sujet : Antilles Guyane 2017

correction de l'exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point. Pour répondre, vous recopierez sur votre copie le numéro de la question et indiquerez la seule réponse choisie.

Dans cet exercice, i désigne le nombre complexe de module 1 et d’argument ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$.

1. La suite $\left(u_n\right)$ est définie par $u_0=-3$ et pour tout entier naturel n, $u_{n+1}={\displaystyle \frac{7}{5}}{u}_n$. La limite quand n tend vers $+\infty$ de $\left(u_n\right)$ est :

   $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q={\displaystyle \frac{7}{5}}$ et de premier terme $u_0=-3$ donc pour tout entier naturel n, on a : $u_n=-3\times {\left({\displaystyle \frac{7}{5}}\right)}^n$.

   ${\displaystyle \frac{7}{5}}>1$ donc $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\left({\displaystyle \frac{7}{5}}\right)}^n=+\infty$ d'où, $\underset{n\to +\infty }{\lim }-3\times {\left({\displaystyle \frac{7}{5}}\right)}^n=-\infty$. Soit $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=-\infty$.

   a. 0

   b. $-\infty$

   c. $+\infty$

   d. $-3$

2. On considère la suite géométrique $\left(v_n\right)$ définie par son premier terme $v_0={\displaystyle \frac{1}{4}}$ et sa raison $q={\displaystyle \frac{3}{2}}$. La valeur exacte du terme $v_{10}$ est égale à :

   $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q={\displaystyle \frac{3}{2}}$ et de premier terme $v_0={\displaystyle \frac{1}{4}}$ donc pour tout entier naturel n, on a : $v_n={\displaystyle \frac{1}{4}}\times {\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^n$. D'où $$v_{10}={\displaystyle \frac{1}{4}}\times {\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^{10}={\displaystyle \frac{59049}{4096}}$$

   a. 14,4

   b. $\mathrm{7,3}\times {10}^{-4}$

   c. ${\displaystyle \frac{59049}{4096}}$

   d. ${\displaystyle \frac{15}{4}}$

3. On considère le nombre complexe $z=\sqrt{3}-5\mathrm{i}$. Le nombre complexe $z\overline{z}$ est égal à :

   $$z\overline{z}={\left|z\right|}^2={\left(\sqrt{3}\right)}^2+{\left(-5\right)}^2=28$$

   a. $3-25\mathrm{i}$

   b. $\left(-\sqrt{3}+5\mathrm{i}\right)\left(\sqrt{3}-5\mathrm{i}\right)$

   c. $-28$

   d. 28

4. Le nombre a est un réel strictement positif. Le nombre complexe $z=a+\mathrm{i}a\sqrt{3}$ admet pour forme exponentielle :

   • Le module du nombre complexe $z=a+\mathrm{i}a\sqrt{3}$ est : $$\left|z\right|=\sqrt{a^2+{\left(a\sqrt{3}\right)}^2}=\sqrt{4a^2}=2a$$

   • Un argument θ du nombre complexe z est tel que :$$\{\begin{array}{l}\cos \mathrm{\theta }={\displaystyle \frac{a}{2a}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\\ \sin \mathrm{\theta }={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2a}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}$$

   Soit $\arg \left(z\right)={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\left[2\pi \right]$ d'où $z=2a{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{3}}$

   a. ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{a\pi }{3}}$

   b. $a{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{2a\pi }{3}}$

   c. $2a{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{3}}$

   d. $2a{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{2\pi }{3}}$

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