Baccalauréat technologique 2017 MATHÉMATIQUES Série STI2D

sujet : France métropolitaine, La Réunion 2017

correction de l'exercice 1

La climatisation d'un véhicule automobile est un système de qui a une double fonction, refroidir ou réchauffer l'habitacle. Ce système fonctionne grâce à une certaine masse de gaz réfrigérant stocké dans un réservoir.
On suppose que, par défaut d'étanchéité, le système perd naturellement 0,1 gramme de gaz chaque jour.
Un automobiliste possède un véhicule pour lequel la masse de gaz dans le réservoir est initialement de 660 grammes.

partie a

Le constructeur préconise de recharger le réservoir lorsque la masse de gaz est inférieure à 440 grammes.
Au bout de combien de jours le constructeur préconise-t-il à l'automobiliste de recharger ce réservoir ?

Soit n le nombre de jours au bout duquel la masse de gaz est inférieure à 440 grammes. n est le plus petit entier solution de l'inéquation :660-0,1×n<440-0,1×n<-220n>2200

Le constructeur préconise à l'automobiliste de recharger ce réservoir au bout de 2201 jours.


partie b

Lors d'une visite d'entretien, le garagiste signale à l'automobiliste que le système de climatisation de son véhicule présente une baisse significative de masse de gaz : en plus de la perte naturelle de 0,1 gramme, le système perd 1 % de sa masse chaque jour.
Le garagiste recharge alors complètement le réservoir.
Pour tout entier naturel n, on note un la masse de gaz dans le réservoir au bout de n jours après cette visite.
On a donc, u0=660 et on admet que pour tout entier naturel n, on a : un+1=0,99un-0,11.

  1. Calculer u1 et u2.

    u1=660×0,99-0,11=653,29etu2=653,29×0,99-0,11=646,6471

    Ainsi, u1=653,29 et u2=646,6471.


  2. Voici un algorithme qui calcule la masse u de gaz restant dans le système après un nombre entier strictement positif N de jours écoulés.

    1. Recopier et compléter cet algorithme.

      u660

      Pour k allant de 1 à N
      u0,99×u-0,11
      Fin Pour

    2. Quelle masse de gaz restera-t-il au bout de 20 jours ? Arrondir au gramme près.

      On programme l'algorithme sur la calculatrice pour k allant de 1 à 20.

      Arrondie au gramme près, la masse de gaz qui restera au bout de 20 jours est 538 g.


  3. Soit la suite (vn) définie pour tout entier naturel par vn=un+10.

    1. Calculer v0.

      v0=660+10=670.


    2. On admet que (vn) est une suite géométrique de raison 0,99.
      Pour tout entier naturel n, exprimer vn en fonction de n.

      (vn) est une suite géométrique de raison 0,99 et de premier terme v0=670 donc pour tout entier naturel n, on a :vn=670×0,99n.


    3. En déduire que, pour tout entier naturel n, on a : un=670×0,99n-10.

      Comme pour tout entier naturel n, vn=un+10un=vn-10 on en déduit que :

      pour tout entier naturel n, on a : un=670×0,99n-10.


    4. À l'aide de cette expression, vérifier le résultat obtenu à la question 2.b.

      u20=670×0,9920-10538.


  4. On rappelle que le constructeur préconise de recharger le réservoir au plus tard lorsque la masse de gaz est inférieure à 440 g.
    Le coût d'une recharge est de 80 euros. Le garagiste propose de réparer le système pour 400 euros.
    Pourquoi est-il plus économique pour cet automobiliste de réparer le système ? Justifier la réponse.

    • On effectue la réparation :

      Le coût est de 400 euros pour une durée de 2200 jours.

    • On n'effectue pas la réparation :

      Le coût est de 80 euros pour une durée de n jours avec n plus petit entier solution de l'inéquation :670×0,99n-10<4400,99n<4567ln(0,99n)<ln4567 La fonction  ln est strictement croissanten×ln0,99<ln4567Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier nlnan=nlnan>ln4567ln0,99ln0,99<0

      Comme ln4567ln0,9939,6 alors, le plus petit entier n solution de l'inéquation un<440 est n=40.

      C'est à dire qu'il faudra acheter une nouvelle recharge tous les 40 jours environ. Pour une durée de de 2200 jours le coût total en euros des recharges sera de 80×220040=4400

    Il est plus économique pour cet automobiliste de réparer le système.



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