sujet : France métropolitaine septembre 2017

correction de l'exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse.

1. On donne ci-dessous la courbe 𝒞 représentative d'une fonction f définie et dérivable sur $\left[0;+\infty \right[$.
   On pose $I={\displaystyle {\int }_1^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$. Un encadrement de I est :

   La fonction f est positive donc l'intégrale ${\displaystyle {\int }_1^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est égale à l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine hachuré compris entre la courbe 𝒞, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=1$ et $x=2$.
   Or cette cette aire, est comprise entre l'aire d'un rectangle de côtés 1 et 3 et l'aire d'un rectangle de côtés 1 et 4 d'où $3<{\displaystyle {\int }_1^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}<4$.

   a. $6<I<8$

   b. $1<I<2$

   c. $3<I<4$

   d. $13<I<16$

2. La fonction g est définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $g\left(x\right)=\left(-2x+1\right)\ln \left(x\right)+5$.
   La limite de cette fonction g en $+\infty$ est égale à :

   $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(-2x+1\right)=-\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln \left(x\right)=+\infty$ donc par produit des limites, $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(-2x+1\right)\ln \left(x\right)=-\infty$ d'où $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(-2x+1\right)\ln \left(x\right)+5=-\infty$.
   Soit $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=-\infty$.

   a. $+\infty$

   b. $-\infty$

   c. 0

   d. 5

3. La suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de premier terme $v_0=4$ et de raison $q=\mathrm{0,5}$.
   La somme des 9 premiers termes de cette suite est égale à :

   $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de premier terme $v_0=4$ et de raison $q=\mathrm{0,5}$ donc la somme des 9 premiers termes de cette suite est égale à :$$4\times {\displaystyle \frac{1-{\mathrm{0,5}}^9}{1-\mathrm{0,5}}}=8\times \left(1-{\mathrm{0,5}}^9\right)$$

   a. $4\times {\mathrm{0,5}}^8$

   b. ${\displaystyle \frac{1-{\mathrm{0,5}}^9}{1-\mathrm{0,5}}}$

   c. $8\times \left(1-{\mathrm{0,5}}^9\right)$

   d. 6,9

4. La suite $\left(u_n\right)$ est la suite géométrique de premier terme $u_0=300$ et de raison $q=\mathrm{1,05}$.
   L'algorithme qui calcule et affiche tous les termes strictement inférieurs à 450 de cette suite est :

   L'algorithme a calcule et affiche les 450 premiers termes termes, il ne convient pas. Les algorithmes b et d n'affichent que le terme supérieur ou égal à 450.
   L'algorithme c est le seul qui calcule et affiche tous les termes strictement inférieurs à 450 de cette suite

   a. variables n : un nombre entier naturel u : un nombre réel Initialisation n prend la valeur 0 u prend la valeur 300 traitement Tant que $n<450$ Afficher u n prend la valeur $n+1$ u prend la valeur $300\times {\mathrm{1,05}}^n$ Fin Tant que	b. variables u : un nombre réel Initialisation u prend la valeur 300 traitement Tant que $u<450$ u prend la valeur $\mathrm{1,05}\times u$ Fin Tant que Sortie Afficher u
   c. variables u : un nombre réel Initialisation u prend la valeur 300 traitement Tant que $u<450$ Afficher u u prend la valeur $\mathrm{1,05}\times u$ Fin Tant que	d. variables n : un nombre entier naturel u : un nombre réel Initialisation n prend la valeur 0 u prend la valeur 300 traitement Tant que $u<450$ n prend la valeur $n+1$ u prend la valeur $300\times {\mathrm{1,05}}^n$ Fin Tant que Sortie : Afficher u

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