Baccalauréat technologique 2015 MATHÉMATIQUES Série STI2D

sujet : Polynésie 2015

correction de l'exercice 4

Une entreprise achète du sucre et le revend après conditionnement à des grossistes pour le marché de la grande distribution.
Les résultats seront arrondis à 10-3 près.

  1. Une machine de l'usine conditionne des paquets de sucre en poudre de 1 kg.
    La masse M en gramme d'un paquet est une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne m=1000 et d'écart-type σ=7.

    1. Calculer P(995M1005).

      Avec la calculatrice, on a : P(995M1005)0,525.



    2. Un paquet est refusé si sa masse est inférieure à 990 grammes. Quelle est la probabilité pour qu'un paquet conditionné par cette machine soit refusé ?

      La calculatrice permet d'obtenir la probabilité P(aMb) quand M suit la loi normale d'espérance μ et d'écart-type σ. D'où P(M990)=0,5-P(990M1000)0,077

      La probabilité, arrondie à 10-3 près, pour qu'un paquet conditionné par cette machine soit refusé arrondit est 0,077.



Dans la suite de l'exercice, on arrondit à 0,08 la probabilité p pour qu'un paquet conditionné dans l'usine soit refusé, ainsi p=0,08.
On s'intéresse au stock journalier de paquets conditionnés dans l'usine.

  1. On prélève au hasard 100 paquets parmi le stock. Le stock est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise. On note X la variable aléatoire égale au nombre de paquets à rejeter dans cet échantillon.

    1. Quelle est la loi de probabilité de X ? On donnera ses paramètres.

      Le stock est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise de 100 paquets. Donc la variable aléatoire X égale au nombre de paquets à rejeter dans cet échantillon suit la loi binomiale de paramètres n=100 et p=0,08.


    2. Quelle est la probabilité qu'exactement 3 paquets parmi ces 100 paquets soient refusés ?

      p(X=3)=(1003)×0,083×0,92970,025

      Arrondie à 10-3 près, la probabilité qu'exactement 3 paquets parmi ces 100 paquets soient refusés est 0,025.


    3. Calculer la probabilité que, parmi ces 100 paquets, 5 ou plus soient refusés.

      p(X5)=1-p(X4)0,910

      Arrondie à 10-3 près, la probabilité qu'au moins 5 paquets soient refusés est 0,910.


  2. On contrôle la masse d'un échantillon de 100 paquets de sucre dans le stock global de l'entreprise. Après contrôle, 10 paquets sont refusés.
    L'échantillon est-il représentatif de la production de l'usine ? Justifier.

    La fréquence observée des paquets de sucre non conformes dans l'échantillon est f=10100=0,1

    Comme n=100, n×p=100×0,08=8 et n×(1-p)=100×0,92=92, les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies. L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 est : I=[0,08-1,96×0,08×0,92100;0,08+1,96×0,08×0,92100]

    Soit avec des valeurs approchées à 10-3 près des bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence des paquets de sucre non conformes dans la production sur un échantillon de taille 100 est I=[0,026;0,134].

    La fréquence observée des paquets de sucre non conformes dans l'échantillon appartient à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% donc cet échantillon est représentatif de la production de l'usine.



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