La climatisation d'un véhicule automobile est un système de qui a une double fonction, refroidir ou réchauffer l'habitacle. Ce système fonctionne grâce à une certaine masse de gaz réfrigérant stocké dans un réservoir.
On suppose que, par défaut d'étanchéité, le système perd naturellement 0,1 gramme de gaz chaque jour.
Un automobiliste possède un véhicule pour lequel la masse de gaz dans le réservoir est initialement de 660 grammes.
Le constructeur préconise de recharger le réservoir lorsque la masse de gaz est inférieure à 440 grammes.
Au bout de combien de jours le constructeur préconise-t-il à l'automobiliste de recharger ce réservoir ?
Soit n le nombre de jours au bout duquel la masse de gaz est inférieure à 440 grammes. n est le plus petit entier solution de l'inéquation :
Le constructeur préconise à l'automobiliste de recharger ce réservoir au bout de 2201 jours.
Lors d'une visite d'entretien, le garagiste signale à l'automobiliste que le système de climatisation de son véhicule présente une baisse significative de masse de gaz : en plus de la perte naturelle de 0,1 gramme, le système perd 1 % de sa masse chaque jour.
Le garagiste recharge alors complètement le réservoir.
Pour tout entier naturel n, on note la masse de gaz dans le réservoir au bout de n jours après cette visite.
On a donc, et on admet que pour tout entier naturel n, on a : .
Calculer et .
Ainsi, et .
Voici un algorithme qui calcule la masse u de gaz restant dans le système après un nombre entier strictement positif N de jours écoulés.
Recopier et compléter cet algorithme.
Pour k allant de 1 à N
Fin Pour
Quelle masse de gaz restera-t-il au bout de 20 jours ? Arrondir au gramme près.
On programme l'algorithme sur la calculatrice pour k allant de 1 à 20.
Arrondie au gramme près, la masse de gaz qui restera au bout de 20 jours est 538 g.
Soit la suite définie pour tout entier naturel par .
Calculer .
.
On admet que est une suite géométrique de raison 0,99.
Pour tout entier naturel n, exprimer en fonction de n.
est une suite géométrique de raison 0,99 et de premier terme donc pour tout entier naturel n, on a :.
En déduire que, pour tout entier naturel n, on a : .
Comme pour tout entier naturel n, on en déduit que :
pour tout entier naturel n, on a : .
À l'aide de cette expression, vérifier le résultat obtenu à la question 2.b.
.
On rappelle que le constructeur préconise de recharger le réservoir au plus tard lorsque la masse de gaz est inférieure à 440 g.
Le coût d'une recharge est de 80 euros. Le garagiste propose de réparer le système pour 400 euros.
Pourquoi est-il plus économique pour cet automobiliste de réparer le système ? Justifier la réponse.
On effectue la réparation :
Le coût est de 400 euros pour une durée de 2200 jours.
On n'effectue pas la réparation :
Le coût est de 80 euros pour une durée de n jours avec n plus petit entier solution de l'inéquation :
Comme alors, le plus petit entier n solution de l'inéquation est .
C'est à dire qu'il faudra acheter une nouvelle recharge tous les 40 jours environ. Pour une durée de de 2200 jours le coût total en euros des recharges sera de
Il est plus économique pour cet automobiliste de réparer le système.
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