Une entreprise achète du sucre et le revend après conditionnement à des grossistes pour le marché de la grande distribution.
Les résultats seront arrondis à 10-3 près.
Une machine de l'usine conditionne des paquets de sucre en poudre de 1 kg.
La masse M en gramme d'un paquet est une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne et d'écart-type .
Calculer .
Avec la calculatrice, on a : .
Un paquet est refusé si sa masse est inférieure à 990 grammes. Quelle est la probabilité pour qu'un paquet conditionné par cette machine soit refusé ?
La calculatrice permet d'obtenir la probabilité quand M suit la loi normale d'espérance μ et d'écart-type σ. D'où
La probabilité, arrondie à 10-3 près, pour qu'un paquet conditionné par cette machine soit refusé arrondit est 0,077.
Dans la suite de l'exercice, on arrondit à 0,08 la probabilité p pour qu'un paquet conditionné dans l'usine soit refusé, ainsi .
On s'intéresse au stock journalier de paquets conditionnés dans l'usine.
On prélève au hasard 100 paquets parmi le stock. Le stock est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise. On note X la variable aléatoire égale au nombre de paquets à rejeter dans cet échantillon.
Quelle est la loi de probabilité de X ? On donnera ses paramètres.
Le stock est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise de 100 paquets. Donc la variable aléatoire X égale au nombre de paquets à rejeter dans cet échantillon suit la loi binomiale de paramètres et .
Quelle est la probabilité qu'exactement 3 paquets parmi ces 100 paquets soient refusés ?
Arrondie à 10-3 près, la probabilité qu'exactement 3 paquets parmi ces 100 paquets soient refusés est 0,025.
Calculer la probabilité que, parmi ces 100 paquets, 5 ou plus soient refusés.
Arrondie à 10-3 près, la probabilité qu'au moins 5 paquets soient refusés est 0,910.
On contrôle la masse d'un échantillon de 100 paquets de sucre dans le stock global de l'entreprise. Après contrôle, 10 paquets sont refusés.
L'échantillon est-il représentatif de la production de l'usine ? Justifier.
La fréquence observée des paquets de sucre non conformes dans l'échantillon est
Comme , et , les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies. L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 est :
Soit avec des valeurs approchées à près des bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence des paquets de sucre non conformes dans la production sur un échantillon de taille 100 est .
La fréquence observée des paquets de sucre non conformes dans l'échantillon appartient à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% donc cet échantillon est représentatif de la production de l'usine.
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