Baccalauréat technologique 2015 MATHÉMATIQUES Série STI2D

sujet : France métropolitaine, La Réunion 2015

exercice 1 ( 4 points )

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse.

  1. On considère le nombre complexe z=3e-iπ6. La forme algébrique du nombre complexe z est :

    a. -332+32i

    b. 332-32i

    c. 332+32i

    d. -332-32i

  2. z1=1+i3 et z2=3-i. La forme exponentielle du nombre complexe z1×z2 est :

    a. 4eiπ6

    b. -4e-i5π6

    c. 2eiπ6

    d. 4eiπ2

  3. Les solutions de l'équation différentielle y+13y=0 sont de la forme :

    a. t13t2

    b. tAcos13t+Bsin13t

    c. tAe-3t

    d. t-13

  4. La fonction f est définie sur l'intervalle -1+ par fx=2+1x+1. La limite de cette fonction f en + est égale à :

    a. -

    b. +

    c. 0

    d. 2


EXERCICE 2 ( 5 points )

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à 10-2 près.

Une fibre optique est un fil très fin, en verre ou en plastique, qui a la propriété d'être un conducteur de la lumière et sert dans la transmission d'un signal véhiculant des données.
La puissance du signal, exprimée en milliwatts (mW), s'atténue au cours de la propagation.
On note PE et PS les puissances respectives du signal à l'entrée et à la sortie d'une fibre.
Pour une fibre de longueur L exprimée en kilomètres (km), la relation liant PE, PS et L est donnée par : PS=PE×e-aLa est le coefficient d'atténuation linéaire dépendant de la fibre.

Une entreprise utilise deux types de fibre optique de coefficients d'atténuation différents.
Dans tout l'exercice :

partie a

Le premier type de fibre de longueur 100 km utilisé par l'entreprise a un coefficient d'atténuation linéaire a=0,046. Pour ce type de fibre, sera-t-il nécessaire de placer au moins un amplificateur sur la ligne pour que le signal soit détectable en sortie ?

partie b

La puissance du signal le long du second type de fibre est modélisée par une fonction g de la variable x, où x est la distance en kilomètres parcourue par le signal depuis l'entrée de la fibre. On admet que cette fonction g est définie et dérivable sur l'intervalle 0+ et qu'elle est solution sur cet intervalle de l'équation différentielle y+0,035y=0.

  1. Résoudre l'équation différentielle y+0,035y=0.

    1. Sachant que g0=7, vérifier que la fonction g est définie sur l'intervalle 0+ par gx=7e-0,035x.

    2. En déduire le coefficient d'atténuation de cette fibre.

    1. Étudier le sens de variation de la fonction g.

    2. Déterminer la limite de la fonction g en +.

    1. Le signal sera-t-il encore détecté au bout de 100 km de propagation ?

    2. Déterminer la longueur maximale de la fibre permettant une détection du signal à la sortie sans amplification.


exercice 3 ( 6 points )

Le parc de véhicules particuliers (VP) et de véhicules utilitaires légers (VUL) circulant en France est essentiellement constitué de véhicules thermiques (principalement essence, gasoil et GPL).
Pour lutter contre la pollution, il intègre de plus en plus de véhicules à « faible émission de CO2 » c'est à dire des véhicules hybrides (véhicules thermiques assistés d'un moteur électrique) et des véhicules électriques.

Document 1

Au regard du parc et des ventes de véhicules en 2010, l'ADEME (Agence de l'Environnement et de la Maîtrise de l'Energie) a mobilisé ses services techniques et économiques en 2012, afin d'élaborer des visions énergétiques. Afin de répondre aux enjeux environnementaux, l'ADEME prévoit d'atteindre pour le parc 2030 un taux moyen d'émission de CO2 par véhicule de 100 g/km.

Ventes et prévisions

Véhicules (VP-VUL) Ventes 2010 Parc 2010 Prévisions
ventes 2030
Prévisions
parc 2030
Véhicules thermiques 100 % 100 % 64 % 89 %
Véhicules hybrides 0 % 0 % 24 % 7 %
Véhicules électriques 0 % 0 % 12 % 4 %
Total des voitures VP et VUL 2,2 millions 35 millions 2 millions 35 millions
Emission moyenne de CO2 par véhicule 127 g/km 165 g/km 49 g/km 100 g/km

Document 2

Ventes nationales de véhicules entre 2011 et 2013

Véhicules (VP-VUL) Ventes 2011 Ventes 2012 Ventes 2013
Véhicules hybrides 13 600 27 730 41 340
Véhicules électriques 4313 9314 13 954
Total des ventes y compris véhicules thermiques 2 204 065 1 898 872 1 790 000

partie a

  1. Selon les prévisions de l'ADEME, quel serait en 2030 le nombre de véhicules hybrides vendus ?

  2. Selon les prévisions de l'ADEME, quel serait en 2030 le pourcentage de véhicules à faible émission de CO2 dans le parc automobile ?

partie b

  1. Le tableau suivant est incomplet. Déterminer le pourcentage d'augmentation des ventes de véhicules hybrides de 2012 à 2013.

