = - i \sqrt{3}$ .
2. Les points M, N et P sont les points d'affixes respectives 1, $\frac{1}{2} \bar{z}$ et p. Placer ces trois points dans le repère. Justifier l'alignement de ces trois points.

partie b

Soit u le nombre complexe défini par $u = \frac{1}{2} z$ .

Écrire u sous la forme exponentielle.
1. Donner l'écriture exponentielle puis l'écriture algébrique de $u^{3}$ .
2. Vérifier les relations suivantes : $u^{4} = - u$ et $u^{5} = - u^{2}$ .
3. Vérifier que $1 + u + u^{2} + u^{3} + u^{4} + u^{5} + u^{6} = 1$ .

EXERCICE 4 ( 6 points )

On note f la fonction définie sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ par $f (x) = (2 - \ln x) \ln x$ . Sa courbe représentative $C_{f}$ dans un repère orthonormal est donnée sur la feuille annexe.

Lire sur le graphique la limite de la fonction f en 0. Retrouver ce résultat à l'aide de l'expression de $f (x)$ .
Montrer que la fonction dérivée de f sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ est définie par $f' (x) = \frac{2 (1 - \ln x)}{x}$ .
Étudier le signe de $f' (x)$ lorsque x est dans l'intervalle $] 0; + \infty [$ puis donner les variations de la fonction f sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ .
1. On appelle A et B les points d'intersection de la courbe $C_{f}$ avec l'axe des abscisses (Voir le graphique). Calculer les abscisses des points A et B.
2. Calculer le coefficient directeur de la tangente T à la courbe $C_{f}$ au point A. Tracer la droite T sur le graphique donné en annexe.
Montrer que la fonction F définie par $F (x) = - x {(\ln x)}^{2} + 4 x \ln x - 4 x$ est une primitive de la fonction f sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ .
On note 𝒟 le domaine du plan limité par la courbe $C_{f}$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = e^{2}$ .
1. Hachurer sur le graphique donné en annexe le domaine 𝒟.
2. Calculer l'aire du domaine 𝒟.

ANNEXE

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variables :	n, u
initialisation :	u prend la valeur 1 n prend la valeur 0
traitement :	Tant que $u < 1000$ n prend la valeur $n + 1$ u prend la valeur $u \times \frac{5}{3}$ Fin du Tant que
Sortie :	Afficher n