sujet : Nouvelle Calédonie novembre 2017

correction de l'exercice 4

Dans un élevage de poulets fermiers, les volailles sont commercialisées après 90 jours d'élevage.
Un poulet de 90 jours sera dit conforme si sa masse est comprise entre 2,8 kg et 3,2 kg.

1. L'avicultrice a constaté que la masse M, exprimée en kg, de ses poulets de 90 jours suit une loi normale de moyenne 3 et d'écart type 0,1.

   1. Déterminer au centième près la probabilité qu'un poulet de 90 jours prélevé au hasard soit conforme.

      D'après le cours, si la variable aléatoire X suit la loi normale de moyenne μ et d'écart-type σ alors, $P\left(\mu -2\sigma ⩽X⩽\mu +2\sigma \right)\approx \mathrm{0,954}$.

      Comme la variable aléatoire M suit la loi normale de moyenne $\mu =3$ et d'écart-type $\sigma =\mathrm{0,1}$ alors, $P\left(\mathrm{2,8}⩽M⩽\mathrm{3,2}\right)\approx \mathrm{0,954}$.

      Arrondie au centième près, la probabilité qu'un poulet de 90 jours prélevé au hasard soit conforme est 0,95.

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   2. Déterminer au millième près la probabilité que la masse d'un poulet de 90 jours prélevé au hasard soit supérieure à 3,3 kg.

      $$\begin{array}{rcl}P\left(M>\mathrm{3,3}\right)& =& P\left(M⩾3\right)-P\left(3⩽M⩽\mathrm{3,3}\right)\\ & =& \mathrm{0,5}-P\left(3⩽M⩽\mathrm{3,3}\right)\\ & \approx & \mathrm{0,001}\end{array}$$

      Arrondie au millième près, la probabilité que la masse d'un poulet de 90 jours prélevé au hasard soit supérieure à 3,3 kg est 0,001.

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2. On admet dans cette question que 95 % des poulets de 90 jours sont conformes.
   Un rôtisseur achète tous les samedis 100 de ces poulets. On admet que le nombre de poulets de l'élevage est suffisamment important pour que cet achat puisse être assimilé à un prélèvement avec remise.
   On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de poulets non conformes, c'est-à-dire dont la masse n'est pas dans l'intervalle $\left[\mathrm{2,8};\mathrm{3,2}\right]$.

   1. Justifier que X suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.

      L'achat est assimilé à un prélèvement avec remise de 100 poulets donc X suit la loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=\mathrm{0,05}$.

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   2. Calculer l'espérance mathématique de X. Que représente ce nombre ?

      L'espérance mathématique de la variable aléatoire X suivant la loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=\mathrm{0,05}$ est : $$E\left(X\right)=100\times \mathrm{0,05}=5$$

      Dans les lots de 100 poulets il y a en moyenne 5 poulets non conformes.

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3. Lors de son dernier achat, le rôtisseur a compté 9 poulets non conformes. Il se plaint auprès de l'éleveur.
   Avec un tableur, on a calculé les probabilités $P\left(X⩽a\right)$ pour a allant de 0 à 13.

   a	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
   $P\left(X⩽a\right)$	0,0059	0,0371	0,1183	0,2578	0,4360	0,6160	0,7660	0,8720	0,9369	0,9718	0,9885	0,9957	0,9985	0,9995

   1. Déterminer l'intervalle de fluctuation à 95 % de la fréquence de poulets non conformes.

      Rappel

      Un intervalle de fluctuation à 95 % de la fréquence correspondant à la réalisation sur un échantillon de taille n, d'une variable aléatoire X suivant la loi binomiale $ℬ\left(n,p\right)$ est l'intervalle $\left[{\displaystyle \frac{a}{n}};{\displaystyle \frac{b}{n}}\right]$ où :

      • a est le plus petit entier tel que $P\left(X⩽a\right)>\mathrm{0,025}$.
      • b est le plus petit entier tel que $P\left(X⩽b\right)⩾\mathrm{0,975}$.

      Soit d'après les valeurs calculées, l'intervalle de fluctuation à 95 % de la fréquence de poulets non conformes est $\left[{\displaystyle \frac{1}{100}};{\displaystyle \frac{10}{100}}\right]$.

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   2. Le rôtisseur a-t-il eu raison de se plaindre ?

      La fréquence observée dans le lot de 100 poulets est $f={\displaystyle \frac{9}{100}}=\mathrm{0,09}$. La fréquence f appartient à l'intervalle $\left[{\displaystyle \frac{1}{100}};{\displaystyle \frac{10}{100}}\right]$, l'hypothèse selon laquelle la proportion de poulets non conformes est de 5 % n'est pas remise en question.

      Le rôtisseur n'a pas eu raison de se plaindre.

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