    Véhicules VP et VUL Augmentation des ventes de véhicules
    de 2011 à 2012 de 2012 à 2013
    Véhicules hybrides 103,9 %
    Véhicules électriques 116 % 49,8 %
  2. Après un fort démarrage des ventes de véhicules hybrides, les professionnels de l'automobile envisagent une augmentation de leurs ventes de 16 % par an de 2013 à 2030.
    Le nombre de véhicules hybrides vendus en 2013 est de 41 340.
    On décide de modéliser les ventes annuelles de véhicules hybrides par une suite géométrique de raison 1,16.
    On note un le nombre de véhicules hybrides vendus durant l'année 2013 + n.

    1. Donner u0.

    2. Exprimer un en fonction de n.

    3. L'augmentation de 16 % par an des ventes de véhicules hybrides permettrait-elle d'atteindre la prévision de l'ADEME pour l'année 2030 ?

  3. Les professionnels de l'automobile s'intéressent aussi aux ventes de véhicules électriques de 2013 à 2030.
    Le nombre de véhicules électriques vendus en 2013 est de 13 954.

    1. On réalise sur tableur une feuille de calcul qui détermine le nombre de véhicules électriques vendus de 2013 à 2030 en supposant une augmentation annuelle de 16 % à partir de 2013.

      A B
      1

      Année

      Prévisions
      des ventes de voitures
      électriques

      2 2013 13 954
      3 2014 16 186,64
      4 2015 18 776,502 4
      5 2016 21 780,742 78
      6 2017 25 265,661 63
      7 2018 29 308,167 49
      8 2019 33 997,474 29
      9 2020 39 437,070 17
      10 2021 45 747,001 4
      11 2022 53 066,521 63
      12 2023 61 557,165 09
      13 2024 71 406,311 5
      14 2025 82 831,321 34
      15 2026 96 084,332 76
      16 2027 111 457,826
      17 2028 129 291,078 2
      18 2029 149 977,650 7
      19 2030 173 974,074 8

      Donner la formule saisie dans la cellule B3 de la feuille de calcul ci-dessus pour compléter le tableau par « recopie vers le bas »

    2. Ce taux d'augmentation annuel permettrait-il d'atteindre les prévisions de l'ADEME des ventes de véhicules électriques en 2030 ?

  4. Les professionnels de l'automobile cherchent un pourcentage d'augmentation annuelle des ventes de véhicules électriques qui permettrait d'atteindre les prévisions de l'ADEME en 2030.
    On considère l'algorithme suivant :

    variables

    • u : un nombre réel
    • q : un nombre réel

    initialisation

    • Affecter à u la valeur 173 974
    • Affecter à q la valeur 1,16

    traitement

    • Tant que u240 000
      • q prend la valeur q+0,01
      • u prend la valeur 13 954×q17
    • Fin Tant que

    sortie :

    • Afficher q-1×100
    1. Que représente la valeur 173 974 prise par la variable u dans l'initialisation de l'algorithme ?

    2. Faire fonctionner cet algorithme. Pour cela reproduire et compléter le tableau ci-dessous. Des lignes supplémentaires pourront être ajoutées.

      Étapes de l'algorithme Variables
      q u
      Initialisation 1,16 173 974
      Étape 1
      Étape 2
    3. Quelle est la valeur affichée par l'algorithme ? Interpréter le résultat.


EXERCICE 4 ( 5 points )

Dans l'ensemble de l'exercice, les résultats seront arrondis à 10-4 près.

L'usine OCEFRAIS embouteille des jus de fruits. L'étiquette de la bouteille indique 1,5 litre de jus de fruits. Le volume de la bouteille est de 1,55 litre.
À l'embouteillage, le volume de jus de fruits versé dans une bouteille est une variable aléatoire X qui suit la loi normale de moyenne μ=1,5 et d'écart-type σ=0,015.

    1. L'une des trois figures donne la courbe représentative Cf de la densité f de cette loi normale. Indiquer sur la copie le numéro de la figure correspondante en expliquant votre choix.

      Courbe 1 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      Figure 1

      Courbe 2 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      Figure 2

      Courbe 3 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      Figure 3

    2. Déterminer P1,485X1,515.

  1. On choisit au hasard une bouteille de jus de fruits

    1. Quelle est la probabilité que cette bouteille contienne exactement 1,48 litre de jus de fruits ?

    2. Calculer la probabilité que cette bouteille contienne entre 1,46 litre et 1,54 litre de jus de fruits.

    3. Quelle est la probabilité que cette bouteille déborde sur la chaîne d'embouteillage ?
      On rappelle que toutes les bouteilles utilisées ont un volume de 1,55 litre.

  2. Une bouteille est dite conforme si elle contient entre 1,46 litre et 1,54 litre de jus de fruits.
    Selon l'usine OCEFRAIS, la probabilité qu'une bouteille soit non conforme est 0,0077.
    Un supermarché achète un lot de 10 000 bouteilles.

    1. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95% de la fréquence observée de bouteilles non conformes dans un tel lot.

    2. Dans le lot de 10 000 bouteilles, on a compté 90 bouteilles non conformes. Le gérant du supermarché trouve le nombre de bouteilles non conformes anormalement élevé.
      L'usine OCEFRAIS a-t-elle des raisons de s'inquiéter ?



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