Baccalauréat technologique 2017 MATHÉMATIQUES Série STI2D

sujet : France métropolitaine septembre 2017

correction de l'exercice 3

partie a

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct $(O; \vec{u}, \vec{v})$ , on représente les extrémités des pales d'une éolienne par le point A de coordonnées $(0; 3)$ et par les points B et C d'affixes respectives : $z_{B} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2} i$ et $z_{C} = 3 e^{- i \frac{5 π}{6}}$ .

Soit $z_{A}$ l'affixe du point A.
1. Donner la forme algébrique de $z_{A}$ .
  La forme algébrique de $z_{A}$ est $z_{A} = 3 i$ .
2. Donner la forme exponentielle de $z_{A}$ .
  La forme exponentielle de $z_{A}$ est $z_{A} = 3 e^{i \frac{π}{2}}$ .
Déterminer la forme exponentielle de $z_{B}$ .
- Le module du nombre complexe $z_{B} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2} i$ est : $| z_{B} | = \sqrt{{(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} + {(- \frac{3}{2})}^{2}} = \sqrt{\frac{27}{4} + \frac{9}{4}} = \sqrt{9} = 3$
- Un argument θ du nombre complexe $z_{B}$ est tel que : ${\begin{cases} \cos θ = \frac{\frac{3 \sqrt{3}}{2}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \sin θ = \frac{- \frac{3}{2}}{3} = - \frac{1}{2} \end{cases}$
Soit $\arg (z_{B}) = - \frac{π}{6} [2 π]$ .
La forme exponentielle de $z_{B}$ est $z_{B} = 3 e^{- i \frac{π}{6}}$ .
On admet que lorsque l'hélice tourne d'un angle de $\frac{π}{2}$ radians dans le sens direct, les points A, B et C sont transformés respectivement en A', B' et C' tels que :
- A' a pour affixe $z_{A'} = z_{A} \times e^{i \frac{π}{2}}$
- B' a pour affixe $z_{B'} = z_{B} \times e^{i \frac{π}{2}}$
- C' a pour affixe $z_{C'} = z_{C} \times e^{i \frac{π}{2}}$
Déterminer la forme exponentielle de $z_{C'}$ .
$\begin{array}{rcl} z_{C'} = z_{C} \times e^{i \frac{π}{2}} & soit & z_{C'} = 3 e^{- i \frac{5 π}{6}} \times e^{i \frac{π}{2}} \\ \Leftrightarrow & z_{C'} = 3 e^{i (- \frac{5 π}{6} + \frac{π}{2})} \\ \Leftrightarrow & z_{C'} = 3 e^{- i \frac{π}{3}} \end{array}$

La forme exponentielle de $z_{C'}$ est $z_{C'} = 3 e^{- i \frac{π}{3}}$ .

partie b

La durée de vie, en jours, d'un des composants électroniques d'une éolienne est modélisée par une variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle de paramètre $λ = 0,002$ .

Calculer la durée de vie moyenne, en jours, d'un composant de ce type.
L'espérance mathématique de la variable aléatoire T suivant la loi exponentielle de paramètre $λ = 0,002$ est : $E (T) = \frac{1}{0,002} = 500$
La durée de vie moyenne d'un composant est de 500 jours.
1. On considère la fonction f définie sur l'intervalle $[0; + \infty [$ par $f (x) = 0,002 e^{- 0,002 x}$ .
  Montrer que la fonction F définie sur l'intervalle $[0; + \infty [$ par $F (x) = - e^{- 0,002 x}$ est une primitive de la fonction f sur l'intervalle $[0; + \infty [$ .
  Pour tout réel x positif, posons $u (x) = - 0,002 x$ , d'où $u' (x) = - 0,002$ .
  Par conséquent, sur l'intervalle $[0; + \infty [$ , $f (x) = - u' (x) \times e^{u (x)}$ donc les primitives de la fonction f sont les fonctions de la forme $F = - e^{u} + k$ où k est un nombre réel.
  Ainsi, une primitive de la fonction f est la fonction F définie sur l'intervalle $[0; + \infty [$ par $F (x) = - e^{- 0,002 x}$ .
2. On rappelle que, pour tout nombre réel t de $[0; + \infty [$ , $P (T ⩽ t) = \int_{0}^{t} f (x) d x$ . On a donc $P (T ⩽ t) = 1 - e^{- 0,002 t}$ .
  Le fabricant affirme : « la probabilité que la durée de vie du composant soit supérieure à 100 jours est d'au moins 0,8 ».
  Que penser de cette affirmation ? Justifier la réponse.
  La probabilité que la durée de vie du composant soit supérieure à 100 jours est $P (T > 100) = 1 - P (T ⩽ 100)$ soit : $P (T > 100) = 1 - (1 - e^{- 0,002 \times 100}) = e^{- 0,2} \approx 0,819$
  La probabilité que la durée de vie du composant soit supérieure à 100 jours est supérieure à 0,8 donc le fabricant a raison.

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