sujet : Polynésie 2015

correction de l'exercice 1

Cet exercice est un Q. C. M. Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.
Dans cet exercice, on note $ℝ$ l'ensemble des nombres réels.
Pour répondre, vous recopierez sur votre copie le numéro de la question et la seule réponse choisie.

1. Le plan est rapporté à un repère orthonormé $\left(\mathrm{O};A,B\right)$.
   L'ensemble E des images des nombres complexes z vérifiant la relation $\left|z\right|=1$ est représenté en gras par :

   Soit M un point d'affixe z :$$\begin{array}{ccc}\left|z\right|=1& \iff & OM=1\end{array}$$ Donc le point M est sur le cercle de centre O et de rayon 1. Dans le plan muni d'un repère orthonormé $\left(\mathrm{O};A,B\right)$, l'ensemble E des images des nombres complexes z vérifiant la relation $\left|z\right|=1$ est le cercle de centre O et de rayon 1.

   a.	b.
   c.	d.

2. Considérons les deux nombres complexes $z_1=\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}$ et $z_2=-\sqrt{3}+\mathrm{i}$ où i est le nombre complexe de module 1 et d'argument ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$.
   Le produit $z_1\times z_2$ est égal à :

   Déterminons la forme exponentielle du nombre complexe $z_2=-\sqrt{3}+\mathrm{i}$ :

   • Le module du nombre complexe $z_2=-\sqrt{3}+\mathrm{i}$ est : $$\left|z_2\right|=\sqrt{{\left(-\sqrt{3}\right)}^2+1}=\sqrt{4}=2$$

   • Un argument θ du nombre complexe $z_2=-\sqrt{3}+\mathrm{i}$ est tel que :$$\{\begin{array}{c}\cos \mathrm{\theta }=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\\ \sin \mathrm{\theta }={\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$ D'où $z_2$ a pour argument $\mathrm{\theta }={\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$

   Ainsi, $z_2=2{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{5\pi }{6}}$. D'où $$z_1\times z_2=\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}\times 2{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{5\pi }{6}}=2\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\left(\frac{\pi }{4}+\frac{5\pi }{6}\right)}=2\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{13\pi }{12}}$$

   a. $2\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{11\pi }{12}}$

   b. $\left(1+\sqrt{3}\right)\left(-1+\mathrm{i}\right)$

   c. $2\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{13\pi }{12}}$

   d. $1-\sqrt{3}\mathrm{+}2\mathrm{i}$

3. Voici la représentation graphique d'une fonction f. Cette courbe admet les quatre asymptotes suivantes :

   • deux asymptotes horizontales d'équations respectives $y=-1$ et $y=0$ ;
   • deux asymptotes verticales d'équations respectives $x=0$ et $x=2$ ;

   Choisissez la bonne égalité :

   Par lecture graphique : $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$

   a. $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$

   b. $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$

   c. $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$

   d. $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=-1$

4. On considère l'équation différentielle $y\prime +2y=5$, où y désigne une fonction de la variable réelle x dérivable sur $ℝ$ et de dérivée notée $y\prime$. Une solution de cette équation est :

   L'équation différentielle $y\prime +2y=5$ est de la forme $y\prime +ay=b$ avec $a=2$ et $b=5$.

   Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme $x⟼k{\mathrm{e}}^{-2x}+{\displaystyle \frac{5}{2}}$, où k est une constante réelle.

   Donc en choisissant $k=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$, la fonction f définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^{-2x}+{\displaystyle \frac{5}{2}}={\displaystyle \frac{5-{\mathrm{e}}^{-2x}}{2}}$ est une solution de cette équation.

   a. $x⟼{\displaystyle \frac{5-{\mathrm{e}}^{-2x}}{2}}$

   b. $x⟼{\mathrm{e}}^{-2x}-5$

   c. $x⟼{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{2x}-5}{2}}$

   d. $x⟼{\mathrm{e}}^{2x}+\mathrm{2,5}$

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

conformes au programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesQCMVrai-FauxFonctions logarithmesFonctions exponentiellesÉquations différentiellesNombres complexesProbabilités

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.