sujet : Antilles Guyane 2017

correction de l'exercice 3

partie a

La fonction $f\prime$ désigne la fonction dérivée de f.

1. On suppose que la tangente à la courbe $C_f$ au point S est horizontale. Que vaut $f\prime \left(1\right)$ ?

   La tangente à la courbe $C_f$ au point S d'abscisse 1 est horizontale donc $f\prime \left(1\right)=0$.

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2. Calculer $f\prime \left(x\right)$ pour tout réel x de $\left[\mathrm{0,1};+\infty \right[$.

   $f\prime$ est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $\left[\mathrm{0,1};+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)=2ax+{\displaystyle \frac{1}{x}}$.

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3. 1. Exprimer $f\prime \left(1\right)$ en fonction de a.

      $f\prime \left(1\right)=2a+1$.

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   2. Démontrer que $a=-\mathrm{0,5}$.

      $$\begin{array}{rcl}f\prime \left(1\right)=0& \iff & 2a+1=0\\ & \iff & a=-\mathrm{0,5}\end{array}$$

      Ainsi, f est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $\left[\mathrm{0,1};+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=12-\mathrm{0,5}{x}^2+\ln \left(x\right)$.

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partie b

1. Montrer que la fonction F définie sur $\left[\mathrm{0,1};+\infty \right[$ par $F\left(x\right)=11x-{\displaystyle \frac{1}{6}}{x}^3+x\ln \left(x\right)$ est une primitive de f sur $\left[\mathrm{0,1};+\infty \right[$.

   La dérivée de la fonction F est la fonction $F\prime$ définie pour tout réel x de l'intervalle $\left[\mathrm{0,1};+\infty \right[$ par :$$\begin{array}{rcl}F\prime \left(x\right)& =& 11-{\displaystyle \frac{3}{6}}{x}^2+\left(1\times \ln \left(x\right)+x\times {\displaystyle \frac{1}{x}}\right)\\ & =& 12-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+\ln \left(x\right)\end{array}$$

   Pour tout réel x de l'intervalle $\left[\mathrm{0,1};+\infty \right[$ on a $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$ donc la fonction F définie par $F\left(x\right)=11x-{\displaystyle \frac{1}{6}}{x}^3+x\ln \left(x\right)$ est une primitive de f sur $\left[\mathrm{0,1};+\infty \right[$.

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2. 1. Calculer la valeur exacte, exprimée en unité d'aire, de l'aire du domaine limité par la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=2$ et $x=5$.

      • Étudions le signe de la fonction f sur $\left[\mathrm{0,1};5\right]$.

        Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée $f\prime$ définie sur $\left[\mathrm{0,1};+\infty \right[$ par : $$f\prime \left(x\right)=-x+{\displaystyle \frac{1}{x}}={\displaystyle \frac{1-x^2}{x}}={\displaystyle \frac{\left(1-x\right)\left(1+x\right)}{x}}$$.

        x	0,1		1		$+\infty$
        $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
        $f\left(x\right)$

        Comme d'autre part, $f\left(\mathrm{0,1}\right)\approx \mathrm{9,7}$, $f\left(1\right)=\mathrm{11,5}$ et $f\left(5\right)\approx \mathrm{1,1}$ on en déduit que sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,1};5\right]$ on a $f\left(x\right)>0$.

      • Calcul de l'aire

        Sur l'intervalle $\left[2;5\right]$ la fonction f est positive par conséquent l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine limité par la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=2$ et $x=5$ est égale à : $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle {\int }_2^{5}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& F\left(5\right)-F\left(2\right)\\ & =& \left(55-{\displaystyle \frac{125}{6}}+5\ln \left(5\right)\right)-\left(22-{\displaystyle \frac{8}{6}}+2\ln \left(2\right)\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{27}{2}}+5\ln \left(5\right)-2\ln \left(2\right)\end{array}$$

      L'aire du domaine limité par la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=2$ et $x=5$ est égale à $\left({\displaystyle \frac{27}{2}}+5\ln \left(5\right)-2\ln \left(2\right)\right)$ unités d'aire.

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   2. Vérifier qu'une valeur approchée de cette aire, arrondie au dixième, est 20,2 m².

      L'unité d'aire est égale à un mètre carré et ${\displaystyle \frac{27}{2}}+5\ln \left(5\right)-2\ln \left(2\right)\approx \mathrm{20,16}$ d'où :

      La valeur arrondie au dixième près de l'aire du domaine limité par la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=2$ et $x=5$ est 20,2 m².

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3. Cette voile doit être légère tout en étant suffisamment résistante. Elle est fabriquée dans un tissu ayant une masse de 260 grammes par mètre carré.
   La voile pèsera-t-elle moins de 5 kg ? Justifier la réponse.

   L'aire en mètre carré de la voile est égale à l'aire de la partie grisée soit : $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle {\int }_2^{5}f\left(x\right)\mathrm{d}x}-\mathrm{D}\mathrm{B}\times f\left(5\right)& =& {\displaystyle \frac{27}{2}}+5\ln \left(5\right)-2\ln \left(2\right)-3\times \left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}+\ln \left(5\right)\right)\\ & =& 15+2\ln \left(5\right)-2\ln \left(2\right)\\ & =& 15+2\ln \left(\mathrm{2,5}\right)\end{array}$$

   La masse de la voile en kilogramme est donc égale à $\mathrm{0,26}\times \left(15+2\ln \left(\mathrm{2,5}\right)\right)\approx \mathrm{4,376}$.

   La masse de la voile est inférieure à 5 kg.

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