Baccalauréat technologique 2017 MATHÉMATIQUES Série STI2D

sujet : Nouvelle Calédonie novembre 2017

correction de l'exercice 2

Un kiosque numérique propose des magazines consultables sur tablette. Il avait 4 000 abonnés lors de son lancement.
Une étude commerciale montre que chaque année le taux de réabonnement est voisin de 70 % et que le nombre de nouveaux abonnés est d'environ 6 000.

Déterminer le nombre d'abonnés une année après le lancement.
Une année après le lancement, le nombre d'abonnés est : $4000 \times 0,7 + 6000 = 8800$
Une année après le lancement, il y a 8 800 abonnés.
Déterminer de même le nombre d'abonnés deux années après le lancement.
Deux années après le lancement, le nombre d'abonnés est : $8800 \times 0,7 + 6000 = 12160$
Deux années après le lancement, il y a 12 160 abonnés.
On considère l'algorithme suivant :
$u \leftarrow 4000$
$n \leftarrow 0$
Tant que $n < 2$
$u \leftarrow \frac{7}{10} u + 6000$
$n \leftarrow n + 1$
Fin Tant que
Quelle est la valeur de la variable u à la fin de l'exécution de cet algorithme ?
Cet algorithme calcule le nombre d'abonnés deux années après le lancement c'est à dire $u = 12 160$ .
Modifier l'algorithme pour calculer le nombre d'années à partir duquel il y aura plus de 15 000 abonnés.
$u \leftarrow 4000$
$n \leftarrow 0$
Tant que $u ⩽ 15000$
$u \leftarrow \frac{7}{10} u + 6000$
$n \leftarrow n + 1$
Fin Tant que
Soit la suite $(a_{n})$ définie par : $a_{0} = 4$ et pour tout $n > 0$ , $a_{n + 1} = \frac{7}{10} a_{n} + 6$ . Quel lien peut-on établir entre cette suite et le nombre d'abonnés au kiosque numérique ?
$a_{n}$ est le nombre de milliers d'abonnés n années après le lancement.
Soit $(b_{n})$ la suite définie pour tout entier n par : $b_{n} = 20 - a_{n}$ . On admet que la suite $(b_{n})$ est une suite géométrique de raison $\frac{7}{10}$ .
Exprimer $a_{n}$ en fonction de n.
Le premier terme de la suite $(b_{n})$ est : $\begin{matrix} b_{0} = 20 - a_{0} & soit & b_{0} = 20 - 4 = 16 \end{matrix}$
$(b_{n})$ est une suite géométrique de raison $\frac{7}{10}$ et de premier terme $b_{0} = 16$ donc pour tout entier n, $b_{n} = 16 \times {0,7}^{n}$ .
Comme pour tout entier naturel n, $b_{n} = 20 - a_{n} \Leftrightarrow a_{n} = 20 - b_{n}$ on en déduit que :
pour tout entier naturel n, $a_{n} = 20 - 16 \times {0,7}^{n}$ .
D'après ce modèle peut-on envisager de dépasser les 30 000 abonnés ? Expliquer la démarche suivie.
$\begin{array}{rcl} a_{n} > 30 & \Leftrightarrow & 20 - 16 \times {0,7}^{n} > 30 \\ \Leftrightarrow & - 16 \times {0,7}^{n} > 10 \\ \Leftrightarrow & {0,7}^{n} < - 0,625 \end{array}$
Comme pour tout entier n, ${0,7}^{n} > 0$ on en déduit que l'inéquation $a_{n} > 30$ n'a pas de solution.
Selon ce modèle, on ne peut pas envisager de dépasser les 30 000 abonnés.

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