sujet : France métropolitaine, La Réunion 2017

correction de l'exercice 3

Un chef cuisinier décide d'ajouter un « menu terroir » à la carte de son restaurent. S'appuyant sur sa longue expérience, le restaurateur pense qu'environ 30 % des clients choisiront ce menu. Ceci le conduit à faire l'hypothèse que la probabilité qu'un client, pris au hasard commande le « menu terroir » est de $p=\mathrm{0,3}$.

partie a

Afin de tester la validité de son hypothèse, le restaurateur choisit au hasard 100 clients et observe que 26 d'entre eux ont commandé un « menu terroir ».
Après discussion avec son comptable, le restaurateur décide d'accepter l'hypothèse que $p=\mathrm{0,3}$.
À l'aide d'un intervalle de fluctuation à 95 %, justifier cette décision.

• La frequence des clients qui choisissent le « menu terroir » est $f={\displaystyle \frac{26}{100}}=\mathrm{0,26}$.

• Comme $n⩾30$, $n\times p=100\times \mathrm{0,3}=30$ et $n\times \left(1-p\right)=100\times \mathrm{0,7}=70$, les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.
  L'intervalle de fluctuation avec un niveau de confiance de 95 % de la fréquence des clients qui choisissent le « menu terroir » dans un échantillon de taille 100 est : $$\begin{array}{c}I=\left[\mathrm{0,3}-\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,3}\times \mathrm{0,7}}{100}}};\mathrm{0,3}+\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,3}\times \mathrm{0,7}}{100}}}\right]\end{array}$$

  Soit avec des valeurs approchées à ${10}^{-2}$ près des bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation avec un niveau de confiance de 95 % de la fréquence des clients qui choisissent le « menu terroir » dans un échantillon de taille 100 est $I=\left[\mathrm{0,21};\mathrm{0,39}\right]$.

$\mathrm{0,26}\in \left[\mathrm{0,21};\mathrm{0,39}\right]$ donc le restaurateur accepte l'hypothèse que 30 % des clients commandent le « menu terroir ».

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partie b

Une agence de voyage a réserver toutes les tables du restaurant pour la semaine à venir. Le restaurateur sait ainsi que 1000 clients viendront déjeuner chacun une fois durant la semaine.
Le nombre de « menu terroir » qui seront alors commandé est une variable aléatoire X.
On considère que la probabilité qu'un des clients commande un « menu terroir » est $p=\mathrm{0,3}$.

1. On admet que la variable aléatoire X suit une loi binomiale.

   1. Donner ses paramètres.

      X suit la loi binomiale de paramètres $n=10000$ et $p=\mathrm{0,3}$.

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   2. Déterminer la probabilité que le nombre de « menus terroir » commandés soit inférieur ou égal à 315.

      $P\left(X⩽315\right)\approx \mathrm{0,857}$.

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2. On décide d'approcher la loi binomiale précédente par la loi normale d'espérance $\mu =300$ et d'écart-type $\sigma =\mathrm{14,49}$. Justifier les valeurs de μ et σ.

   • La variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres $n=1000$ et $p=\mathrm{0,3}$ alors :

     • son espérance vaut $E\left(X\right)=1000\times \mathrm{0,3}=300$ ;
     • son écart-type vaut $\sigma \left(X\right)=\sqrt{1000\times \mathrm{0,3}\times \mathrm{0,7}}\approx \mathrm{14,49}$.

   • En outre, on a $n=1000$, $np=1000\times \mathrm{0,3}=30$ et $n\left(1-p\right)=1000\times \mathrm{0,7}=700$. Donc les trois conditions $n⩾30$, $np⩾5$ et $n\left(1-p\right)⩾5$ sont réunies pour approcher la loi binomiale par la loi normale.

   La loi binomiale suivie par X peut être approchée par la loi normale d'espérance $\mu =300$ et d'écart-type $\sigma =\mathrm{14,49}$.

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   Dans la suite de l'exercice, on utilisera cette approximation par la loi normale. Les résultats seront arrondis à ${10}^{-2}$ près.

3. 1. Estimer $P\left(285⩽X⩽315\right)$.

      $P\left(285⩽X⩽315\right)\approx \mathrm{0,70}$.

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   2. Estimer $P\left(X⩾350\right)$ et interpréter le résultat obtenu.

      $$\begin{array}{ccc}P\left(X⩾350\right)& =& P\left(X⩾300\right)-P\left(300⩽X⩽350\right)\hfill \\ & =& \mathrm{0,5}-P\left(300⩽X⩽350\right)\hfill \\ & \approx & 0\hfill \end{array}$$

      La probabilité que le nombre de « menus terroir » commandés soit supérieur ou égal à 315 est quasiment nulle.

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