sujet : France métropolitaine septembre 2017

correction de l'exercice 4

Dans cet exercice, les résultats demandés seront arrondis à ${10}^{-3}$ près.

L'entreprise COFRUIT fabrique de la confiture de fruits, qu'elle conditionne en pots. Il est indiqué 680 grammes de confiture sur l'étiquette du pot.
En fin de chaîne de remplissage, les pots sont pesés et ceux dont la masse de confiture est strictement inférieure à 675 grammes ne sont pas commercialisés.

partie a

Après remplissage, la masse de confiture dans un pot est modélisée par une variable aléatoire X qui suit la loi normale d'espérance $\mu =680$ et d'écart type $\sigma =\mathrm{2,65}$.

1. Calculer la probabilité que la masse de confiture d'un pot, pris au hasard dans la production, soit comprise entre 677 grammes et 683 grammes.

   À l'aide de la calculatrice, $P\left(677⩽X⩽683\right)\approx \mathrm{0,742}$.

   Arrondie à ${10}^{-3}$ près, la probabilité que la masse de confiture d'un pot, pris au hasard dans la production, soit comprise entre 677 grammes et 683 grammes est 0,742.

   ---

2. Calculer la probabilité qu'un pot pris au hasard dans la production soit commercialisé.

   $$\begin{array}{rcl}P\left(X⩾675\right)& =& P\left(675⩽X⩽680\right)+P\left(X⩾680\right)\\ & =& P\left(675⩽X⩽680\right)+\mathrm{0,5}\\ & \approx & \mathrm{0,970}\end{array}$$

   Arrondie au millième près, la probabilité qu'un pot pris au hasard dans la production soit commercialisé est 0,970.

   ---

partie b

Dans cette partie, on considère qu'une machine de remplissage de pots est bien réglée lorsque la proportion théorique de pots non commercialisables est inférieure ou égale à 3 %. On s'intéresse à la production journalière de pots remplis par cette machine.

1. Lors d'un contrôle de qualité, il est relevé que, sur un échantillon de 200 pots, 8 ne sont pas commercialisables.
   À l'aide d'un intervalle de fluctuation asymptotique à 95 %, déterminer si la machine nécessite un réglage.

   • Comme $n⩾30$, $n\times p=200\times \mathrm{0,03}=6$ et $n\times \left(1-p\right)=200\times \mathrm{0,97}=194$, les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.
     L'intervalle de fluctuation avec un niveau de confiance de 95 % de la fréquence de pots non commercialisables dans un échantillon de taille 200 est : $$\begin{array}{c}I=\left[\mathrm{0,03}-\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,03}\times \mathrm{0,97}}{200}}};\mathrm{0,03}+\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,03}\times \mathrm{0,97}}{200}}}\right]\end{array}$$

     Soit avec des valeurs approchées à ${10}^{-2}$ près des bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation avec un niveau de confiance de 95 % de la fréquence des clients qui choisissent le « menu terroir » dans un échantillon de taille 100 est $I=\left[\mathrm{0,006};\mathrm{0,054}\right]$.

   • La frequence de pots non commercialisables dans l'échantillon est $f={\displaystyle \frac{8}{200}}=\mathrm{0,04}$.

   $\mathrm{0,04}\in \left[\mathrm{0,006};\mathrm{0,054}\right]$ donc la machine ne nécessite pas un réglage.

   ---

2. On rappelle dans cette question que $\mu =680$ et $\sigma =\mathrm{2,65}$.
   On suppose que la machine est bien réglée. L'entreprise décide de vendre les pots de confiture par lots de 2. Les lots de moins de 1 350 grammes de confiture sont jugés non conformes.
   On admet que la masse de confiture, en grammes, d'un lot de 2 pots est une variable aléatoire Y qui suit la loi normale d'espérance $2\mu$ et d'écart type $\sqrt{2}\times \sigma$.

   1. Calculer $P\left(Y⩽1350\right)$.

      Y qui suit la loi normale d'espérance $2\mu =1360$ et d'écart type $\sqrt{2}\times \sigma =\mathrm{2,65}\sqrt{2}$.
      $$\begin{array}{rcl}P\left(Y⩽1350\right)& =& P\left(Y⩽1360\right)-P\left(1350⩽Y⩽1360\right)\\ & =& \mathrm{0,5}-P\left(1350⩽Y⩽1360\right)\\ & \approx & \mathrm{0,004}\end{array}$$

      Arrondie au millième près, la probabilité qu'un lot pris au hasard dans la production soit non conforme est 0,004.

      ---

   2. Pourquoi est-il alors plus intéressant pour l'entreprise COFRUIT de vendre ses pots de confiture par lots de 2 ?

      D'après les questions précédentes, $P\left(X⩽675\right)\approx \mathrm{0,03}$ et $P\left(Y⩽1350\right)\approx \mathrm{0,004}$.

      La probabilité qu'un lot soit non conforme est inférieure à la probabilité qu'un pot ne soit pas commercialisable donc il est plus intéressant pour l'entreprise COFRUIT de vendre ses pots de confiture par lots de 2.

      ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

conformes au programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesQCMVrai-FauxFonctions logarithmesFonctions exponentiellesÉquations différentiellesNombres complexesProbabilités

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.